Trong phần này chúng ta sử dụng phương pháp pha dừng để ước lượng một số tích phân xuất hiện từ việc đánh giá các nghiệm của một số bài toán về phương trình vi phân đạo hàm riêng được quan tâm. Đây là những bài toán xuất hiện từ việc nghiên cứu các vấn đề thực tiễn trong Vật lý. Chúng ta sẽ nghiên cứu ứng dụng của phương pháp này để giải bài toán Sch¨ordinger.
Phương trình Sch¨ordinger
Bài toán Sch¨odinger dạng “tự do” là bài toán đề cập việc giải phương trình
iΦt(x, t) + Φxx(x, t) = 0; (2.19)
trong đó −∞ < x < ∞, t > 0 và
Φ(x, t) →0; khi |x| → ∞
Φ(x,0) = Φ0(x) thoả mãn
∞
R
−∞
|Φ0|2dx < ∞.
Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng Sch¨odinger phụ thuộc thời gian với thế vị không, nó xuất hiện trong nhiều vấn đề giải quyết các bài toán Vật lý. Hai lĩnh vực điển hình phải kể đến như trong nghiên cứu về cơ học lượng tử hoặc trong việc nghiên cứu về phương trình truyền sóng tuyến tính trong quang học vật liệu.
Sử dụng biến đổi Fourier theo biến x, tức là
Φ(x, t) = 1 2π +∞ Z −∞ b(k, t)eikxdk, (2.20)
và thế tích phân này thành phương trình (2.19). Giả sử rằng, việc hoán đổi phép lấy đạo hàm và phép tính tích phân có thể thực hiện, ta được phương trình vi phân thường
bt = −ik2b hoặc b(k, t) =b(k,0)e−ik2t
Khi đó, ta tìm được hàm Φ được cho bởi phương trình
Φ(x, t) = 1 2π +∞ Z −∞ ˆ Φ0(k)eikx−ik2tdk, (2.21) trong đó b(k,0) thay cho Φˆ0(k). Ta hãy xét dáng điệu của hàm Φ(x, t)
khi t lớn, nhưng x t vẫn cố định. Từ phương trình (2.21) suy ra rằng Φ(x, t) = 1 2π Z b0(k)eitφ(k)dk,
trong đó ta viết b0(k) = b(k,0) và suy ra rằng
φ(k) =kx
t −k2, φ0(k) = x
Sử dụng phương pháp dừng pha, ta thây rằng hàm φ(k) có một điểm dừng k0 = x
2t. Từ đó, ta thấy rằng dáng điệu của tích phân trên khi t → ∞ được cho bởi công thức
Φ(x, t) ∼eit(2xt)2 b0(x 2t) r π te −iπ 4 . (2.23) Từ công thức Φ(x, t) = 1 2π +∞ Z −∞ b0(k)eik(x−kt)dk,
ta thấy rằng nghiệm của phương trình này được xem như là sự chồng nhau của một dãy vô hạn sóng có vận tốc pha k. Các sóng khác nhau có vận tốc khác nhau, điều này dẫn đến sự phân rã giao thoa và cho thấy rằng nghiệm này phân rã khi t → ∞. Thực vậy, phương trình (2.23) cho thấy biên độ phân rã là t−21, nó là sự phân rã điển hình trong các bài toán phân tán tuyến tính một chiều.
Phương trình (2.23) chỉ ra rằng vận tốc truyền sóng không phải là vận tốc pha k, nhưng thực tế nó chi phối kết quả tiệm cận. Cụ thể, với bài toán này φ0(k) = 0 suy ra x = 2kt. Ở đây vận tốc này là 2k. Nói chung, đại lượng cg = x
t được gọi là vận tốc nhóm.
Không quá khó khăn, ta có thể khái quát các khái niệm trên đây tới bất kỳ phương trình phân tán tuyến tính
Φ(x, t) = +∞ Z −∞ ˆ Φ0(k)eitφ(k)dk;
khi t → ∞, với φ(k) = kc−k2 được thay thế bởi phương trình
Φ(x, t) = +∞ Z −∞ ˆ Φ0(k)ei(kx−w(k)t)dk, (2.24)
trong đó w(k) là một hàm thực của biến k, được gọi là mối quan hệ phân tán. Vận tốc pha cho bởi cp(k) = w
k. Chú ý rằng nếu cp(k) là hằng
số c0 thì nghiệm tại bất kỳ thời điểm t > 0 chỉ đơn giản là hàm ban đầu được tịnh tiến bởi c0t
Φ(x, t) = +∞ Z −∞ ˆ Φ0(k)ei(kx−c0t)dk = Φ(x−c0t)
Phương trình tuyến tính trong không gian một chiều phụ thuộc biến thời gian được gọi là phân tán nếu w(k) là hàm thực và d
2w
dk2 6= 0. Vận tốc nhóm được cho bởi cg(k) = dw
dk tương ứng với các điểm dừng
Φ(x, t) = +∞ Z −∞ ˆ Φ0(k)eitφ(k)dk, φ(k) = kx t −w φ0(k) = x t − dw dk = x t −cg(k) = 0
Trong bài toán Sch¨ordinger hàm biểu diễn mối quan hệ phân tán được cho bởi công thức w(k) = k2.Do đó, vận tốc pha và vận tốc nhóm tương ứng được cho bởi cp = k, cg = 2k. Mặt khác, trong trường hợp mối quan hệ phân tán w(k) = c0k là hằng số thì vận tốc pha cp = w
k = c0 cũng
Kết luận
Luận văn đã giải quyết các vấn đề sau
1. Trình bày hệ thống một số vấn đề cơ bản về lý thuyết giải tích tiệm cận.
2. Mục đích chính của luận văn là làm rõ được ý tưởng của phương pháp pha dừng. Từ đó đưa ra phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loại Fourier trong trường hợp cụ thể.
3. Trình bày ứng dụng của phương pháp pha dừng đối với bài toán Sch¨ordinger trong Vật lý.
Tài liệu tham khảo
[1] M. J. Ablowitz and A. S. Fokas (2003), Complex Variable Intro-
duction and Applications, Second edition, Cambrigde University
Press.
[2] I. Avramidi (2000), Lecture notes in mathematical physics, New Mexico Institute of Mining and Technology.
[3] E. T. Copson (1965), Asymptotic Expansions, Cambridge at the university press.
[4] A. Erdélyi (1956), Asymptotic Expansions, Dover publications, Inc. New York.
[5] F.W.J. Olver (1974),Asymptotis and special funcitions, Academic press, Inc.
[6] H. Poincaré (1886), Asymptotic Expansions, Acta Math. 8, 295 - 344