Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên dirichlet không thuần nhất ở một phần biên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN HỮU NHÂN PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET KHƠNG THUẦN NHẤT Ở MỘT PHẦN BIÊN: SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN HỮU NHÂN PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET KHƠNG THUẦN NHẤT Ở MỘT PHẦN BIÊN: SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thành Long Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gởi đến TS Nguyễn Thành Long, lời cám ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ Thầy tơi suốt khóa học việc hồn thành luận văn Xin chân thành cám ơn PGS TS Nguyễn Bích Huy TS Nguyễn Cơng Tâm, tất quý Thầy Cô Hội Đồng chấm luận văn dành thời gian đọc cho ý kiến quý báu lời phê bình bổ ích luận văn Tôi xin cám ơn tất q Thầy Cơ Khoa Tốn hai trường, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Xin cám ơn q Thầy Cơ thuộc Phịng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi mặt thủ tục hành cho tơi suốt khóa học Xin gởi lời cám ơn đến Ban Giám hiệu toàn thể giáo viên trường THPT Thống Nhất A tạo điều kiện động viên tơi suốt q trình học Xin chân thành cám ơn TS Trần Minh Thuyết Ths Lê Khánh Luận hỗ trợ sở vật chất cho buổi sinh hoạt chuyên môn tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tôi xin cám ơn bạn học viên Cao học Khóa 15 bạn đồng nghiệp hỗ trợ thời gian học, Ths Võ Giang Giai đóng góp ý kiến quý báu cho lúc làm luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cám ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa cho mặt tạo điều kiện tốt để học tập hoàn thành luận văn Nguyễn Hữu Nhân MỤC LỤC Trang Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng 1.2 Các không gian hàm Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ 1.3 Phân bố có giá trị khơng gian Banach 1.4 Đạo hàm Lp (0, T ; X ) 10 1.5 Bổ đề tính compact Lions[7] 12 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 13 2.1 Giới thiệu 13 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 14 2.3 Sự tồn nghiệm 23 Chương KHAI TRIỂN TIỆM CẬN 27 Chương KHẢO SÁT MỘT VÍ DỤ CỤ THỂ 41 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU Trong luận văn này, xét toán giá trị biên ban đầu sau utt − μ (t )u xx = f (t , u , ut ), < x < 1, < t < T , u (0, t ) = 0, u (1, t ) = ϕ (t ), (0.1) (0.2) u ( x,0) = u ( x), u ( x,0) = u ( x), (0.3) t f , μ (t ), ϕ (t ), u0 , u1 hàm cho trước thỏa giả thiết mà sau Trong [6], Ficken Fleishman chứng minh tồn tại, nghiệm phương trình u xx − utt − 2α1ut − α 2u = ε u + b , với ε > bé (0.4) Rabinowitz [13] chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình u xx − utt + 2α1ut = f ( x, t , u x , ut ) , (0.5) ε tham số bé f hàm tuần hoàn theo thời gian Trong báo Caughey Ellison [3], hợp xấp xỉ trường hợp trước để bàn tồn tại, tính ổn định tiệm cận nghiệm cổ điển cho lớp hệ động lực phi tuyến liên tục Trong [4], Alain Phạm nghiên cứu tồn tại, dáng điệu tiệm cận ε → nghiệm yếu toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet u (0, t ) = u (1, t ) = , (0.6) số hạng phương trình (0.1) cho μ (t ) ≡ 1, f = ε f1 (t , u ), f1 ∈ C1 ([0, ∞) × ) (0.7) Bằng tổng quát hóa [4], Alain Phạm Long [5] xét toán (0.1), (0.3), (0.6) với μ (t ) ≡ số hạng phi tuyến có dạng (0.8) f = ε f1 (t , u, ut ) Nếu f1 ∈ C N ([0, ∞) × ) thỏa f1 (t ,0,0) = với t ≥ , khai triển tiệm cận nghiệm toán (0.1), (0.3), (0.6) đến cấp N+1 theo ε thu được, với ε đủ nhỏ, mà điều nới rộng kết cho phương trình đạo hàm riêng từ phương trình vi phân thường [1] Trong [8,9], Long Alain Phạm nghiên cứu toán (0.1), (0.3) với μ (t ) ≡ , số hạng phi tuyến có dạng f = f1 (u, ut ) (0.9) Trong [8], tác giả xét với điều kiện biên hỗn hợp không u x (0, t ) = hu (0, t ) + g (t ), u (1, t ) = 0, (0.10) h>0 số dương cho trước [9] với điều kiện tổng quát t u x (0, t ) = g (t ) + hu (0, t ) − ∫ k (t − s )u (0, s )ds, u (1, t ) = 0 (0.11) Trong [10], Long Diễm nghiên cứu toán (0.1), (0.3) với điều kiện biên hỗn hợp u x (0, t ) − h0u (0, t ) = u x (1, t ) − h1u (1, t ) = 0, (0.12) h0 , h1 số không âm cho trước với h0 + h1 > số hạng phi tuyến vế phải có dạng f = f ( x, t , u , u x , ut ) + ε f1 ( x, t , u , u x , ut ) (0.13) Trong trường hợp f ∈ C ([0;1] × [0; ∞) × ), f1 ∈ C1 ([0;1] × [0; ∞) × ) tác giả thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu uε đến cấp hai theo ε , với ε đủ nhỏ [10] Trong luận văn nghiên cứu tồn nghiệm địa phương toán (0.1)-(0.3) Chứng minh dựa vào phương pháp Garlerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm với kỹ thuật hội tụ yếu tính compáct Nhờ kết tiến đến khảo sát toán nhiễu cấp cao theo tham số bé ε , số hạng nhiễu số hạng phi tuyến phương trình dạng biểu thức điều kiện đầu toán sau: ⎧utt − ( μ (t ) + εμ1 (t ) ) u xx = f (t , u , ut ) + ε f1 (t , u , ut ), < x < 1, < t < T , ⎪ ( Pε ) ⎨u (0, t ) = 0, u (1, t ) = ϕ (t ), ⎪ ⎩u ( x,0) = u0 ( x) + εϕ0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x) + εϕ1 ( x), đó, ta giả sử ϕ ∈ C N +1 ( + ), u0 ∈ H , u1 ∈ H , ϕ0 ∈ H 01 ∩ H , ϕ1 ∈ H 01 , f ∈ C N +1 ( + × ), f1 ∈ C N ( + × ), thỏa thêm số điều kiện phụ Luận văn nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm toán ( Pε ) theo tham số bé ε , tức nghiệm xấp xỉ đa thức theo ε : N u ( x, t ) ≈ ∑ uk ( x, t )ε k (0.14) k =0 theo nghĩa cần hàm u ( x, t ), (k = 0,1, , N ) thiết lập đánh giá theo dạng ∂uε N ∂uk k ε −∑ ∂t k =0 ∂t N + uε − ∑ uk ε k L∞ (0,T ; L2 ) k =0 ≤ CT ε ∞ L N +1 , (0.15) (0,T ; H 01 ) với tham số ε đủ bé, số CT độc lập với tham số ε Các kết liên quan đến toán xấp xỉ tiệm cận theo tham số số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Long, Diễm [10], Long, Định, Diễm [12], Long, Tâm, Trúc [11] Luận văn trình bày theo chương mục sau: Phần mở đầu, tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, chúng tơi trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 2, nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn (0.1)-(0.3) Chương 3, chúng tơi nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán ( Pε ) theo tham số bé ε Chương 4, chúng tơi xét tốn cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm tốn Kế đến phần kết luận của luận văn sau danh mục tài liệu tham khảo Chương CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng Đầu tiên, ta đặt ký hiệu sau Ω = (0,1), QT = Ω × (0, T ), T > , bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng: m p m m, p C (Ω), L (Ω), H (Ω), W (Ω) Để cho gọn, ta ký hiệu lại sau Lp (Ω) = Lp , H m (Ω) = H m = W m ,2 , W m , p (Ω) = W m , p (có thể xem [2]) Ta định nghĩa L2 = L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng u , v = ∫ u ( x)v( x)dx , u , v ∈ L2 (1.1) Ký hiệu i để chuẩn sinh tích vơ hướng (1.1), nghĩa u = u, u = ( ∫ u ( x)dx ) 1/ 2 , u ∈ L2 Ta định nghĩa không gian Sobolev cấp H = {v ∈ L2 : v ' ∈ L2 } Không gian không gian Hilbert với tích vơ hướng u , v H = u , v + u ', v ' Ký hiệu i u H1 = H1 u, u (1.2) (1.3) (1.4) để chuẩn sinh tích vơ hướng (1.4), nghĩa H1 , u ∈ L2 (1.5) Liên hệ hai không gian H1 C (Ω) , ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1 Phép nhúng H ↪ C (Ω) compact v C0 (Ω) ≤ v H1 , ∀v ∈ H (1.6) Chứng minh bổ đề 1.1 khơng khó khăn Chú thích 1.1 Phép nhúng H ↪ C (Ω) mặt đại số ta hiểu theo nghĩa: Với hàm u ∈ H , tồn hàm liên tục u ∈ C (Ω) cho u = u a.e x ∈ Ω [2] Ta sử dụng phép nhúng Id : H → C (Ω) u u Phép nhúng Id : H → C (Ω) liên tục compact Điều có nghĩa dãy {um } ⊂ H bị chặn H , tồn dãy {umk } ⊂ {um } cho {umk } hội tụ Ω , đây, ta đồng umk ≡ umk = Id (umk ) Ta sử dụng khơng gian Sobolev đặc biệt khơng gian Sobolev H1 H1 ∞ c H = D (Ω) = C (Ω ) (1.7) (bao đóng H khơng gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω ) Mặt khác, H 01 khơng gian đóng H1 , đó, H 01 khơng gian Hilbert tích vơ hướng H Mặt khác, H 01 , v H v ', v ' = (∫ ) 1/ 2 v '( x) dx hai chuẩn tương đương Điều cho bổ đề sau Bổ đề 1.2 Ta có phép nhúng từ H 01 ↪ C (Ω) compact v C0 (Ω) ≤ v = v x H1 , ∀v ∈ H 0 Chứng minh bổ đề 1.2 khơng khó khăn Một cách đặc trưng để xác định H 01 H 01 = {v ∈ H : v(0) = v(1) = 0} Bổ đề 1.3 Đồng L2 với ( L2 ) / (đối ngẫu L2 ) Khi đó, ta có (1.8) (1.9) H 01 ↪ L2 ≡ ( L2 ) / ↪ ( H 01 ) / ≡ H −1 , với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chứng minh Trước hết ta chứng minh L2 nhúng H −1 Vì H 01 ⊂ L2 , với w ∈ L2 , ánh xạ Tw : H 01 → (1.10) v Tw (v) = w, v = ∫ w( x)v( x)dx tuyến tính liên tục H , tức Tw ∈ ( H 01 ) / ≡ H −1 Ta xét ánh xạ T : L2 → H −1 w Khi ta có Tw , v T ( w) = Tw H −1 , H 01 = w, v , ∀v ∈ H 01 , ∀w ∈ L2 Ta chứng minh tốn tử T thỏa tính chất sau: (1.11) (1.12) (i) T : L2 → H −1 đơn ánh (ii) Tw H −1 ≤ w , ∀w ∈ L2 (iii) T ( L2 ) = {Tw : w ∈ L2 } trù mật H −1 Chứng minh (i) Dễ thấy T tuyến tính Nếu Tw = , w, v = Tw , v H −1 , H 01 = , ∀v ∈ H 01 Do H 01 trù mật L2 , nên ta có w, v = , ∀v ∈ L2 Do w=0 Vậy T đơn ánh, nghĩa là, phép nhúng từ L2 vào H −1 Chứng minh (ii) Ta có, với w ∈ L2 , Tw H −1 = sup Tw , v = sup w, v v∈H 01 , v H1 =1 v∈H 01 , v H1 =1 ≤ sup w v v∈H 01 , v H1 =1 ≤ sup w v v∈H 01 , H 01 v H1 =1 = w Chứng minh (iii) Ta chứng minh phiếm hàm tuyến tính liên tục H −1 triệt tiêu T ( L2 ) triệt tiêu H −1 Coi L ∈ ( H −1 ) / , với L, Tw ( H −1 ) / , H −1 = , ∀Tw ∈ T ( L2 ) Ta chứng minh L=0 Thật vậy, H 01 phản xạ, tức là, ( H −1 ) / = H 01 , theo nghĩa, ∀L ∈ ( H −1 ) / , ∃v ∈ V : L, z Lấy z = Tw ∈ H −1 , ta có = L, Tw ( H −1 )/ , H −1 = Tw , v ( H −1 ) / , H −1 H −1 , H 01 = z, v H −1 , H 01 , ∀z ∈ H −1 = w, v , ∀w ∈ H 01 (1.13) 30 2 ⎧ μ ⎫ ⎨1, ⎬ ρ (t ) ≤ ε ( ϕ1 + ( μ (0) + μ1 (0) ) ϕ0 x ) ⎩ 2⎭ t + K ∫ ρ ( s )ds + K 2ε 2T t + ∫ ρ ( s )ds + μ1 ∞ ε 2T v0 ( t H + ∫ ρ ( s )ds (3.13) 2 ≤ ε ϕ1 + ( μ (0) + μ1 (0) ) ϕ0 x + K 2T + μ1 ∞ T v0 + ( + K + μ ' ∞ + μ '1 ) t ∞ ) ∫ ρ (s)ds, t ∞ C1 = ϕ1 + ( μ (0) + μ1 (0) ) ϕ0 x + K 2T + μ1 ∞ T v0 Áp dụng bổ đề Gronwall, ta suy từ (3.14) ⎛ ( + K + μ ' + μ '1 ) T C1ε ∞ ∞ ρ (t ) ≤ exp ⎜ ⎜ min{1, μ0 / 2} min{1, μ0 / 2} ⎝ Như uε − u0 L∞ (0,T ;H ) + u 'ε − u '0 L∞ (0,T ;L2 ) ≤ C ε , H2 ) ∫ ρ (s)ds Ta thu từ (3.14) ⎧ μ ⎫ ⎨1, ⎬ ρ (t ) ≤ C1ε + ( + K + μ ' ∞ + μ '1 ⎩ 2⎭ 2 H2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (3.14) (3.15) (3.16) (3.17) ⎛ ( + K + μ ' + μ '1 ) T ⎞ 2C1 ∞ ∞ ⎟ (3.18) exp ⎜ ⎜ ⎟ min{1, μ0 / 2} min{1, μ0 / 2} ⎝ ⎠ Định lý 3.1 chứng minh xong Tiếp theo, xét khai triển tiệm cận nghiệm yếu uε đến cấp N+1 theo tham số bé ε Ta sử dụng kí hiệu liên quan đến đa số sau: Với đa số α = (α1 , ,α N ) ∈ N+ vectơ x = ( x1 , , xN ) ∈ N , ta đặt α = α1 + + α N , α ! = α1 ! α N ! , xα = x1α1 xαNN (3.19) Trước hết ta sử dụng bổ đề sau C= 31 Bổ đề 3.1 Cho m, N ∈ , x = ( x1 , , xN ) ∈ N ,ε∈ Khi m mN ⎛ N i⎞ x ε Pk[ m ] ( x)ε k , (3.20) = ∑ ⎜∑ i ⎟ k =m ⎝ i =1 ⎠ [m] hệ số Pk ( x) = Pk[ m ] ( x1 , , xN ) , m ≤ k ≤ mN ε k đa thức bậc m theo x = ( x1 , , xN ) , xác định công thức m! α ⎧ [m] = P ( x ) x , m ≤ k ≤ mN , ∑ k ⎪ (m) α ! α ∈Ak ⎪ (3.21) ⎨ N ⎪ A( m ) = ⎧α ∈ N : α = m , iα = k ⎫ ⎨ ⎬ ∑ i + ⎪ k i =1 ⎩ ⎭ ⎩ Chứng minh bổ đề khơng khó khăn, chúng tơi bỏ qua chi tiết Trong phần tiếp theo, nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm toán nhiễu cấp cao theo tham số bé ε , số hạng nhiễu đa thức bậc N điều kiện đầu toán sau: ⎧utt − με (t )u xx = Fε (t , u , ut ), < x < 1, < t < T , ⎪u (0, t ) = 0, u (1, t ) = ϕ (t ), ⎪ ( Pε ) ⎨ (3.22) u ( x ,0) u ( x ) εϕ ( x ), u ( x ,0) u ( x ) εϕ ( x ), = + = + t 0 1 ⎪ ⎪ μ (t ) = μ (t ) + εμ (t ), F (t , u , u ) = f (t , u , u ) + ε f (t , u , u ), t t t 1 ε ⎩ ε đó, ta giả sử ϕ ∈ C ( + ) ( B5 ) f ∈ C N +1 ( + × ), f1 ∈ C N ( + × ) f , f1 thỏa giả thiết (A4) ta dùng kí hiệu ∂f ∂f ∂f D1 f = , D2 f = , D3 f = , ∂t ∂u ∂v ∂α1 f ∂α f ∂α f α3 α1 α2 D1 f = a1 , D2 f = a2 , D3 f = a3 , ∂t ∂u ∂v ∂α1 +α +α3 Dα f = D1α1 D2α D3α3 f = α1 α α3 f , ∂t ∂u ∂v α = (α1 ,α ,α ) ∈ + , α1 + α + α ≤ N , F1[u1 ] = μ1 (t )Δu0 + f1[u0 ] + π 1[ f ], Fi [ui ] = μ1 (t )Δui −1 + π i [ f ] + π i −1[ f1 ], ≤ i ≤ N , k ⎛ π k[ f ] = ∑⎜ s =1 ∑ ⎝ p+q=s ⎞⎛ ⎞ D2p D3q f [u0 ] ⎟⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ p !q ! ⎠⎝ i + j =k ⎠ 32 Để cho gọn ta dùng kí hiệu sau: f [u ] = f (t , u , ut ), Pi[ p ] (u ) = Pi[ p ] (u1 , , u N ), Pj[ q ] (u ') = Pj[ q ] (u '1 , , u 'N ) Gọi u0 nghiệm yếu toán ( P0 ) định lí 3.1 Ta xét nghiệm yếu u1 , u2 , , u N ∈W ( M , T ) (với M,T chọn thích hợp) lời giải yếu toán xác định sau: ⎧u "1 − μ (t )Δu1 = F1[u1 ], < x < 1, < t < T , ⎪ (Q1 ) ⎨u1 (0, t ) = u1 (1, t ) = 0, ⎪ ⎩u1 ( x,0) = ϕ0 ( x), u '1 ( x,0) = ϕ1 ( x), (3.23) F1[u1 ] = μ1 (t )Δu0 + f1[u0 ] + π 1[ f ], với π 1[ f ] xác định sau π 1[ f ] = D2 f [u0 ]u1 + D3 f [u0 ]u '1 Với ≤ i ≤ N , ⎧u "i − μ (t )Δui = Fi [ui ], < x < 1, < t < T , ⎪ (Qi ) ⎨ui (0, t ) = ui (1, t ) = 0, ⎪u ( x,0) = u ' ( x,0) = 0, i = 2,3, , N , i ⎩ i Fi [ui ] = μ1 (t )Δui −1 + π i [ f ] + π i −1[ f1 ], ≤ i ≤ N , (3.24) với π k [ f ] = π k [ f ][u0 , u1 , , uk ], ≤ k ≤ N xác định công thức quy nạp k ⎛ ⎞⎛ ⎞ π k[ f ] = ∑⎜ ∑ D2p D3q f [u0 ] ⎟⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟, ≤ k ≤ N (3.25) s =1 ⎝ p + q = s p !q ! ⎠⎝ i + j =k ⎠ Gọi uε nghiệm yếu tốn ( Pε ) N Khi đó, v = uε − ∑ ε iui ≡ uε − h ≡ uε − u0 − h1 nghiệm yếu toán i =0 ⎧vtt − με (t )Δv = Fε [v + h] − Fε [h] + Eε ( x, t ), < x < 1, < t < T , ⎪ (Qε ) ⎨v(0, t ) = v(1, t ) = 0, ⎪v( x,0) = v ( x,0) = 0, t ⎩ (3.26) 33 N N +1 Eε ( x, t ) = Fε [h] − f [u0 ] − ∑ ε Fi [ui ] + μ1 (t )∑ ε i Δui −1 i i =1 i =1 = f [h] − f [u0 ] + ε ( f1[h] − f1[u0 ]) + ε f1[u0 ] N N +1 i =1 i =1 (3.27) − ∑ ε i Fi [ui ] + μ1 (t )∑ ε i Δui −1 Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2 Giả sử (A1),(B2) (B5) Khi tồn số K cho Eε ∞ L ≤Kε (0,T ; L ) N +1 , (3.28) K số phụ thuộc vào M, T, N số K i ( M , T , f ) = sup ∑ D1β1 D2β2 D3β3 f (t , u , v) , i = 1,2, , N + 1, β K i ( M , T , f1 ) = sup ∑ D1β1 D2β2 D3β3 f1 (t , u , v) , i = 1,2, , N , β đó, trường hợp, sup lấy {(t , u , v) : ≤ t ≤ T , u , v ≤ M } tổng ∑ lấy đa số β β = ( β1 , β , β ) ∈ + thỏa β = β1 + β + β = i Chứng minh Trong trường hợp N=1, chứng minh bổ đề 3.2 dễ dàng, ta bỏ qua chi tiết mà chứng minh với N ≥ Bằng cách dùng khai triển Maclaurin cho hàm f [h] xung quanh điểm ε = đến cấp N+1, ta thu từ (3.27) f [h] - f [u0 ] = ∑ D2p D3q f [u0 ]h1p h '1q + RN [ f , ε ,θ1 ] p + q ≤ N p !q ! (3.29) N p q p q =∑ ∑ D2 D3 f [u0 ]h1 h '1 + RN [ f , ε ,θ1 ], s =1 p + q = s p !q ! RN [ f , ε ,θ1 ] = ∑ D2p D3q f [u0 + θ1h1 ]h1p h '1p (3.30) p + q = N +1 p !q ! Sử dụng công thức (3.20), ta thu p pN ⎛ N [ p] i⎞ k ⎜ ∑ xiε ⎟ = ∑ Pk ( x)ε , ⎝ i =1 ⎠ k= p (3.31) 34 N2 N1 + N ⎛ N1 ⎛ ⎞ k i ⎞⎛ j⎞ = x ε y ε x y ⎜ ∑ i ⎟⎜ ∑ j ⎟ ∑ ⎜ ∑ i j ⎟ ε , ⎝ i= p ⎠⎝ j =q ⎠ k = p+q ⎝ i+ j =k ⎠ (3.32) p pN ⎛ N ⎞ h = ⎜ ∑ uiε i ⎟ = ∑ Pk[ p ] (u )ε k , ⎝ i =1 ⎠ k= p p q qN ⎛ N i⎞ h ' = ⎜ ∑ u 'i ε ⎟ = ∑ Pk[ q ] (u ')ε k , ⎝ i =1 ⎠ k =q qN ⎛ pN [ p ] ⎞ p q k ⎞⎛ h1 h '1 = ⎜ ∑ Pk (u )ε ⎟⎜ ∑ Pk[ q ] (u ')ε k ⎟ ⎝ k= p ⎠⎝ k =q ⎠ q ⎛ ⎞ = ∑ ⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k k = p + q ⎝ i + j =k ⎠ Thay (3.33) vào (3.29) ta ( p+q ) N N ⎛ ⎞ f [h] - f [u0 ] = ∑ ∑ D2p D3q f [u0 ] ∑ ⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k s =1 p + q = s p !q ! k = p+q ⎝ i+ j =k ⎠ ( p+q ) N + RN [ f , ε ,θ1 ] N =∑ ∑ s =1 p + q = s sN ⎛ ⎞ D2p D3q f [u0 ]∑ ⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k + RN [ f , ε ,θ1 ] p !q ! k =s ⎝ i+ j =k ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ∑∑ ⎜ ∑ D2p D3q f [u0 ] ⎟ ⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k + RN [ f , ε ,θ1 ] s =1 k = s ⎝ p + q = s p !q ! ⎠ ⎝ i+ j =k ⎠ N sN N sN ⎞⎛ ⎞ ⎛ N ⎞ sN ⎛ = ∑⎜ ∑ + ∑ ⎟∑⎜ ∑ D2p D3q f [u0 ] ⎟⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k s =1 ⎝ k = s k = N +1 ⎠ k = s ⎝ p + q = s p !q ! ⎠⎝ i + j =k ⎠ + RN [ f , ε ,θ1 ] N sN ⎞⎛ ⎞ ⎛ N N ⎞⎛ = ⎜ ∑∑ + ∑ ∑ ⎟ ⎜ ∑ D2p D3q f [u0 ] ⎟⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k s =1 k = N +1 ⎠ ⎝ p + q = s p !q ! ⎝ s =1 k = s ⎠⎝ i + j =k ⎠ + RN [ f , ε ,θ1 ] N sN ⎞⎛ ⎞ ⎛ N k ⎞⎛ D2p D3q f [u0 ] ⎟⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k = ⎜ ∑∑ + ∑ ∑ ⎟ ⎜ ∑ s =1 k = N +1 ⎠ ⎝ p + q = s p !q ! ⎝ k =1 s =1 ⎠⎝ i + j =k ⎠ + RN [ f , ε ,θ1 ] (3.33) 35 ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ∑∑ ⎜ ∑ D2p D3q f [u0 ] ⎟⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k k =1 s =1 ⎝ p + q = s p !q ! ⎠⎝ i + j =k ⎠ N sN ⎛ ⎞⎛ ⎞ +∑ ∑ ⎜ ∑ D2p D3q f [u0 ] ⎟⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k s =1 k = N +1 ⎝ p + q = s p !q ! ⎠⎝ i+ j =k ⎠ + RN [ f , ε ,θ1 ] N k (3.34) N = ∑ π k [ f ]ε k + ε N +1 R N [ f , ε ,θ1 ], k =1 ε N +1 RN [ f , ε ,θ1 ] N =∑ sN ⎛ ∑⎜∑ s =1 k = N +1 ⎝ p+q=s ⎞⎛ ⎞ D2p D3q f [u0 ] ⎟⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k p !q ! ⎠⎝ i + j =k ⎠ (3.35) + RN [ f , ε ,θ1 ], với < θ1 < π k [ f ], k = 1, , N xác định công thức (3.25) Tương tự với hàm f1[h] với khai triển Maclaurin xung quanh điểm ε = đến cấp N ta thu ( p + q )( N −1) N −1 ⎛ ⎞ p q f1[h] - f1[u0 ] = ∑ ∑ D2 D3 f1[u0 ] ∑ ⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k s =1 p + q = s p !q ! k = p+q ⎝ i+ j =k ⎠ + RN −1[ f1 , ε ,θ ] (3.36) N −1 = ∑ π k [ f1 ]ε k + ε N R N −1[ f1 , ε ,θ ], k =1 ε N R N −1[ f1 , ε ,θ ] N −1 s ( N −1) =∑ ⎛ ∑⎜∑ ⎝ p+q=s + RN −1[ f1 , ε ,θ ], s =1 k = N với < θ < Do ⎞⎛ ⎞ D2p D3q f1[u0 ] ⎟⎜ ∑ Pi[ p ] (u ) Pj[ q ] (u ') ⎟ ε k p !q ! ⎠⎝ i + j =k ⎠ N ε ( f1[h] − f1[u0 ]) = ∑ π k −1[ f1 ]ε k + ε N +1 R N −1[ f1 , ε ,θ ] k =2 Từ (3.34) (3.38), ta thu từ (3.27) (3.37) (3.38) 36 N N +1 Eε ( x, t ) = Fε [h] − f [u0 ] − ∑ ε Fi [ui ] + μ1 (t )∑ ε i Δui −1 i i =1 i =1 = f [h] − f [u0 ] + ε ( f1[h] − f1[u0 ]) N N +1 i =1 i =1 + ε f1[u0 ] − ∑ ε i Fi [ui ] + μ1 (t )∑ ε i Δui −1 N −1 N = ∑ π k [ f ]ε k + ε N +1 R N [ f , ε ,θ1 ] + ∑ π k [ f1 ]ε k k =1 k =1 N + ε N +1 R N −1[ f1 , ε ,θ ] + ε f1[u0 ] − ∑ ε i Fi [ui ] i =1 N +1 + μ1 (t )∑ ε i Δui −1 i =1 N N N +1 = ∑ π i [ f ]ε + ∑ π i −1[ f1 ]ε + ε f1[u0 ] + μ1 (t )∑ ε i Δui −1 i i =1 i i =2 i =1 ( N − ∑ ε i Fi [ui ] + ε N +1 R N [ f , ε ,θ1 ] + R N −1[ f1 , ε ,θ ] ( i =1 ) ) = μ1 (t )Δu0 + f1[u0 ] + π 1[ f ] − F1[u1 ] ε N ( (3.39) ) + ∑ μ1 (t )Δui −1 + π i [ f ] + π i −1[ f1 ] − Fi [ui ] ε i i =2 ( + ε N +1μ1 (t )Δu N + ε N +1 R N [ f , ε ,θ1 ] + R N −1[ f1 , ε ,θ ] ( ) ) = ε N +1μ1 (t )Δu N + ε N +1 R N [ f , ε ,θ1 ] + R N −1[ f1 , ε ,θ ] Do tính bị chặn hàm ui , i = 0,1, , N không gian hàm L∞ (0, T ; H 01 ∩ H ) hàm u 'i , i = 0,1, , N không gian hàm L∞ (0, T ; H 01 ) , ta thu (3.30), (3.35), (3.37) (3.39) Eε ∞ L ≤Kε (0,T ; L ) N +1 , (3.40) K số phụ thuộc vào M, T, N số K i ( M , T , f ), i = 1,2, , N + 1, K i ( M , T , f1 ), i = 1,2, , N Chứng minh bổ đề 3.2 hoàn tất Bây ta định nghĩa dãy hàm {vm } sau 37 ⎧v0 = 0, ⎪v " − μ (t )Δv = F [v + h] − F [h] + E ( x, t ), < x < 1, < t < T , ⎪ m ε m ε m −1 ε ε (3.41) ⎨ v (0, t ) v (1, t ) 0, = = m ⎪ m ⎪⎩vm ( x,0) = v 'm ( x,0) = 0, m ≥ Với m=1 ta có tốn ⎧v "1 − με (t )Δv1 = Eε ( x, t ), < x < 1, < t < T , ⎪ (3.42) ⎨v1 (0, t ) = v1 (1, t ) = 0, ⎪v ( x,0) = v ' ( x,0) = ⎩1 Nhân hai vế (3.42) với v '1 sau lấy tích phân theo t , ta có v '1 + με (t ) v1x t = ∫ με '( s ) v1x ( s) ds t + ∫ Eε ( s ), v '1 ( s ) ds (3.43) 2 Đặt z1 (t ) = v '1 (t ) + με (t ) v1x (t ) , ta có z1 (t ) ≥ v '1 (t ) + μ0 v1x (t ) , với ε đủ nhỏ Khi từ (3.43) thu t 2 z1 (t ) ≤ ( μ ' ∞ + μ1 ' ∞ ) ∫ v1x ( s ) ds μ0 t + Kε N +1 ∫ v1 '( s ) ds (3.44) ⎛ ⎞ t ≤ T K ε N + + ⎜1 + ( μ ' ∞ + μ1 ' ∞ ) ⎟ ∫ z1 ( s )ds ⎝ μ0 ⎠ Áp dụng bổ đề Gronwall, ta suy từ (3.44) ⎡⎛ ⎞ ⎤ 2 N +2 N +2 (3.45) z1 (t ) ≤ T K ε exp ⎢⎜1 + ( μ ' ∞ + μ1 ' ∞ ) ⎟ T ⎥ ≤ C T ε μ ⎠ ⎦ ⎣⎝ Suy ⎛ ⎞ N +1 N +1 ≡ CT ε (3.46) v1 L∞ (0,T ;H ) + v '1 L∞ (0,T ;L2 ) ≤ ⎜⎜1 + CT ε ⎟ ⎟ μ ⎝ ⎠ Ta chứng minh tồn số CT , độc lập với m ε , cho vm ∞ L (0,T ; H 01 ) + v 'm ∞ L ≤ CT ε (0,T ; L ) N +1 , ε ≤ với m (3.47) 38 Bằng cách nhân hai vế (3.41) v 'm , sau lấy tích phân theo t, ta thu t t zm (t ) = ∫ με '( s ) vmx ( s ) ds + 2∫ Fε [vm−1 + h] − Fε [h], v 'm ( s) ds 0 t + ∫ Eε ( s ), v 'm ( s ) ds ≤ μ0 + 2∫ t ( μ' ∞ + ( μ1 ' ∞ ) ∫ zm ( s )ds t (3.48) f [vm−1 + h] − f [h] + f1[vm−1 + h] − f1[h] + 2K ε ) v 'm (s) ds N +1 t ∫0 v 'm (s) ds, zm (t ) = v 'm (t ) + με (t ) vmx (t ) ta có zm (t ) ≥ v 'm (t ) + μ0 2 vmx (t ) , với ε đủ nhỏ Chú ý f [vm−1 + h] − f [h] ≤ K1 ( M , T , f ) ⎡⎣ v 'm−1 (t ) + vm−1x (t ) ⎤⎦ ≤ K1 ( M , T , f ) + μ0 f1[vm−1 + h] − f1[h] ≤ K1 ( M , T , f1 ) + Ta có zm (t ) ≤ v 'm L∞ (0,T ; L2 ) +( μ ∞ ≤ max{1, ( μ ∞ + μ1 ∞ ≤ max{1, ( μ ∞ + μ1 ∞ + μ1 )}( v ' )}ψ , ∞ μ0 m L∞ (0,T ; H 01 ) m ψ m = vm L∞ (0,T ; H 01 ) + v 'm L∞ (0,T ; L2 ) zm−1 (t ), )v m L∞ (0,T ; L2 ) Từ (3.48), (3.49) (3.50) ta suy (3.49) zm−1 (t ), + vm L∞ (0,T ; H 01 ) ) (3.50) 39 μ ' ∞ + μ1 ' ∞ t ∫0 zm (s)ds μ0 zm (t ) ≤ + 1+ + 2K ε ( ≤ c1 ε [ K1 ( M ,T , f ) + K1 ( M ,T , f1 )] ∫0 t μ0 N +1 ∫ t zm−1 ( s ) zm ( s )ds (3.51) zm ( s )ds ) N +1 t ψ m + c2ψ mψ m−1 T + c3 ∫ zm ( s )ds, với c1 = K max{1, μ c2 = max{1, μ μ c3 = ∞ + μ1 + μ1 ∞ }, + μ1 ∞ } + ∞ ∞ μ0 ∞ μ0 [ K1 (M ,T , f ) + K1 (M ,T , f1 )], (3.52) Áp dụng bổ đề Gronwall, ta suy từ (3.51) ( zm (t ) ≤ c1 ε ) N +1 ψ m + c2ψ mψ m−1 T exp(c3T ) (3.53) Do đó, từ (3.53) ta có ⎛ ⎞ N +1 ψ m ≤ ⎜1 + ⎟ c1 ε ψ m + c2ψ mψ m−1 T exp(c3T ) ⎝ μ0 ⎠ ( hay ) ψ m ≤ σψ m−1 + δ , với m ≥ , (3.54) ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = + exp( ), Tc c T δ ⎟ ⎜ ⎟ Tc1 exp(c3T ) ε μ μ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Ta giả sử σ < , với số T thích hợp Tiếp theo, ta cần sử dụng bổ đề sau Bổ đề 3.3 Giả sử dãy {ψ m } thỏa σ = ⎜1 + ≤ ψ m ≤ σψ m−1 + δ , với m ≥ , ψ = 0, ≤ σ < 1, δ ≥ số cho trước Khi đó, ψm ≤ δ 1−σ , với m ≥ N +1 (3.55) 40 Chứng minh bổ đề khơng khó khăn, ta bỏ qua Áp dụng bổ đề 3.3, ta suy từ (3.54) (3.55) vm L∞ (0,T ;H ) + v 'm L∞ (0,T ;L2 ) = ψ m , (3.56) δ N +1 ≤ = CT ε 1−σ với m ≥ 1, ⎛ ⎞ ⎜1 + ⎟ Tc1 exp(c3T ) μ0 ⎠ CT = ⎝ ⎛ ⎞ − ⎜1 + ⎟ Tc2 exp(c3T ) ⎝ μ0 ⎠ Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính {vm } xác định (3.41) hội tụ mạnh khơng gian W(T) nghiệm v tốn (3.26) Do đó, cho m → +∞ (3.56) ta thu N +1 v L∞ (0,T ;H ) + v ' L∞ (0,T ;L2 ) ≤ CT ε , ε ≤ (3.57) Vậy, ta có định lý sau Định lí 3.2 Cho N ≥ Giả sử ( B1 ),( B2 ),( B3 ) ( B5 ) Khi đó, tồn số M > 0, T > cho, với ε , ε ≤ , toán ( Pε ) có yếu uε ∈W ( M , T ) thỏa mãn đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 sau N uε = ∑ ε iui + O(ε N +1 ) i =0 theo nghĩa N u 'ε − ∑ ε iu 'i i =0 N ∞ L (0,T ; L ) + uε − ∑ ε iui i =0 ∞ L ≤ CT ε N +1 , (0,T ; H 01 ) đó, hàm u0 , u1 , , u N nghiệm toán ( P0 ),(Q1 ), ,(Q N ) (3.58) 41 Chương KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ Trong chương này, xét ví dụ cụ thể khai triển tiệm cận cho toán tương ứng với f = 0, f1 = u , N = Gọi uε , u0 , u1 , u2 , , u6 nghiệm toán sau ⎧utt − με (t )u xx = ε u , < x < 1, < t < T , ⎪ ⎪u (0, t ) = 0, u (1, t ) = ϕ (t ), ( Pε ) ⎨ (4.1) u ( x ,0) u ( x ) εϕ ( x ), u ( x ,0) u ( x ) εϕ ( x ), = + = + ⎪ 0 1 t ⎪ μ (t ) = μ (t ) + εμ (t ), ⎩ ε ⎧utt − μ (t )u xx = 0, < x < 1, < t < T , ⎪ ( P0 ) ⎨u (0, t ) = 0, u (1, t ) = ϕ (t ), ⎪ ⎩u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x), ⎧u "1 − μ (t )Δu1 = μ1 (t )Δu0 + u02 , < x < 1, < t < T , ⎪ (Q1 ) ⎨u1 (0, t ) = u1 (1, t ) = 0, ⎪ ⎩u1 ( x,0) = ϕ0 ( x), u '1 ( x,0) = ϕ1 ( x), ⎧u "i − μ (t )Δui = Fi , < x < 1, < t < T , ⎪ (Qi ) ⎨ui (0, t ) = ui (1, t ) = 0, ⎪u ( x,0) = u ' ( x,0) = 0, i = 2,3, ,6, i ⎩ i (4.2) (4.3) (4.4) hàm Fi , i = 2,3, ,6 tính tường minh sau F2 = μ1 (t )Δu1 + ∑ uk −1u2−k k =1 (4.5) = μ1 (t )Δu1 + 2u0u1 , F3 = μ1 (t )Δu2 + ∑ uk −1u3−k k =1 (4.6) = μ1 (t )Δu2 + 2u0u2 + u12 , F4 = μ1 (t )Δu3 + ∑ uk −1u4−k k =1 = μ1 (t )Δu3 + 2u0u3 + 2u1u2 , (4.7) 42 F5 = μ1 (t )Δu4 + ∑ uk −1u5−k (4.8) k =1 = μ1 (t )Δu4 + 2u0u4 + 2u1u3 + u22 , F6 = μ1 (t )Δu5 + ∑ uk −1u6−k (4.9) k =1 = μ1 (t )Δu5 + 2u0u5 + 2u1u4 + u2u3 + u32 Khi v = uε − ∑ ε iui ≡ uε − h nghiệm yếu toán i =0 ⎧vtt − με (t )Δv = ε (h + v) − ε h + Eε ( x, t ), < x < 1, < t < T , ⎪ (Qε ) ⎨v(0, t ) = v(1, t ) = 0, ⎪v( x,0) = v ( x,0) = 0, t ⎩ (4.10) Eε ( x, t ) = ε h − ∑ ε Fi + μ1 (t )∑ ε i Δui −1 (4.11) Bằng cách đánh giá tương tự bổ đề 3.2 ta thu Eε L∞ (0,T ;L2 ) ≤ K ε (4.12) i i =1 i =1 Tiếp theo, cách xây dựng dãy hàm {vm } xác định (3.41) thực đánh giá tương tự cho dãy hàm {vm } Khi đó, ta có định lý sau Định lí 4.1 Cho N = 6, f = 0, f1 = u Giả sử giả thiết ( B1 ),( B2 ),( B3 ) ( B5 ) định lý 3.2 Khi đó, tồn số M > 0, T > cho, với ε , ε ≤ 1, tốn ( Pε ) có yếu uε thỏa mãn đánh giá tiệm cận đến cấp sau uε = ∑ ε iui + O(ε ), i =0 theo nghĩa u 'ε − ∑ ε u 'i i =0 i ∞ L (0,T ; L ) + uε − ∑ ε iui i =0 ∞ L ≤ CT ε , (4.13) (0,T ; H 01 ) CT số phụ thuộc μ , μ0 , μ1 , M , T , hàm u0 , u1 , , u6 nghiệm toán ( P0 ), (Q1 ), , (Q ) toán ( P0 ), (Q1 ), , (Q ) xác định (4.2)-(4.4) 43 KẾT LUẬN Luận văn sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để khảo sát phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên Dirichlet khơng phần biên Phương pháp giúp ta chứng minh tồn nghiệm, khai triển tiệm cận nghiệm trường hợp tổng quát theo tham số nhiễu ε , mà thân cịn thiết lập nghiệm xấp xỉ tuyến tính hóa thuật giải tích số thích hợp Nội dung luận văn tập trung chương Ở chương 2, nghiên cứu phương trình sóng phi tuyến utt − μ (t )u xx = f (t , u , ut ), < x < 1, < t < T , với điều kiện biên đầu u (0, t ) = 0, u (1, t ) = ϕ (t ), u ( x,0) = u ( x), u ( x,0) = u ( x), t f , μ (t ), ϕ (t ), u0 , u1 hàm cho trước Chúng thu kết tồn nghiệm phương pháp nói với f ∈ C1 × + ( ) Trong chương 3, μ (t ), f (t , u , ut ), u0 ( x), u1 ( x) thay μ (t ) + εμ1 (t ), f (t , u, ut ) + ε f1 (t , u, ut ), u0 ( x) + εϕ0 ( x), u1 ( x) + εϕ1 ( x) chúng tơi thu nghiệm tương ứng uε có khai triển tiệm cận cấp theo ε (với ε đủ nhỏ) theo nghĩa uε − u0 L (0,T ;H ) + u 'ε − u '0 L (0,T ;L ) ≤ C ε ∞ Nếu f ∈ C N +1 ( ∞ + × ), f ∈ C N ( + × ) chúng tơi thu khai triển tiệm cận cấp N+1 theo tham số bé ε theo nghĩa N u 'ε − ∑ ε iu 'i i =0 N ∞ L (0,T ; L ) + uε − ∑ ε iui i =0 ∞ L ≤ CT ε N +1 (0,T ; H 01 ) Cuối phần minh họa ví dụ cụ thể cho phần khai triển tiệm cận nghiệm chương 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Boujot J, Alain Phạm Ngọc Định (1980), Veyrier J.P., Oscillateurs harmoniques faiblement perturbés: L’algorithme numérque des “par de géants”, RAIRO, Analyse numérque 14, 3-23 Haim Brézis (2002), Giải tích hàm, Lý thuyết ứng dụng, NXB Đai học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Caughey T., Ellison J (1975)., Existence uniqueness and stability of solution of a class of nonlinear differential equations, J Math Anal Appl 51, 1-32 Alain Phạm Ngọc Định (1983), Sur un problèmes hyperbolique faiblement nonlinéaire en dimension, Demonstratio Math 16, 269-289 Alain Phạm Ngọc Định, Nguyễn Thành Long (1986), Linear approximation and asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio Math 19 (1), 45-63 Ficken F., Fleishman B (1957)., Initial value problem and time periodic solutions for a nonlinear wave equation, Communs Pure Appl Math 10, 331-356 Lions J.L (1969)., Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1992), On the quasilinear wave equation: utt − Δu + f (t , ut ) = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19 (7), 613-623 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1995), A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24 (8), 1261-1279 10 Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm (1997), On the nonlinear wave equation utt − u xx = f ( x, t , u , u x , ut ) associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal 29 (11), 1217-1230 11 Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2), 365-386 12 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with Kirchhoff-Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1), 116-134 13 Rabinowitz P.H (1967)., Periodic solutions of nonlinear hyperbolic differential equations, Communs Pure Appl Math 20, 145-205 ... PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN HỮU NHÂN PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET KHƠNG THUẦN NHẤT Ở MỘT PHẦN BIÊN: SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN Chuyên ngành:... (4.2)-(4.4) 43 KẾT LUẬN Luận văn sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để khảo sát phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên Dirichlet không phần biên Phương pháp giúp ta chứng minh tồn nghiệm,... xỉ tuyến tính hóa thuật giải tích số thích hợp Nội dung luận văn tập trung chương Ở chương 2, nghiên cứu phương trình sóng phi tuyến utt − μ (t )u xx = f (t , u , ut ), < x < 1, < t < T , với điều