Nghiên cứu tích chập và tích chập suy rộng, đa chập. Giải một lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập

Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ PHI HÙNG VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ PHI HÙNG VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH TUÂN HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành cách tiếp cận vấn đề nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên cao học giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn này! Hà Nội, ngày 30 tháng năm 2016 Đỗ Phi Hùng Footer Page of 258 Header Page of 258 ii Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa kết khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc từ tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày 30 tháng năm 2016 Đỗ Phi Hùng Footer Page of 258 Header Page of 258 iii DANH MỤC KÍ HIỆU F Phép biến đổi Fourier Fs Phép biến đổi Fourier sine Fs✁1 Phép biến đổi Fourier sine ngược Fc Phép biến đổi Fourier cosine Fc✁1 Phép biến đổi Fourier cosine ngược K Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev K ✁1 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược L Phép biến đổi Laplace L✁ Phép biến đổi Laplace ngược ♣f ✝ gq✠ γ f ✝g ✁ ✠ f ✝g ✁ Tγ ✠ f ✝g T ✁ ✝♣f, g, hq γ ✝♣ f, g, hq R  Footer Page of 258 Tích chập hai hàm f g Tích chập hai hàm f g với hàm trọng γ Tích chập hai hàm f g phép biến đổi T Tích chập hai hàm f g với hàm trọng γ phép biến đổi T Đa chập hàm f, g, h Đa chập hàm f, g, h với hàm trọng γ Là tập tx € R : x → 0✉ Header Page of 258 iv Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii DANH MỤC KÍ HIỆU iii Lời mở đầu 1 Các kiến thức dùng cho luận văn 1.1 Các phép biến đổi tích phân không gian hàm 1.1.1 Các không gian hàm 1.1.2 Các phép biến đổi tích phân Tích chập tích chập suy rộng 1.2.1 Tích chập 1.2.2 Tích chập suy rộng Đa chập 12 1.2 1.3 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel 14 2.1 Bài toán 2.1 15 2.2 Bài toán 2.2 18 2.3 Bài toán 2.3 22 Hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel 27 3.1 27 Footer Page of 258 Bài toán 3.1 Header Page of 258 v 3.2 Bài toán 3.2 31 3.3 Bài toán 3.3 35 3.4 Bài toán 3.4 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 45 Footer Page of 258 Header Page of 258 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel có dạng tổng quát (X[7]): f ♣xq    ✽ ➺ rk1 ♣x   yq   k2 ♣x ✁ yq sf ♣yq dy ✏ ϕ ♣xq , x → (1) k1 nhân Hankel, k2 nhân Toeplitz, ϕ hàm cho trước f hàm phải tìm Tuy nhiên để giải nghiệm phương trình (1) với nhân k1 , k2 tổng quát toán mở tìm nghiệm xấp xỉ Trong năm gần có số kết nghiên cứu giải số lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel cách chọn nhân k1 , k2 cụ thể, sau dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập để giải đóng số lớp toán dạng [5,6,7,8,9] Với mong muốn tìm hiểu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập ứng dụng để giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel Được hướng dẫn PGS.TS Trịnh Tuân chọn đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ là: “Về lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel” Luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Nêu tóm tắt kiến thức dùng để nghiên cứu cho chương sau Chương 2: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace Footer Page of 258 Header Page of 258 ♣Lq để giải đóng lớp phương trình tích phân với nhân Toeplizt - Hankel Các kết chương Định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.2 Định lý 2.3 Chương 3: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q Kontorovich - Lebedev ♣K q để giải đóng lớp hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel Các kết chương Định lý: Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3 Định lý 3.4 Để tiện cho trình theo dõi, đưa vào phần đầu ký hiệu dùng để trình bày cho luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tích chập tích chập suy rộng Nghiên cứu đa chập Dùng công cụ tích chập đa chập suy rộng nói để giải lớp phương trình hệ phương trình với nhân Toeplitz – Hankel Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích chập đa chập Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel Giải lớp phương trình hệ phương trình nói công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập Nghiên cứu giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập Phương pháp nghiên cứu Dùng kĩ thuật giải tích hàm Dùng kĩ thuật phương trình tích phân Dùng kĩ thuật tích chập suy rộng đa chập Footer Page of 258 Header Page 10 of 258 Đóng góp đề tài Luận văn trình bày cách có hệ thống số tích chập, tích chập suy rộng, đa chập liên quan đến phép biến đổi tích phân Fourier ♣F q, Kontorovich-Lebedev ♣K q, Laplace ♣Lq Luận văn trình bày vài lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel giải công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân nói Footer Page 10 of 258 Header Page 40 of 258 33 Chứng minh Hệ phương trình (3.12) với nhân xác định (3.13) viết lại sau f ♣xq   λ1 ➺ ✒ g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q ϕ♣uqψ ♣v q 2π R2  ✚ ✁ g♣⑤x ✁ u ✁ v⑤q ✁ g♣⑤x   u   v⑤q dudv ✒ ➺ λ2 R  ✏ h♣xq ❄1 ξ ♣⑤x   u   1⑤q   ξ ♣⑤x   u ✁ 1⑤q   ξ ♣⑤x ✁ u   1⑤q 2π ✚   ξ ♣⑤x ✁ u ✁ 1⑤q f ♣uqdu   g♣xq ✏ k♣xq, x → Sử dụng đa chập ✝ ♣., , q (1.33) tích chập ✂ ✡ ✝ γ1 Fc (3.14) (1.18) vào hệ phương trình (3.14) ta hệ phương trình dạng chập f ♣xq   λ1 ♣✝♣ϕ, ψ, g q♣xqq ✏ h♣xq ✂ λ2 f ✡ ✝ ξ ♣xq   g♣xq ✏ k♣xq, γ1 Fc x → (3.15) Tác động phép biến đổi Fourier cosine (Fc ) vào hai vế hệ phương trình (3.15) ta ♣Fcf q♣yq   λ1 rFc♣✝♣ϕ, ψ, gqqs ♣yq ✏ ♣Fchq♣yq ✂ ✡ γ λ2 rFc f ✝ ξ s♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k qy q, y → F (3.16) c Áp dụng ✂ đẳng ✡ thức nhân tử hóa (1.34) cho đa chập ✝ ♣., , q (1.19) cho tích chập ✝ γ1 vào hệ (3.16) ta hệ sau Fc ♣Fcf q♣yq   λ1♣Fsϕq♣yq♣Fsψq♣yq♣Fcgq♣yq ✏ ♣Fchq♣yq λ2 γ1 ♣Fc ξ q♣y q♣Fc f q♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k q♣y q, y → Ta thấy ∆✏ λ2 γ1 ♣Fc ξ q♣y q Footer Page 40 of 258 λ1 ♣Fs ϕq♣y q♣Fs ψ q♣y q ✏ ✁ λ1λ2Fc ✒✁ ϕ✝ψ ✠γ ✚ ✝ ξ ♣yq, Fc Header Page 41 of 258 34 ✒✁ ∆ ✏1  λ1 λ2 Fc ✁ λ1 λ2 Fc ϕ✝ψ ✒✁ ✠γ ✚ ✝ ξ ♣yq Fc ϕ✝ψ ✠γ ✚ ✝ ξ ♣yq Fc ∆f ✏ ♣Fchq♣yq ♣Fckq♣yq λ1 ♣Fs ϕq♣y q♣Fs ψ q♣y q ✏ ♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq, ✂ ✡ ♣ Fc hq♣y q γ ✏ ♣Fckq♣yq ✁ λ2rFc ξ F✝ h s♣yq ∆g ✏ λ2 γ1 Fc ξ ♣Fc k q♣y q Ở áp dụng Định lý✒Wiener-Levy ✚ cho hàm η ♣z q có dạng η ♣z q ✏ γ z , ✁ z ✘ z ✏ λ λ F ♣ ϕ ✝ ψ q ✝ ξ ♣yq, tồn c 1✁z F hàm l € L♣R  q thỏa mãn: 1 c c ✒✁ ♣Fclq♣yq ✏ λ1 λ2 Fc ϕ✝ψ ✒✁ ✁ λ1 λ2 Fc ✠γ ✝ ξ ♣y q Fc ϕ✝ψ ✚ ✠γ ✚ ✝ ξ ♣yq Fc Do ♣Fcf q♣yq ✏ ♣1   Fclqt♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq✉ ✂ ✡ ✏ ♣Fchq♣yq   Fc l F✝ h ♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq ✒ c ✚ ✁ λ1Fc ✝♣ϕ, ψ, kq F✝ l ♣yq ✏ Fc ta ✒ ✂ h  l ✂ ✡ ✂ c ✡✚ ✝ h ✁ λ1 ✝♣ϕ, ψ, kq   ✝♣ϕ, ψ, kq F✝ l ♣yq Fc ✡ c ✒ ✚ ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq  l F✝ h ♣xq✁λ1 ✝♣ϕ, ψ, kq   ✝♣ϕ, ψ, kq F✝ l ♣xq ♣h.k.nq c Theo giả thiết h L♣R  q € L♣R q, tích chập Nghiệm phương trình f Footer Page 41 of 258 ✂ € L♣R q ✡ c ✝ € L♣R q đa chập ✝ ♣., , q € Fc Header Page 42 of 258 35 Tương tự ta có ✒ ✂ ✡ ✚ ♣Fcgq♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqq ♣Fckq♣yq ✁ λ2Fc F✝ h ♣yq ✏ ♣Fckq♣yq   Fc ✁ λ2 Fc ✒✂ ξ ✒ ✏ Fc k   Do đó, ✂ ✂ ✡ l ✡ Fc ✂ l ✝ k ♣y q ✁ λ F c ✚ ✂ c ✝ k ✁ λ2 ξ Fc ♣gq♣xq ✏ ♣kq♣xq  l F✝ k ♣xq✁ λ2 ✒ ξ c € L♣R q tích chập Nghiệm phương trinh g € L♣R  q Theo giả thiết k ξ Fc ✡ ✡ ✂ ✝ h  γ1 ✂ Fc ✂ Fc ✝ h  γ1 ✂ ✡ c ✝ h F✝ l ♣yq γ1 γ1 ξ ξ ✝ h ♣y q γ1 Fc ✡ ✡✚ ✝ h F✝ l ♣yq γ1 Fc c ✡ ✚ ✝ h F✝ l ♣xq γ1 Fc ✡ ✝ € L♣R q, Fc c ✂ ♣h.k.nq ✡ ✝ € L♣R q γ1 Fc Vậy nghiệm hệ phương trình (3.12) ♣f, g q € L♣R  q ✂ L♣R  q Định lý chứng minh xong ✆ Bài toán sau khác với toán (3.1), (3.2) chỗ: ẩn hàm f, g toán nằm nhân Toplizt- Hankel k1 , k2 , k3 , k4 3.3 Bài toán 3.3 Xét hệ phương trình tích phân có dạng: f ♣xq   ❄λ2 2π λ1 2π ➺ ➺ R2  rk1♣x, u, vq   k2♣x, u, vqsϕ♣uqψ♣vqdudv ✏ h♣xq rk3♣x, uq   k4♣x, uqsqξ ♣uqdu   g♣xq ✏ k♣xq, x → (3.17) R  Trong hệ hàm ϕ, ψ, ξ, h, k cho trước thuộc L1 ♣R  q, λ1 , λ2 số phức cho trước, f, g ẩn hàm phải tìm Chú ý ẩn hàm f, g toán nằm nhân k1 , k2 , k3 , k4 Footer Page 42 of 258 Header Page 43 of 258 36 Để giải hệ phương trình tích phân (3.17) chọn lớp nhân k1 , k2 , k3 , k4 sau: k1 ♣x, u, v q ✏ g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q k2 ♣x, u, v q ✏ ✁♣g ♣⑤x ✁ u ✁ v ⑤q   g ♣x   u   v qq (3.18) k3 ♣x, uq ✏ f ♣⑤x ✁ u ✁ 1⑤q ✁ f ♣⑤x ✁ u   1⑤q k4 ♣x, uq ✏ ♣f ♣⑤x   u ✁ 1⑤q ✁ f ♣⑤x   u   1⑤q Để giải hệ phương trình tích phân (3.17) việc chọn nhân ToeplitzHankel Chúng sử dụng tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q Fourier sine ♣Fs q để giải.Các tích chập ♣ ✝F q, ♣F✝γ q xác định (1.12), (1.16), c s tích chập suy rộng ♣ ✝ q, ♣✝q xác định (1.26), (1.24) đa chập γ ✝♣ϕ, ψ, kq xác định (1.33),và đẳng thức nhân tử hóa tương ứng tích chập, tích chập suy rộng đa chập xác định (1.13), (1.17), (1.27), (1.25) (1.34) Ngoài sử dụng Định lý Wiener-Levy để tồn hàm l € L♣R  q Định lý sau tồn không gian L♣R  q công thức nghiệm hệ phương trình tích phân (3.17) Định lý 3.3 (X.[9]) Giả sử ϕ, ψ, ξ, h, k hàm biết thuộc L1 ♣R  q ✁ λ1 λ2 Fc ✒✂ ✡ ✚ ✝ ψ ✝2 ξ ♣xq ✘ 0, ❅x → nghiệm hệ (3.17) ♣f, g q € L♣R  q ✂ L♣R  q xác định bởi: ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq   ♣h F✝ lq♣xq ✁ λ1r✝♣ϕ, ψ, kqs♣xq ✁ λ1r✝♣ϕ, ψ, kq F✝ ls♣xq, x → c ϕ γ Fs ✁ ✒✁ ✠ ✚ ✠ c ♣gq♣xq ✏ ♣kq♣xq   ♣k F✝ lq♣xq ✁ λ2 ξ ✝γ1 h ♣xq ✁ λ2 ξ ✝γ1 h F✝ l ♣xq, x → Trong hàm l € L♣R  q xác định ✒✂ ✡ ✚ γ λ1 λ2 Fc ϕ ✝ ψ ✝ ξ ♣y q F ✒✂ ✡ ✚ ♣Fclq♣yq ✏ γ ✁ λ1 λ2 Fc ϕ ✝ ψ ✝ ξ ♣y q F c c s s Footer Page 43 of 258 Header Page 44 of 258 37 Chứng minh Hệ phương trình (3.17) với nhân xác định (3.18) viết lại dạng sau f ♣xq   λ1 ➺ ✒ g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q ϕ♣uqψ ♣v q 2π R2  ➺ λ2 R  ✚ ✁ g♣⑤x ✁ u ✁ v⑤q ✁ g♣⑤x   u   v⑤q dudv ✒ ✏ h♣xq ξ ♣uq ❄ f ♣⑤x ✁ u ✁ 1⑤q ✁ f ♣⑤x ✁ u   1⑤q   f ♣⑤x   u ✁ 1⑤q 2π ✚ ✁ f ♣x   u   1⑤q du   g ♣xq ✏ k ♣xq, x → ✁ Sử dụng đa chập ✠ ✝ ♣., , ,q (1.33) tích chập ✝1 γ (3.19) (1.24) vào hệ phương trình (3.19) ta hệ phương trình dạng chập f ♣xq   λ1 ♣♣✝♣ϕ, ψ, g q♣xqq ✏ h♣xq ✁ λ2 ✠ ♣ξ ✝1 f q♣xq   g♣xq ✏ k♣xq, x → γ (3.20) Tác động phép biến đổi Fourier cosine (Fc ) vào hai vế hệ phương trình (3.20) ta ♣Fcf q♣yq   λ1♣Fc ✝ ♣ϕ, ψ, gqq♣yq ✏ ♣Fchq♣yq ✑ ✁ γ ✠ ✙ λ2 Fc ξ ✝ f ♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k q♣y q, y → Dùng đẳng thức nhân tử hóa (1.34) cho đa chập ✁ ✠ chập ✝ vào hệ (3.21) ta γ (3.21) ✝ ♣., , ,q (1.25) cho tích ♣Fcf q♣yq   λ1♣Fsϕq♣yq♣Fsψq♣yq♣Fcgq♣yq ✏ ♣Fchq♣yq , y → λ2 γ ♣Fs ξ q♣Fc f q   Fc g ✏ ♣Fc k q♣y q Ta có: ∆✏ λ2 γ ♣Fs ξ q♣y q Footer Page 44 of 258 λ1 ♣Fs ϕq♣y q♣Fs ψ q♣y q ✏ 1✁λ1λ2 ✂ ✒✂ Fc ϕ ✡ ✚✡ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq, γ Fs Header Page 45 of 258 38 ✒✂ ✂ ✏1  ∆ λ1 λ2 Fc ϕ ✂ ✒✂ ✁ λ1 λ2 Fc ✡ ✚✡ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq γ Fs ϕ ✡ ✚✡ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq γ Fs ∆f ✏ ♣Fchq♣yq ♣Fckq♣yq λ1 ♣Fs ϕq♣y q♣Fs ψ q♣y q ✏ ♣Fchq♣yq ✁ λ1♣Fcr✝♣ϕ, ψ, kqsq♣yq, ✁ γ ✠ ♣ Fc hq♣y q ✏ ♣Fckq♣yq ✁ λ2rFc ξ ✝1 h s♣yq ∆g ✏ λ2 γ ♣Fs ξ q♣y q ♣Fc k q♣y q Ở áp dụng Định lý✒Wiener-Levy ✚ cho hàm η ♣z q có dạng η ♣z q ✏ γ z ✝ ♣ ϕ , ✁ z ✘ z ✏ λ λ F ψ q ✝ ξ ♣y q, tồn c 1✁z F hàm: l € L♣R  q thỏa mãn s ✒✂ ♣Fclq♣yq ✏ λ1 λ2 Fc ϕ ✁ λ1 λ2 Fc ✡ ✒✂ ✚ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq γ Fs ϕ ✡ ✚ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq γ Fs Do ♣Fcf q♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqqt♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq✉ ✏ ♣Fchq♣yq   Fc♣h F✝ lq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kq F✝ ls♣yq c ✏ Fc ✒ ✂ h  h ✡c ✚ ✝ l ✁ λ1♣✝♣ϕ, ψ, kqq ✁ λ1♣✝♣ϕ, ψ, kqq F✝ l ♣yq Fc c Suy ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq ♣h F✝ lq✁λ1r✝♣ϕ, ψ, kqs♣xq✁λr✝♣ϕ, ψ, kq F✝ ls♣xq ♣h.k.nq c Theo giả thiết h L♣R  q € L♣R q, tích chập Nên nghiệm phương trình f Footer Page 45 of 258 ✂ ✡ c ✝ € L♣R q đa chập ✝ ♣., , q € Fc € L♣R q Header Page 46 of 258 39 Tương tự ta có ✑ ✁ ✠ ♣Fcgq♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqq ♣Fckq♣yq ✁ λ2Fc ξ ✝1 h ♣yq ✁ γ ✠ ✏ ♣Fckq♣yq   Fc♣k F✝ lq♣yq ✁ λ2Fc ξ ✝1 h ♣yq ✁ λ2 Fc ✒✁ ξ✝h γ ✠ γ ✙ ✚c ✝ l ♣y q Fc nghĩa ✁ ✠ ♣gq♣xq ✏ ♣kq♣xq ♣k F✝ lq♣xq✁λ2 ξ ✝1 h ♣xq✁λ2 γ ✒✁ ξ✝h L♣R  q € L♣R q tích chập ✠ c Do theo giả thiết k γ ✂ ✚ ✝ l ♣xq ♣h.k.nq Fc ✡ ✁ ✠ ✝ € L♣R q, ✝1 € γ Fc € L♣R q Vậy nghiệm hệ phương trình (3.17) ♣f, g q € L♣R  q ✂ L♣R  q Nên nghiệm hệ phương trinh g ✆ Định lí chứng minh xong 3.4 Bài toán 3.4 Xét hệ phương trình tích phân có dạng f ♣xq   λ2 2π ➺ λ1 2π R2  ➺ R2  rk1♣x, u, vq   k2♣x, u, vqsϕ1♣uqψ1♣vqdudv ✏ h♣xq rk3♣x, u, vq   k4♣x, u, vqsϕ2♣uqψ2♣vqdudv   g♣xq ✏ k♣xq, x → (3.22) Trong hệ hàm ϕ1 , ψ1 , ϕ2 , ψ2 , h, k hàm cho trước thuộc L1 ♣R  q, λ1 , λ2 số phức cho trước f, g ẩn hàm phải tìm Chú ý ẩn hàm f, g toán nằm nhân k1 , k2 , k3 , k4 Footer Page 46 of 258 Header Page 47 of 258 40 Để giải Hệ phương trình (3.22) chọn lớp nhân k1 , k2 , k3 , k4 sau: k1 ♣x, u, v q ✏ g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q k2 ♣x, u, v q ✏ ✁♣g ♣⑤x ✁ u ✁ v ⑤q   g ♣x   u   v qq (3.23) k3 ♣x, u, v q ✏ f ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   f ♣⑤x ✁ u   v ⑤q k4 ♣x, u, v q ✏ ✁♣f ♣⑤x ✁ u ✁ v ⑤q   f ♣x   u   v qq Để giải hệ phương trình tích phân (3.22) việc chọn nhân ToeplitzHankel.Chúng sử dụng tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q để ✝ q xác định (1.12), tích chập suy rộng ♣ ✝2 q xác định (1.26) đa chập ✝♣ϕ, ψ, k q xác định (1.33) đẳng thức giải.Tích chập ♣ Fc nhân tử hóa tương ứng với tích chập, tích chập suy rộng đa chập xác định (1.13), (1.27) (1.34).Ngoài sử dụng Định lý WienerLevy để tồn hàm l € L1 ♣R  q Định lý sau tồn không gian L♣R  q công thức nghiệm hệ phương trình tích phân (3.22) Định lý 3.4 (X.[9]) Giả sử ϕ1 , ψ1 , ϕ2 , ψ2 , h, k hàm biết thuộc L♣R  q và: ✁ λ1 λ2 Fc ✑ ✙ ✝♣ϕ1, ψ1, ♣ϕ2 ✝2 ψ2qq ♣xq ✘ 0, ❅x → 0, Thì nghiệm hệ (3.22) là: ♣f, g q € L♣R  q ✂ L♣R  q xác định bởi: ✒ ✚ ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq   ♣l F✝ hq♣xq ✁ λ1 ✝♣ϕ1, ψ1, kq   ✝♣ϕ1, ψ1, kq F✝ l ♣xq, x → c ✒ ✚ c ♣gq♣xq ✏ ♣xqk   ♣l F✝ kq♣xq ✁ λ2 ✝♣ϕ2, ψ2, hq   ✝♣ϕ2, ψ2, hq F✝ l ♣xq, x → Trong l hàm thuộc L♣R  q xác định ✑ ✙ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q ✑ ✙ ♣Fclq♣yq ✏ ✁ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q c Footer Page 47 of 258 c Header Page 48 of 258 41 Chứng minh Hệ phương trình (3.22) với nhân xác định (3.23) viết lại dạng sau f ♣xq   λ1 ➺ ✒ ϕ♣uqψ ♣v q g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q 2π R2  ➺ λ2 ✚ ✁ g♣⑤x ✁ u ✁ v⑤q ✁ g♣⑤x   u   v⑤q dudv ✒ ✏ h♣xq ϕ2 ♣uqψ2 ♣v q f ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   f ♣⑤x ✁ u   v ⑤q 2π R2  ✚ ✁ f ♣⑤x ✁ u ✁ v⑤q ✁ f ♣⑤x   u   v⑤q   g♣xq ✏ k♣xq, x → (3.24) Sử dụng đa chập ✝ ♣., , ,q (1.33) vào hệ phương trình tích phân (3.24) ta hệ phương trình dang chập f ♣xq   λ1 ♣✝♣ϕ1 , ψ1 , g qq ♣xq ✏ h♣xq λ2 ♣✝♣ϕ2 , ψ2 , f qq ♣xq   g ♣xq ✏ k ♣xq, x → (3.25) Tác động phép biến đổi Fourier cosine (Fc ) vào hai vế hệ phương trình (3.25) ta ♣Fcf q♣yq   λ1rFc ♣✝♣ϕ1, ψ1, gqqs♣yq ✏ ♣Fchq♣yq λ2 rFc ♣ϕ2 , ψ2 , f qs♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k q♣y q, y → (3.26) Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.34) cho đa chập ✝ ♣., , ,q vào hệ (3.26) ta ♣Fcf q♣yq   λ1♣Fsϕ1q♣yq♣Fsψ1q♣yq♣Fcgq♣yq ✏ ♣Fchq♣yq λ2 ♣Fs ϕ2 q♣y q♣Fs ψ2 q♣y q♣Fc f q♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k q♣y q Ta thấy ∆✏ λ2 ♣Fs ϕ2 q♣y q♣Fs ψ2 q♣y q λ1 ♣Fs ϕ1 q♣y q♣Fs ψ1 q♣y q ✒ ✚ ✏ ✁ λ1λ2Fc ✝♣ϕ1, ψ1, ♣ϕ2 F✝ ψ2qq ♣yq, c Footer Page 48 of 258 Header Page 49 of 258 42 ✑ ∆ ✙ ✝♣ϕ1, ψ1, ♣ϕ2 ✝2 ψ2qq ♣yq ✑ ✙ ✏1  ✁ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q λ1 λ2 Fc ∆f ✏ ♣Fchq♣yq ♣Fckq♣yq λ1 ♣Fs ϕ1 q♣y q♣Fs ψ1 q♣y q ✏ 1 ✏ ♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ1, ψ1, kqs♣yq, ♣Fchq♣yq ✏ ♣F kq♣yq ✁ λ F r✝♣ϕ , ψ , hqs♣yq c c 2 λ2 ♣Fs ϕ2 q♣y q♣Fs ψ2 q♣y q ♣Fc k q♣y q Ở áp dụng Định lý Wiener-Levy cho hàm η ♣z q có dạng η ♣z q ✏ ✑ ✙ z ✝ 1✁z , ✁ z ✘ z ✏ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1, ψ1 , ♣ϕ2 ψ2 qq ♣y q, tồn hàm l € L♣R  q thỏa mãn ✑ ✙ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q ✑ ✙ ♣Fclq♣yq ✏ ✁ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q ∆g Do ♣Fcf q♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqqt♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ1, ψ1, kqs♣yq✉ ✂ ✡ ✏ ♣Fchq♣yq   Fc l F✝ h ♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ1, ψ1, kqs♣yq ✒ ✚ c ✁ λ1Fc ✝♣ϕ1, ψ1, kq F✝ l ♣yq ✏ Fc ✒ ✂ h  l ✡ ✂ ✡✚ ✝ h ✁ λ1 ✝♣ϕ1, ψ1, kq   ✝♣ϕ1, ψ1, kq F✝ l ♣yq Fc ta ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq   ✒ c c ✂ ✡ l ✝ h ♣xq Fc ✚ ✁ λ1 ✝♣ϕ1, ψ1, kq   ✝♣ϕ1, ψ1, kq F✝ l ♣xq c Theo giả thiết h L♣R  q Footer Page 49 of 258 € L♣R q, tích chập ✂ ✡ ♣h.k.nq ✝ € L♣R q đa chập ✝ ♣., , q € Fc Header Page 50 of 258 43 Nghiệm hệ phương trinh f € L♣R q Tương tự, có ♣Fcgq♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqqt♣Fckq♣yq ✁ λ2Fcr✝♣ϕ2, ψ2, hqs♣yq✉ ✂ ✡ ✏ ♣Fckq♣yq   Fc l F✝ k ♣yq ✁ λ2Fcr✝♣ϕ2, ψ2, hqs♣yq ✒ ✚ c ✁ λ2Fc ✝♣ϕ2, ψ2, hq F✝ l ♣yq ✏ Fc ✂ ✂ k  l ✡ c ✒ ✡✚ ✝ k ✁ λ2 ✝♣ϕ2, ψ2, hq   ✝♣ϕ2, ψ2, hq F✝ l ♣yq Fc c ta ♣gq♣xq ✏ ♣kq♣xq   ✒ ✂ ✡ l ✝ k ♣xq Fc ✚ ✁ λ2 ✝♣ϕ2, ψ2, hq   ✝♣ϕ2, ψ2, hq F✝ l ♣xq c Theo giả thiết k L♣R  q € L♣R q, tích chập ✂ ♣h.k.nq ✡ ✝ € L♣R q đa chập ✝ ♣., , q € Fc € L♣R q Vây nghiệm hệ (3.22) (f, g) € L♣R  q ✂ L♣R  q Nghiệm hệ phương trình g Định lý chứng minh xong ✆ Nhận xét: Như hệ phương trình tích phân nói giải nghiệm nhờ công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập nghiên cứu trước Footer Page 50 of 258 Header Page 51 of 258 44 Kết luận chương - Nghiên cứu phương pháp giải lớp hệ phương trình tích phân công cụ tích chập, tích chập đa chập - Cho ta nghiệm toán xét thể Định lý: Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4 Footer Page 51 of 258 Header Page 52 of 258 45 Kết Luận Luận văn trình bày chi tiết giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, , Kontorovich-Lebedev ♣K q, Laplace ♣Lq Luận văn đạt được: Trình bày số tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace ♣Lq, Kontorovich-Lebedev ♣K q tồn chúng không gian hàm khác đẳng thức nhân tử hóa Trình bày lời giải đóng số phương trình tích phân với nhân Toplizt-Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập Trình bày lời giải đóng số hệ phương trình Toplizt-Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng, đa chập Vấn đề nghiên cứu tiếp theo: Từ phương trình hệ phương trình tích phân giới thiệu chương 2, chương tìm hiểu thêm toán có tính chất thực tiễn gắn với phương trình Footer Page 52 of 258 Header Page 53 of 258 46 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng việt [1] Đặng Đình Áng (2009), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kì dị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (Tái bản) [4] Nguyễn Thanh Hồng (2012), Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ứng dụng, Luận văn Tiến sĩ Đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Trinh Tuan (2007), On the generalized convolution with a weight function for the Fourier cosine and the inverse Kontorovich – Lebedev integral transformations, Nonlinear founctional Analysis and Applications Vol 12, No 2, pp 325 - 341 [6] Nguyen Xuan Thao (2014), Trinh Tuan, Le Xuan Huy, The generalized convolution with a weight function for Laplace transform, Nonlinear Founctional Analysis and Applications Vol 19, No 1, pp 61 - 77 [7] Trinh Tuan (2012), A novel polyconvolution for the Fourier since, Fourier cosine and the Kontorovich- Lebedev integral transforms and applications, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp.38, pp.25- 42 Footer Page 53 of 258 Header Page 54 of 258 47 [8] Trinh Tuan, Nguyen Xuan Thao (2011), A New Polyconvolution and Its Application to Solving a Class of Toeplitz – Hankel Integral Equations and Systems of Integral Equations, Vietnam Journal of Mathematics Vol 39, No.2, pp 217 - 235 [9] Nguyen Xuan Thao, Nguyen Duc Hau (2008), On the polyconvolution for the Fourier cosine and Fourier sine tranforms, ACTA Mathematica Vietnamica volume 33, Number 2, 2008, pp 107-122 [10] E C Titchmarsh (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Third edition Chelsea Publishing Co., New York Footer Page 54 of 258 ... vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập Nghiên cứu giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập. .. Nghiên cứu tích chập đa chập Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel Giải lớp phương trình hệ phương trình nói công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập. .. Nghiên cứu tích chập tích chập suy rộng Nghiên cứu đa chập Dùng công cụ tích chập đa chập suy rộng nói để giải lớp phương trình hệ phương trình với nhân Toeplitz – Hankel Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên