Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Nguyễn Bắc Cường Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Nguyễn Bắc Cường Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường. 4 1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân thường . . . . . . 4 1.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . 5 1.1.3. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1. Một số khái niệm về “không” bậc . . . . . . . 13 1.2.2. Dãy tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3. Khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Áp dụng khai triển tiệm cận giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Phương trình vi phân thường cấp một . . . . . . . . 24 2.1.1. Tiệm cận tại các điểm chính quy . . . . . . . . . 24 2.1.2. Tiệm cận tại các điểm kì dị. . . . . . . . . . . 26 2.2. Phương trình vi phân thường cấp hai và các lớp biên . . . 31 2.2.1. Khai triển ngoài. . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2. Khai triển trong. . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3. Các điều kiện tương thích . . . . . . . . . . . . 38 i 2.2.4. Khai triển tiệm cận tương thích (Matched asymptotic expan- sions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Phương trình vi phân là một phương trình toán học biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Trước hết, chúng ta xét phương trình vi phân đơn giản dưới dạng y  (x) = dy dx . Trong phương trình trên, nếu y(x) biểu diễn cho vận tốc của một chuyển động thì y  (x) là gia tốc của chuyển động của nó (là đại là đại lượng đặc trưng cho độ biến thiên vận tốc). Sự ra đời của phương trình vi phân cũng xuất phát từ việc xác định giữa một bên là đại lượng biến thiên liên tục, được biểu diễn bằng hàm y(x) và bên còn lại là độ biến thiên của đại lượng đó được biểu diễn qua các mối liên quan với các đạo hàm bậc nhất hoặc các đạo hàm cấp cao hơn. Điều này được thể hiện rõ từ việc nghiên cứu trong cơ học cổ điển qua Định luật Newton về xác định vị trí của một chuyển động dựa vào vận tốc, gia tốc và một số tác động được biểu diễn dưới dạng đạo hàm theo biến thời gian. Đối với các phương trình đại số nghiệm cần tìm thường nhận được là giá trị số cụ thể. Tuy nhiên, đối với phương trình vi phân nghiệm cần tìm là hàm chưa biết của các biến độc lập thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Do 1 tính quan trọng của các vấn đề thực tiễn liên quan đến lĩnh vực này, các nhà Toán học đã xây dựng được một phần lý thuyết khá hoàn chỉnh về phương trình vi phân thường và một lĩnh vực mới còn đang được quan tâm mạnh mẽ về phường trình vi phân đạo hàm riêng. Ngoài những vấn đề mang tính căn bản trên đây, nhiều bài toán thực tiễn liên quan đến lĩnh vực này không được giải quyết đơn thuần như vậy. Theo xu hướng được đặt ra từ thực tế, người ta rất quan tâm đến việc xử lý đối với nghiệm của bài toán thuộc lĩnh vực này trong điều kiện chịu nhiều tác động ảnh hưởng khác. Xử lý các bài toán thuộc dạng này, thường người ta gọi chung một phương pháp “Xử lý nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng tiệm cận”. Giải tích tiệm cận được hình thành từ khá sớm, nó được hình thành từ các công trình tính toán của L. Euler. Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận mới được xây dựng một cách hệ thống bởi T. J. Stieltjes và H. Poincaré. Một trong các hướng nghiên cứu của nó được gọi là lý thuyết chuỗi tiệm cận. Trong đó, người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận. Thường thì các hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Giải tích tiệm cận là một ngành quan trọng của toán học ứng dụng và có nội dung khá rộng. Trong đó phương pháp khai triển tiệm cận đã và đang được nhiều nhà Toán học nghiên cứu, đặc biệt là tính ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán. Với những lý do trên, được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào, 2 tôi chọn đề tài “Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ trong khóa đào tạo thuộc chuyên ngành này. 2. Mục đích nghiên cứu Xử lý nghiệm của phương trình vi phân thường dưới dạng tiệm cận. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp tiệm cận đối với phương trình vi phân thường. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp tiệm cận xử lý nghiệm của phương trình vi phân thường cấp một và cấp hai. 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về phương pháp tiệm cận đối với phương trình vi phân thường. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Tổng quan phương pháp tiệm cận giải phương trình vi phân thường. 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường 1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân thường Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát F  x, y, y  , y  , y (n)  = 0, (1.1) trong đó F là hàm xác định trong một miền nào đó của không gian R n+2 gồm biến độc lập x và y, là hàm của biến độc lập, cùng các đạo hàm cấp một đến cấp n của nó. Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp cao nhất y (n) qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được đối với y (n) hoặc ta còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phương trình (1.1) có dạng y (n) = f  x, y, y  , , y (n−1)  . (1.2) Cấp của một phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình. 4 Ví dụ 1.1. Phương trình vi phân cấp hai y  − 4y  + 5y = e x sin x. 1.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân Nghiệm của phương trình (1.1) là hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng (a, b) nào đó thỏa mãn phương trình đã cho, tức là F  x, y(x), y  (x), , y (n−1) (x)  = 0 với mọi x thuộc (a, b). 1.1.3. Bài toán Cauchy Bài toán tìm nghiệm y = y(x) với biến độc lập x thuộc khoảng (a, b) nào đó, của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện y o = y (x o ) , y  o = y  (x o ) , , y (n−1) o = y (n−1) (x o ) (1.3) được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đầu của bài toán Cauchy. Định lý 1.1. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n dạng chính tắc y (n) = f  x, y, y  , , y (n−1)  với điều kiện đầu (1.3). Giả sử trong hình hộp chữ nhật D : |x − x 0 | ≤ a, |y − y 0 | ≤ b, |y  − y  0 | ≤ b, ,    y (n−1) − y (n−1) 0    ≤ b 5 (a, b là những số dương), hàm f thỏa mãn hai điều kiện 1) f  x, y, y  , , y (n−1)  ≤ M với mọi  x, y, y  , , y (n−1)  ∈ D; 2) hàm số f  x, y, y  , , y (n−1)  thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với y, y  , , y (n−1) nghĩa là, tồn tại hằng số dương L sao cho    f  x, y 2 , y  2 , , y 2 (n−1)  − f  x, y 1 , y  1 , , y 1 (n−1)     ≤ L  |y 2 − y 1 | + |y  2 − y  1 | + +    y (n−1) 2 − y (n−1) 1     , trong đó  x, y 1 , y  1 , , y 1 (n−1)  ,  x, y 2 , y  2 , , y 2 (n−1)  ∈ D. Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.3) cùng với đạo hàm của nó đến cấp xác định n liên tục trong đoạn |x − x 0 | ≤ h, trong đó h = min  a, b.  max  M, |y  | , ,    y (n−1)     −1  . Ta chứng minh định lý đối với trường hợp phương trình vi phân cấp một. Trong trường hợp phương trình vi phân cấp một, phương trình (1.2) trở thành y  = f(x, y) (1.4) và hàm số f(x, y) thỏa mãn trong hình chữ nhật D    x 0 − a ≤ x ≤ x 0 + a y 0 − b ≤ y ≤ y 0 + b thỏa mãn các điều kiện sau 1) Hàm f(x, y) liên tục (do đó |f(x, y)| ≤ M với mọi (x, y) ∈ D). 6 [...]... triển trong ε I2 (ξ) = (1 + ε)e−ξ + ε(ξ − 1) (2.37) c Khai triển tiệm cận phù hợp Có hai phương pháp chính để kết hợp khai triển trong và khai triển ngoài với nhau Cách đầu tiên là lấy tổng của khai triển trong (2.37) và khai triển ngoài (2.31), sau đó trừ đi phần chung giữa chúng có giá trị trong miền trung gian Để nhận được một khai triển tiệm cận phù hợp, ta còn phải tìm phần chung Ta có U0 (ξ) +... (2.19)-(2.20) là kì dị và số hạng ε du là dx một nhiễu kì dị Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận để nghiên cứu bài toán kì dị này, với một bài toán như vậy xuất hiện ít nhất một lớp biên và một khai triển tiệm cận tương ứng phù hợp với nó Chúng ta sẽ xây dựng các khai triển ngoài và khai triển trong có giá trị trong các miền mà ta cũng gọi tương ứng là miền ngoài và miền trong Khi đó... chúng ta tìm được các điều kiện phù hợp để thiết lập một khai triển tiệm cận có giá trị trong toàn miền Chúng ta bắt đầu với vi c xây dựng khai triển ngoài a Khai triển ngoài Dạng nghiệm với khai triển ngoài tìm được có dạng một khai triển chính quy uε (x) = u0 (x) + εu1 (x) + ε2 u2 (x) + (2.24) Tương tự như phương pháp xấp xỉ khai triển tiệm cận của bài toán chính quy (2.5)-(2.6), ta thu được ε0 :... z0 φ0 (z) Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm cận Chẳng hạn, khi z → ∞ thì 1 ∼ z−1 ∞ n=1 1 1 và ∼ zn z−1 ∞ n=1 z+1 z 2n Trong các ví dụ này, các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ Hơn nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận Ví dụ nếu 1 1 1 − π + δ ≤ ph(z) ≤ π − δ; với 0 < δ < π, 2 2 2 1 1 thì hai hàm , + e−z có cùng khai triển tiệm cận z+1 z+1 ∞ n=1 (−1)... khai triển tiệm cận phù hợp là ε ε ε U2 (x) = I2 (ξ) + O2 (x) − phần chung = (1 + ε)e−ξ + ε(ξ − 1) + (x − ε) − ε(ξ − 1) = (1 + ε)e−ξ + x − ε (2.42) ε Vậy U2 (x) là nghiệm chính xác của bài toán (2.19)-(2.20) Phương pháp thứ hai để xây dựng một khai triển tiệm cận từ các khai 30 triển trong và khai triển ngoài là sử dụng một hàm cắt thích hợp để tạo thành một tổ hợp tuyến tính của khai triển trong và. .. x x Dễ dàng chỉ ra chuỗi này có hội tụ khi x > 1 và vì vậy 1 giải tích x−1 khi x > 1 và 1 1 2 2 ∼ 2 + 3 + · · ·; khi x → +∞ x x (x − 1) (Cả hai chuỗi này là khai triển Taylor của các hàm tương ứng.) 21 Chương 2 Áp dụng khai triển tiệm cận giải phương trình vi phân thường Trong chương này ta luôn kí hiệu D là một tập con mở trong không gian Rd ; d ∈ N và f, g, h : D → R là các hàm thực liên tục Chúng... niệm Xét phương trình L0 [u] + εL1 [u] = f0 + εf1 ; trên D (2.1) Khi ε = 0 ta nhận được phương trình L0 [u] = f0 ; trên D (2.2) Phương trình (2.2) được gọi là phương trình liên hợp của phương trình (2.1) Ở đây L0 , L1 là các phương trình vi phân thường đã cho và f0 , f1 là các hàm cho trước Các số hạng εL1 [u] và εf1 được gọi là nhiễu Ta kí hiệu Eε (tương ứng E0 ) là bài toán đối với phương trình (2.1)... dụng phương pháp này, chúng ta không cần phải tìm phần chung và ε vi c chứng minh đơn giản hơn, tuy nhiên U2 (x) không còn thỏa mãn phương trình (2.19) một cách chính xác Thay vào đó, xảy ra một lỗi ε dU2 (x) ε ε ε + U2 (x) − x = χ ε (x) (I2 (ξ)) − O2 (x)ε1−γ ε dx = O ε1−γ (2.46) 2.2 Phương trình vi phân thường cấp hai và các lớp biên Các ví dụ trước đã cho chúng ta một số ý tưởng về phương pháp khai. .. ; khi x → x0 n+1 Tính khả vi của khai triển tiệm cận Trong trường hợp tổng quát, một khai triển tiệm cận không thể lấy đạo hàm từng số hạng Bài toán với tính khả vi liên quan đến tính trội nhỏ Ví dụ, hai hàm − f (x) và g(x) = f (x) + e 1 (x−x0 )2 sin e 1 (x−x0 )2 khác nhau bởi một hàm trội nhỏ và vì vậy chúng ta có cùng chuỗi lũy thừa tiệm cận khi x → x0 Tuy nhiên f (x) và 1 − g (x) = f (x) − 2(x... duy nhất của khai triển tiệm cận nghĩa là an = bn với mọi n, nghĩa là các hệ số của các luỹ thừa của x − x0 trong (1.16) là bằng nhau Các phép toán đại số Giả sử ∞ f (x) ∼ ∞ an φn (x) và g(x) ∼ n=0 thì bn φn (x); khi x → x0 n=0 ∞ αf (x) + βg(x) ∼ (an + bn ) · φn (x); khi x → x0 n=0 với α và β là các hằng số Khai triển tiệm cận cũng có thể nhân và chia miễn là trên một dãy khai triển tiệm cận đủ lớn . phương trình vi phân thường dưới dạng tiệm cận. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp tiệm cận đối với phương trình vi phân thường. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp tiệm. chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Khai triển tiệm cận và áp dụng trong vi c giải phương trình vi phân thường được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu. Khai triển tiệm cận và áp dụng trong vi c giải phương trình vi phân thường để hoàn thành luận văn Thạc sĩ trong khóa đào tạo thuộc chuyên ngành này. 2. Mục đích nghiên cứu Xử lý nghiệm của phương