Phương trình sóng một chiều với hệ số biến thiên liên kết với điều kiện biên chứa tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Trường Giang PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Lời tơi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Trần Minh Thuyết, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy ân cần tận tình hướng dẫn, giúp cho nắm bước nghiên cứu giải đáp thắc mắc tơi gặp phải Sự tận tình hướng dẫn Thầy giúp tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô ngồi khoa Tốn – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt thời gian học tập trường Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, q Thầy Cơ thuộc phịng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành chương trình học trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp Tôi vô biết ơn Thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng Trường THPT Trần Hưng Đạo tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Tôi không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa tinh thần vững tơi Sau cùng, kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo q Thầy Cơ góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2008 Lê Trường Giang MỞ ĐẦU Trong luận văn chúng tơi xét tốn sau: Tìm cặp hàm (u, P) thỏa: u tt − u xx + f (u,u t ) = F(x, t),0 < x < 1,0 < t < T, (1) u x (0, t) = P(t), (2) u(1,t)=0, (3) u(x,0) = u (x),u t (x,0) = u1 (x) (4) f (u,u t ) = K(x, t)u + λ (t)u t (5) K(x,t), λ(t), F(x,t), u , u1 hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Hàm chưa biết u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau P(t) = g (t) + λ u t (0, t) + K u(0, t) α− u(0, t) t − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (6) α ≥ 2, K ≥ 0, λ >0 số cho trước g (t), k (t) hàm cho trước Trong [2], Đ.Đ.Áng Alain Phạm thiết lập định lý tồn nghiệm cho toán (1) – (5) với u0, u1, P hàm cho trước, với α f (u,u t ) = u t sign(u t ),(0 < α < 1) (7) Tổng quát hóa kết [2], N.T.Long Alain Phạm [3 –5, 8, 10, 11 xét toán (1), (3), (4) liên kết với điều kiện biên không x = sau có dạng t u x (0, t) = g (t) + H(u(0, t)) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (8) mà (7) xét trường hợp riêng Chẳng hạn toán (1), (3), (4) (8) nghiên cứu ứng với trường hợp k ≡ 0, H(s) = hs, với h > [10]; k ≡ [11]; H(s) = hs, với h > [5] Trong trường hợp H(s) = h.s, với h > 0, toán (1), (2), (3), (4), (8), ẩn hàm u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường sau P"(t) + ω2 P(t) = hu tt , < t < T, (9) P(0) = P0 , P '(0) = P1 , (10) ω > 0, h ≥ 0, P0 , P1 số cho trước ([1], [11]) Trong [1], N.T An N.D Triều nghiên cứu trường hợp đặc biệt toán (1)–(4), (7), (9), (10) với u = u1 = P0 = K(x, t) ≡ K, λ (t) ≡ λ K, λ, số dương cho trước Trong trường hợp toán (1) – (4), (9), (10) mơ hình tốn học mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng Trong trường hợp (7), tốn (1) – (4), (9), (10) mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến bề mặt, ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt Từ (9), (10) ta biểu diễn P(t) theo P0, P1, ω, h, u tt (0, t) sau tích phân phần, ta t P(t) = g (t) + hu(0, t) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (11) g (t) = (P0 − hu (0))cos ωt + (P1 − hu1 (0))sin ωt, ω k (t) = hω sin ωt Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (2) (12) (13) t u x (0, t) = g (t) + hu(0, t) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds (14) Khi ta đưa tốn (1) – (4), (9), (10) toán (1) – (4), (11) – (13) hay (1), (3), (4), (12) – (14) Các tác giả Bergounioux, Long, Alain [3], Long, Alain, Diễm [8] nghiên cứu toán (1), (2), (4), (8) ux (1,t)+K1u(1, t) + λ1u t (1, t) = 0, (3’) f (u,u t ) = Ku + λu t , (15) K, λ, K1 , λ1 số không âm cho trước Bài tốn (1), (2), (4), (8), (3’), (15) mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính bề mặt, ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt Luận văn trình bày theo chương mục sau: Phần mở đầu tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, chúng tơi trình bày số công cụ chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 2, chúng tơi trình bày tồn nghiệm yếu toán (1) – (6) hai trường hợp (u ,u1 ) ∈ H1 (0,1) × L2 (0,1), u (1) = (u ,u1 ) ∈ H (0,1) × H1 (0,1), u (1) = 0, u1 (1) = Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm phương pháp compact yếu Trong phần này, định lý Schauder sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Chương 3, chúng tơi nghiên cứu ổn định tính trơn nghiệm toán (1) – (6) trường hợp α = Chương 4, xét trường hợp cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm tốn Kế đến phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng Chúng ta bỏ qua định nghĩa khơng gian hàm thơng dụng kí hiệu gọn lại sau: Lp = Lp (Ω), H m = H m (Ω), Ω = (0,1) H 0m =H 0m (Ω), QT = Ω × (0,T) = (0,1) × (0,T), T > Ta dùng ký hiệu ⋅, ⋅ để tích vơ hướng chuẩn sinh tích vơ hướng tương ứng L2 Kí hiệu ⋅, ⋅ dùng để cặp tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử không gian hàm Ký hiệu ⋅ X để chuẩn không gian Banach X Ta gọi X’ không gian đối ngẫu X Các ký hiệu Lp (0,T;X), ≤ p ≤ ∞ , không gian Banach hàm đo u : (0,T) → X , cho u ⎛ T p ⎞p = ⎜⎜ ∫ u(t) X dt ⎟⎟ < +∞ L (0,T;X) p ⎝0 ⎠ ≤ p < ∞ u L∞ (0,T;X) = esssup u(t) 0< t < T p = ∞ X i ii Ta kí hiệu u(t), u '(t) = u t (t) = u(t), u ''(t) = u tt (t) = u(t), u x (t), để lần ∂u ∂2u ∂u (x, t), (x, t), lượt u(x, t), (x, t) theo thứ tự ∂x ∂t ∂t 1.2 Các bổ đề quan trọng Cho ba không gian Banach B0 ,B,B1 với B0 ⊂ B ⊂ B1 với phép nhúng liên tục cho B0, B1 phản xạ, (1.1) B0 1B với phép nhúng compact (1.2) Ta định nghĩa: W = {v ∈ Lp0 (0,T;B0 ) : dv = v ' ∈ Lp1 (0,T;B1 )}, dt < T < ∞, ≤ pi ≤ ∞, i = 0,1 Trang bị W chuẩn sau: v W = v Lp0 (0,T;B0 ) + v ' Lp1 (0,T;B ) Khi W không gian Banach Hiển nhiên W ⊂ Lp0 (0,T;B) Ta có kết sau: Bổ đề 1.1 ([6], p.57) Dưới giả thiết (1.1), (1.2) < pi < ∞, i = 0,1 phép nhúng W1Lp0 (0,T;B) compact Bổ đề 1.2 ([6], p.12) Cho Q mở bị chặn RN, g, gm ∈ Lq (Q),1 < q < ∞ thỏa (i) g m Lq (Q) ≤ C, với m, (ii) g m → g hầu hết Q Khi đó: g m → g Lq (Q) yếu Sau cùng, chúng tơi trình bày kết lý thuyết phổ áp dụng nhiều toán biên Trước hết ta làm số giả thiết sau: Cho V H hai không gian Hilbert thực thỏa điều kiện (1.3) (i) Phép nhúng V1H compact (ii) V trù mật H Cho a : V × V → R dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục VxV cưỡng V Chính xác hơn, ta gọi a dạng song tuyến tính: (j) Nếu u → a(u, v) tuyến tính từ V vào R với v ∈ V v → a(u, v) tuyến tính từ V vào R với u ∈ V (jj) Đối xứng a(u, v) = a(v, u) , ∀u, v ∈ V (jjj) Liên tục ∃M > : a(u, v) ≤ M u V v V, (4j) Cưỡng ∃α > : a(v, v) ≥ α v V , ∀u, v ∈ V ∀v ∈ V Khi ta có kết sau: Bổ đề 1.3 ([12], Định lý 6.2.1, p.137) Dưới giả thiết (1.3), (1.4) Khi đó, tồn sở trực chuẩn Hilbert {wj} H gồm hàm riêng wj tương ứng với giá trị riêng λ j cho < λ1 ≤ λ ≤ ≤ λ j ≤ , lim λ j = +∞ j→∞ a(w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈ V, ∀j = 1,2 Hơn nữa, dãy { wj } sở trực chuẩn Hilbert V đối λj với tích vơ hướng a(.,.) Chứng minh bổ đề 1.3 tìm thấy [12, Định lý 6.2.1, p 127] Chương SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 2.1 Giới thiệu Trong chương II xét tốn sau: Tìm cặp hàm (u, P) thỏa: u tt − u xx + K(x, t)u + λ (t)u t = F(x, t),0 < x < 1,0 < t < T, (1) u x (0, t) = P(t), (2) u(1,t)=0, (3) u(x,0) = u (x), u t (x,0) = u1 (x) (4) K(x,t), λ(t), F(x,t), u , u1 hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Hàm chưa biết u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau P(t) = g (t) + λ u t (0, t) + K u(0, t) α− t u(0, t) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (5) α ≥ 2, K ≥ 0, λ >0 số cho trước g (t), k (t) hàm cho trước Trong chương này, ta thiết lập định lý tồn nghiệm yếu toán (1) – (5) Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, từ rút dãy hội tụ yếu khơng gian thích hợp nhờ số phép nhúng compact Trong phần định lý Schauder điểm bất động sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Trước hết đặt: V = {v ∈ H1 (0,1) : v(1) = 0} (2.1.1) 43 u1[0] = u1 ,u1[r] = g [0] ∂[r −1]F (x,0) − λu1[r −1] − K(x)u1[r −1] + u[r0xx−1] , r ≥ ,(3.2.13) r −1 ∂t d r g r −1 (r −1−υ) d ν k = g ,g = r − ∑ u (0) ν , r ≥ dt dt ν=1 [r] (3.2.14) Giả sử u0, u1, F, g0, k0, K thỏa điều kiện sau [r] (F ): ∂ υF ∂t υ ∈ L (0,T;L ),0 ≤ υ ≤ r + ∂μ F ∂t μ (.,0) ∈ H1 ,0 ≤ μ ≤ r − ( g [r]): g ∈ H r + ([0,T]) (K[r]): K ∈ L∞ (0,1) ( k [r]): k ∈ H r +1 (0,T) (2[r]): u ∈ H r + ∩ V, u1 ∈ H r +1 ∩ V [r] [r] [r] [r] [r] Khi u[r] , u1 ,F ,K ,g ,k thỏa giả thiết (F’), ( g ’), (K’), ( k ’), (2’’) Theo định lý 2.2.2, tốn có nghiệm yếu (u[u ] ,P[r] ) thỏa u[r] ∈ C0 (0,T;H1 ) ∩ C1 (0,T;L2 ) ∩ L∞ (0,T;H ), (3.2.15) ∞ [r] ∞ u[r] t ∈ L (0,T;H ), u tt ∈ L (0,T;L ), (3.2.16) u[r] (0,.) ∈ H (0,T), P[r] ∈ H1 (0,T) (3.2.17) Vì thế, tính nghiệm yếu, có ∂ru ∂rP [r] u = r , P = r ∂t ∂t [r] (3.2.18) Từ (3.2.15) – (3.2.18) ta rút u ∈ Cr-1 (0,T;H ) ∩ Cr (0,T;H1 ) ∩ Cr +1 (0,T;L2 ), (3.2.19) u (0,.) ∈ H r+1 (0,T), P ∈ H r+1 (0,T) (3.2.20) Chúng ta có định lý sau 44 Định lý 3.2.2 Cho α = , K(x,t) = K(x), λ > giả thiết (1’), (F[r]), ( g [r]), (K[r]), ( k r1]), (2[r]), đó, tốn (1) – (5) có nghiệm yếu (u, P) thỏa (3.2.18) – (3.2.20) 45 Chương XÉT MỘT THƯỜNG HỢP CỤ THỂ Trong chương chúng tơi xét tốn cụ thể sau: Tìm cặp hàm (u, P) thỏa u tt − u xx + Ku + λu t = F(x, t), < x < 1,0 < t < T, (4.1) u x (0, t) = P(t), (4.2) u(1,t)=0, (4.3) u(x,0) = u (x), u t (x,0) = u1 (x) (4.4) K,λ số cho trước, hàm u ,u1 ,F hàm cho trước Hàm chưa biết u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa toán Cauchy cho phương trình vi phân thường sau P"(t) + ω2 P(t) = hu tt (0, t), < t < T, (4.5) P(0) = P0 , P '(0) = P1 , (4.6) ω > 0,h ≥ 0, P0 , P1 số cho trước ([1], [10]) Trong [1], N.T.An N.D.Triều nghiên cứu trường hợp đặc biệt toán (4.1) – (4.6) với u = u1 = P0 = F(x, t) = Trong trường hợp toán (4.1) – (4.6) mơ hình tốn học mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng Từ (4.5), (4.6) ta biểu diễn P(t) theo P0, P1, ω,h,u tt (0, t) sau tích phân phần, ta t P(t) = g (t) + hu(0, t) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (4.7) g (t) = (P0 − hu (0))cos ωt + (P1 − hu1 (0))sin ωt, ω (4.8) 46 k (t) = hω sin ωt (4.9) Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (4.2) t u x (0, t) = g (t) + hu(0, t) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (4.10) Khi ta đưa tốn (4.1) – (4.6) toán (4.1) – (4.4), (4.7) – (4.10) Chúng ta xét toán cụ thể với u = u1 = P0 = F(x, t) = , P1 = h = ω = , K = , λ = π Khi ⎧g (t) = k (t) = sin t ⎪ t ⎨ ⎪P(t) = sin t + u(0, t) − ∫ sin(t − s)u(0,s)ds ⎩ (4.11) Xét sở trực chuẩn {w j} V gồm vectơ riêng w j −∂ toán tử Laplace , ∂x π cos(λ jx), λ j = (2 j − 1) , j = 1,2, 2 (1 + λ j ) w j (x) = (4.12) Chúng ta sử dụng xấp xỉ Galerkin để tìm nghiệm xấp xỉ theo dạng m u m (t) = ∑ cmj (t)w j , (4.13) j=1 cmj (t) thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến u"m (t), w j + u mx , w jx + Pm (t)w j (0) + K(x, t)u m (t) + λ(t)u (t), w j = 0, ≤ j ≤ m ' m m (4.14) m u m (0) = ∑ cmj (0)w j = 0, u 'm (0) = ∑ c'mj (0)w j = 0, j=1 (4.15) j=1 t Pm (t) = sin t + u m (0, t) − ∫ sin(t − s)u m (0,s)ds, (4.16) 47 Hệ phương trình (4.14) – (4.16) viết lại dạng −1 ⎡ ⎧ " ' ⎤ + λ = c (t) c (t) mj j mj ⎣ Pm (t)w j (0) + u m (t) + πu m (t), w j ⎦ , ⎪ wj ⎨ ⎪ ⎩c mj (0) = c'mj (0) = 0, ≤ j ≤ m (4.17) Hay −Pm (t)w j (0) ⎧ " + + c (t) c (t) + π c' (t) (1 λ ) = , mj ⎪⎪ mj j mj wj ⎨ ⎪ ⎪⎩c mj (0) = c'mj (0) = 0, ≤ j ≤ m (4.18) Để tìm nghiệm hệ (4.18), chúng tơi sử dụng bổ đề sau Bổ đề 4.1 Nghiệm toán Cauchy sau ⎧ y ''(t ) + λ y (t ) = F (t ), t > ⎨ ⎩ y (0) = y0 , y '(0) = y1 , (4.19) cho công thức y (t ) = y0 cos(λt ) + y1 t sin λ (t − s ) sin(λt ) +∫ F ( s )ds λ λ (4.20) Bổ đề 4.2 Nghiệm toán Cauchy sau ⎧⎪ y ''(t ) + πy '(t ) + (1 + λ j ) y (t ) = F (t ), t > ⎨ ⎪⎩ y (0) = y0 , y '(0) = y1 , (4.21) cho công thức ⎧ sin(μ j t ) −πt ⎡ π ) ⎢ y0 cos(μ j t ) + ( y1 + y0 ) ⎪ y (t ) = exp( ⎢⎣ μ jt ⎪ ⎪ ⎤ t sin μ j t (t − s ) πt ⎪ exp( ) ( ) F s ds + ⎥ , (4.22) ⎨ ∫0 μ jt ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪μ = + λ − π j ⎪ j ⎩ 48 Khi đó, nghiệm hệ (4.18) cmj (t) = exp( sin(μ jt) −πt ⎡ π ) ⎢ y0 cos(μ jt) + (y1 + y0 ) ⎢⎣ μ jt t sin μ j (t − s) μ jt +∫ = = −1 wj w j (0) wj ∫ t sin μ j (t − s) μ jt ∫ t sin μ j (t − s) μj − w j (0) wj exp π(t − s) Pm (s)w j (0)ds exp s π(t − s) ⎡ − u m (0,s) + ∫ sin(s − τ)u m (0, τ)dτ ⎤ ds ⎥⎦ ⎢⎣ t sin μ j (t − s) μj ∫ ⎤ πt −Pm (s)w j (0) ⎥ exp( ) ds ⎥ wj ⎦ exp π(t − s) sin sds (4.23) m Thay u m (0, t) = ∑ c mj (t)w j (0) vào (4.23) viết lại (4.23) dạng j=1 c mj (t) = (Ucm ) j (t) + G mj (t), 1≤ j ≤ m (4.24) (Ucm ) j (t) = w j (0) wj m t sin μ j (t − s) μj ∑ w (0)∫ i =1 i exp π(t − s) [ −cmi (0,s) (4.25) + ∫ sin(s − τ)c mj (0, τ)dτ ⎤ ds ⎥⎦ s G mj (t) = − w j (0) wj t sin μ j (t − s) μj ∫ exp π(t − s) sin sds (4.26) Khi ta có bổ đề sau Bổ đề 4.3 Với T > cố định, hệ phương trình (4.24) – (4.26) có nghiệm cm = (cm1, cm , , cmm ) C ([0,Tm ]; Tm ∈ (0,T ] m ) với 49 Chứng minh Toán tử U = (U1, U2,…,Um) xác định (4.25) tốn tử tuyến tính C ([0,Tm ]; m ) Xét chuẩn C ([0,Tm ]; m ) sau m c = sup c(t) , c(t) = ∑ ci (t) 0≤ t ≤Tm (4.27) i =1 Ta có, với cm =(cm1 ,cm2 , ,cmm )∈ C ([0,Tm ]; m m ∑ (Ucm ) j (t) ≤ ∑ j=1 w j (0) wj j=1 m ∑ i =1 w i (0) wi t sin μ j (t − s) μj ∫ m ) exp π(t − s) [ c mi (s) s + ∫ sin(s − τ)c mi (0, τ) dτ]ds (4.28) Ta có ⎧ 2 < < 1, ⎪ w j (0) = 2 π + λ j ⎪ 1+ ⎪ ⎨ ⎪ μ 2j 1 + j( j − 1)π2 ⎪μ j w j = μ j w j (0) = , = + λ 2j + λ 2j ⎪⎩ Kết hợp (4.28), (4.29), suy m ∑ (Uc j=1 ) (t) m j m t sin μ j (t − s) π(t − s) ⎡ c m + s c m ⎤⎦ ds ≤ exp ∑ ∫0 ⎣ π j=1 w μj j ≤ ≤ cm π m ∑ j=1 μj w j ∫ [1 + s] ds t m c m (2t + t )∑ π j=1 μ w j j (4.29) 50 m 1+ λj ≤ c m (2Tm + Tm2 )∑ + j( j − 1)π2 π j=1 (4.30) m 1+ λj cho δm = (4.31) Kết hợp (4.30), (4.31) ta suy m ∑ (Uc j=1 ) (t) ≤ δ m c m m j (4.32) Dẫn đến Uc m ≤ δm c m Vậy toán tử c m (4.33) Uc m + G m ánh xạ co từ C ([0,Tm ]; m ) vào Bổ đề 4.3 chứng minh Như vậy, nghiệm cm = (cm1, cm2,…,cmm) hệ (4.24) – (4.26) xấp xỉ dãy lặp {c(k) mj } sau (k −1) ⎧⎪c(k) ) j (t) + G mj (t), mj (t) = (Uc m ⎨ (0) 1≤ j ≤ m ⎪⎩c mj = 0, 1≤ j ≤ m (4.34) đó, U Gmj xác định (4.25), (4.26) Khi c(k) m → c m C ([0,Tm ]; m ) thỏa đánh giá sai số ⎧ (k) Gm k c − c ≤ δ m , k = 1, 2,3 ⎪ m m − δ m ⎪ ⎨ m + λ 2j ⎪ ⎪δm = π (2Tm + Tm )∑ + j ( j − 1)π2 < j =1 ⎩ (4.35) Như vậy, thiết lập nghiệm cm(t) hệ (4.24) – (4.26) đoạn [0,Tm], tiếp tục kéo dài nghiệm [0,T] sau: Đặt t0 = Tm c[0] m (t) = c m (t) , với t ∈ [0, t ] ≡ [0,Tm ] 51 Ta xây dựng hàm c[1] m ∈ C ([t ,t1 ]; hàm c m (t) ∈ C ([0,t1 ]; m ) để nối vào hàm c [0] m (t) cho ) cho m ⎧⎪c[0] t ∈ [0,t o ] m (t), c m (t) = ⎨ [1] ⎪⎩c m (t), t ∈ [t o ,t1 ] (4.36) nghiệm hệ (4.24) – (4.26) [0,t1] Lúc này, hàm c[1] m (t) ( t ∈ [t o ,t1 ] ) nghiệm hệ c[1] mj (t) = (Uc m ) j (t) + G mj (t) = G mj (t) + w j (0) wj t sin μ j (t − s) μj m ∑ w i (0)∫ i =1 exp s π(t − s) ⎡ −cmi (0,s) + ∫ sin(s − τ)cmi (0, τ)dτ ⎤ ds ⎦⎥ ⎣⎢ = G mj (t) + w j (0) wj m ∑ w (0)∫ i i =1 w j (0) + wj t0 sin μ j (t − s) μj m t sin μ j (t − s) t0 μj ∑ w (0)∫ i i =1 exp s π(t − s) ⎡ −cmi (0,s) + ∫ sin(s − τ)cmi (0, τ)dτ ⎤ ds ⎦⎥ ⎣⎢ exp s π(t − s) ⎡ −c mi (0,s) + ∫ sin(s − τ)c m (0, τ)dτ ⎤ ds ⎦⎥ ⎣⎢ = G mj (t) + w j (0) wj + m ∑ w (0)∫ w j (0) wj i i =1 t0 sin μ j (t − s) μj m t sin μ j (t − s) t0 μj ∑ w (0)∫ i =1 i exp s π(t − s) ⎡ [0] ⎤ −c mi (0,s) + ∫ sin(s − τ)c[0] mi (0, τ)dτ ⎥ ds ⎦ ⎢⎣ exp t0 π(t − s) ⎡ [1] −c mi (0,s) + ∫ sin(s − τ)c[0] mi (0, τ)dτ ⎢⎣ ⎤ + ∫ sin(s − τ)c[1] mi (0, τ)dτ ⎥ ds t0 ⎦ s (4.37) Ta viết lại (4.37) [1] [1] [1] c[1] mj (t) = (U c m ) j (t) + G mj (t), t ≤ t ≤ t1 ,1 ≤ j ≤ m (4.38) 52 w j (0) (U c ) (t) = [1] [1] m j wj m t sin μ j (t − s) t0 μj ∑ w (0)∫ i i =1 exp π(t − s) ⎡⎣ −c[1] mj (0,s) (4.39) ⎤ + ∫ sin(s − τ)c[1] mj (0, τ)dτ ⎥ ds t0 ⎦ s G[1] mj (t) = G mj (t) + + w j (0) wj w j (0) wj m ∑ w (0)∫ i i =1 m i sin μ j (t − s) μj t sin μ j (t − s) t0 μj ∑ w (0)∫ i =1 t0 exp s π(t − s) ⎡ [0] ⎤ −c mj (0,s) + ∫ sin(s − τ)c[0] mj (0, τ)dτ ⎥ ds ⎦ ⎢⎣ exp π(t − s) ⎡ t sin(s − τ)c[0] mj (0, τ)dτ ] ds ∫ ⎢ ⎣ t ≤ t ≤ t1 ,1 ≤ j ≤ m (4.40) [1] Toán tử U[1] = ( U1[1] ,U[1] , ,U m ) xác định (4.39) tốn tử tuyến tính C ([t ,t1 ]; m ) Xét chuẩn C ([t ,t1 ]; m ) sau m c = sup c(t) , c(t) = ∑ ci (t) t ≤ t ≤ t1 (4.41) i =1 [1] [1] [1] Ta có, với c[1] m =(c m1 ,c m2 , ,c mm ) ∈ C ([t ,t1 ]; m ∑ (U j=1 m ≤∑ j=1 m ) [1] [1] m j c ) (t) w j (0) wj m ∑ w i (0) i =1 wi t sin μ j (t − s) t0 μj ∫ s exp π(t − s) [1] [ c mi (s) + ∫ sin(s − τ)c[1] mi (0, τ) dτ]ds t0 (4.42) Kết hợp (4.42) (4.29), ta có m ∑ (U j=1 [1] [1] m j c ) (t) m t sin μ j (t − s) π(t − s) ⎡ [1] ⎤ exp cmi + (s − t ) c[1] ≤ ∑ m ⎦ ds ∫t ⎣ π j=1 w μj j 53 [1] ≤ cm π m ∑ j=1 ∫ [1 + s − t ] ds t μj w j t0 m 2 ≤ c m (2t + t )∑ π j=1 μ w j j m + λ 2j ≤ c m (t1 − t )(2 + t1 − t )∑ + j( j − 1)π2 π j=1 (4.43) Chọn t1 = 2t0 (4.43), ta có m ∑ (U j=1 ≤ [1] [1] m j c ) (t) m (4.44) + λ 2j cm t (2 + t )∑ = δm cm + j( j − 1)π2 π j=1 m 1+ λj δm = (2Tm + Tm )∑