Mục đích chính mà luận án Ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề tương tác của lý thuyết trường lượng tử đặt ra là nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao (kể cả năng lượng Planck) và những vấn đề liên quan bằng phương pháp tích phân phiếm hàm.
MỤC LỤC Trang A MỞ ĐẦU Phương pháp phân tích phiếm hàm Cấu trúc luận văn B NỘI DUNG 13 CHƯƠNG I: HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC 13 1.1 Các phương trình cho hàm Green hạt trường 13 1.2 Biểu diễn tổng quát hàm Green trường 16 dạng tích phân phiếm hàm CHƯƠNG II: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK 21 TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM 2.1 Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng 21 2.1.1 Hàm Green hai hạt vô hướng trường vô hướng 21 2.1.2 Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trường vô hướng 25 2.2 Tán xạ lượng cao 2.2.1 Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng 28 29 trường vơ hướng 36 2.2.2 Tính chất tiệm cận biên độ tán xạ hai hạt vô hướng lượng cao 39 2.3 Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn vùng lượng Planck 40 2.3.1 Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt tương tác hấp dẫn 44 2.3.2 Biên độ tán xạ khơng đàn tính hai hạt tương tác hấp dẫn 2.3.3 Đóng góp bổ cho biên độ tán xạ đàn tính vùng 46 lượng Planck CHƯƠNG III: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK TRONG CÁCH TIẾP CẬN CHUẨN THẾ 3.1 Nghiệm phương trình chuẩn Logunov-Tavkelidze cho tán 50 51 xạ hai hạt vô hướng 3.2 Trạng thái tiệm cận tán xạ lượng cao 56 3.3 Biên độ tán xạ trường chuẩn Yukawa 60 3.4 Mối liên hệ phương pháp chuẩn phương pháp tích 65 phân quỹ đạo Feynman CHƯƠNG IV: KHỬ PHÂN KỲ VÀ TÁI CHUẨN HOÁ HÀM GREEN 69 TRONG MƠ HÌNH BLOCH- NORSIECK CHO QED3 VÀ QED4 4.1 Hàm Green lượng tử G(x,y) mơ hình Bloch-Norsieck 70 4.2 Phương pháp chỉnh Pauli-Villar 72 4.3 Phương pháp chỉnh thứ nguyên 74 4.4 Đánh giá phân kỳ giản đồ lượng riêng photon 77 QED3 KẾT LUẬN 85 CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN 87 Tài liệu tham khảo 89 Phụ lục A 97 Phụ lục B 107 Phụ lục C 113 Phụ lục D 121 Phụ lục E 123 MỞ ĐẦU Phương pháp tích phân phiếm hàm Trong thập niên gần đây, tích phân Feynman sử dụng rộng rãi để xây dựng lý thuyết vật lý đại, thiết lập phương pháp tính tốn cho q trình vật lý, tạo sở để vượt khỏi khuôn khổ cách tính tốn thơng thường lý thuyết nhiễu loạn [12-15] Toán tử S-ma trận hàm Green hạt lượng tử đại lượng quan trọng lý thuyết trường lượng tử [21] Ưu việt phương pháp tích phân Feynman khởi xướng cho lý thuyết lượng tử [33-36] cho phép xác định toán tử S-matrận hàm Green dạng compact [12-15, 21] Trong vật lý, tích phân Feynman gọi tích phân quỹ đạo hay tích phân đường, cịn tốn học gọi tích phân liên tục hay tích phân phiếm hàm Phương pháp tích phân quỹ đạo công cụ hữu hiệu để xem xét vấn đề Vật lý lý thuyết, lần Einstein Smolykhovski đưa vào cơng trình nghiên cứu chuyển động Brown [29] Cở sở toán học chặt chẽ khái niệm tích phân quỹ đạo trình bày kỹ cơng trình Wiener [100-101] Nguyên lý động lực học chủ yếu mà Feynman sử dụng xây dựng cách phát biểu cho học lượng tử tương đối tính theo phương pháp tích phân quỹ đạo [33-36] : “ Biên độ xác suất phép dời chuyển hệ lượng tử từ trạng thái a tới trạng thái b xác định tổng (hay tích phân) theo tất quỹ i đạo không gian pha q(t ) biểu thức exp S[q(t )] , đó: tb S[q(t )] L q(t ), q(t ) dt hàm tác dụng cổ điển “ ta Biểu diễn học lượng tử qua tích phân quỹ đạo nguyên tắc tương đương với biểu diễn thông thường học sóng Song rõ ràng mặt vật lý chặt chẽ mặt toán học ưu việt phương pháp Thành tựu lớn phương pháp tích phân phiếm hàm việc phát triển kỹ thuật giản đồ Feynman [36] sử dụng rộng rãi điện động lực học lượng tử (QED) trước đây, lượng tử hoá lý thuyết trường chuẩn sau [35] Cách viết gọn gàng phương trình lý thuyết trường lượng tử nhờ tích phân phiếm hàm có ích lợi việc nghiên cứu số vấn đề phép biến đổi gradient hàm Green, dáng điệu tiệm cận hàm Green hạt vùng hồng ngoại vùng lượng cao Cần phải nhấn mạnh nhờ phương pháp tích phân phiếm hàm người ta tiến hành lượng tử hoá xây dựng sơ đồ tái chuẩn hoá cho trường Yang Mills [31,32], đồng thời phương pháp sử dụng để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử Ngày nay, cơng cụ tính tốn nhiều lĩnh vực vật lý đại xây dựng sở phương pháp tích phân Feynman Để nhận kết lượng tử cuối cho S-matrận, cho hàm Green hạt, phương pháp tích phân phiếm hàm có hai loại tốn sau cần phải giải quyết: 1/ Loại tốn thứ nhất: tìm hàm Green hạt G( x, y | ) trường ( x) ; 2/ loại toán thứ hai: dựa vào biểu thức G( x, y | ) tìm được, thực phép lấy trung bình phiếm hàm theo trường ngồi để tìm đại lượng vật lý cần thiết Hai loại tốn phức tạp khơng phải lúc có lời giải xác Kỹ thuật tính tích phân phiếm hàm cịn đường phát triển Trở ngại lớn khó khăn chung hướng nghiên cứu này, việc phải tính tích phân phiếm hàm có dạng khác với tích phân Gauss Xét mặt tốn học phương pháp cịn lâu hồn chỉnh Để khắc phục khó khăn trên, khn khổ tích phân phiếm hàm người ta phát triển nhiều cách tính gần áp dụng thành công cho nhiều toán lý thuyết trường lượng tử Khi nghiên cứu kì dị hồng ngoại, E.S.Fradkin [38,39], B.M Barbashov [14,15] đề xuất phương pháp tính gần tích phân phiếm hàm hàm Green QED Xét mặt kỹ thuật phép gần khác nhau, nhiên chất chúng giống Phép gần gọi phép gần kikj=0 sau lấy tích phân thành phần dạng kikj khơng có mặt hàm truyền (hàm Green) hạt Trong khn khổ tích phân phiếm hàm, người ta nghiên cứu trình tán xạ lượng cao lý thuyết trường lượng tử Phép gần kikj = sử dụng để nghiên cứu kì dị hồng ngoại, tổng qt hố cho toán tán xạ lượng cao Kết quả, vùng lượng lớn s , xung lượng truyền nhỏ t s biên độ tán xạ hay biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn eikonal [13-15, 72-81], s t biến số Mandenstam Bản chất phép gần dựa vào giả thiết sau: với lượng lớn đóng góp chủ yếu vào tích phân phiếm hàm quỹ đạo gần với quỹ đạo cổ điển hạt Chính phép gần kikj = gọi phép gần quỹ đạo thẳng hay gần eikonal Phép gần eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hố hàm truyền hạt tán xạ theo xung lượng hạt trao đổi [72-79] sau: 1 1 2 p ki m p ki ki i i i (0.1) p xung lượng hạt tán xạ, ki - xung lượng hạt trao đổi, công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng dạng ki k j Bức tranh vật lý sau: Các hạt lượng cao bị tán xạ cách trao đổi liên tiếp độc lập lượng tử ảo, đồng thời khơng có liên hệ tương thích trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan ki k j khơng có mặt hàm truyền (0.1) Năm 1963, A A Logunov A N Tavkhelidze cơng bố cơng trình cho phép tiếp cận tốn tán xạ tương đối tính đơn giản, mang ý nghĩa tiếp cận chuẩn lý thuyết trường lượng tử Mặc dầu phương pháp không hiệp biến dạng tường minh, song dẫn tới tất thơng tin tính chất giải tích biên độ tán xạ lý thuyết hiệp biến tương đối tính đạt Các kết nghiên cứu từ phương trình nhiều kiểm nghiệm với độ tin cậy đáng ghi nhớ Mặt khác, sử dụng phương trình chuẩn thế, biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ lần chứng minh chặt chẽ lý thuyết trường lượng tử Do lựa chọn cách tiếp cận chuẩn mang tính thời hứa hẹn thu nhiều thông tin đáng tin cậy Hơn kết nhận tổng qt hố cho nghiên cứu toán hấp dẫn lượng tử, vấn đề cịn mang tính thời gây nhiều tranh cãi Trong phương pháp chuẩn thế, khái niệm “thế năng” đưa vào lý thuyết trường lượng tử để thuận lợi cho việc nghiên cứu toán tán xạ [5, 37, 59] Phương trình chuẩn có dạng tương tự phương trình cho biên độ tán xạ học lượng tử phi tương đối tính khởi nguồn từ phương trình Schrodinger Tại vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ phương pháp nêu trên, cho ta biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ Cơ sở chặt chẽ cho biểu diễn eikonal biên độ tán xạ lý thuyết trường lượng tử tìm thấy nhờ phương pháp chuẩn Số hạng (leading term) biên độ eikonal tìm giống Các số hạng bổ (corrections-non-leading) tính gần eikonal cho biên độ tán xạ, cần lưu ý khác tuỳ thuộc vào spin lượng tử trao đổi hạt Các bổ cho biên độ tán xạ lượng cao, trước coi nhỏ Chính vậy, vấn đề nghiên cứu cách hệ thống Năm 1988, Phép gần eikonal t Hooft [48] sử dụng để nghiên cứu tán xạ hạt lượng Planck hấp dẫn lượng tử Kết thu thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học xem xét hiệu ứng vật lý “kích thước Planck”- khoảng cách cỡ 1033cm , thời gian cỡ 1043 s - “thời gian Planck” lượng cỡ 1019 GeV - “năng lượng Planck” Vật lý kích thước Planck liên quan đến nhiều vấn đề đặc biệt lực hấp dẫn mạnh gần lỗ đen, cải biến lý thuyết dây từ lý thuyết hấp dẫn, số hiệu ứng khác hấp dẫn lượng tử [79,40,91] xem sở quan trọng để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử Khi lượng tăng, số tương tác hiệu dụng G Gs / (trong G – số hấp dẫn Newton) tăng, việc tính bổ lý thuyết nhiễu loạn theo G khó khăn So sánh kết nhiều cách tính khác cho toán này, nhận thấy chúng trùng số hạng biên độ eikonal, cịn số hạng bổ cho thất bại Việc tính số hạng bổ cho biên độ tán xạ hấp dẫn lượng tử tốn chưa có lời giải Mặt khác, bổ có vai trị chủ chốt để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử Với lý đề cập trên, luận án muốn tiếp tục xem xét toán tán xạ lượng cao sở phép gần quỹ đạo thẳng kikj=0 lý thuyết trường lượng tử nói chung trường hấp dẫn nói riêng Kết cuối tìm biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ Số hạng bổ bậc (nonleading term) cho số hạng biên độ eikonal hấp dẫn lượng tử tính tốn phương pháp phiếm hàm kết cho toán tán xạ hấp dẫn Đồng thời luận án tiếp cận vấn đề dựa việc giải phương trình chuẩn Logunov – Tavkhelidze Các kết thu theo hai cách tiếp cận so sánh với Luận án đề cập đến việc khử phân kỳ tái chuẩn hoá hàm Green lượng tử điện động lực học lượng tử áp dụng vào mơ hình Bloch – Norsieck Áp dụng phép khử phân kỳ cách chỉnh thứ nguyên chỉnh Pauli – Villars vào hàm Green lượng tử thu kết hồn tồn giống Cần lưu ý sử dụng phép chỉnh Pauli – Villars phải bảo đảm tính bất biến chuẩn q trình tính tốn Nếu khơng dẫn đến kết vật lý khơng xác Tóm lại, mục đích mà luận án đặt nghiên cứu toán tán xạ lượng cao (kể lượng Planck) vấn đề liên quan phương pháp tích phân phiếm hàm Những mục tiêu bao gồm: Tìm hàm Green hạt hay hệ hạt dạng tích phân phiếm hàm Tìm biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ hạt sau tách số hạng cực điểm liên quan đến chân hàm Green mặt khối lượng Ở vùng lượng cao s , xung lượng truyền nhỏ t s , gần eikonal (gần quỹ đạo thẳng) sử dụng để tính tích phân phiếm hàm Nghiên cứu vấn đề kỳ dị hồng ngoại, kỳ dị tử ngoại cách loại bỏ chúng hai phương pháp phương pháp chỉnh thứ nguyên chỉnh Pauli – Villars Các tính tốn dựa mơ hình Bloch – Norsieck điện động lực học lượng tử CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Luận án tơi có tiêu đề: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ” xếp thành phần: A PHẦN MỞ ĐẦU Phần mở đầu dành cho việc nêu tóm tắt ý nghĩa, thành tựu phương pháp tích phân phiếm hàm lý thuyết trường lượng tử Đặt nhiệm vụ cần nghiên cứu cấu trúc sơ lược nội dung luận án B NỘI DUNG Dựa vào kết nghiên cứu, nội dung luận án chia làm bốn chương Chương I: Hàm Green hạt tương tác Trong chương này, hàm Green hạt vô hướng trong: Trường vô hướng, Trường điện từ, Trường hấp dẫn tìm lại phương pháp thời gian riêng Kết thu biểu thức kín dạng tích phân phiếm hàm Các tính tốn minh hoạ trước tiên cho mơ hình tự tương tác hạt vơ hướng trường vơ hướng (mơ hình ), sau tổng qt hố cho mơ hình tương tác cịn lại Phần cuối chương, chúng tơi tìm hàm Green lượng tử hạt vơ hướng trường sóng phẳng điện từ cách xác Chương II: Tán xạ lượng Planck cách tiếp cận phiếm hàm Trình bày phương pháp tìm biên độ tán xạ hai hạt với vùng lượng lớn s , xung lượng truyền nhỏ t s cho mô hình tự tương tác Từ dạng tổng quát hàm Green dạng tích phân phiếm hàm, chuyển sang mặt khối lượng: ( p2 m2 ),(q m2 ) , kỹ thuật tách cực điểm liên quan đến “chân” hàm Green cho hai hạt vô hướng trường vô hướng, biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ hai hạt vơ hướng tìm dạng tích phân phiếm hàm Chúng xây dựng phương pháp gần để tính tích phân phiếm hàm vùng tán xạ lượng cao s , xung lượng truyền nhỏ t s Kết thu biểu thức Glauber (hay gọi biểu diễn eikonal) cho biên độ tán xạ hai hạt Dùng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu toán tán xạ lượng Planck lý thuyết hấp dẫn lượng tử Xét tán xạ đàn tính khơng đàn tính hai hạt với tương tác hấp dẫn vùng lượng Planck Tính bổ bậc cho tán xạ lượng Planck Chương III: Tán xạ lượng Planck cách tiếp cận chuẩn Trong chương này, dựa vào phương trình chuẩn Logunov – Tavkhelidze tìm biểu thức cho biên độ tán xạ phương pháp nhiễu loạn cải biến Kết tính tới số hạng gần bậc theo số tương tác g Tiếp theo số hạng biên độ tán xạ số hạng bổ bậc tính tốn giới hạn lượng cao s xung lượng truyền cố định t s Số hạng cho ta biểu diễn eikonal biết, cịn số hạng bổ bậc có bậc nhỏ số hạng t Chúng thiết lập mối liên hệ hai s phương pháp chuẩn tích phân quỹ đạo đồng thời đưa so sánh sơ đồ tính tốn tương ứng Mục cuối chương này, áp dụng kết tìm biên 10 độ tán xạ hai “nucleon” trình bày chuẩn cụ thể Yukawa để rút so sánh cách tiếp cận khác Chương IV: Khử phân kỳ tái chuẩn hố hàm Green mơ hình BlochNorsieck cho QED3 QED4 Trong chương này, áp dụng phương pháp trung bình phiếm hàm để tính hàm Green lượng tử G(x,y) trường ngồi mơ hình Bloch-Norsieck Sau sử dụng phương pháp chỉnh Pauli-Villars chỉnh thứ nguyên xác định hàm Green QED3 , QED4 sau tái chuẩn hoá khối lượng electron Cũng chương sinh khối lượng photon giản đồ lượng riêng photon QED3 hai phép chỉnh thứ nguyên Pauli – Villars giống Điều quan trọng trình khử phân kỳ phương pháp khác phải đảm bảo bảo tồn tính bất biến chuẩn C KẾT LUẬN Phần kết luận đánh giá kết thu luận án, đồng thời trình bày hướng nghiên cứu Trong luận án cịn có phần: Tài liệu dẫn đưa báo công bố tài liệu tham khảo liên quan trực tiếp đến luận án Các phụ lục dẫn cách tính tích phân cơng thức cần thiết Phụ lục A giới thiệu hình thức luận sử dụng tích phân phiếm hàm lý thuyết trường lượng tử, đồng thời giới thiệu cách số cách giải gần khác tìm hàm Green hạt trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm Phụ lục B dành cho việc tính số tích phân liên quan đến bổ cho hạt tán xạ Sử dụng gần eikonal nghiên cứu số hiệu ứng tán xạ Planck hạt trường hấp dẫn trình bày Phụ lục C Bài tốn giải phương pháp sóng riêng phần Phương pháp cho ta hiểu rõ nguồn gốc cực điểm biên độ tán xạ, đồng thời nghiên cứu vấn đề giới hạn eikonal 11 g 2GM 1 0 1 r 2GM 1 r 0 r 2 0 , r 2 sin 2 (C.3) g det( g ) r sin Từ phương trình (C.1), suy ra: 1 t r sin g tt t r r sin g rr r r sin r sin 1 r sin g r sin g r sin r sin (C.4) Sử dụng (C.3) ta được: 2GM 1 2GM t 1 t r r 1 r r r r 1 sin 2 sin r r sin (C.5) Nghiệm-hàm sóng hạt "thử" dựa vào phương trình Klein-Gordon cho tương tác hấp dẫn giả thiết có dạng: (r , t ) f (r ) iEt e Y m ( , ) , r (C.6) E lượng hạt "thử", đo khoảng cách xa Sử dụng kết trên, đặt vào phương trình (C.5), thu biểu thức đây: 2GM 1 2GM ) r L (r ) , r 1 E r r (1 r r r (C.7) 2 f (r ) L (sin ) 2 r sin sin Từ (C.7), ta thay s = 2ME loại bỏ số hạng tỉ lệ với 2GM / r hay số hạng với mũ cao hơn, kết nhận phương trình cho phần xun tâm hàm sóng 119 d f (r ) ( 1) G s 2GsE E f (r ) 2 dr r r (C.8) Như vậy, số hạng với số mũ nghịch đảo lớn ta bỏ Điều cho phép ta nhận lời giải cuối phương trình (C.8) mà không cần sử dụng phép gần bổ sung Ghi nhớ : kích thước thơng số tán xạ bé (kích thước Planck cỡ 10 32 cm ) tán xạ khơng thể xẩy Phương trình xun tâm (C.8) giải phương pháp thơng thường qua hàm số siêu bội với tính chất tiệm cận quen thuộc Biên độ tán xạ đối xứng cầu biểu diễn qua khai triển theo sóng riêng phần f ( ) 2i s 2 0 1 e2i 1 P (cos ) (C.9) lệch pha sóng riêng phần, đặc trưng số lượng tử moment xung lượng cố định 1, (s) arg p s iGs , (C.10) với p ( s) xác định p (s) p (s) 1 ( 1) G s (C.11) Khơng khó khăn phương trình (C.10), (C.11) cố định lệch pha có kỳ dị vùng lương khối tâm Gs i l (l 1) N ( N 1) , 2 N 1 (C.12) với N số tự nhiên Mặc dù kỳ dị cực định xứ phần ảo s - mặt phẳng phức, định xứ cực vị trí khác hồn tồn vị trí cực mà thấy phép gần eikonal Gs iN Các cực mà ghi nhận kỳ dị lệch pha (khi cố định) mặt vật lý chúng hấp dẫn (có nghĩa cực giống cộng hưởng thực sự) cực eikonal (tồn lớn) chúng khơng phải kỳ dị lệch pha [49, 52, 90] Lưu ý biên độ tán xạ có dạng eikonal ln rằng: biên độ có cực s -sóng đo vùng 120 khơng xác giả thiết nhỏ sóng khơng thể xuất phép gần eikonal Ngược lại, khảo sát biên độ vùng giá trị nhỏ, cực xuất khoảng thông số tán xạ lệch pha Vì vậy, chưa thể nói hiểu hồn tồn nguồn gốc cực, thật bổ ích chứng minh tồn ngồi giới hạn eikonal Công thức cho phép rút số hạng thuộc bậc bổ chủ yếu, sử dụng giới hạn eikonal việc khai triển tiệm cận biến số hàm Gamma theo tăng số mũ nghịch đảo Kết ta nhận Gs ln Gs 1 2 O , (C.13) Số hạng đầu phương trình (C.13) rõ ràng tương ứng với kết eikonal Các bổ phụ dự đoán từ giản đồ sợi dây qua trao đổi Regge Số hạng bổ chủ yếu biểu thức phép dịch pha eikonal tỉ lệ với Gs Gs đó, số hạng bổ chủ yếu lý thuyết sợi dây tỉ lệ với Trong ln s Sử phương pháp học lượng tử không mong đợi nhận bổ dạng lns, hình thức luận lý thuyết trường lượng tử cần sử dụng cho mục tiêu Dạng bổ khơng nhận cách tiếp cận [8] điều khơng có đáng ngạc nhiên Sự lý giải lý thuyết sợi dây đựơc lượng tử hoá quanh mặt phẳng, quanh trường Schwarzschild Như hiệu ứng bị bỏ qua Nếu kết luận giả sử đúng, hình học khơng thời gian tương ứng hạt biên ngồi giới hạn eikonal khơng dễ dàng xác định Điều nói lên rằng, cịn nhiều vấn đề cần xém xét liệu bổ mà tìm được giải thích đóng góp q trình dịch cách thích hợp toạ độ "khơng" tìm thấy [49], phép dịch có hàm bước không liên tục hệ toạ độ "không" khác trộn sóng xung kích tìm giới hạn eikonal trao đổi graviton ngược [8] 121 Dáng điệu tiệm cận nhận từ phương trình (C.13) sử dụng để tính tốn biên độ tán xạ kết hợp với bậc bổ chủ yếu Biểu thức cho biên độ tán xạ eikonal biết, xác định biểu thức: i s f ( s, t ) d 2beikb e 2i 1 2 (C.14) Thay độ dịch pha (C.13) vào (C.14): iGs (ln i s ikb f ( s, t ) d be e 2 0 ) 1 lớn ( 1), khai triển biểu thức (C.15) theo Khi f ( s, t ) cần ý b s i s 2 d 2b.eikb t E sin 2iGs (C.15) , thu iGs , 1 (C.16) Như vậy, tổng sóng riêng phần thay tích phân theo thơng số tán xạ b / s , lệch pha thay hai số hạng đầu phương trình (C.16) Chúng ta viết biểu thức biên độ tán xạ dạng tổng số hạng khai triển nhiễu loạn f (s, t ) f (s, t ) f (s, t ) , (C.17) f 0 ( s, t ) f 1 (s, t ) số hạng số hạng bổ bậc biên độ tán xạ eikonal So sánh (C.17) (C.16), suy ra: f 0 b s i s ( s, t ) d 2beikb 2 2 iGs i s iGs iGs ikb iGs s d be (b ) , 2 1 Gs iGs iGs ikb iGs f ( s, t ) s d be (b ) 2 1 122 (C.18) (C.19) ( 1) Sử dụng cơng thức tích phân: d be (b ) ( ) k ikb 1 , thay biến Mandelstam t k , thu biểu thức xác cho số hạng số hạng bổ bậc biên độ tán xạ: f 0 Gs 3/ (1 iGs) t ( s, t ) 2t (1 iGs) s iGs Gs (1/ iGs) t f ( s, t ) t (1/ iGs) s 1 iGs , (C.20) Các cực eikonal lại lần xuất giá trị nguyên (trong đơn vị Planck) trục ảo s - mặt phẳng phức Ngoài người ta nhận thấy cực lại xuất giới hạn thấp điểm lấy tích phân (b=0) nửa giá nguyên nằm phần ảo s - trục Như cực không hy vọng công hưởng lệch pha vùng xấp xỉ mà lớn, đồng thời khơng có kỳ dị Vậy làm sáng tỏ thêm nguồn gốc kỳ dị biên độ tán xạ eikonal Kể thêm tương tác điện từ Sự sáo trộn hiệu ứng hấp dẫn hiệu ứng điện từ phép gần eikonal kết quan trọng tán xạ Planck, lại chưa ý nghiên cứu mức.Trong tài liệu dẫn có giả thiết cho rằng: giới hạn eikonal sóng xung kích hấp dẫn sóng xung kích điện từ tác động hoàn toàn độc lập với nhau, sinh mạng lưới nhân tử pha hàm sóng hạt "thử " mà tổng nhân tử pha phần Trường hấp dẫn có khả kết hợp với tất trường kể trường điện từ, giả thiết độc lập hai loại tương tác vùng động lực học đặc biệt giới hạn eikonal giá trị thực tế giả thiết quan trọng Người ta xem xét tán xạ hạt thử trung hoà ngồi metric ReissnerNordstom nhờ điểm điện tích tĩnh Phương trình Klein Gordon cho hạt chuyển động nhanh nhận việc thay đạo hàm không thời gian đạo hàm hiệp biến thích hợp với metric Reissner-Nordstom 123 2GM GQ ds 1 r r 2GM GQ dt 1 r r 1 dr r d , (C21) d metric hình cầu hai chiều Một lần giới hạn thông số tán xạ lớn so với thang độ dài 2GM điện tích, cho điện tích phương trình xun tâm có dạng d f (r ) ( 1) 2GQ E G s 2GsE E f (r ) 2 dr r r Sự lệch pha cho (C.22) , có phương trình p (s) p (s) 1 ( 1) Gs , (C.23) với (Q / 2GM ) Rõ ràng thu nhỏ cho trường hợp Schwarzchild Khơng khó khăn kỳ dị lệch pha xảy khơng trục ảo s - mặt phẳng phức, phần lại mặt phẳng 2 1 i N (Gs) , 1 4i Gs 2N (C.24) Gs0 có ý nghĩa định xứ cực trường hợp Schwarzchild xác định phương trình (C.23) Khi giới hạn đưa đến trường hợp Schwarzchild xác định Từ thông tin tồn cực điểm lệch pha (đối với vùng nằm thông số tán xạ), phát triển sâu nguồn gốc thật hay phận hồn tồn phức tạp Sử dụng khai triển tiệm cận hàm Gamma phương trình (C.24) người ta rút giới hạn eikonal bậc bổ chủ yếu l ( s) Gs ln Gs 1 2 O (C.25) Rõ ràng, số hạng eikonal bậc bổ chủ yếu (hai số hạng ngoặc vng) hồn tồn độc lập với điện tích Q hạt "bia" tĩnh mà trường hấp dẫn ta mơ hình hố metric Reissner-Nordstrom Ngược lại bậc bổ phụ trợ (các số hạng bậc O 3 hay nhỏ hơn) lại phụ thuộc vào điện tích Q 124 Nói cách khác hiệu ứng hấp dẫn hồn tồn tách khỏi hiệu ứng điện từ để đóng góp hai số hạng cho lệch pha Sự sáo trộn mà người ta hy vọng chung thực chất thông số tán xạ bé ( -nhỏ ) Ghi nhớ rằng: hệ số số hạng hỗn hợp tính hệ số tổng quát, người ta chờ đợi trao đổi graviton ngang Song, hai số hạng đầu kết thu có giá trị thực tiễn Sự tách bạch hấp dẫn điện từ cho số hạng eikonal bổ chủ yếu xuất phát từ hạt tích điện ( ví dụ điện tích Q') ngồi trường hấp dẫn hay điện từ bia Kết nhận tổng quát hố đạo hàm hiệp biến phương trình Klein-Gordon cho hạt ánh sáng Phương trình xun tâm nhận việc cải biến phương trình (C.22) 2 d f ( 1) Gs ' 2 ' E E f 0, dr r2 r (C.26) ' Gs QQ' , xác định Sự khai triển tiệm cận lệch pha tương ứng dễ dàng nhân l ( s ) ' log l Gs ' O 2l 2l l (C.27) Sử dụng phép thay Gs Gs QQ' để tính hiệu ứng điện từ giới hạn eikonal Cách làm chấp nhận phương pháp Ngoài phép thay dùng việc tìm bổ chủ yếu số hạng eikonal Sự hỗn hợp hiệu ứng số hạng O 2 phổ biến Điều đặc biệt có ý nghĩa nghiên cứu kỳ dị vòng hấp dẫn lý thuyết hấp dẫn lượng tử 125 PHỤ LỤC D MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG III Tính tích phân: I1 d x ei x K | x | 2 d | x || x |J 0 | x | K | x | (D.1) 2 2 2 t Tính tích phân I d x e i x K | x | d xe i x eiqx d q q K | x | 2 1 i q x d 2q d x e K | x | 2 q 1 2 d q 2 q q 2 2 , (D.2) biến đổi cuối, sử dụng kết tính tích phân I1 Sử dụng tích phân Feynman: dx , ta có: ab ax b 1 x I dx d q q 2 dx d q 0 q 2q 1 x 2 1 x i ( )(1) dx x q 1 x 2 1 x 2 1 x 2 (2) (i ) dx 1 (i ) dx 2 x 1 x tx 1 x 4 t (i ) F (t ) (i ) ln 4 4 t 1 1 1 t t 1 1 126 , (D.3) 4 t đó: F1 (t ) ln 4 4 t 1 1 1 t t 1 1 Tính tích phân I d x ei x K 03 ( | x |) eiq1x eiq2 x 2 d x ei x d q d q q12 q22 K ( | x |) 2 2 d q1d q2 d x exp i q q x K ( | x |) (2 ) (q12 )(q22 ) (2 ) d q d 2 (D.4) (q )(q ) (q1 q2 ) q2 2 2 Áp dụng kết tích phân tính biểu thức I2, ta có: 1 d q1 (q12 ) (q1 q2 )2 (i )0 dx q 2 x(1 x) Như vậy: I3 1 (2 ) (i ) dx d q2 (q22 ) (q2 )2 x(1 x) 1 dx Lại sử dụng tích phân Feynman: thì: ab ax b 1 x I3 i 4 i 4 1 dx 0 x(1 x) 0 dy d q2 2 (q2 ) B y (q2 )(1 y ) dx 0 x(1 x) 0 dy d q2 q 2q y C 2 1 , 1 i dx 1 dx (i ) dy dy 4 x(1 x) C y 2 x(1 x) C y 2 2 ; C ( 2 B) y (1 y) t y (1 y) B x(1 x) x(1 x) Vì thế: I3 1 dx dy x(1 x) 2 x(1 x) t y (1 y ) ty 127 (D.5) 1 1 1 1 1 dy dx dy dx 2 0 (1 y)(ty ) x(1 x) 0 Dx Dx dy 40 D0 I3 dx 1 dy dx D ( x x1 )( x x2 ) x2 x D 1 (1 x1 ) x2 dy 1 dy , dx ln D x x1 x x2 x1 x2 D x1 x2 (1 x2 ) x1 (D.6) với D (1 y)(ty ) ty ( t ) y ; x1 x2 hai nghiệm phương trình: x x 2 D Chú ý rằng: x1 x2 x1 x2 ;1 x2 x1 x1 x2 4 2 1 , D D (D.7) đó: 2 4 1 1 1 D (1 x1 ) x2 x22 2 D ln ln ln ln ln (1 x2 ) x1 x1 D 2 2 4 1 1 1 D D Thay kết vào biểu thức (D.6), thu kết cuối cùng: 1 2 dy ln 0 D 2 D 2 I3 1 2 dy ln F2 (t ) 2 (ty )( y 1) y (ty t ) 1 đó: F2 (t ) dy 2 ln (ty )( y 1) y(ty t ) 128 , (D.8) PHỤ LỤC E MỘ SỐ TÍNH TỐN TRONG CHƯƠNG IV E1 Tìm hàm Green mơ hình Bloch-Norsieck Để tìm hàm Green phương trình (4.1.3) sử dụng phương pháp thời gian riêng Fock [40] biểu diễn theo công thức: i eiH d H (E1.1) Do đó, từ (4.1.3) ta viết: G( x, y | A) i d exp i iu n n eu n A n ( x ) m i ( x y) , (E1.2) x Đặt biến số phiếm hàm mới: T() exp i iu n n eu n A n ( x ) m i ( x y) , x (E1.3) Khi ta dễ dàng nhận thấy T() thoả mãn phương trình vi phân: i T() n iu eu n A n ( x ) m iT() , n x (E1.4) T() | 0 (x y) (E1.5) Với điều kiện ban đầu: Thực phép biến đổi Fourier chuyển sang biểu diễn xung lượng hàm ta có: ( x y) exp ip( x y)dp (2) E1.6) Ta tìm phiếm hàm T() dạng: T ( ) (2 )4 exp ip( x y) i (m up i ) R( x, ) dp (E1.7) Thay (E1.6), (E1.7) vào (E1.4) ta được: i R( x, ) R( x, ) iu n eu n An ( x) n x (E1.8) Thay (E1.6), (E1.7) vào (E1.5) ta tìm điều kiện ban đầu K(x, ) : R( x, ) | 0 (E1.9) Phương trình (E1.8) với điều kiện (E1.9) phương trình vi phân tuyến tính hệ số Để giải phương trình ta dùng phép biến đổi Fourier chuyển sang biểu diễn xung lượng ta kết quả: 129 R( x, ) e (2 ) dk.uA(k )e d ' e ikx iuk ' (E1.10) Từ biểu thức (E1.2), (E1.3), (E1.7) ta nhận (4.1 5): G( x, y | A) i (2 )4 d dp.exp ip( x y) i (m up i ) R( x, ) E2 Các tính tốn phương pháp chỉnh Pauli-Vilar f ( ) 1 (1) ie d ( 2) d d F ( ) ( a ) F ( ) , 1 2 (2) d i (uk ) , F (1) ( ) d 3k e 2 k M k i (uk ) 1 F (2) ( ) d 3k e 2 2 (k ) (k M ) với (E2.1) (E2.2) (E2.3) Tích phân (E2.1) đưa dạng tích phân Gauss phép sử dụng biểu diễn 1 dse sH ; ds.se sH , H H tốn tử ngược (E2.4) Thực lấy tích phân theo ds sử dụng công thức [90] ds.s m2 m x2 m exp s 4 (1 m) x e x , 4s (E2.5) Chúng ta thu được: F ( ) (2) (1) e ( 2) (2) ; F ( ) 2 e (E2.6) Thay (E2.6) vào (E2.2) lấy tích phân theo d d , thu kết cuối cùng: f ( ) ie (2) a 1 ie 2 (2) ( ,0) , (E2.7) E3 Các tính tốn chỉnh thứ nguyên Để cho thuận lợi cho việc tính toán, ta viết lại biểu thức f() dạng: d2 f ( ) ie2 d d F (1) ( ) (1 a) F (2) ( ) , d 0 130 (E3.1) eix (uk ) , F ( x) d k (2 )n k i eix (uk ) n , F (2) ( x) d k (2 )n (k i ) Trong đó: (1) (E3.2) n (E3.3) mở rộng thứ nguyên biểu thức khơng gian n chiều, sau sử dụng phép điều chỉnh thứ nguyên để tính tích phân sau: 1.Tính F(1)(x): Sử dụng: i dsei ( k i ) s ta có: k i F (1) ( x) i ds d 2 n n/2 k exp ix(uk ) i (k i ) s ( xu ) xu ds d k exp is k exp i 0 s 4s i n 2 n/2 x2 n xu ds exp i d k exp is k 0 2s 4s i 2 n/2 i 2 n/2 x2 ds exp i 0 s is n/2 i 2 n/2 i n/2 x2 ds exp i n/2 0 4s s x2 ix ix z i s ; ds dz 4z 4z 4s Đặt : Vậy: i F ( x) n/2 (2 ) i n/2 ix e z 0 z ix n / dz 4z (1) i n/2 i n/2 (2 ) i n/2 i (2 ) n / 2.Tính F(2)(x): 1 n / ix z n / 2 z e dz 1 n / ix n / 1 (i ) n 1 2 n n / 1 x i 2 n / 2 Sử dụng: k i k i k i i d d exp i k ta có: 131 i i k i F (2) ( x) 2 n/2 i d d d 0 d d d 2 n n n/2 n/2 n/2 2 n 2 2 k exp i ( )k ix(uk ) ( xu ) xu d d d k exp i ( ) k exp i 4( ) 0 0 2( ) k exp ix(uk ) i k i i k i n/2 i n/2 x2 d d exp i 4( ) i ( ) 0 0 x2 0 d 0 d exp i 4( ) ( )n / Đặt: at; a(1 t ) a; F (2) ( x) (2 ) n / i n/2 (2 ) n / i n/2 0 tiếp tục đặt : n/2 ( , ) a ( a, t ) ix dt da a exp n/2 0 0 4a a dt da a 1 n / ix exp 4a x ix ix z i s ; ds dz 4z 4z 4s Vậy: F ( x) (2 ) n / i n/2 (2) (2 ) n / i n/2 (2 ) n / i n/2 1 n / ix dt 0 0 z ix 2n / ix 2n / z e z ix dz 4z2 n / 3 z e dz n / 2 (i ) n 1 n / ( x i ) 4 n 4n / 2 Thay giá trị tính F (1) ( ) F (2) ( ) vào biểu thức f() ta được: d F (2) ( x) (i ) n 1 d2 4 n 4 n / (n / 2) x i dx dx n 1 (i ) 2 n 4n / (n / 2)(4 n)(3 n) x i 132 f ( ) ie (i ) n 1 ' (n / 2) (n / 1) 2 n 22 n / (1 a)(4 n)(3 n) 24 n / d ' d "( " i ) 0 (n / 2) (n / 1) (i) n e2 (1 a)(4 n)(3 n) 2 n / 24 n / ( -i ) 4-n (i ) 4 n (i )3 n 3n (3 n)(4 n) (3 n)(4 n) Sử dụng: ( a ) (a 1) (n / 1) 2.(n / 1) (n/2 2) a n/22 n4 suy ra: f ( ) e2 ( i ) 4n (i ) 4n (i)n (n / 1) (1 a )( n 3) (i )3n 3 n / (3 n) (4 n) 133 ... điện động lực học lượng tử CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Luận án có tiêu đề: ? ?ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ” xếp thành phần:... vật lý, tích phân Feynman gọi tích phân quỹ đạo hay tích phân đường, cịn tốn học gọi tích phân liên tục hay tích phân phiếm hàm Phương pháp tích phân quỹ đạo cơng cụ hữu hiệu để xem xét vấn đề. .. khơng có mặt hàm truyền (hàm Green) hạt Trong khn khổ tích phân phiếm hàm, người ta nghiên cứu trình tán xạ lượng cao lý thuyết trường lượng tử Phép gần kikj = sử dụng để nghiên cứu kì dị hồng