Về một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân toeplitz hankel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ PHI HÙNG VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ PHI HÙNG VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH TUÂN HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành cách tiếp cận vấn đề nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên cao học giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn này! Hà Nội, ngày 30 tháng năm 2016 Đỗ Phi Hùng ii Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa kết khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc từ tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày 30 tháng năm 2016 Đỗ Phi Hùng iii DANH MỤC KÍ HIỆU F Phép biến đổi Fourier Fs Phép biến đổi Fourier sine Fs✁1 Phép biến đổi Fourier sine ngược Fc Phép biến đổi Fourier cosine Fc✁1 Phép biến đổi Fourier cosine ngược K Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev K ✁1 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược L Phép biến đổi Laplace L✁ Phép biến đổi Laplace ngược ♣f ✝ gq✠ γ f ✝g ✁ ✠ f ✝g ✁ Tγ ✠ f ✝g T ✁ ✝♣f, g, hq γ ✝♣ f, g, hq R  Tích chập hai hàm f g Tích chập hai hàm f g với hàm trọng γ Tích chập hai hàm f g phép biến đổi T Tích chập hai hàm f g với hàm trọng γ phép biến đổi T Đa chập hàm f, g, h Đa chập hàm f, g, h với hàm trọng γ Là tập tx € R : x → 0✉ iv Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii DANH MỤC KÍ HIỆU iii Lời mở đầu 1 Các kiến thức dùng cho luận văn 1.1 Các phép biến đổi tích phân không gian hàm 1.1.1 Các không gian hàm 1.1.2 Các phép biến đổi tích phân Tích chập tích chập suy rộng 1.2.1 Tích chập 1.2.2 Tích chập suy rộng Đa chập 12 1.2 1.3 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel 14 2.1 Bài toán 2.1 15 2.2 Bài toán 2.2 18 2.3 Bài toán 2.3 22 Hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel 27 3.1 27 Bài toán 3.1 v 3.2 Bài toán 3.2 31 3.3 Bài toán 3.3 35 3.4 Bài toán 3.4 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 45 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel có dạng tổng quát (X[7]): f ♣xq    ✽ ➺ rk1 ♣x   yq   k2 ♣x ✁ yq sf ♣yq dy ✏ ϕ ♣xq , x → (1) k1 nhân Hankel, k2 nhân Toeplitz, ϕ hàm cho trước f hàm phải tìm Tuy nhiên để giải nghiệm phương trình (1) với nhân k1 , k2 tổng quát toán mở tìm nghiệm xấp xỉ Trong năm gần có số kết nghiên cứu giải số lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel cách chọn nhân k1 , k2 cụ thể, sau dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập để giải đóng số lớp toán dạng [5,6,7,8,9] Với mong muốn tìm hiểu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập ứng dụng để giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel Được hướng dẫn PGS.TS Trịnh Tuân chọn đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ là: “Về lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel” Luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Nêu tóm tắt kiến thức dùng để nghiên cứu cho chương sau Chương 2: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace ♣Lq để giải đóng lớp phương trình tích phân với nhân Toeplizt - Hankel Các kết chương Định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.2 Định lý 2.3 Chương 3: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q Kontorovich - Lebedev ♣K q để giải đóng lớp hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel Các kết chương Định lý: Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3 Định lý 3.4 Để tiện cho trình theo dõi, đưa vào phần đầu ký hiệu dùng để trình bày cho luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tích chập tích chập suy rộng Nghiên cứu đa chập Dùng công cụ tích chập đa chập suy rộng nói để giải lớp phương trình hệ phương trình với nhân Toeplitz – Hankel Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích chập đa chập Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel Giải lớp phương trình hệ phương trình nói công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập Nghiên cứu giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập Phương pháp nghiên cứu Dùng kĩ thuật giải tích hàm Dùng kĩ thuật phương trình tích phân Dùng kĩ thuật tích chập suy rộng đa chập Đóng góp đề tài Luận văn trình bày cách có hệ thống số tích chập, tích chập suy rộng, đa chập liên quan đến phép biến đổi tích phân Fourier ♣F q, Kontorovich-Lebedev ♣K q, Laplace ♣Lq Luận văn trình bày vài lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel giải công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân nói 33 Chứng minh Hệ phương trình (3.12) với nhân xác định (3.13) viết lại sau f ♣xq   λ1 ➺ ✒ g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q ϕ♣uqψ ♣v q 2π R2  ✚ ✁ g♣⑤x ✁ u ✁ v⑤q ✁ g♣⑤x   u   v⑤q dudv ✒ ➺ λ2 R  ✏ h♣xq ❄1 ξ ♣⑤x   u   1⑤q   ξ ♣⑤x   u ✁ 1⑤q   ξ ♣⑤x ✁ u   1⑤q 2π ✚   ξ ♣⑤x ✁ u ✁ 1⑤q f ♣uqdu   g♣xq ✏ k♣xq, x → Sử dụng đa chập ✝ ♣., , q (1.33) tích chập ✂ ✡ ✝ γ1 Fc (3.14) (1.18) vào hệ phương trình (3.14) ta hệ phương trình dạng chập f ♣xq   λ1 ♣✝♣ϕ, ψ, g q♣xqq ✏ h♣xq ✂ λ2 f ✡ ✝ ξ ♣xq   g♣xq ✏ k♣xq, γ1 Fc x → (3.15) Tác động phép biến đổi Fourier cosine (Fc ) vào hai vế hệ phương trình (3.15) ta ♣Fcf q♣yq   λ1 rFc♣✝♣ϕ, ψ, gqqs ♣yq ✏ ♣Fchq♣yq ✂ ✡ γ λ2 rFc f ✝ ξ s♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k qy q, y → F (3.16) c Áp dụng ✂ đẳng ✡ thức nhân tử hóa (1.34) cho đa chập ✝ ♣., , q (1.19) cho tích chập ✝ γ1 vào hệ (3.16) ta hệ sau Fc ♣Fcf q♣yq   λ1♣Fsϕq♣yq♣Fsψq♣yq♣Fcgq♣yq ✏ ♣Fchq♣yq λ2 γ1 ♣Fc ξ q♣y q♣Fc f q♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k q♣y q, y → Ta thấy ∆✏ λ2 γ1 ♣Fc ξ q♣y q λ1 ♣Fs ϕq♣y q♣Fs ψ q♣y q ✏ ✁ λ1λ2Fc ✒✁ ϕ✝ψ ✠γ ✚ ✝ ξ ♣yq, Fc 34 ✒✁ ∆ ✏1  λ1 λ2 Fc ✁ λ1 λ2 Fc ϕ✝ψ ✒✁ ✠γ ✚ ✝ ξ ♣yq Fc ϕ✝ψ ✠γ ✚ ✝ ξ ♣yq Fc ∆f ✏ ♣Fchq♣yq ♣Fckq♣yq λ1 ♣Fs ϕq♣y q♣Fs ψ q♣y q ✏ ♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq, ✂ ✡ ♣ Fc hq♣y q γ ✏ ♣Fckq♣yq ✁ λ2rFc ξ F✝ h s♣yq ∆g ✏ λ2 γ1 Fc ξ ♣Fc k q♣y q Ở áp dụng Định lý✒Wiener-Levy ✚ cho hàm η ♣z q có dạng η ♣z q ✏ γ z , ✁ z ✘ z ✏ λ λ F ♣ ϕ ✝ ψ q ✝ ξ ♣yq, tồn c 1✁z F hàm l € L♣R  q thỏa mãn: 1 c c ✒✁ ♣Fclq♣yq ✏ λ1 λ2 Fc ϕ✝ψ ✒✁ ✁ λ1 λ2 Fc ✠γ ✝ ξ ♣y q Fc ϕ✝ψ ✚ ✠γ ✚ ✝ ξ ♣yq Fc Do ♣Fcf q♣yq ✏ ♣1   Fclqt♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq✉ ✂ ✡ ✏ ♣Fchq♣yq   Fc l F✝ h ♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq ✒ c ✚ ✁ λ1Fc ✝♣ϕ, ψ, kq F✝ l ♣yq ✏ Fc ta ✒ ✂ h  l ✂ ✡ ✂ c ✡✚ ✝ h ✁ λ1 ✝♣ϕ, ψ, kq   ✝♣ϕ, ψ, kq F✝ l ♣yq Fc ✡ c ✒ ✚ ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq  l F✝ h ♣xq✁λ1 ✝♣ϕ, ψ, kq   ✝♣ϕ, ψ, kq F✝ l ♣xq ♣h.k.nq c Theo giả thiết h L♣R  q € L♣R q, tích chập Nghiệm phương trình f ✂ € L♣R q ✡ c ✝ € L♣R q đa chập ✝ ♣., , q € Fc 35 Tương tự ta có ✒ ✂ ✡ ✚ ♣Fcgq♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqq ♣Fckq♣yq ✁ λ2Fc F✝ h ♣yq ✏ ♣Fckq♣yq   Fc ✁ λ2 Fc ✒✂ ξ ✒ ✏ Fc k   Do đó, ✂ ✂ ✡ l ✡ Fc ✂ l ✝ k ♣y q ✁ λ F c ✚ ✂ c ✝ k ✁ λ2 ξ Fc ♣gq♣xq ✏ ♣kq♣xq  l F✝ k ♣xq✁ λ2 ✒ ξ c € L♣R q tích chập Nghiệm phương trinh g € L♣R  q Theo giả thiết k ξ Fc ✡ ✡ ✂ ✝ h  γ1 ✂ Fc ✂ Fc ✝ h  γ1 ✂ ✡ c ✝ h F✝ l ♣yq γ1 γ1 ξ ξ ✝ h ♣y q γ1 Fc ✡ ✡✚ ✝ h F✝ l ♣yq γ1 Fc c ✡ ✚ ✝ h F✝ l ♣xq γ1 Fc ✡ ✝ € L♣R q, Fc c ✂ ♣h.k.nq ✡ ✝ € L♣R q γ1 Fc Vậy nghiệm hệ phương trình (3.12) ♣f, g q € L♣R  q ✂ L♣R  q Định lý chứng minh xong ✆ Bài toán sau khác với toán (3.1), (3.2) chỗ: ẩn hàm f, g toán nằm nhân Toplizt- Hankel k1 , k2 , k3 , k4 3.3 Bài toán 3.3 Xét hệ phương trình tích phân có dạng: f ♣xq   ❄λ2 2π λ1 2π ➺ ➺ R2  rk1♣x, u, vq   k2♣x, u, vqsϕ♣uqψ♣vqdudv ✏ h♣xq rk3♣x, uq   k4♣x, uqsqξ ♣uqdu   g♣xq ✏ k♣xq, x → (3.17) R  Trong hệ hàm ϕ, ψ, ξ, h, k cho trước thuộc L1 ♣R  q, λ1 , λ2 số phức cho trước, f, g ẩn hàm phải tìm Chú ý ẩn hàm f, g toán nằm nhân k1 , k2 , k3 , k4 36 Để giải hệ phương trình tích phân (3.17) chọn lớp nhân k1 , k2 , k3 , k4 sau: k1 ♣x, u, v q ✏ g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q k2 ♣x, u, v q ✏ ✁♣g ♣⑤x ✁ u ✁ v ⑤q   g ♣x   u   v qq (3.18) k3 ♣x, uq ✏ f ♣⑤x ✁ u ✁ 1⑤q ✁ f ♣⑤x ✁ u   1⑤q k4 ♣x, uq ✏ ♣f ♣⑤x   u ✁ 1⑤q ✁ f ♣⑤x   u   1⑤q Để giải hệ phương trình tích phân (3.17) việc chọn nhân ToeplitzHankel Chúng sử dụng tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q Fourier sine ♣Fs q để giải.Các tích chập ♣ ✝F q, ♣F✝γ q xác định (1.12), (1.16), c s tích chập suy rộng ♣ ✝ q, ♣✝q xác định (1.26), (1.24) đa chập γ ✝♣ϕ, ψ, kq xác định (1.33),và đẳng thức nhân tử hóa tương ứng tích chập, tích chập suy rộng đa chập xác định (1.13), (1.17), (1.27), (1.25) (1.34) Ngoài sử dụng Định lý Wiener-Levy để tồn hàm l € L♣R  q Định lý sau tồn không gian L♣R  q công thức nghiệm hệ phương trình tích phân (3.17) Định lý 3.3 (X.[9]) Giả sử ϕ, ψ, ξ, h, k hàm biết thuộc L1 ♣R  q ✁ λ1 λ2 Fc ✒✂ ✡ ✚ ✝ ψ ✝2 ξ ♣xq ✘ 0, ❅x → nghiệm hệ (3.17) ♣f, g q € L♣R  q ✂ L♣R  q xác định bởi: ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq   ♣h F✝ lq♣xq ✁ λ1r✝♣ϕ, ψ, kqs♣xq ✁ λ1r✝♣ϕ, ψ, kq F✝ ls♣xq, x → c ϕ γ Fs ✁ ✒✁ ✠ ✚ ✠ c ♣gq♣xq ✏ ♣kq♣xq   ♣k F✝ lq♣xq ✁ λ2 ξ ✝γ1 h ♣xq ✁ λ2 ξ ✝γ1 h F✝ l ♣xq, x → Trong hàm l € L♣R  q xác định ✒✂ ✡ ✚ γ λ1 λ2 Fc ϕ ✝ ψ ✝ ξ ♣y q F ✒✂ ✡ ✚ ♣Fclq♣yq ✏ γ ✁ λ1 λ2 Fc ϕ ✝ ψ ✝ ξ ♣y q F c c s s 37 Chứng minh Hệ phương trình (3.17) với nhân xác định (3.18) viết lại dạng sau f ♣xq   λ1 ➺ ✒ g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q ϕ♣uqψ ♣v q 2π R2  ➺ λ2 R  ✚ ✁ g♣⑤x ✁ u ✁ v⑤q ✁ g♣⑤x   u   v⑤q dudv ✒ ✏ h♣xq ξ ♣uq ❄ f ♣⑤x ✁ u ✁ 1⑤q ✁ f ♣⑤x ✁ u   1⑤q   f ♣⑤x   u ✁ 1⑤q 2π ✚ ✁ f ♣x   u   1⑤q du   g ♣xq ✏ k ♣xq, x → ✁ Sử dụng đa chập ✠ ✝ ♣., , ,q (1.33) tích chập ✝1 γ (3.19) (1.24) vào hệ phương trình (3.19) ta hệ phương trình dạng chập f ♣xq   λ1 ♣♣✝♣ϕ, ψ, g q♣xqq ✏ h♣xq ✁ λ2 ✠ ♣ξ ✝1 f q♣xq   g♣xq ✏ k♣xq, x → γ (3.20) Tác động phép biến đổi Fourier cosine (Fc ) vào hai vế hệ phương trình (3.20) ta ♣Fcf q♣yq   λ1♣Fc ✝ ♣ϕ, ψ, gqq♣yq ✏ ♣Fchq♣yq ✑ ✁ γ ✠ ✙ λ2 Fc ξ ✝ f ♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k q♣y q, y → Dùng đẳng thức nhân tử hóa (1.34) cho đa chập ✁ ✠ chập ✝ vào hệ (3.21) ta γ (3.21) ✝ ♣., , ,q (1.25) cho tích ♣Fcf q♣yq   λ1♣Fsϕq♣yq♣Fsψq♣yq♣Fcgq♣yq ✏ ♣Fchq♣yq , y → λ2 γ ♣Fs ξ q♣Fc f q   Fc g ✏ ♣Fc k q♣y q Ta có: ∆✏ λ2 γ ♣Fs ξ q♣y q λ1 ♣Fs ϕq♣y q♣Fs ψ q♣y q ✏ 1✁λ1λ2 ✂ ✒✂ Fc ϕ ✡ ✚✡ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq, γ Fs 38 ✒✂ ✂ ✏1  ∆ λ1 λ2 Fc ϕ ✂ ✒✂ ✁ λ1 λ2 Fc ✡ ✚✡ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq γ Fs ϕ ✡ ✚✡ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq γ Fs ∆f ✏ ♣Fchq♣yq ♣Fckq♣yq λ1 ♣Fs ϕq♣y q♣Fs ψ q♣y q ✏ ♣Fchq♣yq ✁ λ1♣Fcr✝♣ϕ, ψ, kqsq♣yq, ✁ γ ✠ ♣ Fc hq♣y q ✏ ♣Fckq♣yq ✁ λ2rFc ξ ✝1 h s♣yq ∆g ✏ λ2 γ ♣Fs ξ q♣y q ♣Fc k q♣y q Ở áp dụng Định lý✒Wiener-Levy ✚ cho hàm η ♣z q có dạng η ♣z q ✏ γ z ✝ ♣ ϕ , ✁ z ✘ z ✏ λ λ F ψ q ✝ ξ ♣y q, tồn c 1✁z F hàm: l € L♣R  q thỏa mãn s ✒✂ ♣Fclq♣yq ✏ λ1 λ2 Fc ϕ ✁ λ1 λ2 Fc ✡ ✒✂ ✚ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq γ Fs ϕ ✡ ✚ ✝ ψ ✝2 ξ ♣yq γ Fs Do ♣Fcf q♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqqt♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq✉ ✏ ♣Fchq♣yq   Fc♣h F✝ lq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kqs♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ, ψ, kq F✝ ls♣yq c ✏ Fc ✒ ✂ h  h ✡c ✚ ✝ l ✁ λ1♣✝♣ϕ, ψ, kqq ✁ λ1♣✝♣ϕ, ψ, kqq F✝ l ♣yq Fc c Suy ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq ♣h F✝ lq✁λ1r✝♣ϕ, ψ, kqs♣xq✁λr✝♣ϕ, ψ, kq F✝ ls♣xq ♣h.k.nq c Theo giả thiết h L♣R  q € L♣R q, tích chập Nên nghiệm phương trình f ✂ ✡ c ✝ € L♣R q đa chập ✝ ♣., , q € Fc € L♣R q 39 Tương tự ta có ✑ ✁ ✠ ♣Fcgq♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqq ♣Fckq♣yq ✁ λ2Fc ξ ✝1 h ♣yq ✁ γ ✠ ✏ ♣Fckq♣yq   Fc♣k F✝ lq♣yq ✁ λ2Fc ξ ✝1 h ♣yq ✁ λ2 Fc ✒✁ ξ✝h γ ✠ γ ✙ ✚c ✝ l ♣y q Fc nghĩa ✁ ✠ ♣gq♣xq ✏ ♣kq♣xq ♣k F✝ lq♣xq✁λ2 ξ ✝1 h ♣xq✁λ2 γ ✒✁ ξ✝h L♣R  q € L♣R q tích chập ✠ c Do theo giả thiết k γ ✂ ✚ ✝ l ♣xq ♣h.k.nq Fc ✡ ✁ ✠ ✝ € L♣R q, ✝1 € γ Fc € L♣R q Vậy nghiệm hệ phương trình (3.17) ♣f, g q € L♣R  q ✂ L♣R  q Nên nghiệm hệ phương trinh g ✆ Định lí chứng minh xong 3.4 Bài toán 3.4 Xét hệ phương trình tích phân có dạng f ♣xq   λ2 2π ➺ λ1 2π R2  ➺ R2  rk1♣x, u, vq   k2♣x, u, vqsϕ1♣uqψ1♣vqdudv ✏ h♣xq rk3♣x, u, vq   k4♣x, u, vqsϕ2♣uqψ2♣vqdudv   g♣xq ✏ k♣xq, x → (3.22) Trong hệ hàm ϕ1 , ψ1 , ϕ2 , ψ2 , h, k hàm cho trước thuộc L1 ♣R  q, λ1 , λ2 số phức cho trước f, g ẩn hàm phải tìm Chú ý ẩn hàm f, g toán nằm nhân k1 , k2 , k3 , k4 40 Để giải Hệ phương trình (3.22) chọn lớp nhân k1 , k2 , k3 , k4 sau: k1 ♣x, u, v q ✏ g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q k2 ♣x, u, v q ✏ ✁♣g ♣⑤x ✁ u ✁ v ⑤q   g ♣x   u   v qq (3.23) k3 ♣x, u, v q ✏ f ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   f ♣⑤x ✁ u   v ⑤q k4 ♣x, u, v q ✏ ✁♣f ♣⑤x ✁ u ✁ v ⑤q   f ♣x   u   v qq Để giải hệ phương trình tích phân (3.22) việc chọn nhân ToeplitzHankel.Chúng sử dụng tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q để ✝ q xác định (1.12), tích chập suy rộng ♣ ✝2 q xác định (1.26) đa chập ✝♣ϕ, ψ, k q xác định (1.33) đẳng thức giải.Tích chập ♣ Fc nhân tử hóa tương ứng với tích chập, tích chập suy rộng đa chập xác định (1.13), (1.27) (1.34).Ngoài sử dụng Định lý WienerLevy để tồn hàm l € L1 ♣R  q Định lý sau tồn không gian L♣R  q công thức nghiệm hệ phương trình tích phân (3.22) Định lý 3.4 (X.[9]) Giả sử ϕ1 , ψ1 , ϕ2 , ψ2 , h, k hàm biết thuộc L♣R  q và: ✁ λ1 λ2 Fc ✑ ✙ ✝♣ϕ1, ψ1, ♣ϕ2 ✝2 ψ2qq ♣xq ✘ 0, ❅x → 0, Thì nghiệm hệ (3.22) là: ♣f, g q € L♣R  q ✂ L♣R  q xác định bởi: ✒ ✚ ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq   ♣l F✝ hq♣xq ✁ λ1 ✝♣ϕ1, ψ1, kq   ✝♣ϕ1, ψ1, kq F✝ l ♣xq, x → c ✒ ✚ c ♣gq♣xq ✏ ♣xqk   ♣l F✝ kq♣xq ✁ λ2 ✝♣ϕ2, ψ2, hq   ✝♣ϕ2, ψ2, hq F✝ l ♣xq, x → Trong l hàm thuộc L♣R  q xác định ✑ ✙ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q ✑ ✙ ♣Fclq♣yq ✏ ✁ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q c c 41 Chứng minh Hệ phương trình (3.22) với nhân xác định (3.23) viết lại dạng sau f ♣xq   λ1 ➺ ✒ ϕ♣uqψ ♣v q g ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   g ♣⑤x ✁ u   v ⑤q 2π R2  ➺ λ2 ✚ ✁ g♣⑤x ✁ u ✁ v⑤q ✁ g♣⑤x   u   v⑤q dudv ✒ ✏ h♣xq ϕ2 ♣uqψ2 ♣v q f ♣⑤x   u ✁ v ⑤q   f ♣⑤x ✁ u   v ⑤q 2π R2  ✚ ✁ f ♣⑤x ✁ u ✁ v⑤q ✁ f ♣⑤x   u   v⑤q   g♣xq ✏ k♣xq, x → (3.24) Sử dụng đa chập ✝ ♣., , ,q (1.33) vào hệ phương trình tích phân (3.24) ta hệ phương trình dang chập f ♣xq   λ1 ♣✝♣ϕ1 , ψ1 , g qq ♣xq ✏ h♣xq λ2 ♣✝♣ϕ2 , ψ2 , f qq ♣xq   g ♣xq ✏ k ♣xq, x → (3.25) Tác động phép biến đổi Fourier cosine (Fc ) vào hai vế hệ phương trình (3.25) ta ♣Fcf q♣yq   λ1rFc ♣✝♣ϕ1, ψ1, gqqs♣yq ✏ ♣Fchq♣yq λ2 rFc ♣ϕ2 , ψ2 , f qs♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k q♣y q, y → (3.26) Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.34) cho đa chập ✝ ♣., , ,q vào hệ (3.26) ta ♣Fcf q♣yq   λ1♣Fsϕ1q♣yq♣Fsψ1q♣yq♣Fcgq♣yq ✏ ♣Fchq♣yq λ2 ♣Fs ϕ2 q♣y q♣Fs ψ2 q♣y q♣Fc f q♣y q   ♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc k q♣y q Ta thấy ∆✏ λ2 ♣Fs ϕ2 q♣y q♣Fs ψ2 q♣y q λ1 ♣Fs ϕ1 q♣y q♣Fs ψ1 q♣y q ✒ ✚ ✏ ✁ λ1λ2Fc ✝♣ϕ1, ψ1, ♣ϕ2 F✝ ψ2qq ♣yq, c 42 ✑ ∆ ✙ ✝♣ϕ1, ψ1, ♣ϕ2 ✝2 ψ2qq ♣yq ✑ ✙ ✏1  ✁ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q λ1 λ2 Fc ∆f ✏ ♣Fchq♣yq ♣Fckq♣yq λ1 ♣Fs ϕ1 q♣y q♣Fs ψ1 q♣y q ✏ 1 ✏ ♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ1, ψ1, kqs♣yq, ♣Fchq♣yq ✏ ♣F kq♣yq ✁ λ F r✝♣ϕ , ψ , hqs♣yq c c 2 λ2 ♣Fs ϕ2 q♣y q♣Fs ψ2 q♣y q ♣Fc k q♣y q Ở áp dụng Định lý Wiener-Levy cho hàm η ♣z q có dạng η ♣z q ✏ ✑ ✙ z ✝ 1✁z , ✁ z ✘ z ✏ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1, ψ1 , ♣ϕ2 ψ2 qq ♣y q, tồn hàm l € L♣R  q thỏa mãn ✑ ✙ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q ✑ ✙ ♣Fclq♣yq ✏ ✁ λ1 λ2 Fc ✝♣ϕ1 , ψ1 , ♣ϕ2 ✝ ψ2 qq ♣y q ∆g Do ♣Fcf q♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqqt♣Fchq♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ1, ψ1, kqs♣yq✉ ✂ ✡ ✏ ♣Fchq♣yq   Fc l F✝ h ♣yq ✁ λ1Fcr✝♣ϕ1, ψ1, kqs♣yq ✒ ✚ c ✁ λ1Fc ✝♣ϕ1, ψ1, kq F✝ l ♣yq ✏ Fc ✒ ✂ h  l ✡ ✂ ✡✚ ✝ h ✁ λ1 ✝♣ϕ1, ψ1, kq   ✝♣ϕ1, ψ1, kq F✝ l ♣yq Fc ta ♣f q♣xq ✏ ♣hq♣xq   ✒ c c ✂ ✡ l ✝ h ♣xq Fc ✚ ✁ λ1 ✝♣ϕ1, ψ1, kq   ✝♣ϕ1, ψ1, kq F✝ l ♣xq c Theo giả thiết h L♣R  q € L♣R q, tích chập ✂ ✡ ♣h.k.nq ✝ € L♣R q đa chập ✝ ♣., , q € Fc 43 Nghiệm hệ phương trinh f € L♣R q Tương tự, có ♣Fcgq♣yq ✏ ♣1   ♣Fclq♣yqqt♣Fckq♣yq ✁ λ2Fcr✝♣ϕ2, ψ2, hqs♣yq✉ ✂ ✡ ✏ ♣Fckq♣yq   Fc l F✝ k ♣yq ✁ λ2Fcr✝♣ϕ2, ψ2, hqs♣yq ✒ ✚ c ✁ λ2Fc ✝♣ϕ2, ψ2, hq F✝ l ♣yq ✏ Fc ✂ ✂ k  l ✡ c ✒ ✡✚ ✝ k ✁ λ2 ✝♣ϕ2, ψ2, hq   ✝♣ϕ2, ψ2, hq F✝ l ♣yq Fc c ta ♣gq♣xq ✏ ♣kq♣xq   ✒ ✂ ✡ l ✝ k ♣xq Fc ✚ ✁ λ2 ✝♣ϕ2, ψ2, hq   ✝♣ϕ2, ψ2, hq F✝ l ♣xq c Theo giả thiết k L♣R  q € L♣R q, tích chập ✂ ♣h.k.nq ✡ ✝ € L♣R q đa chập ✝ ♣., , q € Fc € L♣R q Vây nghiệm hệ (3.22) (f, g) € L♣R  q ✂ L♣R  q Nghiệm hệ phương trình g Định lý chứng minh xong ✆ Nhận xét: Như hệ phương trình tích phân nói giải nghiệm nhờ công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập nghiên cứu trước 44 Kết luận chương - Nghiên cứu phương pháp giải lớp hệ phương trình tích phân công cụ tích chập, tích chập đa chập - Cho ta nghiệm toán xét thể Định lý: Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4 45 Kết Luận Luận văn trình bày chi tiết giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, , Kontorovich-Lebedev ♣K q, Laplace ♣Lq Luận văn đạt được: Trình bày số tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace ♣Lq, Kontorovich-Lebedev ♣K q tồn chúng không gian hàm khác đẳng thức nhân tử hóa Trình bày lời giải đóng số phương trình tích phân với nhân Toplizt-Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập Trình bày lời giải đóng số hệ phương trình Toplizt-Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng, đa chập Vấn đề nghiên cứu tiếp theo: Từ phương trình hệ phương trình tích phân giới thiệu chương 2, chương tìm hiểu thêm toán có tính chất thực tiễn gắn với phương trình 46 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng việt [1] Đặng Đình Áng (2009), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kì dị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (Tái bản) [4] Nguyễn Thanh Hồng (2012), Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ứng dụng, Luận văn Tiến sĩ Đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Trinh Tuan (2007), On the generalized convolution with a weight function for the Fourier cosine and the inverse Kontorovich – Lebedev integral transformations, Nonlinear founctional Analysis and Applications Vol 12, No 2, pp 325 - 341 [6] Nguyen Xuan Thao (2014), Trinh Tuan, Le Xuan Huy, The generalized convolution with a weight function for Laplace transform, Nonlinear Founctional Analysis and Applications Vol 19, No 1, pp 61 - 77 [7] Trinh Tuan (2012), A novel polyconvolution for the Fourier since, Fourier cosine and the Kontorovich- Lebedev integral transforms and applications, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp.38, pp.25- 42 47 [8] Trinh Tuan, Nguyen Xuan Thao (2011), A New Polyconvolution and Its Application to Solving a Class of Toeplitz – Hankel Integral Equations and Systems of Integral Equations, Vietnam Journal of Mathematics Vol 39, No.2, pp 217 - 235 [9] Nguyen Xuan Thao, Nguyen Duc Hau (2008), On the polyconvolution for the Fourier cosine and Fourier sine tranforms, ACTA Mathematica Vietnamica volume 33, Number 2, 2008, pp 107-122 [10] E C Titchmarsh (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Third edition Chelsea Publishing Co., New York [...]... Định lý 2.3 27 Chương 3 Hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel Trong chương này, chúng tôi xét một số lớp hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel Hệ này giải được bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập của các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Kontorovich- Lebedev ♣K q đã được trình bày ở chương 1 để giải và Định lý Wiener- Levy... q và tích chập Nên nghiệm của phương trình: f € L1♣R q ✁ ✠ ✝ € L♣R  q 1 Như vậy ta nhận được nghiệm của phương trình tích phân với nhân ToeplitzHankel (2.1), trong đó nhân Hankel k1 và nhân Toeplitz k2 xác định bởi (2.2) và (2.3) Định lý được chứng minh xong ✆ Bây giờ chúng ta xét bài toán mà ẩn hàm f chứa trong dấu tích phân và nằm ✁ ✠ trong tích chập ✝ 2 2.2 Bài toán 2.2 Xét phương trình tích. .. Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace ♣Lq Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz- Hankel ở chương II và chương III của luận văn € L♣R q Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q của hai hàm f và g ký hiệu là ♣f ✝ g... giải đóng một lớp phương trình có dạng trên bằng cách chọn lớp nhân Toeplizt -Hankel k1 , k2 cụ thể và sử dụng các công cụ về tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace ♣Lq và một số kỹ thuật của giải tích hàm chẳng hạn như Định lý Wiener- Levy cũng như việc chọn lớp không hàm cụ thể để giải các lớp phương trình dạng... L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs ✁γ ✠ ✝♣f, g, hq ♣yq ✏ sin y♣Fsf q♣yq♣Fsgq♣yq♣Kiy hq♣yq, ❅y → 0 (1.37) 14 Chương 2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz- Hankel Như ở phần đặt vấn đề đã trình bày việc giải đóng phương trình tích phân với nhân Toeplizt -Hankel k1 , k2 f ♣xq    ✽ ➺ rk1 ♣x   yq   k2 ♣x ✁ yq sf ♣yq dy ✏ ϕ ♣xq , x → 0 0 còn là vấn đề mở Trong chương này, chúng tôi trình bày... được sử dụng để giải phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz- Hankel ở chương II và chương III của luận văn € L1♣R q Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine ♣Fs q; Fourier cosine ♣Fc q của hai Ví dụ 1.5 (X.[9]) Cho hai hàm số f, g hàm f và g được xác định như sau ✁ f ✝g 1 ✠ ♣xq ✏ ❄1 2π ➺  ✽ 0 f ♣uqrg ♣⑤u ✁ x⑤q ✁ g ♣u   xqsdu; x → 0 (1.22) Tích chập này thuộc... xong ✡ ✝ € L♣R q Fc ✆ Nhận xét: như vậy các phương trình tích phân (2.1),(2.2), (2.3) ở trên đã giải được bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập Nhờ đó đã cho ta biểu thức nghiệm và sự tồn tại nghiệm trong không gian L1 ♣R  q, L♣R  q 26 Kết luận chương 2 - Nghiên cứu phương pháp giải đóng một lớp phương trình tích phân với nhân Toeplizt- Hankel - Cho nghiệm đúng của các bài toán này... tích phân khác nhau Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Kontorovich-Lebedev ♣K q Các đa chập này sẽ được sử dụng để giải hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz- Hankel ở chương II, chương III của luận văn 13 Ví dụ 1.10 (X.[9]) Cho các hàm f, g, h € L♣R  q thì đa chập đối với các phép biến đổi tích phân. .. thức tích chập suy rộng với hàm trọng ✝ (1.28) thì phương γ2 3 trình (2.12) được viết về phương trình dạng chập f ♣xq   ✁✁ ϕ✝f ✠γ ✠ ✝3 ψq ♣xq ✏ g ♣xq 2 2 (2.13) Tác động phép biến đổi Fourier sine (F s) vào hai vế của phương trình (2.13) ta được ♣Fsf q ♣yq   Fs ✁✁ ϕ✝f ✠γ 2 ✠ ✝3 ψ ♣yq ✏ ♣Fsgq ♣yq 2 (2.14) ✁ ✠ Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.29) đối với tích chập suy rộng ✝ vào γ2 3 phương trình. .. thức tích chập ✡ ✝ γ Fs ✠ ✁ (1.16) và tích chập suy rộng ✝ 1 (1.22) thì phương trình tích phân (2.7) được viết về phương trình dạng chập ✂ f ♣xq   f ✡ ✝ h1 ♣xq   γ ✁ Fs f ✝ h2 ✠ 1 ♣xq ✏ g♣xq (2.8) Tác động phép biến đổi Fourier sine (Fs ) vào hai vế của phương trình (2.8) ta được ♣Fsf q ♣yq   Fs ✂ f ✡ ✝ h1 ♣yq   Fs γ Fs ✁ f ✝ h2 1 ✠ ♣yq ✏ ♣Fsgq♣yq ✂ Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.17) đối với tích