Thiết giải lặp cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số chứa tích phân với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

Học viên cao học: Nguyễn Thị Ngọc HiềnLuận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Sưphạm TP... Sự dam mê nghiên cứu khoa học và sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã gi

T5S — Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Học viên cao học: Nguyễn Thị Ngọc Hiền

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Sưphạm TP Hồ Chí Minh, vào lúc giờ ngày tháng năm 2008

Thành phố HÒ Chí Minh - 2008

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS NguyễnThành Long, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Người Thầy đã rất âncần và tận tình hướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu vàgiải đáp những thắc mắc khi tôi gặp phải Sự dam mê nghiên cứu khoa học và

sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa và Cô Lê Thị Phương Ngọc

đã dành thời gian, công sức để đọc và cho những nhận xét quý báu đối vớiluận văn của tôi

Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán - Tinhọc trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiếnthức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin học, quý Thầy Cô

Nguyễn Thị Ngọc Hiền

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 1

Mục lục 2

MỞ ĐẦU 3

Chương 1: MỘT SỐ CỒNG cụ CHUẨN BỊ 7

1.1 Các không gian hàm thông dụng 7

1.2 Không gian hàm ư(<d,T\X), 1 < p < o o 8

1.4 Đạo hàm trong ư(0,T;X) 10

1.5 Bổ đề về tính compact của Lions 11

1.6 Một kết quả về lý thuyết phổ 12

1.7 Một số kết quả khác 13

Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 14

2.1 Giói thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị 14

2.2 Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bỏi thuật giải lặp cấp một 16

Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 37

3.1 Giói thiệu bài toán 37

3.2 Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bỏi thuật giải lặp cấp hai 37

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

MỞ ĐÀU

Các bài toán biên phi tuyến nói chung là đề tài đuợc quan tâm bởinhiều tác giả, chẳng hạn nhu trong [3 - 23] và các tài liệu tham khảo trong đó.Loại bài toán nay chứa đựng nhiều mô hình toán học đặt ra trong các lĩnh vực

Kỹ thuật, Cơ học, và có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn Đó là lý do tôichọn đề tài nay

Trong nhiều truờng hợp, bài toán chỉ giải đuợc và dừng lại ở mức độtồn tại nghiệm và không chỉ ra cách thiết lập nghiệm nhu thế nào Một cáchthông dụng nhất mà nhiều nhà nghiên cứu hay làm là phuơng pháp tuyến tínhhóa, hơi giống như phép xấp xỉ liên tiếp của nguyên lý ánh xạ co Cách làmnay vẫn bảo đảm hội tụ về mặt toán học, nhưng trong thực tế hệ số co tuy nhỏhơn 1 và khá gần 1, thì phép lặp nay sẽ hội tụ chậm và đòi hỏi số bước lặpphải khá lớn, thậm chí rất lớn Phương pháp lặp kiểu nay người ta còn gọi làphép lặp cấp 1 hay lặp đơn Cải tiến phương pháp nầy, người ta thường tìmkiếm thuật giải có tốc độ hội tụ nhanh hơn, chẳng hạn như thuật giải lặp cấphai [17] hoặc cao hơn nữa [22] Ví dụ như một thuật giải xác định một dãy lặp

{um} gọi là thuật giải cấp hai nếu ta có được đánh giá sai lệch của số hạng u m

với nghiệm chính xác u theo bất đẳng thức dưới đây (với một chuẩn thích

hợp INI)

So sánh vói hai đánh giá sai số (0.2) và (0.3), ta thấy (0.2) có tốc độ hội

tụ nhanh hơn (0.3), bởi vì

trong đó ủ Q , ũ x ,f, F, B là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ

ra sau Trong phương trình (0.5), số hạng phi tuyến FỊX,Í,Ỉ/,||W X(Í)||2

B Ị||wx (í)||2 j, là hàm có phụ thuộc vào một tích phân

trong đó B, /, ũ 0 , ũ x là các hàm cho truớc và h 0 > 0 cho truớc.

Trong [10, 12], tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm củaphương trình

trong đó Ả > 0, £ > 0, 0 < a < 1 là các hằng số cho trước và Q là tập mở và

bị chặn của M"

trong đó b 0 >0, p>\, d 0 , d 0 , d v d } >0 là các hằng số cho trước Chúng tôi

liên kết phưong trình (0.1) với một dãy quy nạp phi tuyến {u m} xác định bởi

(«„-1) - /(“„-1 )K - )

u m thỏa (0.6), (0.7) Khi đó, luận văn chứng tỏ dãy lặp {u m } sẽ hội tụ

bậc hai về nghiệm yếu của bài toán (0.5) - (0.7) Trong chứng minh tồn tạinghiệm địa phương, định lý điểm bất động Banach được sử dụng

Luận văn sẽ được trình bày theo các chương mục sau

Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm quacác kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn

Chương 1: MỘT SỔ CÔNG cụ CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm thông dụng

Ta đặt các ký hiệu £2 = (0,1), gr=£2x(0,r), ĩ>0 và cũng bỏ qua

định nghĩa các không gian hàm thông dụng: c m (£2),

Ta định nghĩa không gian Sobolev cấp 1

Chú thích 1.1 Từ bổ đề 2, ta dùng ký hiệu tích vô hướng (v) trong j}

ư(0,T;X), 1< p<°° là không gian các lớp tương đương chứa hàm

u: (0,T) —> X đo được sao cho

T

ị\u(t)Ỵ x dt<oo, \ <p< oo.

0

= inf|M >0:||W(7)||X <M, a.e te (0,r)Ị, p = °°.

9

BỔ đề 1.4 (Lions [7]) Gọi X' là đối ngẫu của X Khi đó, với

p' = p , 1 < / ? <O O thì ư (0,T;X') là đối ngẫu của L p (0,T;X) Hom nữa, p-\

nếu X là không gian phản xạ thì ư(0 ,T;X) cũng phản xạ M

Bổ đề 1.5 (Lions [8]) = L°°(0,T;X') Hon nữa, các không

X), ư (0, T; X') không phản xạ ■

Chú thích 1.2 NếuX = Z/(Q) thì ư(OJ-,X) = ư(£lx{<ò,T)).

1.3 Phân bố có giá trị trong không gian Banach.

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến

tính liên tục từ Z)((0,r)) vào X gọi là một phân bố có giá trị trong X, ký

b) Ánh xạ VI—>T V là một đơn ánh, tuyến tính từ ư(0,T;X) vào

1.4. Đạo hàm trong ư(0,T;X).

Do bổ đề 7, phần tử ue U(0,T;X) và do đó — là phần tử của

dt

1.5 Bổ đề về tính compact của Lions.

Cho không gian Banach B 0 ,B,B Ỉ với B0 C —>BC—> Bx với các phép

nhúng liên tục sao cho:

đối với tích vô hướng ứ(v).

0<Ẳ </L < <Ả < , lim/l = +oo,

Kỷ hiệu u(t), u l (t) = ủ(t), u lt (t) = ũ(t), uXt) = Vu(t), u_(t) = Au(t) thay cho u(x,t), (du/dt)(x,t), (d 2 u/dt 2 )(x,t), (du/dx)(x,t), (d 2 u/dx 2 )(x,t)

lần lượt tuơng úng

Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT

2.1 Giới thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị.

Trong chưong nay, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau

Ự(u,u t ) = K\u\ q u + Ẳ\u t \ P u t , q > 2, p > 2, K > 0, Ằ > 0.

trong đó ũữ, ũ x , B là các hàm cho truớc Trong chuông này ta sẽ thiết lập

Khi đó V là một không gian con đóng của H x và do đó V cũng là

Trên chúng ta sử dụng một dạng song tuyến tính trên V X V

u tt- B ÌẶ u t) u xx = G { x d,u,u n \u x fỴ (x,t)e (0,l)x(0,r), (2.11)

16

Hon nữa, dãy ịWj /y[ÃjỊ cũng là một cơ sở trực chuẩn Hiỉbert của V

đối với tích vô hướng ứ(v).

Mặt khác, ta cũng có Wj thỏa mãn bài toán biên dưỏi đây

-Aw =Ầ.W trong £2,

w.eVnC~([0,\]ị

Chứng minh bổ đề này được suy từ bổ đề 1.10, với H = IĨ, và V,

a(v) được xác định bởi (2.5) và (2.7)

2.2 Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bỏi thuật giải

Ta mô tả thuật giải cấp một cho bài toán (2.2), (2.3), (2.11) như sau

(i) Chọn số hạng đầu tiên u ữ =ủ ữ

(iii) Sau đó tìm u m e WX (M,T) thỏa bài toán biến phân tuyến tính

Chứng minh bổ đề 2.5 Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết và ta

viết Cjự), ữj, fij, u(t) = Ỵ j c j {t)w j làn lượt thay cho c^ự), a%\ p%\

Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một số tự nhiên P Qsao cho toán tử

U Po : X = c° ([0, T]; ) —> X là co, tức là tồn tại hằng số p e [0,1) sao cho

Ta viết lại (2.49) như sau

a(ũ^\t\w j ) + b m (t)(àu^\t),\w^ = a(G m (t),w J ),(2.50)

trong (2.50) thay Wj bởi ủ^\t) ta được

= ứ(Gm(0,»l‘,(0)+Vl,(0 AMí>(02

(2.52)

Tích phân theo t ta được

í,(0 = ỉrii,(0) + 2ja(ơm(í),úii,(í))* + j*:(í)||AU«(í)||2& (2.53)

+ 5 (ll V “oí) a (“«>“oi) + ll A

v„(0) = v m (0)=0.

Chọn v = v m trong (2.85) ta được(K Ừ), V (0) + bm t, (0a (V (í)» V (0)

M0f +*oK(o||

Do đó, ta suy từ (2.103) rằng

(2.104)trong đó

^ K K - «Ll(7->+2M 2 K, - K|

ư(ữ,T\ữ)

\w x ợ)

(2.115)Tương tự với (2.97), (2.98) ta có

(ũ(t),v) + B[Ặu x {t)Ị^a(u{t\v) = (G(x,t),v), Vve V, (2.119)

và điều kiện đầu

và điều kiện đầu

w(0) = ủ(0) = 0, (ủ(t),ủ(t)) + Ặ(í)ỡ (u(t),ủ(t)) - (Ặ(í) - Ẻ 2 (t)^Au 2 (t),ủ(t))

Khi đó từ (2.127) - (2.129) ta có

t Z(t)<K u ịz(s)ds, Víe[0,r].

' 2 '

Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

3.1 Giới thiệu bài toán.

Trong chưong này, bài toán giá trị đầu và giá trị biên (0.5) - (0.7) được

xét với / = f(u) = K\u\ q 2 u, q> 2, F = F(x,t), B = B(z) như sau

“»(°) = “o> “„(°)=«p

(3.6)trong đó

U0 = s(|K(0f),

G m (*>0 = F ( x >t) - /(«„_,) - )(«m - )»

= F(x, <)-(?- 2 )/(«„_,)-(<?- 1)AT f"2 ,

Định lý 3.1 ơ/ả sử (//2), c^o 0^4) là đúng Khi đó tồn tại

hằng sổ M > 0, r > 0 {phụ thuộc vào ủ 0 , Wj, F, /) SÍỈO cho với u 0 = 0, tồn tại dãy {u m ) czW x {M,T) thỏa (3.4) - (3.7).

Chứng minh: gồm 2 bước.

(3.8)thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến

(3.9)

ở đây

(3.10)/K-i) = ■*]“,

Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết và ta viết Cj(t), a p P p

\Uc\\ r = sn V \{Uc){t)\<Ỹ T +\D/^p<p,Vce (3.25)

<1

(3.39)Nghĩa là : *s —> s là toán tử co Áp dụng định lý Banach, ta suy ra

đuợc u có một điểm bất động duy nhất trong svà do đó hệ (3.15) - (3.16)

có duy nhất nghiệm u^\t) trên đoạn [0,r„( Ả)] Bổ đề 3.2 đuợc chứng minh.H

Các uớc luợng duới đây cho phép ta lấy T^ k) = T.

trong đó

(3.41)

Chứng minh tưong tự định lý 2.4 trong chưong 2, ta có

Dùng giả thiết (H4) và từ (3.54) suy ra

c=J||«i%)||2*ắ2j(4>||VM“)(,s)ir +K) IK^O)!2*

0 0

+ *TịẶF\\ Ểtm + { q -DKM<-') 2

4 lod ữ + dpỸ'’jj(5‘‘, (i))" tl &

07,=7~,(M) = A(M),

r-ỉ <ím

11 m ịịw ' iT) ju T ạ -J3)

^/7 ^

hội

theo nghĩa

trong đó

0 0

= J*+J* 2 +J* 3 +J* 4

Ta có

Vậy định lý đuợc chứng minh.H

Mặt khác, nội dung chính của luận văn là các kết quả thu được chứađựng trong các chương 2 và 3.

Ở chương 2, chúng tôi xét thuật giải lặp cấp một cho phương trình sóng

cụ thể Một lần nữa các phương pháp trên đựơc sử dụng trong việc chứng

minh tồn tại và duy nhất nghiệm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

•

1 R.A Adams (1995), Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork, 1975.

2 H Brézis (1983), Analyse jibnctionnele, Thẻorỉe et Applications, Masson

Paris, 1983

3 C.F Carrier (1945), On the vibration problem of elastic string, Q J.

Appl Math, 3 (1945), 151-165

4 Zh N Dmitriyeva (1979), On stable Solutions in nonlinear oscilỉations

of rectanguỉar pỉates under random loads, Prikl Mat Mekh L 4, (1979),

189- 197

for a nonỉinear degenerate hyperbolic equatỉon, Nonliear Anal TMA, 10

(1986), 27- 40.

6 M Hosoya, Y Yamada (1991), On some nonlỉnear wave equatỉons I:

local exỉstence and regularity of Solutions, J Fac Sci Univ Tokyo.

Sect IA, Math 38 (1991), 225-238

7 G R, Kirchhoíí (1876), Vorlesungen ủbcr Mathematische Physik:

convergence and asymptotic expansion of Solutions, Demonstratio Math.

40 (2) (2007), 365-392

12 Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (1999), On the exỉstence,

uniqueness of solution of a nonỉinear vỉbratỉons equation, Demonstratio

Math 32 (4) (1999), 749-758

13 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm

(2002), Linear recursive schemes and asymptotỉc expansion assocỉated with the Kỉrchhoff-Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1) (2002),

116-134 r http://dx.doi.org/10.1006/imaa.2Q01.7755 1

14 Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng (2003), On the nonlinear wave

equatỉon u tl - B(ị\u x f)u xx = f(x,t,u,u x ,u t ,\\u x f) associated with the

mỉxed homogeneous conditions, Nonlinear Anal., Ser A: Theory

Methods, 55 (5) (2003), 493-519

15 Nguyễn Thành Long (2002), On the nonỉỉnear wave equatỉon

u tt - B^tị u x ||2 j u xx = f(x,t,u, u x , u t ,|| u x ||2 j associated with the mỉxed

18 Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long

(2008), On a nonlinear wave equatỉon assocỉated wỉth the boundary conditỉons involvỉng convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods

& Applica-tions, Series A: Theory and Methods (accepted forpublication)