Ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề tương tác của lý thuyết trường lượng tử

Cở sở toán học chặt chẽ của khái niệm tích phân quỹ đạo này đã được trình bày kỹ trong các công trình của Wiener [100-101] Nguyên lý động lực học chủ yếu mà Feynman đã sử dụng khi xây d

MỤC LỤC

Trang

A MỞ ĐẦU

 Phương pháp phân tích phiếm hàm

 Cấu trúc của luận văn

4

4

9

CHƯƠNG I: HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC 13

1.1 Các phương trình cho hàm Green một hạt trong trường ngoài 13 1.2 Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngoài

dưới dạng tích phân phiếm hàm

16

CHƯƠNG II: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK

TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM

21

2.1 Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng

2.1.1 Hàm Green hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng

2.1.2 Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng

21

21

25 2.2 Tán xạ năng lượng cao

2.2.1 Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng

trong

trường vô hướng

2.2.2 Tính chất tiệm cận của biên độ tán xạ hai hạt vô hướng ở

năng lượng cao

2.3 Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn trong vùng năng lượng

Planck

2.3.1 Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt trong tương tác hấp dẫn

2.3.2 Biên độ tán xạ không đàn tính hai hạt trong tương tác hấp

năng lượng Planck

CHƯƠNG III: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK

TRONG CÁCH TIẾP CẬN CHUẨN THẾ

50

3.1 Nghiệm của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkelidze cho tán

xạ hai hạt vô hướng

51

3.2 Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao

3.3 Biên độ tán xạ trong trường chuẩn thế Yukawa

56

60 3.4 Mối liên hệ giữa phương pháp chuẩn thế và phương pháp tích

phân quỹ đạo Feynman

65

CHƯƠNG IV: KHỬ PHÂN KỲ VÀ TÁI CHUẨN HOÁ HÀM GREEN

TRONG MÔ HÌNH BLOCH- NORSIECK CHO QED 3 VÀ

trong QED3

77

KẾT LUẬN

CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN

Tài liệu tham khảo

MỞ ĐẦU Phương pháp tích phân phiếm hàm

Trong những thập niên gần đây, tích phân Feynman được sử dụng rộng rãi để xây dựng các lý thuyết vật lý hiện đại, cũng như thiết lập các phương pháp tính toán cho các quá trình vật lý, vì nó có thể tạo cơ sở để vượt ra khỏi khuôn khổ cách tính toán thông thường của lý thuyết nhiễu loạn [12-15] Toán tử S-ma trận hoặc hàm Green của các hạt lượng tử là những đại lượng quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử [21]

Ưu việt của phương pháp tích phân do Feynman khởi xướng cho lý thuyết lượng tử [33-36] là cho phép xác định toán tử S-matrận hoặc hàm Green ở dạng compact nhất

[12-15, 21] Trong vật lý, tích phân Feynman này được gọi là tích phân quỹ đạo hay tích phân đường, còn trong toán học nó được gọi là tích phân liên tục hay tích phân phiếm hàm

Phương pháp tích phân quỹ đạo là công cụ hữu hiệu để xem xét các vấn đề của Vật lý lý thuyết, lần đầu tiên nó được Einstein và Smolykhovski đưa vào trong các công trình nghiên cứu về chuyển động Brown [29] Cở sở toán học chặt chẽ của khái niệm tích phân quỹ đạo này đã được trình bày kỹ trong các công trình của Wiener [100-101]

Nguyên lý động lực học chủ yếu mà Feynman đã sử dụng khi xây dựng cách phát biểu mới cho cơ học lượng tử tương đối tính theo phương pháp tích phân quỹ đạo

là [33-36] : “ Biên độ xác suất của phép dời chuyển một hệ lượng tử từ trạng thái

a tới trạng thái b được xác định bởi tổng (hay tích phân) theo tất cả các quỹ đạo khả dĩ trong không gian pha  q t( ) của biểu thức exp i S q t[ ( )] 

về mặt toán học là nhưng ưu việt của phương pháp này Thành tựu lớn nhất của phương pháp tích phân phiếm hàm là việc phát triển kỹ thuật giản đồ Feynman [36] được sử dụng rộng rãi trong điện động lực học lượng tử (QED) trước đây, và lượng tử hoá các lý thuyết trường chuẩn sau này [35] Cách viết gọn gàng các phương trình của

lý thuyết trường lượng tử nhờ tích phân phiếm hàm có ích lợi trong việc nghiên cứu một số vấn đề như phép biến đổi gradient của hàm Green, dáng điệu tiệm cận của hàm Green của hạt ở vùng hồng ngoại và vùng năng lượng cao Cần phải nhấn mạnh rằng nhờ phương pháp tích phân phiếm hàm người ta đã tiến hành lượng tử hoá và xây dựng sơ đồ tái chuẩn hoá cho trường Yang Mills [31,32], đồng thời phương pháp này cũng được sử dụng để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử Ngày nay, công cụ tính toán trong nhiều lĩnh vực vật lý hiện đại đều được xây dựng trên cơ sở phương pháp tích phân Feynman

Để nhận được kết quả lượng tử cuối cùng hoặc cho S-matrận, hoặc cho hàm Green của hạt, trong phương pháp tích phân phiếm hàm có hai loại bài toán sau cần phải giải quyết: 1/ Loại bài toán thứ nhất: tìm hàm Green của hạt G x y( , | ) ở trường ngoài nào đấy ( )x ; 2/ loại bài toán thứ hai: dựa vào biểu thức G x y( , | ) đã tìm được, thực hiện phép lấy trung bình phiếm hàm theo trường ngoài để tìm các đại lượng vật lý cần thiết Hai loại bài toán này rất phức tạp và không phải lúc nào cũng có lời giải chính xác Kỹ thuật tính các tích phân phiếm hàm hiện nay còn đang trên đường phát triển Trở ngại lớn nhất và cũng là khó khăn chung trong hướng nghiên cứu này, chính là việc phải tính các tích phân phiếm hàm có dạng khác với tích phân Gauss Xét về mặt toán học thì phương pháp này còn lâu mới hoàn chỉnh Để khắc phục những khó khăn trên, trong khuôn khổ tích phân phiếm hàm người ta đã phát triển nhiều cách tính gần đúng và đã áp dụng thành công cho nhiều bài toán của lý thuyết trường lượng tử Khi nghiên cứu các kì dị hồng ngoại, E.S.Fradkin [38,39], B.M Barbashov [14,15] đã đề xuất những phương pháp tính gần đúng các tích phân phiếm hàm đối với hàm Green trong QED Xét về mặt kỹ thuật thì các phép gần đúng này khác nhau, tuy nhiên về bản chất thì chúng giống nhau Phép gần đúng này gọi là phép

gần đúng kikj=0 vì sau khi lấy tích phân thành phần dạng kikj sẽ không có mặt trong hàm truyền (hàm Green) của hạt

Trong khuôn khổ tích phân phiếm hàm, người ta nghiên cứu các quá trình tán xạ năng lượng cao trong lý thuyết trường lượng tử Phép gần đúng kikj = 0 đã sử dụng để nghiên cứu kì dị hồng ngoại, được tổng quát hoá cho các bài toán tán xạ năng lượng cao Kết quả, ở vùng năng lượng lớn s  , xung lượng truyền nhỏ  t s 0 biên độ tán xạ thế hay biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn eikonal [13-15, 72-81], trong đó

s và t là các biến số Mandenstam Bản chất của phép gần đúng trên dựa vào giả thiết

sau: với năng lượng lớn các đóng góp chủ yếu vào các tích phân phiếm hàm là các quỹ đạo gần với các quỹ đạo cổ điển của các hạt Chính vì vậy phép gần đúng kikj =

0 này còn được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal

Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hoá hàm truyền của

các hạt tán xạ theo xung lượng của hạt trao đổi [72-79] như sau:

2

m k

p

i i

1 2

p (0.1)

trong đó plà xung lượng của hạt tán xạ, k i - là xung lượng của các hạt được trao đổi,

và trong công thức (0.1) ta bỏ qua các số hạng dạng k i k j  0 Bức tranh vật lý ở đây

như sau: Các hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các

lượng tử ảo, đồng thời không có sự liên hệ tương thích giữa các quá trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan k i k j không có mặt trong hàm truyền (0.1)

Năm 1963, A A Logunov và A N Tavkhelidze đã công bố công trình cho phép tiếp cận bài toán tán xạ tương đối tính đơn giản, mang ý nghĩa tiếp cận chuẩn thế trong lý thuyết trường lượng tử Mặc dầu phương pháp này không hiệp biến ở dạng tường minh, song nó vẫn dẫn tới tất cả các thông tin về tính chất giải tích của biên độ tán xạ như lý thuyết hiệp biến tương đối tính đã đạt được Các kết quả nghiên cứu từ phương trình này đã được nhiều kiểm nghiệm với độ tin cậy đáng ghi nhớ Mặt khác,

sử dụng phương trình chuẩn thế, biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ lần đầu tiên được chứng minh chặt chẽ trong lý thuyết trường lượng tử

Do vậy lựa chọn cách tiếp cận chuẩn thế vẫn mang tính thời sự và hứa hẹn thu được nhiều thông tin đáng tin cậy Hơn nữa các kết quả nhận được có thể tổng quát hoá cho những nghiên cứu của bài toán hấp dẫn lượng tử, vấn đề này cho đến nay vẫn còn mang tính thời sự và gây nhiều tranh cãi Trong phương pháp chuẩn thế, khái niệm

“thế năng” được đưa vào trong lý thuyết trường lượng tử để thuận lợi cho việc nghiên cứu bài toán tán xạ [5, 37, 59] Phương trình chuẩn thế có dạng tương tự như phương trình cho biên độ tán xạ của cơ học lượng tử phi tương đối tính được khởi nguồn từ phương trình Schrodinger

Tại vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ thì mọi phương pháp được nêu ở trên, đều cho ta biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ Cơ sở chặt chẽ nhất cho biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử được tìm thấy là nhờ phương pháp chuẩn thế Số hạng chính của (leading term) biên độ eikonal được tìm là

giống nhau Các số hạng bổ chính (corrections-non-leading) được tính trong gần đúng eikonal cho biên độ tán xạ, cần lưu ý rằng sự khác nhau ở đây tuỳ thuộc vào spin của

lượng tử được trao đổi giữa các hạt Các bổ chính cho biên độ tán xạ năng lượng cao, trước đây được coi là nhỏ Chính vì vậy, vấn đề này ít được nghiên cứu một cách hệ thống

Năm 1988, Phép gần đúng eikonal đã được t Hooft [48] sử dụng để nghiên cứu tán xạ hạt năng lượng Planck trong hấp dẫn lượng tử Kết quả thu được đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học khi xem xét các hiệu ứng vật lý ở

“kích thước Planck”- khoảng cách cỡ 10  33cm, thời gian cỡ 10 s  43 - “thời gian Planck”

và năng lượng cỡ 10 19GeV - “năng lượng Planck” Vật lý ở kích thước Planck liên quan đến nhiều vấn đề đặc biệt như các lực hấp dẫn mạnh khi ở gần lỗ đen, sự cải biến

lý thuyết dây từ lý thuyết hấp dẫn, và một số hiệu ứng khác của hấp dẫn lượng tử 9,40,91] và nó được xem là cơ sở quan trọng để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử

[7-Khi năng lượng tăng, thì hằng số tương tác hiệu dụng G Gs/  1 (trong đó G – là hằng số hấp dẫn Newton) cũng tăng, việc tính các bổ chính bằng lý thuyết nhiễu loạn theo G 1 khó khăn So sánh kết quả của nhiều cách tính khác nhau cho bài toán này, nhận thấy chúng chỉ trùng nhau ở số hạng chính của biên độ eikonal, còn các số hạng bổ chính cho nó đều thất bại Việc tính các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ trong hấp dẫn lượng tử là bài toán chưa có lời giải Mặt khác, các bổ chính này

có vai trò chủ chốt để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử

Với những lý do đề cập ở trên, luận án của tôi muốn tiếp tục xem xét các bài

toán tán xạ năng lượng cao trên cơ sở phép gần đúng quỹ đạo thẳng k i k j =0 trong lý thuyết trường lượng tử nói chung và trong trường hấp dẫn nói riêng Kết quả cuối cùng là tìm biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ Số hạng bổ chính bậc nhất (non- leading term) cho số hạng chính của biên độ eikonal trong hấp dẫn lượng tử được tính toán bằng phương pháp phiếm hàm là kết quả mới cho bài toán tán xạ hấp dẫn Đồng thời luận án cũng tiếp cận vấn đề này dựa trên việc giải phương trình chuẩn thế Logunov – Tavkhelidze Các kết quả thu được theo hai cách tiếp cận này sẽ được so sánh với nhau Luận án cũng đề cập đến việc khử phân kỳ và tái chuẩn hoá hàm Green lượng tử trong điện động lực học lượng tử áp dụng vào mô hình Bloch – Norsieck Áp dụng các phép khử phân kỳ bằng cách chỉnh thứ nguyên và chỉnh Pauli – Villars vào hàm Green lượng tử thì thu được kết quả hoàn toàn giống nhau Cần lưu ý

là khi sử dụng phép chỉnh Pauli – Villars thì phải bảo đảm tính bất biến chuẩn trong quá trình tính toán Nếu không sẽ dẫn đến kết quả vật lý không chính xác

Tóm lại, mục đích chính mà luận án đặt ra là nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao (kể cả năng lượng Planck) và những vấn đề liên quan bằng phương pháp tích phân phiếm hàm Những mục tiêu cơ bản của nó bao gồm:

 Tìm hàm Green của hạt hay hệ hạt dưới dạng tích phân phiếm hàm

 Tìm biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ của các hạt sau khi tách các số

hạng cực điểm liên quan đến các chân của hàm Green trên mặt khối lượng

 Ở vùng năng lượng cao s   , xung lượng truyền nhỏ  t s 0, gần đúng eikonal (gần đúng quỹ đạo thẳng) được sử dụng để tính các tích phân phiếm hàm

 Nghiên cứu các vấn đề như kỳ dị hồng ngoại, kỳ dị tử ngoại và cách loại bỏ

chúng bằng hai phương pháp chính là phương pháp chỉnh thứ nguyên và chỉnh Pauli – Villars Các tính toán dựa trên mô hình Bloch – Norsieck của điện động lực học lượng tử

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Luận án của tôi có tiêu đề:

“ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG

LƯỢNG TỬ ”

và được sắp xếp thành 3 phần:

A PHẦN MỞ ĐẦU

Phần mở đầu dành cho việc nêu tóm tắt ý nghĩa, thành tựu của phương pháp tích

phân phiếm hàm trong lý thuyết trường lượng tử Đặt ra nhiệm vụ cần nghiên cứu và cấu trúc sơ lược của nội dung luận án

B NỘI DUNG

Dựa vào kết quả nghiên cứu, nội dung luận án được chia làm bốn chương

Chương I: Hàm Green của các hạt tương tác

Trong chương này, hàm Green của hạt vô hướng trong: Trường vô hướng,

Trường điện từ, Trường hấp dẫn được tìm lại bằng phương pháp thời gian riêng Kết quả thu được là biểu thức kín dưới dạng tích phân phiếm hàm

Các tính toán được minh hoạ trước tiên cho mô hình tự tương tác của hạt vô hướng trong trường vô hướng (mô hình 3), sau đó tổng quát hoá cho các mô hình

tương tác còn lại Phần cuối của chương, chúng tôi đã tìm được hàm Green lượng tử của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ một cách chính xác

Chương II: Tán xạ năng lượng Planck trong cách tiếp cận phiếm hàm

Trình bày phương pháp tìm biên độ tán xạ hai hạt với nhau ở vùng năng lượng lớn s  , xung lượng truyền nhỏ  t s 0 cho mô hình tự tương tác 3 Từ dạng tổng quát của hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm, chuyển sang mặt khối lượng: (p2 m2 ),(q2 m2 ), bằng kỹ thuật tách các cực điểm liên quan đến “chân” của hàm Green cho hai hạt vô hướng trong trường vô hướng, biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ của hai hạt vô hướng đã tìm được dưới dạng tích phân phiếm hàm Chúng tôi xây dựng phương pháp gần đúng để tính các tích phân phiếm hàm trong vùng tán xạ năng lượng cao s, xung lượng truyền nhỏ  t s 0 Kết quả là thu được biểu thức Glauber (hay còn gọi là biểu diễn eikonal) cho biên độ tán xạ hai hạt Dùng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng Planck trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử Xét tán xạ đàn tính và không đàn tính hai hạt với tương tác hấp dẫn tại vùng năng lượng Planck Tính bổ chính bậc nhất cho các tán

xạ trên ở năng lượng Planck

Chương III: Tán xạ năng lượng Planck trong cách tiếp cận chuẩn thế

Trong chương này, chúng tôi dựa vào phương trình chuẩn thế Logunov –Tavkhelidze tìm biểu thức cho biên độ tán xạ bằng phương pháp nhiễu loạn cải biến Kết quả được tính tới số hạng gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác g Tiếp theo

số hạng chính của biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó được tính toán trong giới hạn năng lượng cao s và xung lượng truyền cố định  t s 0 Số hạng chính cho ta biểu diễn eikonal đã biết, còn các số hạng bổ chính bậc nhất có bậc nhỏ hơn số hạng chính là 

độ tán xạ hai “nucleon” đã trình bày ở đây trong một chuẩn thế cụ thể là thế Yukawa

để rút ra sự so sánh giữa các cách tiếp cận khác nhau

Chương IV: Khử phân kỳ và tái chuẩn hoá hàm Green trong mô hình Bloch- Norsieck cho QED 3 và QED 4

Trong chương này, chúng tôi áp dụng phương pháp trung bình phiếm hàm để tính hàm Green lượng tử G(x,y) trong trường ngoài của mô hình Bloch-Norsieck Sau

đó sử dụng phương pháp chỉnh Pauli-Villars và chỉnh thứ nguyên xác định hàm Green của QED3 , QED4 sau khi đã tái chuẩn hoá khối lượng của electron Cũng trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra rằng sự sinh khối lượng photon ở giản đồ năng lượng riêng photon trong QED3 trong cả hai phép chỉnh thứ nguyên và Pauli – Villars là giống nhau Điều quan trọng là ở đây là các quá trình khử phân kỳ bằng các phương pháp khác nhau đều phải đảm bảo sự bảo toàn tính bất biến chuẩn

C KẾT LUẬN

Phần kết luận đánh giá các kết quả thu được trong luận án, đồng thời trình bày

những hướng nghiên cứu tiếp theo

Trong luận án còn có các phần: Tài liệu dẫn đưa ra các bài báo đã công bố và các tài liệu tham khảo liên quan trực tiếp đến luận án Các phụ lục dẫn ra cách tính các

tích phân và công thức cần thiết

Phụ lục A giới thiệu các hình thức luận sử dụng tích phân phiếm hàm trong lý

thuyết trường lượng tử, đồng thời giới thiệu cách một số cách giải gần đúng khác tìm hàm Green của hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm

Phụ lục B dành cho việc tính một số tích phân liên quan đến các bổ chính cho hạt

tán xạ

Sử dụng gần đúng eikonal nghiên cứu một số hiệu ứng tán xạ Planck của hạt

trong trường hấp dẫn được trình bày ở Phụ lục C Bài toán này được giải quyết bằng

phương pháp sóng riêng phần Phương pháp này cho ta hiểu rõ nguồn gốc của các cực điểm trong biên độ tán xạ, đồng thời nghiên cứu những vấn đề ở ngoài giới hạn eikonal

Phụ lục D và E dành cho việc tính một số tích phân được sử dụng trong Luận án

Trong luận án sử dụng hệ đơn vị, mà trong đó vận tốc ánh sáng và hằng số Planck

chia cho 2 bằng đơn vị c  1, và metric Pauli x x x1 x x, 2 y x, 3 z x, 4 ict

Qua luận án này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy hướng dẫn khoa học-

Giáo sư, Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Xuân Hãn - người Thầy trong nhiều năm đã tận

tình giúp đỡ, đưa ra những ý tưởng khoa học và định hướng nghiên cứu cho luận án

của tôi Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp vì những chia sẻ, thảo luận

khoa học trong quá trình nghiên cứu

Đồng thời, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô trong Bộ môn

Vật lý lý thuyết và Khoa Vật lý- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã đào tạo và

giúp đỡ tôi rất nhiều trong những năm qua

Tôi cũng muốn qua luận án này, xin cảm ơn các Giáo sư, các nhà khoa học của

các trường Đại học trong và ngoài nước, tại các hội thảo, Hội nghị Vật lý lý thuyết

hàng năm đã quan tâm, thảo luận và có những ý kiến đóng góp rất có ý nghĩa cho các

kết quả khoa học, chính xác

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học

Quốc Gia Hà Nội, Học viện Kỹ thuật Quân sự, Trung tâm Quản lý Học viên và Bồi

dưỡng Cán bộ – Bộ Quốc Phòng, các cơ sở Đào tạo và Bộ môn Vật lý- nơi tôi công

tác, đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành bản luận án này

Hà Nội, ngày tháng năm 2008

Nguyễn Như Xuân

CHƯƠNG I

HÀM GREEN CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC

Hàm Green có vai trò quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử Nhờ nó ta có

thể giải bài toán tìm năng lượng liên kết hay biên độ tán xạ của hạt với trường ngoài

hay bài toán tán xạ của hai hạt với nhau

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra phương trình cho hàm Green của các

“nucleon” vô hướng trong trường ngoài và trình bày cách giải phương trình này trong

mô hình tự tương tác của các “nucleon” vô hướng Kết quả thu được, sau đó sẽ được

tổng quát hoá cho trường hợp điện động lực học vô hướng, trong đó “nucleon” vô

hướng phức tương tác với trường điện từ (trường véc tơ) và trường hợp hấp dẫn lượng

tử, trong đó “nucleon” vô hướng tương tác với trường hấp dẫn (trường tenxơ) Cuối

cùng là hàm Green trong mô hình Bloch – Norsieck của điện động lực học lượng tử

Kết thúc chương này chúng ta xét một bài toán đơn giản là tìm hàm Green lượng

tử của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ Trường này lý thú ở chỗ là hàm

Green của hạt có thể tính được một cách chính xác

1.1 Các phương trình cho hàm Green một hạt trong trường ngoài

Trước hết, chúng ta xét phương trình cho hàm Green trong trường ngoài của mô

hình tự tương tác giữa các “nucleon” vô hướng mô tả bởi trường ( )x có Lagrangian

tương tác: 3

int

L g , trong đó g là hằng số tương tác (gọi tắt là mô hình 3)

Phương trình cho hàm Green của “nucleon” vô hướng trong trường này có dạng:

1 Để đơn giản cách viết, ta ký hiệu trường thực và trường phức cùng một ký hiệu là ( )x Điều này không gây

nên sự nhầm lẫn Trường vô hướng không tích điện, thì hàm trường ( )x là hàm số thực, còn trường vô hướng

tích điện thì hàm trường ( )x là hàm số phức

Phương trình cho hàm Green tương ứng là:

g( )x i i     gm G x y g2 ( , | )4(x y ) (1.1.5) Phương trình này được nghiên cứu trong hệ toạ độ điều hoà, hệ này được xác định bởi điều kiện sau: g( ) 0x  1

Mô hình Bloch-Norsieck (B-N) trong điện động lực học lượng tử được xác định bằng Lagrangian:

  1 2

4

L   A   F x  x iu i    gA m x , (1.1.6) với F   A x( )  A x( ) là ten xơ cường độ điện từ trường Lấy biến phân Lagrangian (1.1.6) phương trình Dirac cho hàm (x) có dạng:

iu i(   eA) m( ) 0x  , (1.1.7) Phương trình cho hàm Green trong trường ngoài điện từ A x( ), tương ứng với phương trình (1.1.7) sẽ có dạng:

u i  eA x( )  m G x y A ( , | )  4 (x y ) (1.1.8)

Về bản chất thì Mô hình B –N là trường hợp đơn giản của điện động lực học vô hướng khi ta thay các ma trận Dirac  bằng c – số u, sự thay thế này giúp chúng ta có thể giải chính xác phương trình (1.1.8) và biện luận các kết quả thu được Vấn đề này

sẽ được trình bày ở chương 4

2 Chuẩn điều hoà tương tự như chuẩn Lorentz trong điện động lực học, nó có vai trò loại bỏ các thành phần

Như vậy, bài toán đặt ra là tìm lời giải cho hàm Green của hạt vô hướng trong các trường ngoài tương ứng ở trên Đây là một bài toán phức tạp và khó, không phải lúc nào cũng có lời giải

Lời giải của phương trình (1.1.1) đã được tìm bằng nhiều phương pháp khác nhau Ở đây chúng tôi chỉ đưa ra vắn tắt hai phương pháp cơ bản đã dùng để giải phương trình (1.1.1) (kết quả chi tiết các lời giải này xem phụ lục A)

Cách thứ nhất, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cải biến [38, 39] Trong phương

pháp này, hàm Green của hạt vô hướng trong trường ngoài đã tìm được dưới dạng tổng của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác g Tuy nhiên kết quả tính toán mới chỉ đưa ra được số hạng gần đúng bậc nhất và bậc hai của lý thuyết nhiễu loạn Quá trình tính toán các bậc nhiễu loạn tiếp theo là rất khó khăn, hơn nữa biểu thức, nếu thu được, cũng rất phức tạp (vì nó chứa các toán tử trường bậc cao) Điều này gây khó khăn cho việc tìm hàm Green lượng tử khi lấy trung bình phiếm hàm hàm Green ( , | )

G x y  theo các trường ngoài

Cách thứ hai là thêm tương tác bổ sung với nguồn ngoài t  [39,40] Về bản chất cũng là đi tìm hàm Green của “nucleon” vô hướng theo lý thuyết nhiễu loạn Hàm Green thu được theo phương pháp này chứa các toán tử trường có dạng bậc nhất mà

ưu điểm của nó là: Phép lấy trung bình phiếm hàm theo các trường ngoài (khi tìm hàm Green lượng tử cũng như phiếm hàm sinh) sẽ tiến hành đơn giản hơn vì trường ngoài cổ điển ( )x có trong hàm luỹ thừa dưới dạng tuyến tính Cần chú ý

rằng, khi chuyển sang biểu diễn xung lượng trong không gian phiếm hàm t, thì hàm Green G x y( , | ) được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm hàm, mà nó được xem xét

như là phép biến đổi Lagrange đã được Feynman tổng quát hoá cho phương trình Klein-Gordon đối với hàm Green của phương trình này Hơn nữa, bằng lời giải toán tử sau đó khai triển nhiễu loạn thông thường theo hằng số tương tác, hàm Green

( , | )

hàm Green lại chứa tích phân phiếm hàm của nguồn tương tác ở dạng bậc hai Hàm

Green tuy thu được là kín nhưng kết quả tính toán là rất phức tạp

Để khắc phục những khó khăn từ hai cách giải trên và để thuận lợi hơn cho việc tìm biên độ tán xạ của “nucleon” trong trường ngoài ở chương tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra cách biểu diễn hàm Green của “nucleon” trong trường ngoài ở dạng tổng quát hơn và các tích phân phiếm hàm cũng có dạng đơn giản hơn Phương pháp này dựa trên phép biến đổi Weierstrass để hạ bậc các toán tử vi phân bậc cao và được gọi là

phương pháp thời gian riêng

1.2 Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm

Phương trình cho hàm Green của “nucleon” vô hướng trong trường vô hướng ( )x

được xác định bởi phương trình (1.1.1):

Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1.1) bằng phương pháp thời gian riêng

Để làm điều đó, trước hết, dựa vào giả thiết của Feynman [36] và Fock [40], nghiệm

Hệ số mũ trong phương trình (1.2.1) là hàm bậc hai theo toán tử vi phân  vì vậy, khi chuyển từ luỹ thừa của T-tích sang biểu thức toán tử thông thường (tương ứng với việc chuyển từ T-tích sang N-tích) không thể thực hiện được nếu không khai triển biểu thức (1.2.1) thành chuỗi theo hằng số tương tác, như đã thực hiện ở trên Tuy nhiên, sử dụng phép biến đổi Weierstrass [11] trong không gian hàm số 4-chiều, toán

tử vi phân bậc cao có thể biểu diễn thành tích các toán tử bậc thấp hơn Cụ thể:

ở đây, tích phân phiếm hàm được mở rộng trên không gian hàm số bốn chiều  ( )

theo độ đo Gauss, hằng số C được xác định bởi điều kiện:

dụng công thức dịch chuyển sau e  f x( ) f x( )

Vì trong biểu thức (1.2.4) có chứa hàm  nên để tính các tích phân này, chúng ta

sẽ chuyển sang biểu diễn xung lượng nhờ phép biến đổi Fourier:

Thực hiện phép thay biến:  ( )  ( ) p , (1.2.7)

thì các biểu thức sau sẽ biến đổi là:

Green G x y( , | ) cho hạt vô hướng chuyển động trong trường ngoài vô hướng (x):

G x y  dưới dạng tích phân phiếm hàm, từ biểu thức đó ta có thể dễ dàng lấy giá trị

trung bình của hàm Green G x y( , | ) của hạt theo các trường ngoài (x) để thu được

hàm Green lượng tử của một hạt trong trường ngoài

Chuyển sang biểu diễn xung lượng, hàm Green G x y( , | ) được viết dưới dạng:

+ +

Các biểu thức này có thể được sử dụng để nghiên cứu nhiều bài toán tán xạ trong

lý thuyết trường lượng tử

Phần cuối của mục này, chúng ta xét một bài toán đơn giản là tìm hàm Green

lượng tử của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ Trường này lý thú ở chỗ

là hàm Green G x y A( , | ) của hạt có thể tính được một cách chính xác Trường sóng

phẳng điện từ A x( )có dạng: A x( ) a( )kx , (1.2.14)

trong đó a( )kx là thế năng của trường sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng đẳng hướng

k  Giả thiết rằng trường sóng phẳng là sóng ngang k a ( ) 0kx  Thay trường

sóng phẳng (1.2.14) vào biểu thức (1.2.12), biểu thức tương ứng cho hàm Green thu

Cũng như hàm Green của các phương trình Klein-Gordon trong trường ngoài

(1.2.14), biểu thức cho bổ chính phân cực ( )A của hàm tác dụng trong trường điện từ

cổ điển được xác định bởi phương trình:

2 4

trong đó A (x) nhất thiết phải lấy bằng (1.2.14)

Một tính chất quan trọng của trường (1.2.14) là các bổ chính phân cực được tính

theo (1.2.16) sẽ giống với kết quả nhận được bởi Schwinger [92] nếu như sóng phẳng

( )kx

a biểu diễn chồng chập của các véc tơ sóng k

Hàm Green thu được trong trường sóng phẳng (1.2.16) hoàn toàn giống với kết quả mà Volkov thu được [97]

Tóm lại, chúng ta đã tìm được hàm Green của hạt vô hướng trong trường ngoài

vô hướng, trường điện từ và trường hấp dẫn Trong đó việc áp dụng phương pháp tích phân phiếm hàm đã dẫn đến biểu thức tổng quát cho hàm Green trong trường ngoài bao gồm các bổ chính bức xạ Từ hàm Green thu được chúng ta có thể tìm được biên

độ tán xạ của các hạt trong quá trình tương tác Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong chương tiếp theo

CHƯƠNG II TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM

Trong chương I, chúng ta đã thu được biểu diễn hàm Green của hạt vô hướng

trong các trường ngoài khác nhau Một ứng dụng quan trọng của hàm Green là cho

phép ta xác định được biên độ tán xạ cũng như tiết diện tán xạ của hạt trong quá trình

tương tác Trong chương này chúng ta sẽ trình bày cách tìm biên độ tán xạ của hai hạt

vô hướng trong mô hình đơn giản 3 Ở vùng năng lượng lớn, s  , xung lượng

truyền nhỏ, t 0

s

  

 , biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn Glauber (hay biểu diễn

eikonal) Các kết quả cho tương tác phức tạp có thể dễ dàng thu được bằng cách tổng

quát hoá những biểu thức thu được ở đây Cuối cùng chúng ta sẽ tìm các số hạng bổ

chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Eikonal ở vùng năng lượng cao

2.1 Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng

2.1.1 Hàm Green hai hạt vô hướng trong trường vô hướng

Hàm Green cho một “nucleon” trong trường ngoài vô hướng ( )x đã được tìm ở

chương I dưới dạng tích phân phiếm hàm trong biểu diễn xung lượng theo công thức

là yếu tố thể tích của không gian hàm

số thực bốn chiều xác định trong khoảng 0   s

Sử dụng biểu thức (2.1.1) và đạo hàm phiếm hàm, hàm Green cho hai “nucleon”

được xác định theo công thức sau:

S0() là giá trị trung bình của S-ma trận trên các thăng giáng chân không của trường

“nucleon” ( )x dưới ảnh hưởng của trường ngoài ( )x Nó có thể biểu diễn dưới dạng: S0( ) exp  i ( ) Phiếm hàm   phụ thuộc vào mô hình xem xét Trong ( )trường hợp này nó là tổng tất cả giản đồ liên kết mà chúng chứa các loop của

“nucleon” trường ( )x với số bậc bất kì của trường ngoài vô hướng ( )x

Đưa vào các kí hiệu mới:

A có nghĩa là giá trị trung bình của hàm A( ) trên các thăng giáng chân không trong trường vô hướng ( )x , hiểu một cách đơn giản là A A ( ) | 0

Giá trị trung bình chân không theo trường vô hướng  của tích hai phiếm hàm: exp 22 ( ) ( ) | 0

và giá trị trung bình của S0() là:

0( ) exp 22 exp ( ) exp ( )

kì các loop “nucleon” và loop meson cuối trong trường ngoài nếu ta giả thiết rằng tất

cả các loop này đều chứa các cặp meson trong

Sử dụng đồng nhất thức (2.1.10) và các phương trình (2.1.11), (2.1.12), thì biểu thức (2.1.7) cho phiếm hàm  được viết dưới dạng:

1 2 1

Khai triển (2.1.14) thành chuỗi theo hằng số tương tác g2, thay chúng vào (2.1.6)

và thực hiện lấy tích phân theo phiếm hàm i chúng ta sẽ thu được chuỗi quen biết của

lý thuyết nhiễu loạn không chuẩn hóa của hàm Green hai hạt Nhưng ở đây, chúng ta chỉ nhấn mạnh những hệ số quan trọng mà chúng ta sử dụng về sau Biểu thức (2.1.14) cho phép chúng ta tách ở dạng tổng quát hiệu ứng tương tác của hai nucleon và tương tác của chính các nucleon đó thông qua trường vô hướng (đóng góp bổ chính và tái chuẩn hoá khối lượng) Thật vậy, số hạng đầu tiên ở hàm mũ (2.1.14) có thể viết lại dưới dạng:

“nucleon”, những số hạng còn lại đặc trưng cho các bổ chính cho các hạt tán xạ

Số hạng thứ hai ở hàm mũ (2.1.14) được biểu diễn như sau:

       (1) (2) (12)   (0) , (2.1.16) với: ( )i   (0); 1, 2

D x x( ,1 2| ) D x( 1x2) dy dy D x1 2 ( 1y P y y1) ( ,1 2| ) ( D y2x2), (2.1.20) dưới ảnh hưởng của trường ngoài Kết quả phiếm hàm  trở thành :

Nhớ rằng hàm Di* là hàm Green của trường vô hướng  tương tác với nguồn ngoài ji

tương ứng với tương tác của nucleon thứ i, còn D12* là hàm Green của trường vô hướng  tương tác với cả hai nucleon

Như vậy phiếm hàm  đã xác định hàm Green hai hạt, có thể phân tích thành các

số hạng: một tương ứng với tương tác giữa hai nucleon, số còn lại tương ứng với các

bổ chính bức xạ và tái chuẩn hoá khối lượng của các nucleon

2.1.2 Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng

Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường vô hướng được biểu diễn bởi các số hạng của hàm Green hai hạt theo phương trình sau:

Trong biểu thức (2.1.24), chúng ta cần tách từ hàm Green ra các số hạng cực điểm dạng (p i2 m2 )  1 và (q i2 m2 )  1 để chúng sẽ triệt tiêu các nhân tử 2 2

số hạng cực gặp một số khó khăn nhất định Chúng ta quan tâm tới cấu trúc biên độ tán xạ một cách tổng quát thì việc phát triển một phương pháp đúng chuyển đến mặt khối lượng p i2 m q2 ; i2 m i2 ;  1, 2 trong trường hợp tổng quát có vai trò hết sức quan trọng Rất nhiều phương pháp gần đúng có thể hợp lý về quan điểm vật lý khi chuyển tới mặt khối lượng nhưng vị trí các cực điểm của hàm Green ở phần còn lại của biên

độ tán xạ tìm được về mặt toán học là bị sai lệch Ở đây, việc tổng quát hoá phương pháp tách cực điểm của hàm Green đã được đề xướng và vận dụng để tìm biên độ tán

xạ trong mô hình tương tác giữa “nucleon” vô hướng với trường meson vô hướng trong gần đúng bỏ qua các loop “nucleon” [11]

Từ công thức (2.1.24) và biểu thức của hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng (2.1.6), (2.1.7), suy ra

Để suy ra biểu thức (2.1.25), (2.1.26) thực tế chúng ta đã bỏ qua hàm Green tự do

vì nó không ảnh hưởng tới quá trình tương tác của hai “nucleon”

Tiếp tục đổi cận tích phân và đổi biến số phiếm hàm:

Thực hiện phép dịch biến1 của phiếm hàm  và tìm giới hạn phương trình

(2.1.30), biểu thức cuối cùng của biên độ tán xạ hai “nucleon” thu được dưới dạng

(quá trình tính toán chi tiết xem phụ lục B):

Nhớ rằng biểu thức (2.1.32) xác định mật độ hạt điểm cổ điển chuyển động dọc theo quỹ đạo cong xi(s) phụ thuộc vào thời gian riêng s 2m và thoả mãn phương trình:

Không khó khăn lắm, kết quả thu được có thể được tổng quát hoá cho mô hình tương tác giữa các “nucleon” vô hướng với trường véc tơ trung hoà có Lagrangian tương tác là:

2 2

int

1 2

L eAi  e A  (2.1.34) Khi đó biên độ tán xạ của hai “nucleon” trong mô hình này được tính theo biểu thức:

2.2 Tán xạ năng lượng cao

Biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ hai hạt với nhau đã tìm được dưới dạng tích phân phiếm hàm Để tính các tích phân này theo các biến số  ( ) không phải đơn

giản Các biến số  ( ) ở trên được đưa vào để nhận được biểu thức tổng quát cho hàm Green ở trên, nó có ý nghĩa mô tả sự lệch khỏi quĩ đạo thẳng của hạt Ở vùng năng lượng lớn, xung lượng truyền nhỏ, hạt có thể coi là chuyển động theo quĩ đạo thẳng,

do đó việc tính các tích phân theo biến số   có thể áp dụng cách tính gần đúng các ( )tích phân phiếm hàm do B.M Barbashov [11, 12,13] đề xướng khi nghiên cứu kì dị hồng ngoại của hàm Green trong QED Phép gần đúng này gọi là phép gần đúng 0

i j

k k  (hay còn gọi là gần đúng eikonal), vì sau khi lấy tích phân thành phần dạng

i j

k k sẽ không có mặt trong hàm truyền của hạt Sử dụng phép gần đúng này chúng ta

sẽ tiếp tục nghiên cứu bài toán tán xạ hai hạt ở trên

2.2.1 Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường vô hướng

Trong mục 2.1, biểu thức của biên độ tán xạ hai “nucleon” đã tìm được theo

công thức (2.1.31) Sử dụng (2.1.31) và các biểu thức (2.1.22), (2.1.23), sau một số phép biến đổi phức tạp (xem phụ lục B), biểu thức của biên độ tán xạ hai “nucleon” trong trường vô hướng là:

các cực điểm tương ứng với các nucleon cuối Mỗi hệ số dạng 2

đó thì biểu thức  2 

exp ig e ikxJ DJ mô tả sự trao đổi các photon ảo giữa các

“nucleon” này Tích phân theo d đảm bảo cho việc loại bỏ sự đóng góp của các hàm truyền của hạt tự do khỏi yếu tố ma trận Các biến số phiếm hàm 1() và 2() mô

tả độ lệch quỹ đạo của hạt so với quỹ đạo thẳng Tích phân theo 4

i

 

  (i=1,2) tương

ứng với phép lấy tổng tất các quỹ đạo khả dĩ của các “nucleon” va chạm Xem xét các

tích phân theo biến 1, 2 của biểu thức: 2

iR io i

m m m Những vấn đề này đã được xem xét chi tiết ở [34,77,78,81] Vì vậy, sau này chúng ta sẽ bỏ qua sự

Bỏ qua các bổ chính bức xạ, biên độ tán xạ đàn tính của hai nucleon vô hướng [73,75,77] có thể được biểu diễn dưới dạng:

s=2m và thoả mãn phương trình (2.1.33) với điều kiện xi(0) = xi, i = 1,2 Vì lý do đó, biểu diễn (2.2.1) của biên độ tán xạ có thể được xem như phiếm hàm của tổng tất cả các quỹ đạo khả dĩ của các nucleon trong quá trình tán xạ

Tuy nhiên, tích phân phiếm hàm (2.2.4) không thể lấy tích phân chính xác được

và cần một phương pháp gần đúng để tính nó Khả năng đơn giản nhất là bỏ qua i()

từ đối số của hàm J k p q i( , , | )i i  , có nghĩa là đặt i i()=0 trong (2.2.6) cho dòng dịch chuyển và thu được:

> 0 và với xung lượng q khi  < 0

Tất nhiên rằng, phép gần đúng  i( ) 0 là không đúng khi thời gian riêng của hạt gần 0, tức là khi quỹ đạo của hạt cổ điển thay đổi hướng Bằng ngôn ngữ giản đồ Feynman điều này tương đương với việc tuyến tính hoá hàm truyền, bỏ qua sự phụ thuộc vào bình phương xung lượng ki trong hàm truyền của nucleon:

Vì thế, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp gần đúng khi tính tích phân theo ( )

Áp dụng khai triển (2.2.9), dạng chi tiết được biểu diễn trong [51], trong phần này chúng ta chỉ quan tâm đến số hạng chính (n = 0) và số hạng bổ chính bậc nhất (n =1) Khi n = 0 số hạng chính có dạng:

(n 0)scalar exp 2 ( ) 4 exp 2 exp 2 4

S   i g    i g    i g   (2.2.10) trong đó

(2 ) exp

k i s

1( , ) ( , )

k i

Hiệu quả của phép gần đúng đưa ra trong (2.2.14) trong vùng năng lượng cao s với xung lượng truyền t cố định có thể được nghiên cứu trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn Đặc biệt, chúng ta có thể chỉ ra rằng với việc bỏ qua các số hạng kikj = 0 ở mẫu số hàm truyền “nucleon” thì các giản đồ thang thông thường sẽ thu được bởi sự lặp lại của các giản đồ trao đổi đơn meson Sự trao đổi này không ảnh hưởng tới trạng thái tiệm cận ở năng lượng cao của hạt Khi các meson được trao đổi nó có dạng lns/sn-1 Hiệu quả của phép gần đúng này, (2.2.14), cũng được kiểm chứng cho một lớp các giản đồ rộng hơn với các đường tương tác meson [95-97 Thêm vào đó cần nhớ rằng phép gần đúng eikonal trong tán xạ thế (tán xạ một hạt trong trường ngoài) cũng làm giảm sự điều chỉnh hàm truyền (trong trường hợp phi tương đối tính), sự điều chỉnh đó được xác định bởi (2.2.7) và (2.2.14)

Bây giờ, tính chất tiệm cận của tích phân phiếm hàm S ở 2

s p p lớn và ấn định xung lượng truyền 2

1

( ) (2 )

i k k ikx

s 8

i

) x ( K ) x ( x ) x ( x x

x s s 4 ) x ( K s 4 1

0 2

1 0

ở đây, phải giả thiết rằng x 0, điều này đảm bảo cho các tích phân đều hội tụ Hàm

số K0( x)và K1( x) là các hàm MacDonald bậc không và bậc một được xác định

Trong biểu thức này hệ số đứng trước ngoặc tương ứng với trạng thái eikonal chủ

yếu của biên độ tán xạ, trong khi các số hạng trong ngoặc xác định độ lớn tương đối

của số hạng bổ chính tỉ lệ với 1

s Như chúng ta đã biết từ khảo sát biên độ tán xạ bằng kỹ thuật giản đồ Feynman,

trạng thái tiệm cận năng lượng cao chỉ có thể chứa chuỗi các tích phân loga của s Ở

đây, chúng ta nhận thấy khi lấy tích phân biểu thức (2.2.21) của S theo dẫn đến sự biến

mất các hệ số trong chuỗi bán nguyên của s Trái lại, chấp nhận các số hạng mà chúng

chứa chuỗi bán nguyên của s sẽ là cần thiết cho việc tính toán các bổ chính bức xạ

tiếp theo trong biên độ tán xạ Thật thú vị khi thấy rằng sự xuất hiện trongcác biểu

thức bổ chính các số hạng phụ thuộc vào x0 và xz (x x0 x z), đây chính là hiệu ứng trễ, hiệu ứng này vắng mặt trong số hạng tiệm cận chính tắc

Thực hiện các tính toán tương tự, có thể chỉ ra rằng tất cả các số hạng tiếp theo của khai triển (2.2.5) giảm đủ nhanh khi so sánh với những số hạng mà chúng ta đã viết Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng điều đó không có nghĩa là đã là căn cứ cho biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ được trình bày trong mục này Hàm hệ số trong khai triển tiệm cận, những hàm được biểu diễn bởi hàm MacDonald, là đơn trị ở khoảng cách ngắn và sự đơn trị này trở nên mạnh hơn theo tốc độ tăng với sự giảm tương ứng của các số hạng ở s lớn Vì thế, tích phân của S cùng với (2.2.5) khi xác định biên độ tán xạ có thể dẫn đến xuất hiện các số hạng vi phạm vào chuỗi eikonal ở thứ tự bậc cao hơn g2 Khả năng xuất hiện các số hạng như vậy trong các bậc đơn lẻ của lý thuyết nhiễu loạn trong mô hình 3 đã được chỉ ra trong [15,49] Khảo sát cấu trúc của các đóng góp không eikonal đối với biên độ tán xạ hai nucleon chỉ ra rằng tổng tất cả các giản đồ thang từ thứ tự bậc 8 trong mô hình vô hướng chứa các số hạng, những số hạng này vắng mặt trong các phương trình eikonal chính thống và biến mất khi lấy giới hạn m0 với  và m là khối lượng meson và nucleon tương ứng Những số hạng này tương ứng với sự đóng góp cho các thế chuẩn hiệu dụng kết quả từ việc trao đổi cặp nucleon và phản nucleon [56]

2.2.2 Tính chất tiệm cận của biên độ tán xạ hai hạt vô hướng ở năng lượng cao

Chúng ta quan tâm tới trạng thái tiệm cận của biên độ tán xạ đàn tính của hai nucleon vô hướng ở năng lượng siêu cao khi s ,t 0

s

   Thực hiện lấy tích phân theo dx, dx và d cho biên độ tán xạ trong hệ khối tâm (c.m.s)2, ta thu được biểu thức dạng eikonal:

2 Biên độ T(s,t) được chuẩn hoá trong c.m.s nhờ mối liên hệ:

2 2

T s t d

T s t( , ) 2is d x e2 i  x S 1



    , (2.2.22) với x là véc tơ hai chiều vuông góc với phương tán xạ của nucleon (tham số tán xạ)

x i

x i

g

s s g

s s ) nên chúng ta bỏ qua số hạng này

Tóm lại, số hạng bổ chính bậc nhất của biên độ tán xạ hai hạt ở vùng năng lượng siêu cao có thể được xác định bởi biểu thức:

Để so sánh kết quả này, chúng ta cần lưu ý rằng việc tìm biên độ tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử có nhiều cách khác nhau Trong chương 3, chúng ta sẽ tiếp cận vấn đề này dựa trên việc giải phương trình chuẩn thế Logunov – Tavkhelidze với chuẩn thế nhẵn định xứ Chúng ta sẽ chứng minh rằng các kết quả mà chúng ta thu được trong chương này cũng sẽ nhận lại được bằng cách tiếp cận chuẩn thế

Trong trường hợp tương tác giữa các nucleon với các meson véc tơ, graviton có thể được xem xét với cùng một cách như vậy Vấn đề này sẽ được trình bày trong phần tiếp theo

2.3 Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn trong vùng năng lượng Planck

Trong những năm gần đây, tán xạ hấp dẫn trong vùng năng lượng Planck đã thu hút được sự chú ý của nhiều người bởi sự liên hệ của nó với những vấn đề hết sức cơ bản như: các lực hấp dẫn mạnh ở gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn cùng một loạt các hiệu ứng khác liên quan đến hấp dẫn lượng tử [8, 9, 33, 53, 90] Trong khuôn khổ của lý thuyết trường chuẩn cho tán xạ năng lượng cao, việc tính toán các giản đồ eikonal trong trường hấp dẫn được tiến hành một cách tương tự như các tính toán trong QED Phép gần đúng eikonal có thể thu được các số hạng chính của mỗi bậc trong lý thuyết nhiễu loạn, nhưng tổng của các số hạng chính (leading term) là không trội hơn các số hạng bỏ qua trong phép gần đúng này Vì vậy, sự tin cậy của biên độ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là không chắc chắn

Trong mục này chúng ta xét bài toán tán xạ hai hạt trong lý thuyết hấp dẫn tuyến tính Trong vùng năng lượng cao xung lượng nhỏ, biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ

đã tìm được Biểu thức này hoàn toàn trùng với các kết quả tìm được bằng phương pháp khác như: phương pháp sóng xung kích (shock-wave method) của t’Hoop [47], phương pháp lý thuyết topo hiệu dụng ở giới hạn năng lượng bậc Planck của Verlinder

E và Verlinder H [91] cũng như phương pháp lấy tổng các giản đồ Feynman trong gần đúng Eikonal [34,37]

2.3.1 Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt trong tương tác hấp dẫn