Phương pháp Runge - kutta giải phương trình vi phân thường

Khi kĩ thuật máy tính phát triển sự quan tâm mới được tập trung vào các phương pháp Runge – Kutta ẩn và có một số lượng lớn các nhà nghiên cứu đã có những đóng góp cho sự mở rộng các địn

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Nhiều bài toán trong khoa học và kĩ thuật có thể thiết lập được công thức theo các phương trình vi phân Như các phương trình của tên lửa đạn đạo, lý thuyết vệ tinh nhân tạo, các phương trình của mạng lưới điện, của sự uốn cong xà, sự ổn định của thiết bị bay, lý thuyết giao động Tuy nhiên đại

đa số các phương trình được kể đến trong thực tế lại không thể giải được bằng công thức giải tích hoặc nếu giải được thì công thức nghiệm thường phức tạp, cồng kềnh việc khảo sát các tính chất nghiệm vì thế gặp nhiều khó khăn Khi

đó các phương pháp số để giải gần đúng các phương trình vi phân trở nên hữu ích Các phương pháp số thường được sử dụng là phương pháp Euler, phương pháp Runge – Kutta, phương pháp Adam

Phương pháp Euler là một trường hợp riêng của phương pháp Runge – Kutta và đã được Runge tổng quát vào năm 1895 Năm 1900 – 1901 Heun và Kutta đã hoàn thiện tập các phương pháp Runge – Kutta bậc 4 và đề suất các phương pháp bậc 5 đầu tiên Cho đến năm 1956 – 1957 Huta đã đưa ra các phương pháp bậc 6 Các phương pháp bậc 8 được đưa ra bởi Curtis vào năm

1970 và Cooper vào năm 1972 Khi kĩ thuật máy tính phát triển sự quan tâm mới được tập trung vào các phương pháp Runge – Kutta ẩn và có một số lượng lớn các nhà nghiên cứu đã có những đóng góp cho sự mở rộng các định

lý và các phương pháp đặc biệt

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn các nghiên cứu về phương pháp Runge – Kutta giải phương trình vi phân thường dưới sự chỉ bảo tận tình của

TS Nguyễn Văn Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài:

“Phương pháp Runge – Kutta giải phương trình vi phân thường”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nhằm nghiên cứu cách xây dựng các phương pháp Runge – Kutta giải phương trình vi phân thường

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu Luận văn với nhiệm vụ hệ thống và làm rõ cách xây dựng các phương pháp Runge – Kutta giải phương trình vi phân thường

4 Đối tượng nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu cách xây dựng các phương pháp Runge – Kutta giải phương trình vi phân thường

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp những kiến thức thu thập được qua những tài liệu có liên quan đến đề tài Phân tích, đánh giá các tài liệu để đưa ra các phương pháp Runge – Kutta giải phương trình vi phân thường một cách tổng quát dưới các cách nghiên cứu khác nhau

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống về các phương pháp Runge – Kutta hiển giải phương trình vi phân thường sử dụng cây có gốc Những lý thuyết

đó có thể áp dụng cho cả các phương pháp Runge – Kuta ẩn

Nội dung

Luận văn tập trung vào các nội dung được thể hiện trong các chương sau: Chương 1: Lý thuyết tổng quan về phương trình vi phân thường

Chương 2: Phương pháp Runge – Kutta

Chương 3: Phương pháp Runge – Kutta với cây có gốc

Khi giải quyết các bài toán cụ thể, để thuận tiện ta không xét trên các

hàm giá trị vectơ f và y mà trên các thành phần đơn lẻ Vì vậy, để thay thế

cách viết phương trình vi phân ở dạng (1.1) chúng ta có thể liên kết các phương trình với từng thành phần riêng lẻ:

Một phương trình vi phân với f không phải là hàm của x mà là hàm của

y thì ta gọi là “autonmous” nó có dạng y x'  f y x    Nhưng hoàn toàn có thể biểu diễn một phương trình vi phân ở dạng “non-autonmous” tương đương với dạng “autonmous” bằng cách đưa thêm một thành phần y N1 vào

trong vectơ y và đảm bảo rằng thành phần này luôn đóng vai trò giống x bởi

liên kết nó cùng với phương trình vi phân y'N1 Vì vậy hệ được thay đổi 1như sau:

Ở đây yy y1, 2, ,y N, f  f f1, 2, , f N và y0 y01,y02, ,y0N là các vectơ trong N

Cặp phương trình (1.4) và (1.5) được gọi là bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường

1.2.2 Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

Giả sử f C , N (f xác định và liên tục trên  và nhận giá trị trong

Hàm khả vi y x là nghiệm của bài toán (1.4), (1.5) trên J khi và chỉ  

khi nó là nghiệm của phương trình tích phân Volterra:

     

0

x x

y x  y   f s y s ds xJ (1.6) 1.3 Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

Xét bài toán giá trị ban đầu (1.4) và (1.5)

Định lý 1.1 (Định lý Picard - Lindelof)

Giả sử f x y liên tục trên  ,  B0:x0xx0 a, y y0  , ở đây a, b b

là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên B0, nghĩa là, tồn tại

một hằng số dương L sao cho, với 0hh0 và với mọi x u , ,  x v, B0 thì f x u ,  f x v ,  L uv

trên x x0, 0 

Chứng minh

Theo nhận xét trên thì nghiệm của bài toán (1.4), (1.5) tương đương với nghiệm của phương trình tích phân (1.6) Do vậy ta chỉ cần chứng tỏ với các giả thiết của định lý 1.1 thì phương trình (1.6) tồn tại nghiệm duy nhất

Vì f x y x ,    liên tục trên x x0, 0nên các hàm số y0 x ,

k k

L M







 hội tụ đến e L 1 do đó chuỗi (1.9) hội tụ đều trên

x x0, 0 khi n   Gọi tổng của chuỗi (1.9) là y x , khi đó theo (1.10 )  

ta có: lim n   

Từ tính hội tụ đều của y n x đến y x và tính liên tục của hàm   f x y trên  , 

B0 suy ra rằng f x y , n x  hội tụ đều đến f x y x ,    trên x x0, 0 khi

Nghiệm này là duy nhất Thật vậy, giả sử y x và   z x là hai nghiệm  

((1.14) có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp)

Hơn nữa vế phải của (1.14) bị chặn trên bởi:

Nhân cả hai vế với eLx và ta có d e Lx y x  z x   0

Một họ các hàm số F  f xác định trên khoảng I được gọi là liên tục đồng bậc trên I nếu mọi   , tồn tại 0     sao cho với 0 x x, 1I,

1

xx  và với mỗi f Fthì f x  f x 1  

Nhận xét

i) Bất kỳ tập con của họ liên tục đồng bậc là liên tục đồng bậc

ii) Mỗi phần tử của họ liên tục đồng bậc là một hàm liên tục

iii) Một họ các hàm khả vi là liên tục đồng bậc tại mọi điểm trên I nếu các đạo hàm của nó bị chặn đều trên I

Bổ đề 1.1

Trên một tập compact B 0 n, lấy f n x , n 1, 2, là một dãy các hàm liên tục đồng bậc và bị chặn đều Khi đó tồn tại một dãy con f n k x 

hội tụ đều trên B 0

Định lý 1.2 (Định lý tồn tại Peano: trường hợp vectơ)

Đặt y x là một hàm khả vi liên tục trên  0 x0, x0,  thỏa mãn 0

Nếu 1 ta có thể sử dụng (1.16) mở rộng y x là một hàm khả vi liên tục cấp 1 trên x0, x02,2 min , 2 sao cho bất đẳng thức (1.17) xảy ra

Tiếp tục quá trình này, ta có hàm y x khả vi liên tục cấp 1 trên

x0, x0 và thỏa mãn (1.17) trên đoạn này Hơn nữa: y' x M

trên x0, x0 và vì thế dãy y x , 0  là một họ các hàm liên tục đồng bậc và bị chặn đều

Áp dụng bổ đề 1.1, suy ra tồn tại một dãy  n và lim    

f x y x hội tụ đều đến f x y x ,    khi

n   Hơn nữa lấy giới hạn hai vế của (1.16) cùng với  n ta có:

Cho f C , n và y x là một nghiệm của (1.4), (1.5) trên đoạn  

x x0, 0a,a  Giả sử có một dãy  x k sao cho x k x0  khi k   a

Giả sử rằng f C , n và y x là một nghiệm của (1.4), (1.5) trên  

Khi đó từ hệ quả 1.3, suy ra tồn tại n  sao cho, nếu 0 x y   , tất 0, 0 n

cả các nghiệm của (1.4), (1.5) tồn tại trên x0xx0n

Bây giờ, chọn một số nguyên 1 đủ lớn mà x0b y x0,  0b0  1 Khi đó nghiệm y x  có thể được mở rộng trên đoạn x0b x0, 0b0n

Tương tự, nếu x0b01,y x 0b01   , nghiệm 1 y x có thể  

được mở rộng hơn trên đoạn

x0 b y x1, 0b1   Khi đó, một lập luận tương tự đưa đến kết luận 2

nghiệm y x có thể được mở rộng trên đoạn   x x0, 0b2, ở đây

2

b b N  , N2 , N2 sao cho 1 x0b y x2,  0b2   2

Tiếp tục quá trình này, đưa đến một dãy các số nguyên 123

và các số thực b0b1b2  Vì vậy y x liên tục trên   x x0, 0 b, ở đây lim n

y x C trên J có thể trừ một tập S- tập hữu hạn các điểm

trên J , ở đây y x có thể có các điểm gián đoạn đơn ' 

Khi đó, với   tồn tại một nghiệm xấp xỉ -0  y x của (1.19) trên  

đoạn x0 xx0 sao cho y x 0  y0

Chia đoạn x x0, 0 thành n phần x0x1x2 x n x0  sao cho max x k x k1 min , M (1.21) Định nghĩa hàm y x trên   x x0, 0 bởi y x 0  y0 và

Vì vậy y x là một nghiệm xấp xỉ -    của (1.19)

Định lý 1.5 (Định lý tồn tại Cauchy – Peano)

Giả sử tất cả các giả thiết của định lý 1.4 xảy ra Khi đó tồn tại một nghiệm y x của (1.19) trên đoạn   x0xx0 sao cho y x 0  y0

Chứng minh:

Xét một dãy đơn điệu giảm  n ,n1, 2, các số thực dương, sao cho 0

n

  khi n   Vì tất cả các điều kiện của định lý 1.4 được thỏa mãn, với

mỗi n  tồn tại một nghiệm xấp xỉ - 0 n y n x của (1.19) trên đoạn

Vì  b M, áp dụng bất đẳng thức (1.24) với xx0 có thể kiểm tra được dãy y n x bị chặn đều bởi  y0  Hơn nữa, theo bổ đề 1.1 tồn tại b

một dãy con y n k x  hội tụ đều đến hàm liên tục y x trên đoạn   x x0, 0 

và thỏa mãn y x y x  M xx

Định nghĩa hàm n x sao cho:

  '    ,   

n x y n x f x y n x

= 0 (trong trường hợp còn lại)

  đều trên x x0, 0  khi

k   Vì vậy thay thế n bởi nk trong đẳng thức (1.25) và cho k   đạt

Chương 2

Phương pháp Runge – Kutta

Phương pháp Runge – Kutta là một trong các phương pháp một bước xấp xỉ nghiệm của bài toán giá trị ban đầu Trong chương này chúng tôi nghiên cứu phương pháp một bước sau đó đưa ra các phương pháp Runge – Kutta bậc 1, 2, 3

2.1 Phương pháp một bước

2.1.1 Phương pháp một bước

Xét bài toán giá trị ban đầu (1.4), (1.5)

Giả thiết hàm f luôn thoả mãn điều kiện của định lý 1.1

Giả sử bài toán (1.4), (1.5) giải được trên đoạn x X0, M

Chia x X0, M bởi các điểm lưới x n x0nh n0,1, , N

ở đó X M x0

h

N



bước hoặc bước lưới (mesh size)

Phương pháp một bước là phương pháp biểu thị y n1 trong các số hạng của giá trị trước y n

Phương pháp một bước được viết dưới dạng:

2.1.2 Sai số toàn cục của phương pháp một bước

Để đánh giá độ chính xác của phương pháp (2.1.1), ta định nghĩa sai số toàn cục  bởi   y x y và sai số địa phương  xác định bởi:

Định lý sau đây cung cấp cho ta một biên trên của sai số toàn cục trong các

số hạng của sai số địa phương

Định lý 2.1

Xét phương pháp một bước (2.1.1), ở đây  là hàm liên tục theo các biến

và thoả mãn điều kiện Lipschitz đối với 2 biến của nó, nghĩa là; tồn tại một

hằng số dương L sao cho, với 0hh0 và với mọi x u và ,  x v trên , 

D x y, :x0x X M, y y0 C

Ta có: x u h, ; x v h, ;  L u v (2.1.3) Giả sử y n y0 C, n1, 2, N

2.1.3 Tính nhất quán của phương pháp một bước

Định lý 2.1 cho thấy nếu sai số địa phương tiến dần đến 0 khi h  thì 0sai số toàn cục cũng hội tụ đến 0 Từ đó ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.1

Phương pháp số (2.1.1) là nhất quán cùng với phương trình vi phân (1.4), nếu sai số cụt được xác định bởi (2.1.2) thoả mãn với   , tồn tại  0một số dương h  sao cho với 0hh  và bất kỳ cặp điểm

 

x y x n, n ,x n1,y x n1  trên D thì n  

Với phương pháp một bước tổng quát (2.1.1) ta giả sử rằng hàm .,.;.

là liên tục, vì y cũng là hàm liên tục trên , x X0, M, và từ (2.1.2) ta suy ra khi 0

Giả sử bài toán giá trị ban đầu (1.4), (1.5) thoả mãn điều kiện của định

lý Picard- Lindelof và xấp xỉ của nó phát sinh từ (2.1.1) khi hh0 nằm trong

miền D Giả sử hàm .,.;. là liên tục trên D0,h0, thoả mãn điều kiện nhất quán (2.1.7) và điều kiện Lipschitz

x u h, ; x v h, ;  L u v trên D0,h0 (2.1.8)

Khi đó, nếu dãy xấp xỉ liên tiếp  y được tạo ra bởi sử dụng các điểm n

lưới x nx0nh n, 1, 2, ,N có được từ (2.1.1) cùng với các giá trị liên tục nhỏ hơn của mỗi hh0 thì ta có sự hội tụ của nghiệm số đến nghiệm của bài toán giá trị ban đầu, nghĩa là: lim n  

Phương pháp một bước (2.1.1) được gọi là có độ chính xác bậc p, nếu p

là số dương lớn nhất sao cho, với bất kỳ đường cong nghiệm trơn x y x,   

trong D của bài toán (1.4), (1.5), tồn tại hằng số K và h sao cho: 0

p

  với 0hh0 và với bất kỳ cặp điểm x y x n,  n ,x n1,y x n1 

trên D

2.2 Phương pháp Runge – Kutta

2.2.1 Phương pháp Runge – Kutta tổng quát

Phương pháp Runge- Kutta tổng quát có dạng:

Với mục đích tìm y x ni ta áp dụng công thức cầu phương với xx n

và T x nj, sử dụng (một tập con của) các điểm x ni,i1, ,s Đạt được:

(chỉ số dưới n có ý nghĩa là mọi hàm có liên quan đều được ước lượng tại

điểm x y ) và biểu thức (2.2.3) trùng nhau tới một số số hạng càng nhiều n, n

càng tốt với hàm f và bước h tuỳ ý

Để thuận tiện hơn ta biểu thị các hệ số của phương pháp Runge – Kutta trong một ma trận (gọi là ma trận Butcher):

Trong đó : vectơ c chỉ ra các vị trí trong mỗi bước của cấp các giá trị

Ma trận A chỉ sự phụ thuộc của các cấp đạo hàm tìm được tại các cấp

khác nhau

Vectơ b T là vectơ trọng số cầu phương

Phương pháp Runge – Kutta là hiển (nghĩa là một xấp xỉ của y n+1 có thể

tìm được bởi ước lượng trực tiếp y n) nếu a ij 0 ji hay A là ma trận tam

giác dưới hoàn toàn Trường hợp còn lại gọi là phương pháp Runge – Kutta

ẩn Đặc biệt nếu a ij 0 j i 1 thì ta gọi là phương pháp ẩn chéo

Trong giới hạn của đề tài này chúng tôi chỉ nghiên cứu các phương pháp Runge – Kutta hiển

Rõ ràng phương pháp Runge – Kutta là phương pháp một bước có dạng

Phương pháp Runge – Kutta đơn giản nhất có dạng:

y n1 y nhf x y n, n

Sai số của phương pháp này là:

h y

Đặt

0 2

2.2.3 Phương pháp Runge – Kutta bậc 2

Phương pháp Runge – Kutta bậc 2 có dạng

(Trong các biểu thức trên chỉ số dưới x và y kí hiệu các đạo hàm riêng và tất

cả các hàm xuất hiện trong vế phải đều được ước lượng tại điểm x y ) n, n

Từ điều kiện nhất quán của phương pháp đưa đến b1b21,c2a21

Khai triển Taylor hàm x y h n, n;  theo các luỹ thừa của h, ta có:

Vì b1b21 nên 1b1b2 f  Để hệ số của số hạng chứa h trong sai số 0

cụt triệt tiêu với mọi hàm f thì: 2 2 1

2

b c 

Do vậy phương pháp có độ chính xác bậc 2 nếu:

1

212

c

b c

Rõ ràng không thể chọn tham số tự do c sao cho phương pháp có độ 2

chính xác bậc 3 với mọi hàm f Điều này được thể hiện qua ví dụ sau:

Xét bài toán: y' y y,  0  1

Nghiệm của bài toán là ye x

Sai số của phương pháp Runge – Kutta bậc 2 là:

  2  3

1

6

n y x h n O h

Như vậy phương pháp có độ chính xác bậc 2

Sau đây là hai ví dụ về phương pháp Runge – Kutta bậc 2

* Phương pháp điểm giữa

2.2.4 Phương pháp Runge – Kutta bậc 3

Phương pháp Runge – Kutta bậc 3 có dạng:

Như vậy phương pháp có 8 tham số: c c a2, ,3 21,a31,a32, , ,b b b Chúng ta sẽ 1 2 3

xác định các tham số này sao cho phương pháp có bậc cao nhất có thể

Để xác định sai số cụt của phương pháp chúng ta khai triển y x n1 thành

chuỗi Taylor đến các số hạng bậc h 3 và khai triển Taylor hàm x y h n, n; 

theo các luỹ thừa của h

2.2.73

1

2.2.76

từ (2.2.7d) Cách làm này sẽ trở lên phức tạp nếu ma trận hệ số trong (2.2.7b)

và (2.2.7c) suy biến nghĩa là nếu c c c2 3 3c2 Giả sử điều này không xảy 0

ra, chúng ta lại có một khó khăn nữa, nếu nghiệm của (2.2.7b) và (2.2.7c) có

kết quả b 3 0 Điều này chỉ xảy ra nếu 2 2

3

c  nó dẫn đến phương trình (2.2.7d) vô nghiệm Có ba trường hợp mà một nghiệm có thể tìm được

3

1 4

Sau đây là hai ví dụ về phương pháp Runge – Kutta bậc 3 là phương pháp Heun bậc 3 và phương pháp Kutta bậc 3

Tuy nhiên phương pháp Runge- Kutta sử dụng 3 cấp k k k1, 2, 3

không đạt được độ chính xác bậc 4 vì hệ số của h3 chứa một số hạng độc lập với 6 tham số c c a2, ,3 32, , ,b b b1 2 3

độ chính xác bậc 2, phương pháp Runge – Kutta sử dụng 3 cấp có 4 điều kiện,

6 tham số, độ chính xác bậc 3 Với phương pháp cấp cao hơn thì việc đánh giá

độ chính xác sẽ gặp khó khăn Vấn đề đặt ra nếu chúng ta sử dụng một

phương pháp có cấp s thì độ chính xác của phương pháp là bao nhiêu? Để giải

quyết vấn đề này, ở chương 3 chúng tôi sẽ trình bày một con đường khác để xây dựng các phương pháp Runge – Kutta bậc cao hơn bằng cách sử dụng

“cây có gốc” (rooted trees), nó đóng vai trò trung tâm trong sự phân tích độ chính xác của các phương pháp Runge – Kutta

Chương 3

Phương pháp Runge – Kutta với cây có gốc

3.1 Giới thiệu về cây có gốc

3.1.1 Khái niệm cây có gốc

Cây có gốc là cặp V E trong đó V là tập hữu hạn “các đỉnh” và E là , 

một tập “các cạnh” Các cạnh gồm các cặp phần tử của V phụ thuộc vào hai điều kiện Điều kiện thứ nhất là mọi phần tử của V, trừ phần tử cho là gốc, tìm thấy đúng một phần tử thứ 2 trong mỗi cặp trong E Đặc biệt đỉnh gốc không

xuất hiện như là phần tử thứ 2 của bất kỳ cặp nào Điều kiện thứ 2, với V E , 

là cây có gốc thì đồ thị được xác định bởi V E,  được liên kết hoặc xác định một thứ tự từng phần

Với một cạnh x y, E , x sẽ là “mẹ” của y và y là “con” của x Do vậy

một đỉnh có thể có 1 hoặc nhiều con, nhưng nếu nó không có con thì nó là lá Tương tự mỗi đỉnh, trừ gốc, có đúng một cây mẹ và gốc không có cây mẹ Mỗi cây được mô tả bởi một sơ đồ có tính chất liên thông, không có chu trình Các đỉnh được biểu diễn như các điểm và các cạnh được biểu diễn bởi các đoạn thẳng có mũi tên nối các cặp điểm và hướng của mũi tên đi từ phần

tử đầu đến phần tử thứ hai của cặp Các sơ đồ được sắp xếp để gốc ở vị trí thấp nhất của hình vẽ

Khái niệm trên được minh họa trong hình (3.1) và hình (3.2) Hình (3.1) mô tả một vài đồ thị là các cây có gốc, hình (3.2) mô tả các đồ thị không

phải là cây có gốc Trong các hình đó, các phần tử của V được chọn là các số

dương

Hình 3.2 Các đồ thị không phải là cây có gốc

Tiếp theo chúng ta cần kí hiệu về cây có gốc

Kí hiệu cây đơn chỉ có một đỉnh là  Xét một cây t sao cho khi gốc được di

chuyển còn lại một số cây rời rạc là t t1, , ,2 t m , ở đó m là số con của gốc t Khi

đó ta viết t t t1 2 t m Khi một vài cây t t1, , ,2 t m bằng với cây khác, để thuận tiện biểu diễn các cây lặp đi lặp lại ta dùng kí hiệu luỹ thừa Ví dụ, t t t t t t 1 1 2 2 2 3

sẽ được viết lại là t t t1 2 32 3 

3.1.2 Hàm trên các cây

Với một cây t, định nghĩa r t là bậc của t, chính là số các đỉnh trong t  

Nghĩa là nếu t được kí hiệu V E thì ,  r t n V  là số phần tử của tập V

A(t) kí hiệu nhóm các tự đẳng cấu trên một kí hiệu cụ thể của t

Nghĩa là, A(t) là tập các ánh xạ :V V sao cho x y, E khi và chỉ khi    x , y E Nhóm A(t) gọi là “nhóm đối xứng” của t, bậc của nó kí

g h i , và nhóm , , S2 tạo bởi hoán vị đơn trong đó b và c hoán vị cho nhau, d

và g hoán vị cho nhau, e và h hoán vị cho nhau, f và i hoán vị cho nhau Do

vậy bậc của nhóm đối xứng là:  t 3!3!2! 72

Tính  t , liên kết các số dương tại các đỉnh như hình vẽ:

4

1

1

1

i k

m i i

Ở đây phần dư R được xác định bởi: n

1 1 0

1

, , , 1

!

n n

tập1, 2, , m và  I là tập tất cả các dãy như thế Hai dãy I và I’ gọi là đồng m

nhất nếu các phần tử của I’ là một hoán vị của các phần tử của I Tính đối xứng của I là bậc của nhóm các hoán vị của các phần tử của 1, 2, , # I chính 

là các ánh xạ đi từ tập các phần tử của I vào chính nó Nghĩa là, nếu I chứa k i

lần xuất hiện của i, với i1, 2, ,m khi đó  I k k1! ! 2 k m!

Với I i i1, , 2 i kI m ta định nghĩa I bởi  i1, i2, ,im Nm

Bây giờ chúng ta đưa ra công thức của biểu diễn Taylor (3.2) khi 

được thay thế bởi

1

m i i

Trong phần này, để thuận tiện chúng ta xét phương trình “autonomous”:

y x'  f y x    (3.4) Tính đạo hàm cấp 2 của (3.4), sử dụng quy tắc dây chuyền:

 

f y x với một lá trong một cây, liên kết f 'y x với một đỉnh cùng với   

một cạnh đơn có hướng ra bên ngoài, và f ''y x   được liên kết với một đỉnh cùng với hai cạnh bên ngoài Trong trường hợp của f và ' f các cạnh ''bên ngoài được nối với các cây con

Vì vậy chúng ta có thể đồng nhất bốn cây điển hình cho các số hạng xuất

hiện trong đạo hàm thứ nhất, thứ hai, thứ ba của y Điều này được minh hoạ trong bảng 3.2 Chú ý rằng f , f ' và f '' tương ứng là viết tắt của f y x   ,

 

'

f y x và f ''y x  

Từ cách xác định trên chúng ta có thể đưa ra định nghĩa về vi phân cơ

bản của hàm y liên hệ cùng với cây có gốc

Định nghĩa 3.1

Cho một cây t và hàm f : N  N , giải tích trong lân cận của y Khi

đó vi phân cơ bản F t  y được định nghĩa bởi:

F   y  f y  (3.5a)

F t t  1, , ,2 t m  f m  y F t  1 y F t,   2 y , ,F t  m y  (3.5b)

Bảng 3.2 Liên hệ giữa các số hạng trong các đạo hàm của y và cây có gốc

Để giải quyết vấn đề về chuỗi Taylor của nghiệm chính xác, trước tiên cần đánh giá các hệ số Taylor bởi việc lặp lại phép lấy đạo hàm như đã minh họa ở phần 3.3, tiếp theo tìm chuỗi Taylor từ dãy lặp Picard

Kết quả chủ yếu sau khi giải quyết phần đầu tiên là một biểu thức với các

đạo hàm đã được viết thông qua kí hiệu cây Toàn bộ phần này, y được giả

thiết là nghiệm của phương trình y x'  f y x    và y khả vi tới cấp bất kỳ

f f’

f

f f’’

f f’

f’

f

Bổ đề 3.2

Cho SS0 s là một tập sắp thứ tự, ở đây mọi phần tử của S nhỏ 0

hơn s Giả sử t là một phần tử của

Với mỗi cây t, một đa thức ứng với hệ số của phương pháp có thể được

biểu diễn, kí hiệu là  t Cụ thể: liên kết với mỗi đỉnh của cây trừ các ngọn các kí hiệu , , i j và giả sử i là kí hiệu được liên kết với gốc Viết xuống một

dãy các hệ số mà phần tử đầu tiên là b Với mỗi cạnh của cây, trừ cạnh kết i

thúc một lá, viết xuống một hệ số là a , ở đây j và k là bắt đầu và kết thúc jk

của một cạnh (giả sử tất cả các phương là chiều chuyển động theo hướng từ gốc) Cuối cùng, với mỗi cạnh kết thúc tại một lá, viết xuống một hệ số là c , j

ở đây j là kí hiệu được liên kết với chỗ bắt đầu của cạnh này Viết xuống dãy

các hệ số này, tổng các tích với mọi cách chọn có thể của các kí hiệu, trong tập 1, 2, , s Chúng ta minh hoạ liên kết này bởi hình vẽ sau: 

Phương pháp được biểu diễn qua bảng sau:

Kí hiệu Y1, Y2, Y3 là kết quả được tính toán tại các cấp và y1 là kết quả được tính toán tại bước cuối cùng Chúng ta cần tìm biểu diễn Taylor cụt với các cấp và đưa ra kết quả cuối cùng Ta cũng dùng định lý 3.2 đánh giá biểu