Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier

Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức về giải tích tiệm cận . . . . . . . 4 1.1. Một số khái niệm về bậc . 4 1.1.1. Lời dẫn . . 4 1.1.2. Các khái niệm về “không” bậc. . 6 1.1.3. Chú ý . . . 8 1.1.4. Một số ví dụ về bậc. . 8 1.1.5. Nhận xét . 9 1.2. Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận . 9 1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận . . 9 1.2.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận . 10 1.2.3. Ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân 11 1.2.4. Một số tính chất của khai triển tiệm cận . 14 1.3. Hàm Gamma 18 Chương 2. Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Phương pháp tích phân từng phần 22 2.2. Dạng tương tự của Bổ đề Watson . . 25 2.3. Phương pháp pha dừng . 27 2.3.1. Ý tưởng của phương pháp . 27 i 2.3.2. Phương pháp pha dừng. . 29 2.3.3. Một số ví dụ . . 31 2.4. Áp dụng của phương pháp pha dừng . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Khi giải quyết nhiều vấn đề trong lĩnh vực Vật lý dẫn đến giải một số các phương trình Toán học mà nghiệm của nó được biểu diễn dưới dạng các tích phân. Có khá nhiều tích phân như vậy được gắn với những hàm đặc biệt như hàm Bessel, các hàm siêu hình học, Ngoài ra, cũng phải kể đến một công cụ rất quan trọng để giải quyết các bài toán về phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là các phép biến đổi tích phân. Chẳng hạn, nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình Sch¨ordinger iΦ t + Φ xx = 0 được cho bởi công thức Φ(x, t) = 1 2π +∞  −∞  Φ 0 (k)e ikx−ik 2 t dk; ở đó  Φ 0 (k) là biến đổi Fourier của dữ kiện đầu Φ(x, 0). Mặc dù các tích phân như vậy cho ta nghiệm chính xác của bài toán, nhưng về mặt định lượng của chúng là không hẳn được rõ ràng. Để giải thích được ý nghĩa cơ bản về phía cạnh Vật lý, cũng như về mặt Toán học đối với những nghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dạng điệu của chúng khi các biến x và t khá lớn. Thông thường, như đối với các bài toán về chuyển động sóng lớn, quá trình giới hạn thường được quan tâm đến 1 là khi t → ∞ mà c = x t vẫn được giữ cố định. Như trường hợp của phương trình trên, người ta cần nghiên cứu phương trình Φ(x, t) = +∞  −∞  Φ 0 (k)e itφ(k) dk; t → ∞, ở đó φ(k) = kc − k 2 . Một trong những phương pháp xử lý các bài toán thuộc lĩnh vực này phải kể đến đó là lý thuyết xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân. Mang tính trực giác, người ta có thể thấy ngay trong việc xử lý các dạng nghiệm này là dùng phương pháp tích phân từng phần. Tuy nhiên, từ sự hạn chế nhất định của phương pháp này, các nhà toán học đã tìm ra một số phương pháp để khắc phục các nhược điểm của phương pháp trên. Một trong những phương pháp đó chúng ta phải kể đến phương pháp pha dừng trong việc xử lý các tích phân dạng này. Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình Thạc sỹ khoa học Toán học chuyên ngành toán Giải tích, tôi chọn đề tài: "Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier." Luận văn được cấu trúc thành hai chương. Chương một được giành để đưa ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết giải tích tiệm cận. Trong chương hai của luận văn, tôi trình bày phương pháp pha dừng ước lượng xấp xỉ tích phân loại Fourier và ứng dụng của phương pháp đó. 2 2. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày một cách hệ thống về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận. Trên cơ sở đó, chúng tôi giới thiệu phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loại Fourier - Phương pháp pha dừng. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 4. Dự kiến đóng góp của đề tài Hệ thống hóa chi tiết môt số kiến thức căn bản về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận. Trình bày phương pháp pha dừng trong việc sử lý xấp xỉ tích phân loại Fourier. Để minh họa cho ý nghĩa của vấn đề được trình bày trong luận văn, chúng tôi giới thiệu ứng dụng của nó để giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý – Toán. 3 Chương 1 Một số kiến thức về giải tích tiệm cận Giải tích tiệm cận được hình thành khởi nguồn từ một số các công trình tính toán của L. Euler. Đến năm 1986, lý thuyết tiệm cận mới được xây dựng một cách hệ thống bởi Stieltjes và Poincaré. Ở đây người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận. Thông thường các hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày với mức độ cần thiết và căn bản nhất về lý thuyết tiệm cận. 1.1. Một số khái niệm về bậc 1.1.1. Lời dẫn Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng lần đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B. Reymond. Trước khi giới thiệu các khái niệm này, chúng ta xét đến một bài toán trong thực tế. Tính giá trị của tích phân I(ε) = ∞  0 e −t 1 + εt dt; với ε > 0 đủ nhỏ. Như đã trình bày trong phần mở đầu, chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp xấp xỉ của tích phân I(ε) bằng phương pháp dễ tiếp cận 4 nhất (phương pháp tích phân từng phần). Tích phân từng phần lần thứ nhất ta thu được I(ε) = 1 − ε ∞  0 e −t (1 + εt) 2 dt. Lặp lại quá trình này N lần ta được I(ε) = 1 − ε + 2!ε 2 − 3!ε 3 + + (−1) N N!ε N +(−1) N+1 (N + 1)!ε N+1 ∞  0 e t (1 + εt) N+2 dt (1.1) Vế phải của phương trình này được gọi là một khai triển tiệm cận của I(ε) tới số hạng N+1. Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều so với số hạng thứ N . Khẳng định này đúng với tất cả các chỉ số n = 0, 1, 2, , N −1. Để thấy điều đó, ta hãy xét với n = N. Bởi vì ε là số dương đủ nhỏ, nên 1 + εt ≥ 1 và ta có đánh giá ∞  0 e −t (1 + εt) N+2 dt ≤ ∞  0 e −t dt = 1. Từ điều này suy ra rằng       (−1) N+1 (N + 1)!ε N+1 ∞  0 e −t (1 + εt) N+2 dt       ≤    (−1) N+1 (N + 1)!ε N+1    . Điều quan trọng là sự nhận thấy rằng chuỗi khai triển trong công thức (1.1) không hội tụ. Điều đó, có thể thấy ngay rằng khi ε cố định thì số hạng (−1) N+1 N!ε N → ∞; khi N → ∞. Thế nhưng, với N cố định thì 5 (−1) N+1 N!ε N → 0; khi ε → 0. Đây là nguyên nhân cho thấy rằng khai triển trên là một xấp xỉ tốt đối với tích phân I(ε) khi ε → 0. Một cách tự nhiên xuất phát từ sự nhận xét có tính trực giác trên đây, phương trình (1.1) đưa đến việc giới thiệu một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết Giải tích tiệm cận. Giả sử ε là số dương nhỏ tùy ý, các nhà Toán học giới thiệu một số thuật ngữ. Trước hết, ta hình dung các khái niệm này một cách đơn giản mang tính trực giác như sau (i) −ε có cùng bậc với ε và 4!ε 4 có cùng bậc với ε 4 . Các phát biểu này được ký hiệu tương ứng bởi −ε = O(ε) và 4!ε 4 = O(ε 4 ); (ii) 2!ε 2 là có bậc nhỏ hơn ε, nó được ký hiệu bởi 2!ε 2 = o(ε) hoặc 2!ε 2  ε; (iii) Nếu so sánh I(ε) với I(ε) = 1 −ε +2!ε 2 , thì xấp xỉ này có độ chính xác đến bậc ε 2 . Các ký hiệu O - "không bậc lớn", o - "không bậc nhỏ" và ∼ - "bậc tương đương" được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B. Reymond. Tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu chính xác hóa các khái niệm đã nói trên đây. 1.1.2. Các khái niệm về “không” bậc. Cho f(z) và g(z) là hai hàm số xác định trên một tập D trong mặt phẳng phức C và z 0 là một điểm giới hạn của D (có thể là điểm vô cùng). Ta nói (i) Bậc O. Hàm f(z) được gọi là "bậc O lớn" đối với hàm g(z) khi z → z 0 (hoặc f (z) có cùng bậc đối với hàm g(z) khi z → z 0 ) và ký hiệu 6 là f(z) = O (g(z)) ; khi z → z 0 , nếu tồn tại một hằng số dương M và một lân cận U của z 0 sao cho |f(z)| ≤ M |g(z)|; với mọi z ∈ U ∩ D. Đơn giản hơn, nếu hàm g(z) không triệt tiêu trên D, thì f(z) = O (g(z)) ; khi z → z 0 Nghĩa là tồn tại hằng số dương M và một lân cận U của z 0 sao cho     f(z) g(z)     ≤ M; với mọi z ∈ U ∩D. Trong trường hợp đặc biệt, hàm f(z) = O(1); khi z → z 0 . Điều đó, có nghĩa là hàm f(z) bị chặn khi z → z 0 . Trong các khái niệm trên, hàm g(z) thường được gọi là “hàm cỡ” bởi vì hàm đó xác định dáng điệu của hàm f(z) khi z → z 0 . (ii) Bậc o. Hàm f(z) được gọi là có “bậc o nhỏ” đối với hàm g(z) khi z → z 0 (hoặc f(z) là tiệm cận nhỏ hơn đối với hàm g(z) khi z → z 0 ) và ký hiệu là f(z) = o (g(z)) ; khi z → z 0 , nếu với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại một lân cận U của z 0 sao cho |f(z)| ≤ ε |g(z)|; với mọi z ∈ U ∩ D. 7 Cũng đơn giản hơn, nếu g(z) không triệt tiêu trong lân cận của z 0 có thể trừ ra tại điểm này, thì f(z) = o (g(z)) nghĩa là lim z→z 0     f (z) g (z)     = 0 (iii) Bậc ∼. Ta nói f(z) có bậc tương đương với hàm g(z) khi z → z 0 và ký hiệu là f (z) ∼ g(z) khi z → z 0 nếu lim z→z 0     f(z) g(z)     = 1, hay f(z) = g(z) + o (g(z)) ; khi z → z 0 . 1.1.3. Chú ý Khái niệm O - bậc cho ta nhiều thông tin hơn o - bậc đối với các hàm liên quan trong quá trình z → z 0 . Chẳng hạn sin z = z + o(z 2 ); khi z → z 0 cho ta biết sin z − z tiến tới nhanh hơn z 2 . Tuy nhiên sin z = z + O(z 3 ); khi z → z 0 cho ta biết rằng sin z − z tiến tới gần như z 3 khi z → z 0 . 1.1.4. Một số ví dụ về bậc. Đối với hàm số f(t) = 5t 2 + t + 3, ta có các so sánh về bậc trong một số quá trình dưới đây f(t) = o(t), f(t) = O(t 2 ), f(t) ∼ 5t 2 , f(t) = o  1 t  ; khi t → ∞ 8 [...]... 2 Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier Đối với phương pháp pha dừng, người ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các tích phân có dạng b f (t)eikφ(t) dt; khi x → ∞, I(k) = (2.1) a ở đó φ(t) và f (t) là các hàm một biến thực liên tục Điều đó không làm giảm tính tổng quát đối với trường hợp f (t) là hàm biến phức Bởi vì khi tách riêng phần thực và phần ảo của nó, thì tích phân. .. thành tổng của hai tích phân có dạng (2.1) Một trường hợp đặc biệt của các tích phân như vậy khi φ(t) = t là biến đổi Fourier được xác định bởi b f (t)eikt dt I(k) = (2.2) a cũng vì lý do đó mà người ta gọi các tích phân như vậy là tích phân loại Fourier 2.1 Phương pháp tích phân từng phần Mục đích chính của luận văn là trình bày việc xấp xỉ tích phân (2.1) bằng phương pháp pha dừng Tuy nhiên, để... ikµt I(k) ∼ t e iπ 1 γ+1 dt = ( ) Γ(γ + 1)e 2 (γ+1)µ ; k → ∞, k 0 ở đó, ta sử dụng phương trình (2.5) với p = 1, v = kµ 2.3 Phương pháp pha dừng 2.3.1 Ý tưởng của phương pháp Xét tích phân b f (t)eikφ(t) dt I(k) = a 27 Việc phân tích để tìm ra khai triển tiệm cận của tích phân loại Fourier cũng gần giống như phương pháp Laplace Giả thiết rằng f là hàm liên tục, φ là hàm khả vi hai lần và φ triệt tiêu... Lưu ý rằng phương trình (1.2) là một biểu diễn chính xác Khi k → ∞ dãy hàm 1 1! 2! , , , k k2 k3 chính là dãy tiệm cận và phương trình (1.2) cho ta một khai triển tiệm cận của I(k) với k nhận giá trị lớn Một lần nữa nhắc lại rằng, khai triển tiệm cận trê không hội tụ khi N → ∞ và k cố định chuỗi không hội tụ, nhưng khi k → ∞ và N cố định RN → 0 Ví dụ 1.2.Tìm khai triển tiệm cận của tích phân I(k) =... không hội tụ Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm cận Chẳng hạn, khi k → ∞ thì ∞ 1 ∞ k+1 1 1 ∼ và ∼ k − 1 n=1 k n k − 1 n=1 k 2n Trong các ví dụ này, các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ Hơn nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận Ví dụ nếu 1 1 1 − π + δ ≤ ph(k) ≤ π − δ; với 0 ≤ δ ≥ π 2 2 2 1 1 hai hàm , + e−k có cùng khai triển tiệm cận k+1 k+1 (−1)n−1 ; khi... tính các tích phân sau đây ∞ tγ exp(iµt)dt; trong đó γ, µ là số thực và γ > −1 0 Những tích phân dạng trên thường xuất hiện trong mối liên hệ với việc xác định dáng điệu tiệm cận của các tích phân loại Fourier Phương pháp xử lý tích phân này được minh họa qua ví dụ cụ thể dưới đây Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng ∞ tγ−1 eit dt = e I= γπi 2 Γ(γ); (2.4) 0 với γ là số thực mà 0 < γ < 1 Kỹ thuật tính tích phân dạng... 1.2 Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận 1.2.1 Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận Một dãy hàm {φn (k)} được gọi là một dãy tiệm cận khi k → k0 nếu có một lân cận của k0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt tiêu (ngoại trừ tại k0 ) và với mọi n ta có φn+1 = o(φn ); khi k → k0 Chẳng hạn, nếu k0 hữu hạn thì {(k − k0 )n } là một dãy tiệm cận khi k → k0 , còn {k −n } là một dãy tiệm cận khi... hết chúng tôi giới thiệu phương pháp đơn giản nhất để xấp xỉ tích phân Fourier Như đã giới thiệu, việc xấp xỉ các tích phân người ta thường nghĩ đến trước hết là phương pháp tích phân từng phần Thế nhưng phương pháp này thường không thực sự hiệu quả mà nó chỉ thực hiện được trong một số trường hợp nào đó Để tiếp cận vấn đề chính, chúng tôi giới thiệu cách xử lý này đối với các tích β φ(t)eitx dt Ở đây,... này đối với các tích β φ(t)eitx dt Ở đây, ta luôn giả sử (α, β) là một khoảng số phân loại α thực và thường là khoảng số thực hữu hạn và φ(t) là hàm khả tích để tích phân (2.2) tồn tại với mọi số thực x Chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của tích phân (2.2) khi x → +∞ bằng phương pháp tích phân từng phần Xét tích phân b f (t)eikt dt I(k) = a Giả sử hàm f (t) có đạo hàm liên tục đến cấp N +1 và... dụng của phương pháp pha dừng Trong phần này chúng ta sử dụng phương pháp pha dừng để ước lượng một số tích phân xuất hiện từ việc đánh giá các nghiệm của một số bài toán về phương trình vi phân đạo hàm riêng được quan tâm Đây là những bài toán xuất hiện từ việc nghiên cứu các vấn đề thực tiễn trong Vật lý Chúng ta sẽ nghiên cứu ứng dụng của phương pháp này để giải bài toán Sch¨rdinger o Phương trình . Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận . 9 1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận . . 9 1.2.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận . 10 1.2.3. Ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân. tích phân 11 1.2.4. Một số tính chất của khai triển tiệm cận . 14 1.3. Hàm Gamma 18 Chương 2. Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . thống về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận. Trên cơ sở đó, chúng tôi giới thiệu phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loại Fourier - Phương pháp pha dừng. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách nghiên