Phương pháp Laplace trong khai triển tiệm cận của tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ MẠNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ MẠNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 604601 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội-2011 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán toàn thể anh chị em học viên khóa 13 chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, động viên giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt suốt trình thực đề tài nghiên cứu khoa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào định hướng chọn đề tài tận tình bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn Do thời gian kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi hạn chế có thiếu sót định Em xin chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn học viên Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Lê Mạnh Hùng Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN" hoàn thành nhận thức thân tác giả, không trùng với Luận văn khác Trong trình nghiên cứu thực Luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Lê Mạnh Hùng Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích phức 1.1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.2 Các tập hợp mặt phẳng phức 1.1.3 Hàm chỉnh hình 10 1.1.4 Chuỗi lũy thừa 12 1.1.5 Tích phân phức 15 1.2 Khai triển tiệm cận 23 1.2.1 Một số khái niệm bậc 23 1.2.2 Dãy tiệm cận 26 1.2.3 Định nghĩa Poincarés khai triển tiệm cận 26 1.2.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 28 1.2.5 Tính chất khai triển tiệm cận 35 Chương Phương pháp tích phân phần 2.1 Tích phân Euler 40 40 2.1.1 Tích phân Euler loại 40 2.1.2 Tích phân Euler loại 43 2.2 Hàm Gamma không hoàn chỉnh 47 2.3 Tích phân Fresnel tính chất 49 2.4 Bài toán Stieltjes 50 Chương Phương pháp Laplace 3.1 Ý tưởng phương pháp Laplace 53 53 3.2 Chứng minh xấp xỉ Laplace 57 3.3 Một số áp dụng xấp xỉ Laplace 60 3.4 Mở rộng phương pháp xấp xỉ Laplace 62 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong thực tế thường xảy rằng, chuỗi phân kỳ sử dụng cho tính toán giá trị số đại lượng mà theo nghĩa xem “tổng” chuỗi Trường hợp điển hình chuỗi hàm, xấp xỉ số số hạng chuỗi thực đem lại hiệu mong muốn Trong hầu hết trường hợp số hạng chuỗi giảm nhanh (khi biến số độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn nó), số hạng sau bắt đầu tăng trở lại Các chuỗi gọi chuỗi bán hội tụ, việc tính toán giá trị số thường thực số số hạng đầu chuỗi Giải tích tiệm cận hình thành từ sớm, hình thành từ công trình tính toán L Euler Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận xây dựng cách hệ thống T J Stieltjes H Poincaré Một hướng nghiên cứu gọi lý thuyết chuỗi tiệm cận Trong đó, người ta nghiên cứu chuỗi mà biểu diễn dãy hàm tiệm cận Thường dãy hàm biểu diễn dạng tích phân, chuỗi lũy thừa dạng nghiệm phương trình vi phân Có số phương pháp để nghiên cứu tiệm cận tích phân phương pháp tích phân phần, phương pháp điểm yên ngựa, phương pháp dừng pha, Để tiếp cận với lý thuyết này, định hướng người hướng dẫn em chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN” để hoàn thành Luận văn khóa đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích Bố cục luận văn trình bày 03 chương Chương Chúng trình bày số kiến thức lý thuyết hàm số biến số phức lý thuyết tiệm cận Chương Một phương pháp đơn giản để thu xấp xỉ tiệm cận tích phân phương pháp tích phân phần Để hình dung cách đơn giản nhất, chương luận văn minh họa phương pháp ví dụ cụ thể để thu xấp xỉ tiệm cận tích phân: tích phân Euler loại loại hai; hàm Gamma không hoàn chỉnh; tích phân Fresnel tính chất; toán Stieltjes Chương Đây phần luận văn, trình bày ý tưởng phương pháp Laplace việc xấp xỉ tiệm cận tích phân có dạng β φ(x)evh(x) dx α Tuy nhiên, việc đưa chứng minh hoàn chỉnh phương pháp Laplace theo đường gợi ý phức tạp Trong phần này, giới thiệu phép chứng minh G Pólya G Szego với điều kiện đủ tổng quát cho nhiều áp dụng Cuối cùng, trình bày kết mở rộng phương pháp Laplace tích phân chứa tham số dạng β φ(x, υ).eh(x,υ) dx α Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu lý thuyết tiệm cận phương pháp Laplace xấp xỉ tiệm cận tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp Laplace tiệm cận tích phân trường hợp chiều Ngoài ra, mở rộng thêm cho trường hợp tích phân tham số Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Hệ thống hóa kiến thức lý thuyết xấp xỉ tiệm cận; Trình bày phương pháp tích phân phần xấp xỉ số tích phân đặc biệt tích phân Euler, tích phân Fresnel, toán Stieltjes, ; Đưa chứng minh đầy đủ phương pháp Laplace xấp xỉ tích phân với giả thiết đáp ứng yêu cầu áp dụng thực tiễn −1 thay với η đủ nhỏ Điều dẫn đến − h (α) xấp xỉ Laplace f (v) ∼ τ φ(α)evh(α) {−2h (α)} e−vt dt Nhưng cách tương tự ta nhận f (v) ∼ ∞ φ(α)evh(α) {−2h (α)} e−vt dt tích phân cuối phần trội đạt lân cận t = tích phân đạt giá trị lớn Do f (v) ∼ φ(α)evh(α) −π 2vh (α) φ(α) = (3.3) Thế φ(α) = f (v) = o evh(α) √ v ; bậc phụ thuộc vào dáng điệu hàm φ(x) x = α Tương tự ta có công thức thay α β, với giá trị lớn đạt x = β Kết luận sử dụng n − đạo hàm h(x) triệt tiêu x = α đạo hàm cấp n không âm đó, phép đổi biến tương ứng sử dụng h(x) = h(α) − tn Bởi việc chứng minh xấp xỉ Laplace theo đường gới ý khó khăn, nên trình bày chứng minh khác với 56 số ràng buộc chặt hiệu dụng rộng vấn đề thực tiễn Cơ sở chủ yếu dựa phương pháp chứng minh G Pólya G Szego [8] điều kiện đủ tổng quát cho nhiều áp dụng Việc chứng minh với điều kiện tối thiểu, tham khảo D V Widder [10] 3.2 Chứng minh xấp xỉ Laplace Định lý 3.1 Cho φ(x) h(x) hai hàm số thực liên tục xác định khoảng hữu hạn vô hạn α ≤ x ≤ β thỏa mãn điều kiện (i) φ(x)evh(x) khả tích tuyệt đối khoảng xác định với số dương v; (ii) h(x) có điểm cực đại đơn khoảng x = α supremum h(x) khoảng đóng tùy ý không chứa α nhỏ h(α); (iii) h (x) liên tục h (α) = 0, h (α) < Khi đó, ta có β φ(x)evh(x) dx ∼ φ(α)evh(α) −π 2vh (α) v → +∞ α Chứng minh Với điều kiện phát biểu ấn định tùy ý số dương ε chọn số dương nhỏ β − α cho φ(α) − ε ≤ φ(x) ≤ φ(α) + ε, h (α) − ε ≤ h (x) ≤ h (α) + ε < 0, 57 với α ≤ x ≤ α + δ Từ đó, khoảng ta có h(x) = h(α) + (x − α)2 h (ξ) 1 với α < ξ < α+δ, h(x)−h(α) nằm − B(x − α)2 − A(x − α)2 , 2 A B số dương A = −h (α) − ε, B = −h (α) + ε α+δ φ(x)evh(x) dx nằm Do đó, tích phân α α+δ e− vB(x−α) dx {φ(α) − ε} evh(α) α α+δ e− vA(x−α) dx {φ(α) + ε} evh(α) α Thế từ ∞ α+δ e− vA(x−α) dx = α ∞ e− vAu du = e− vAu du − δ π 2vA 1 + O e− vAδ v đủ lớn, nên suy α+δ vh(x) φ(x)e vh(α) π 2vA vh(α) π 2vB dx ≤ {φ(α) + ε} e 2 + O(e− vAδ ) α Tương tự, ta có α+δ vh(x) φ(x)e dx ≥ {φ(α) − ε} e α 58 + O(e− vBδ ) Với phần lại khoảng, từ (ii) ta có β β |φ(x)| eh(x) e(v−1)M dx φ(x)evh(x) dx ≤ α+δ α+δ với M = sup h(x) < h(α) α+δ≤x≤β Vì từ (i) ta nhận β β |φ(x)| eh(x) dx = Ke(v−1)M φ(x)evh(x) dx ≤ e(v−1)M α α+δ Bây có π {φ(α) − ε} 2B β ≤ − vBδ + O(e √ K v v{M −h(α)} ) − M e e √ φ(x)evh(x) dx ve−vh(α) α π ≤ {φ(α) + ε} 2A Cho v → +∞, ta −π 2h (α) − 2ε {φ(α) − ε} − vAδ + O(e √ K v v{M −h(α)} ) + M e e β vh(x) ≤ lim φ(x)e v→∞ √ dx ve−vh(α) α −π ≤ {φ(α) + ε} 2h (α) + 2ε Nhưng ε nhỏ tùy ý, điều kéo theo β √ φ(x)evh(x) dx ve−vh(α) lim v→∞ α 59 −π = φ(α) 2h (α) , có nghĩa β φ(x)evh(x) dx ∼ φ(α)evh(α) −π 2vh (α) α Đó điều phải chứng minh Ta nhận kết φ(α) = Một dạng tương tự xấp xỉ nhận cách đặt eh(x) = f (x); nghĩa là, f (x) đạt cực đại x = α với f (α) = 0, f (α) < 0, β φ(x){f (x)}v dx ∼ φ(α){f (α)}v+ −π 2vf (α) α v → ∞ 3.3 Một số áp dụng xấp xỉ Laplace Một ví dụ đơn giản xấp xỉ Laplace đưa hàm Bessel In (t) tích phân bậc n, với tích phân cho π In (t) = π et cos θ cos nθdθ; φ(θ) = cos nθ h(θ) = cos θ hàm giảm thực đạt cực đại θ = Bởi h(0) = 1, h (0) = 0, h (0) = −1, ta suy In (t) ∼ et (2πt) t → +∞ Xét ví dụ tương tự dạng trên, xét tích phân Laplace cho đa thức Legendre Pn (µ), nghĩa π Pn (µ) = π µ + (µ − 60 1) cosθ n dθ với µ > bậc hai dương Ở φ(θ) = f (θ) = µ + (µ2 − 1) cosθ Từ f (θ) đạt giá trị lớn θ = với f (θ) = 0, f (θ) = −(µ2 − 1) , nhận Pn (µ) ∼ µ + (µ2 − (2πn) (µ2 − 1) n+ 1) n → ∞ Ví dụ cuối cùng, xét hàm Gamma định nghĩa tích phân Euler ∞ e−u uv du Γ(v + 1) = tìm xấp xỉ tiệm cận v dương đủ lớn Từ u cực đại, đặt u = vt, nhận ∞ Γ(v + 1) = v v+1 ev(−t+log t) dt Tích phân dạng mà ta muốn có với h(t) = −t + log t, có cực đại đơn t = 1, với h (1) = 0, h (1) = −1 Nếu áp dụng xấp xỉ cho hai khoảng ≤ t ≤ t ≥ 1, ta có Γ(v + 1) ∼ (2πv) v v e−v v → +∞ 61 3.4 Mở rộng phương pháp xấp xỉ Laplace Trong mục trước xấp xỉ Laplace, xét tích phân có dạng β φ(x)evh(x) dx α Khi v → ∞, với h(x) có cực đại đơn điểm ξ thuộc khoảng hữu hạn vô hạn α ≤ x ≤ β Để tiện lợi, ta chia đoạn cho cực đại đạt điểm cuối, điều không mang tính cốt yếu Ta tổng quát hóa phương pháp cho tích phân có dạng β φ(x, v)eh(x,v) dx α với φ(x, v) bị chặn v → ∞ h(x, v) có cực đại đơn ξ, điểm dừng ξ không điểm cố định, phụ thuộc vào v Với biểu thức dấu tích phân với nhân tử biến đổi khác cho ta công thức khai triển tiệm cận khác Tuy nhiên, điểm dừng không phụ thuộc vào tham biến v Điều luôn xảy không cần thiết phải làm việc Chẳng hạn, trường hợp hàm Gamma ∞ ev log x−x dx Γ(v + 1) = không lấy φ(x) = e−x , h(x) = log x, log x điểm dừng Nhưng lấy φ(x) = 1, h(x, v) = v log x − x 62 Hàm h(x, v) có cực đại đơn x = v xấp xỉ tiệm cận làm việc sở Chúng ta tránh điều cách đổi biến x = vt Trong trường hợp hàm Bessel ∞ Kv (a) = evx−a cosh x dx −∞ với v a số dương v đủ lớn, xấp xỉ Laplace không áp dụng với nhân tử h(x) = x, φ(x) = e−a cosh x h(x) cực v với đại Nhưng vx − a cosh x có cực đại đơn x = sinh−1 a biến v Nếu đặt v x = sinh−1 + t, a nhận √ v ∞ v + v + a2 t ev(t−e ) φ(t, v)dt Kv (a) = a −∞ với φ(t, v) = exp −a2 cosh t/ v + (v + a2 ) Hàm t − et có cực đại đơn t = 0, ta có điều đơn giản từ biểu diễn v φ Điều thực có ích, từ khoảng hữu hạn −α ≤ t ≤ α, φ(t, v) liên tục φ(α, v) ≤ φ(t, v) ≤ φ(0, v) Vì φ(t, v) → v → ∞ theo t φ(t, v) ≤ với t, v Bây ta có α α t ev(t−e ) φ(t, v)dt = φ(t0 , v) −α −α 63 t ev(t−e ) dt với −α ≤ t0 ≤ α Do đó, ta có ∞ α t t ev(t−e ) φ(t, v)dt ∼ −α ev(t−e ) dt −∞ ∞ e− vt dt = e−v ∼ e−v 2π v −∞ Để chứng minh đóng góp khoảng t ≥ α t ≤ −α nhỏ, ta viết t = α + τ để ý φ(t, v) ≤ với t, v Khi đó, từ eα − α > sử dụng bất đẳng thức eτ ≥ + τ (τ ≥ 0), ta có ∞ ∞ t ev(t−e ) φ(t, v)dt ≤ ev(α−e 0≤ α α (eτ −1 ) dτ ∞ ≤e α evτ −ve ) v(α−eα ) α e −vτ (eα −1) e−v(α−e ) e−v dτ = =o v(eα − 1) v Tương tự với t ≤ −α Chúng ta rằng, a số dương v → +∞ v+ Kv (a) ∼ (v + a2 ) v 2av 2π v e−v dạng công thức tiện lợi Kv (a) ∼ 2v v v e−v av π 2v Một kết khác nhận v không số nguyên Kv (a) = π {I−v (a) − Iv (a)} sin vπ Một ví dụ khó hàm trụ parabolic xác định e− a D−v−1 (a) = Γ(v + 1) ∞ 64 e−ax− x xv dx với v > −1 Chúng trình bày cách tìm xấp xỉ tiệm cận T √ M Cherry [2], [3], a số dương v → +∞ Nếu đặt x = s v, ta có 1 e− a D−v−1 (a) = v v+ Γ(v + 1) ∞ eh(s,v) ds với √ h(s, v) = v log s − vs2 − as v Hàm h(s, v) có cực đại đơn miền xác định hàm dấu tích phân s= a2 1+ 4v a − √ , v xấp xỉ v đủ lớn Nếu viết s = + t, ta tìm √ 1 e− a −a v v v+ D−v−1 (a) = I Γ(v + 1) với ∞ I= √ −at v dt exp v log(1 + t) − v(1 + t) e −1 √ Điều khác biệt thực toán trước e−at không tiến đến giới hạn liên tục v → +∞ Để tránh tính liên tục để tiện lợi ta viết √ v = k Đặt t = u , ta có k ∞ exp k log + I= u u − (u + k)2 − au d k k −k Bây cách áp dụng định lý giá trị trung bình ta nhận u u u2 u3 log + = − 2+ k k 2k 3(k + u1 )3 65 v với u1 nằm u Vì u k u3 2 k log + − (u + k) − au = − k − u − au + k 2 3(k + u1 )3 Từ suy e− k I= k ∞ e−u −au ψ(u, k)du −k với k u3 3(k + u1 )3 ψ(u, k) = exp Khi k > < ε < 1, khoảng −k ε ≤ u ≤ k ε nằm miền xác định tích phân, khoảng k u3 k 3ε−1 k 2+3ε = < k 3ε−1 ≤ 3 3(k + u1 ) 3(k − k ε ) 3(1 − k ε−1 ) với k đủ lớn Vì ψ(u, k) nằm exp ±k 3ε−1 Nếu ta chọn ε cho < ε < , ψ(u, k) tiến tới k → ∞, theo ε biến u Viết η thay k , ta thấy e− k k η e−u e− k −ak ψ(u, k)du ∼ k −η ∞ e−u −au 1 du = e− v+ a −∞ k → ∞ Giá trị I khoảng u ≥ η dương ∞ k exp k log + u − (u + k)2 − au du k η ∞ ≤ k exp ku − (u + k)2 − au du η ∞ = k 1 exp − k − u2 − au du 2 η 66 π v e− k ≤ k ∞ 1 e− u du η 2 e− k − η e− k − η ≤ k ∞ 2 e− v dv 1 2 π π = = e− v − η k 2v Giá trị nhỏ so với giá trị khoảng −η ≤ u ≤ η, với η = k ε 0