Phương trình sóng một chiều với hệ số biến thiên liên kết với điều kiện biên chứa tích phân

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO a^[aaJ TRƯỜNG ĐẠI HỌC sú PHẠM TP Hồ CHÍ MINH LỜI CẢM ƠN Lời tơi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Trần Minh Thuyết, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy ân cần tận tình hướng dẫn, giúp cho tơi nắm bước nghiên cứu giải đáp thắc mắc tơi gặp phải Sự tận tình hướng dẫn Thầy giúp tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn q Thầy Cơ ngồi khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức TRÌNH SĨNG MỘT CHIỀU VỚI HỆ SỐ kinh nghiệmPHƯƠNG quý báu cho suốt thời gian học tập trường BIẾN cảm THIÊN LIÊNchủ KÉT VỚIkhoa ĐIÊUToán KIỆN BIEN Chân thành ơn Ban nhiệm - Tin học, quý Thầy Cơ CHỨA TÍCH PHÂN thuộc phịng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành chương trình học trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp Tôi vô biết ơn Thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng Trường THPT Trần Hưng Đạo tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Tơi khơng qn gửi lời biết ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa tinh thần vững tơi LUẬN VĂN THẠC sĩ TỐN HỌC Sau cùng, kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo quý Thầy Cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2008 Lê Trường Giang Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 utt “uxx + f(u,ut) = F(x,t),00 số cho trước g0(t), k0(t) hàm cho trước Trong [2], Đ.Đ.Áng Alain Phạm thiết lập định lý tồn nghiệm cho tốn (l) - (5) vói Uo, Ui, p hàm cho trước, với f (u,ut) = |ut|a sign(ut),(0 < a < l) (7) Tổng quát hóa kết [2], N.T.Long Alain Phạm [3 -5, 8, 10, 11 xét toán (l), (3), (4) liên kết với điều kiện biên không = sau có dạng X (0, t) = g0 (t) + H(u(0, t)) — Jk0(t — s)u(0, s)ds, (8) mà (7) xét trường hợp riêng Chẳng hạn toán (1), (3), (4) (8) nghiên cứu ứng với trường hợp k = 0, H(s) = hs, với h > [10]; k = [11]; H(s) = hs, vớih>0[5] Trong trường hợp H(s) = h.s, với h > 0, toán (1), (2), (3), (4), (8), ẩn hàm u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa toán Cauchy cho phương trình vi phân thường sau p "(t) + co2P(t) = hutt, < t < T, (9) P(0) = P0, P'(0) = Pp (10) co > 0, h > 0, P0, Pj số cho trước ([1], [11]) Trong [1], N.T An N.D Triều nghiên cún trường hợp đặc biệt toán (l)-(4), (7), (9), (10) với uo=u1=Po=0 K(x,t)-K, ^(t) = X K, X, số dương cho trước Trong trường hợp toán (1) - (4), (9), (10) mơ hình tốn học mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng Trong trường họp (7), toán (1) - (4), (9), (10) mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến bề mặt, ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt Từ (9), (10) ta biểu diễn P(t) theo p0, Pi, co, h, utt(0,t) sau tích phân phần, ta t P(t) = g0(t) + hu(0,t) -1 k0(t - s)u(0,s)ds, g0 (t) = (P0 - hu0 (0)) cos cot + — (Pj - hu1 (0)) sin (Ot, co k0(t) = hcosincot Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (2) (11) (12) (13) ux (0, t) = g0 (t) + hu(0, t) - j k0 (t - s)u(0, s)ds (14) Khi ta đưa toán (1) - (4), (9), (10) toán (1) - (4), (11) (13) hay (IX (3), (4), (12) - (14) Các tác giả Bergounioux, Long, Alain [3], Long, Alain, Diễm [8] nghiên cúư toán (1), (2), (4), (8) ux(l,t)+KjU(l,t) + AqUt (1, t) = 0, f(u,ut) Ku +hằng )ait, số không âm cho trước Bài toán (1), (2), X, Kp X1 =các (4), (8), (3’), (15) mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính bề mặt, ràng buộc liên kết vói lực cản ma sát nhớt Luận văn trình bày theo chng mục sau: Phần mở đầu tống quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, chúng tơi trình bày số cơng cụ chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 2, trình bày tồn nghiệm yếu toán (1) - (6) hai trường hợp (U0,U1)EH1(0,1)XL2(0,1),U0(1) = (U0,U,)EH2(0,1)XH1(0,1), U0(1) = 0, UJ(1) = Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm phưong pháp compact yếu Trong phần này, định lý Schauder sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Chương 3, nghiên cứu ổn định tính trơn nghiệm tốn (1) - (6) trường hợp a = Chương 4, xét trường hợp cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm tốn Ke đến phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng Chúng ta bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng kí hiệu gọn lại sau: Ư = Lp (Q), Hm = Hm (Q), H0m =H0m (Q), Q = (0,1) QT=nx(0,T) = (0,l)x(0,T), T>0 Ta dùng ký hiệu (v) ||.|| để tích vơ hưóng chuẩn sinh tích vơ hướng tưong ứng L2 Kí hiệu (v) dùng để cặp tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử không gian hàm Ký hiệu III để chuẩn không gian Banach X Ta gọi X’ không gian đối ngẫu X Các ký hiệu ư(0,T;X), < p < co, không gian Banach hàm đo U:(0,T)H>X, cho néu 1 2,K0>Oa 0>0 số cho trước g0(t), k0(t) hàm cho trước Trong chương này, ta thiết lập định lý tồn nghiệm yếu toán (1) - (5) Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, từ rút dãy hội tụ yếu khơng gian thích hợp nhờ số phép nhúng compact Trong phần định lý Schauder điểm bất động sử dụng việc chúng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin 0} Trước hết đặt: V = {v e H1 (0,1): v(l) = (2.1.1) dạng song tuyến tính V X V a(u,v) = ju'(x)v'(x)dx (2.1.2) V không gian đóng H1, khơng gian Hilbert tích vơ hướng H1 Khi ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1.1 Phép nhúng VQC°([0,1]) compact M