Sự không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình laplace liên kết với điều kiện biên neumann phi tuyến trong nửa không gian trên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH WYZX Phan Minh Chính SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN PHI TUYẾN TRONG NỬA KHÔNG GIAN TRÊN Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 01 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán - Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên TP HCM Thành phố Hồ Chí Minh – 2005 Lời cảm ơn: Tập luận văn thực dựa tri thức sở, chuyên ngành mà Quý Thầy, Cô Khoa Toán – Tin học thuộc hai trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh truyền thụ cho suốt trình giảng dạy khóa 13 sau đại học, chuyên ngành Giải tích Tôi xin chân thành cảm ơn tất Thầy, Cô tậm tâm đào tạo, hết lòng học viên Đặc biệt, cho gởi nơi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy tôi, TS Nguyễn Thành Long, người trực tiếp hướng dẫn Từ việc định hướng mục tiêu khóa luận ngày đầu, đến việc nhiệt tình dẫn, đề xuất ý kiến, nhận xét giúp có thông tin phản hồi, nhằm giải vấn đề phát sinh trình thực luận văn Thầy giúp tìm kiếm tài liệu, chỉnh sửa nội dung, hệ thống cần trình bày, để hôm hình thành luận văn tương đối hoàn chỉnh Tôi xin cảm ơn hai Thầy: PGS TS Nguyễn Bích Huy TS Nguyễn Văn Nhân giành chút thời gian quý báu đọc thảo tận tình cho nhận xét xác đáng Sau hết, lời cảm ơn từ đáy lòng gia đình, người thân, bè bạn động viên tinh thần, giúp vượt qua khó khăn sống, cố gắng hoàn tất chương trình học tập hoàn thành luận văn Trân trọng TP.HCM ngày 15 tháng 07 năm 2005 Người viết Phan Minh Chính Sự không tồn nghiệm dương … CHƯƠNG TỔNG QUAN Trong luận văn này, xét toán Neumann phi tuyeán sau (1.1) Δu = 0, x ∈ IR+n = {( x ', xn ) : x ' ∈ IR n−1 , xn > 0} , (1.2) −ux ( x ',0) = g( x ', u( x ',0)), x ' ∈ IR n−1 n Trong [1] tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky nghiên cứu toán (1.1), (1.2) với n = phương trình Laplace (1.1) theo dạng tọa độ trụ (1.3) urr + ur + uzz = 0, r > 0, z > 0, r với điều kiện biên phi tuyến có dạng cụ thể sau (1.4) −uz (r ,0) = I exp(−r r02 ) + uα (r ,0), r ≥ 0, I , r0 , α số dương cho trước Bài toán (1.3), (1.4) toán dừng liên quan đến vấn đề đốt cháy xạ Trong trường hợp < α ≤ tác giả [1] chứng minh toán (1.3), (1.4) nghiệm dương Từ báo [1] xuất có nhiều tác giả nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng khác [1-12] Các tác giả Long, Ruy [7] mở rộng kết [1] với (1.4) thay điều kiện biên phi tuyến tổng quát (1.5) −uz (r ,0) = g(r , u(r ,0)), r ≥ Sự không tồn nghiệm dương … Trong [8] Ruy, Long, Bình xét toán (1.1), (1.2) với n = hàm g liên tục, không giảm bị chận hàm lũy thừa bậc α biến u chứng minh < α ≤ toán nghiệm dương Các tác giả Bình, Diễm, Ruy, Long [2]; Bình, Long [3]; Long, Bình [9]; Ruy [12]; Long, Ruy [10]; Long [11] xét toán (1.1), (1.2) với n > Hàm số g : IR n−1 × IR+ → IR+ liên tục, không giảm biến u , thỏa điều kiện (1.6) ∃α ≥ 0, ∃M > : g( x ', u) ≥ Muα , ∀u ≥ 0, ∀x ' ∈ IR n−1 , số điều kiện phụ Trong [5, 6] tác giả chứng minh không tồn nghiệm dương toán (1.1), (1.2) với (1.7) g ( x′, u ) = uα , Hu Yin [5] xét với ≤ α < (n − 1) /(n − 2), n ≥ Hu [6] với < α < n /(n − 2), n ≥ Cũng cần ý hàm g( x′, u) = uα không thỏa điều kiện báo [2, 7, 8] Trong luận văn này, xét toán (1.1), (1.2) với n ≥ Hàm g ( x′, u ) liên tục thỏa điều kiện (1.6) mà (1.7) trường hợp riêng Bằng cách xây dựng dãy hàm thích hợp, chứng minh nếu, ≤ α ≤ (n − 1) /(n − 2), n ≥ 3, toán (1.1), (1.2) nghiệm liên tục dương Cũng ý tác giả trước xét n = không ý đến trường hợp α = Sự không tồn nghiệm dương … Luận văn phần kết luận phần tài liệu tham khảo trình bày chương Trong chương 1, phần tổng quan toán, trình bày sơ lược tình hình toán nội dung cần trình bày chương sau luận văn Trong chương 2, phần thiết lập phương trình tích phân phi tuyến theo giá trị biên xuất phát từ phương trình Laplace n − chiều nửa không gian liên kết với điều kiện biên Neumann Trong chương 3, nghiên cứu không tồn nghiệm dương toán (1.1), (1.2) cụ thể với n = Trong chương 4, nghiên cứu không tồn nghiệm dương toán (1.1), (1.2) với n > Phần kết luận nêu lên số kết thu luận văn số ý kèm theo Cuối phần tài liệu tham khảo Sự không tồn nghiệm dương … CHƯƠNG THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Trong chương này, thiết lập phương trình tích phân phi tuyến theo ẩn hàm hàm giá trị biên xuất phát từ phương trình Laplace n − chiều nửa không gian liên kết với điều kiện biên Neumann Trước hết, ta đặt ký hieäu sau IR+n = {x = ( x ', xn ) ∈ IR n : x ' ∈ IR n −1 , xn > 0}, IR+n = {x = ( x ', xn ) ∈ IR n : x ' ∈ IR n −1 , xn ≥ 0}, x ∈ IR n , x = ( x1 , x2 , , xn ) = ( x ', xn ), ⎛ n 2⎞ x = ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ = ( x ' + xn2 ) Chúng ta xét toán tìm hàm u có tính chất (S1 ) u ∈ C (IR+n ) ∩ C ( IR+n ), uxn ∈ C (IR+n ), (S2 ) ⎛ ⎞ ∂u lim ⎜ sup u ( x) + R sup ( x) ⎟ = 0, R →+∞ x = R , x >0 x = R , xn >0 ∂v n ⎝ ⎠ thỏa phương trình Laplace (2.1) Δu = 0, x ∈ IR+n = {( x ', xn ) : x ' ∈ IR n −1 , xn > 0}, điều kiện biên Neumann (2.2) −ux ( x ',0) = g1 ( x '), x ' ∈ IR n−1 , n Sự không tồn nghiệm dương … ∂ đạo hàm theo hướng véctơ pháp tuyến đơn vị ∂v nửa mặt cầu x = R, xn > 0, hướng g1 hàm số cho trước liên tục IR n−1 Để đơn giản ký hiệu đôi lúc ta viết uν thay cho ∂u ∂v Ta xét hàm Green G cho phương trình Laplace với điều kiện Neumann sau (2.3) G ( a, x ) = 2− n 2−n [ a − x + a − x ], (n − 2)ωn x = ( x ', xn ) ∈ IR n , x = ( x ', − xn ), a ∈ IR+n , ωn diện tích mặt cầu đơn vị IR n Ta ý với a ∈ IR+n cố định, hàm G (a,.) thuộc lớp C ∞ IR n \ {a, a} vaø n ΔG = ∑ (2.4) i =1 ∂2 G (a, x) = 0, ∀x ≠ a, x ≠ a ∂xi2 Ta cố định a ∈ IR+n số thực R > Chọn ε > đủ nhỏ cho Sε = {x ∈ IR+n : x − a ≤ ε } ⊂ IR+n ∩ BR ≡ Ω R BR ≡ {x ∈ IR n : x < R} với Áp dụng công thức Green cho hai hàm u , G miền Ω R \ Sε , ta vieát (2.6) ∫ (GΔu − uΔG )dx = Ω R \ Sε ∫ (Gu v − uGv )dS − ∫ x − a =ε ∂Ω R Ta có bổ đề sau (Guv − uGv )dS Sự không tồn nghiệm dương … Bổ đề 2.1 Với giả thiết (S1 ) ta có (2.7) lim ε →0+ ∫ ε (Gu v − uGv )dS = u(a) x −a = Chứng minh Ta phân tích hàm Green G (a, x) dạng tổng (2.8) G (a, x) = s (a, x) + ψ (a, x), s ( a, x ) = 2− n a−x , (n − 2)ωn vaø ψ ( a, x) = 2−n a − x = s (a, x ) (n − 2)ωn Ta coù (2.9) ∫ ε (Gu v − uGv )dS = x−a = ∫ ε (ψu v − uψ v )dS + x −a = ∫ suε v − us v )dS x−a = = I1 (a, ε ) + I (a, ε ) i/ Do giả thiết (S1 ), hàm x ψ (a, x)uν (a, x) − u (a, x)ψ ν (a, x) liên tục Sε nên (2.10) lim I1 (a,ε ) = ε →0+ ii/ Đổi biến x = a + ε y, ta chuyển tích phân mặt mặt cầu tâm a bán kính ε thành tích phân mặt mặt cầu đơn vị tâm ∫ ε su dS = ε ∫ s(a, a + ε y)u (a + ε y)dω n −1 v v y =1 x −a = =ε n −1 ∫ εy 2− n (n − 2)ωn y =1 uν (a + ε y )dω Sự không tồn nghiệm dương … (2.11) = ε (n − 2)ωn ∫ u (a + ε y)dω → 0, v y =1 ε → 0+ Tương tự ∫ ε us dS = −ε ∫ u(a + ε y)s (a, a + ε y)dω − n −1 v (2.12) v y =1 x −a = = ωn ∫ u (a + ε y)dω → u (a), y =1 ε → + Vậy (2.11), (2.12) dẫn đến (2.13) lim I (a, ε ) = u (a ) ε →0 + Từ (2.9), (2.10), (2.13) ta suy bổ đề 2.1 chứng minh.„ Từ (2.6), thay ΔG = 0, ∀x ≠ a Δu = 0, sau cho ε → 0+ ta thu (2.14) u (a) = ∫ (Gu v − uGv )dS , với a ∈Ω R ∂Ω R Khi ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2 Giả sử u nghiệm (2.1), (2.2) thỏa điều kiện (S1 ), (S2 ), ta coù (2.15) lim R →+∞ ∫ (Gu v − uGv )dS = − ∫ IR n −1 ∂Ω R Gu xn dx′ Chứng minh bổ đề 2.2 Ta có ∂Ω R = DR ∪ SR , DR = {( x′,0) : x′ ≤ R}, S R = {x = ( x′, xn ) : x = R, xn > 0} Sự không tồn nghiệm dương … Ta tách tích phân sau thành tổng hai tích phân ∫ (Gu (2.16) − uGv )dS = v ∫ (Gu v DR ∂Ω R − uGv )dS + ∫ (Guv − uGv )dS SR Ta chứng minh (2.17) ∫ (Gu lim R →+∞ (2.18) DR lim R →+∞ − uGv )dS = − v ∫ IR ∫ (Gu v n −1 Gu xn dx ', − uGv )dS = SR Chứng minh (2.17) Trên DR : ν = (0,0, ,0, −1), uν = −u xn , sxn (a; x ', xn ) = x − an −1 xn − an 1− n (2 − n) a − x × n = × (n − 2)ωn a − x ωn a − x n Tương tự ψ x (a; x ', xn ) = n −1 xn + an , × ωn a − x n Gxn (a; x ',0) = sxn (a; x ',0) + ψ xn (a; x ',0) = 0, hay (2.19) Gv (a; x) D = R (2.20) G ( a; x ) D = R × (n − 2)ωn a '− x ' + an2 ( Từ (2.19) (2.20) ta suy lim R →+∞ ∫ (Gu DR v ∫ Gu dS − uGv ) dS = lim R →+∞ v DR = lim R →+∞ ∫ Gu dx ' v DR ) ( n − 2) / Sự không tồn nghiệm dương … i/ Xét x = 0, ta coù (1 + y ) − q ∫ (4.13) A[(1 + y ) ](0) = bN −q IR = bN ωN +∞ ∫ (1 + r )− q r N −1 dr r N −1 +∞ dr ∫ (1 + r ) = bN ω N dy N −1 y N q Do q > 1, tích phân +∞ dr ∫ (1 + r ) hội tụ q (4.14) A[(1 + y )− q ](0) hội tụ q > ii/ Xét lại x ≠ 0, chọn R > x > Ta viết tích phân A[(1 + y )− q ]( x ) thành tổng hai tích phân (4.15) A[(1 + y ) ]( x) = bN −q (1 + y ) − q ∫ y− x ≤R y−x N −1 dy + bN y−x ≥R ≡ bN ( K R(1) ( x) + K R(2) ( x) ) j/ Đánh giá K ( x) = (1) R ∫ (1 + y ) − q y−x ≤R y−x N −1 dy Ta coù (4.16) K (x) = (1) R ∫ y− x ≤R (1 + y )− q y−x N −1 ≤ sup (1 + y )− q y− x ≤R dy ∫ y−x ≤R 32 ∫ dy y−x N −1 (1 + y ) − q y−x N −1 dy Sự không tồn nghiệm dương cuûa … y− x ≤R dz ∫ = sup (1 + y )− q z z ≤R N −1 R r N −1dr = sup (1 + y ) ωN ∫ N −1 r y− x ≤R −q = sup (1 + y ) − q ω N R < +∞ y− x ≤R (1 + y ) − q ∫ jj/ Đánh giá K ( x) = (2) R y− x ≥R N −1 y−x dy Ta coù (4.17) (1 + y ) − q ∫ K ( x) = (2) R y−x y−x ≥R +∞ ∫ N −1 r− x y−x dy = ω N +∞ ∫ R− x r N −1 R− x ∫ y ≥R− x y−x y ≥R− x = ωN dy ≤ (1 + y ) − q ∫ ≤ N −1 (1 + y ) − q N −1 × N −1 dy (1 + r ) − q r N −1dr r− x N −1 dr (1 + r ) q Chú ý rằng, R > x > 0, ta coù r − x = r − x ≥ R − x > x > 0, với r ≥ R − x Do tích phaân +∞ ∫ R− x r N −1 r− x × N −1 dr hội tụ, tích phân (1 + r )q K R(2) ( x ) hoäi tụ với q > Ta suy từ (4.15) kết hợp với K R(1) ( x), K R(2) ( x) hội tụ ta suy (4.18) A[(1 + y )− q ]( x ) hội tụ x ≠ 0, vaø q > Ta suy từ (4.14) (4.18), 33 Sự không tồn nghiệm dương … (4.19) A[(1 + y )− q ]( x ) hội tụ x ∈ IR N , q > Bây với q > 1, ta tiếp tục đánh giá A[(1 + y )− q ]( x) Từ (4.12), ta có (4.20) ⎛ r I q = ∫ ⎜⎜ r+ x ⎝ +∞ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ r ⎞ ≥ ∫ ⎜⎜ ⎟ r + x ⎟⎠ x ⎝ +∞ N −1 N −1 ⎛ x ⎞ ≥ ∫ ⎜⎜ ⎟ x + x ⎟⎠ x ⎝ +∞ = N −1 +∞ ∫ x dr (1 + r )q dr (1 + r ) q N −1 dr (1 + r )q dr 21− N = (1 + x )1−q q (1 + r ) q −1 Do bổ đề 4.1 chứng minh. Bây giờ, để tiếp tục chứng minh định lý 4.1, ta giả sử tồn x0 ∈ IR N cho u ( x0 ) > Vì u liên tục nên tồn taïi r0 > 0, cho (4.21) u ( x) > u ( x0 ) ∀x ∈ IR N , x − x0 ≤ r0 Ta suy từ giả thiết (G2 ), (4.6), (4.21) (4.22) u ( x) = A[ g ( y, u ( y ))]( x) ≥ MA[uα ( y )]( x) ≥ MbN ( u ( x0 ))α dy ∫ y − x0 ≤ r0 y−x N −1 , ∀x ∈ IR N Sử dụng bất đẳng thức sau (4.23) y − x ≤ (1 + x )(1 + x0 + y − x0 ) ≤ (1 + x )(1 + x0 + r0 ), ∀x, y ∈ IR N , y − x0 ≤ r0 , ta suy từ (4.22), (4.23) 34 Sự không tồn nghiệm dương cuûa … (4.24) u ( x) ≥ MbN ( u ( x0 ))α ∫ y − x0 ≤ r0 dy y−x N −1 1 ≥ MbN ( u ( x0 ))α × × (1 + x0 + r0 ) N −1 (1 + x ) N −1 ∫ dy y − x0 ≤ r0 ω N r0N 1 α = MbN ( u ( x0 )) × × × , N (1 + x0 + r0 ) N −1 (1 + x ) N −1 ∀x ∈ IR N Ta vieát laïi (4.25) u ( x) ≥ u1 ( x) = m1 (1 + x ) − q1 , ∀x ∈ IR N , M bN ω N r0N uα ( x0 ) q1 = N − 1, m1 = N 2α (1 + x0 + r0 ) N −1 (4.26) Sử dụng lần đẳng thức (4.6), ta suy từ giả thiết (G2 ), (4.25) (4.27) u ( x) ≥ MA[uα ( y )]( x) ≥ Mm1α A[(1 + y ) −α q1 ]( x), ∀x ∈ IR N Bây ta xét trường hợp khác giá trị α Trường hợp 1: ≤ α ≤ N −1 Ta suy từ (4.8), (4.26), (4.27) với q = α q1 = α ( N − 1) ≤ 1, raèng (4.28) u ( x) = +∞, ∀x ∈ IR N Đó điều vô lý Trường hợp 2: N 1, ta suy từ (4.27) raèng (4.29) u ( x) ≥ Mm1α A[(1 + y ) −α q1 ]( x) 35 Sự không tồn nghiệm dương … ≥ Mm1α (4.30) bN ω N (1 + x )1−α q1 , ∀x ∈ IR N , hay N −1 (α q1 − 1)2 u ( x) ≥ u2 ( x) = m2 (1 + x ) − q2 , ∀x ∈ IR N , ñoù (4.31) q2 = α q1 − 1, m2 = MbN ω N m1α N −1 q2 Giaû sử (4.32) u ( x) ≥ uk −1 ( x) = mk −1 (1 + x ) − qk −1 , ∀x ∈ IR N Neáu α qk −1 > 1, ta dùng bất đẳng thức (4.9) với q = α qk −1 > 1, ta thu từ giả thiết (G2 ), (4.6), (4.32) (4.33) u ( x) ≥ MA[uα ( y )]( x) ≥ Mmkα−1 A[(1 + y )−α qk −1 ]( x) ≥ M mkα−1 bN ω N (1 + x )1−α qk −1 N −1 (α qk −1 − 1)2 ≥ mk (1 + x ) − qk = uk ( x), ∀x ∈ IR N , dãy {qk }, {mk }, xác định công thức qui nạp sau (4.34) M bN ω N mkα−1 qk = α qk −1 − 1, mk = , k = 2,3, N −1 qk Từ (4.26), (4.34) ta thu (4.35) α = 1, ⎧N − k, ⎪ k − qk = ⎨ 1−α N k −1 (n − 1) /(n − 2), n ≥ Tuy nhieân, g ( x′, u ) = uα , n ≥ 3, (n − 1) /(n − 2) ≤ α < n /(n − 2), Hu [6] chứng minh toán (4.1), (4.2), (1.7) nghiệm dương Trong trường hợp " giới hạn α = n /(n − 2) " nghiệm dương tồn (Xem [4-6]) ii) Với α = n /(n − 2), tác giả [4] mô tả tất nghiệm không âm không tầm thường u ∈ C ( IR+n ) ∩ C ( IR+n ) toán ( n + 2) /( n −2) , IR+n , ⎪⎧−Δu = au ⎨ α ⎪⎩ −uxn ( x′,0) = bu ( x′,0), treân xn = 0, trường hợp sau 40 Sự không tồn nghiệm dương … (j) a > hay a ≤ 0, (jj) a = b = 0, (jjj) a = 0, b < 0, (4j) a < 0, b > B = a (2 − n) / n , b = B 41 Sự không tồn nghiệm dương … PHẦN KẾT LUẬN Luận văn chủ yếu khảo sát không tồn nghiệm dương toán Neumann phi tuyến sau (1) Δu = 0, x ∈ IR+n = {( x′, xn ) : x′ ∈ IR n−1 , xn > 0}, (2) −u xn ( x′,0) = g ( x′, u ( x′,0)), x′ ∈ IR n−1 , hàm số g : IR n−1 × IR+ → IR+ liên tục thỏa điều kieän (3) ∃α ≥ 0, ∃M > : g ( x′, u ) ≥ Muα , ∀u ≥ 0, ∀x′ ∈ IR n−1 , số điều kiện phụ Phần luận văn nằm chương 2, Trong chương 2, phần thiết lập phương trình tích phân phi tuyến theo ẩn hàm giá trị biên xuất phát từ phương trình Laplace n − chiều nửa không gian IR+n liên kết với điều kiện biên Neumann Trong chương 3, nghiên cứu không tồn nghiệm dương toán (1)–(3) cụ thể với n = Chúng thiết lập bổ đề đánh giá tích phân phụ thuộc vào α , (bổ đề 3.1) Nếu ≤ α ≤ 2, cách xây dựng dãy hàm thích hợp, chứng minh toán (1)–(3) nghiệm dương liên tục Chú ý rằng, tác giả trước xét < α ≤ Trong chương 4, xét toán (1)–(3) với n > Hàm g( x′, u) liên tục thỏa điều kiện (3) số điều kiện phụ mà 42 Sự không tồn nghiệm dương … chứa trường hợp g( x′, u) = uα trường hợp riêng Trong trường hợp ≤ α ≤ n −1 , n > 3, baèng cách xây dựng dãy n−2 hàm thích hợp chứng minh toán (1)–(3) nghiệm dương liên tục Qua luận văn này, tác giả thực bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học cách hệ thống Tác giả học tập phương pháp chứng minh vấn đề nhiều góc độ khác Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế tác thời gian ngắn khóa học, tác giả mong nhận đóng góp bảo Quý Thầy, Cô Hội đồng 43 Sự không tồn nghiệm dương … TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F V Bunkin, V A Galaktionov, N A Kirichenko, S P Kurdyumov, A A Samarsky, On a nonlinear boundary value problem of ignition by radiation, J Comp Math Phys 28 (1988), 549-559 (Russian) [2] Dương Thị Thanh Bình, Trần Ngọc Diễm, Đinh Văn Ruy, Nguyễn Thành Long, On a nonexistence of positive solution of a nonlinear Neumann problem in half-space IR+n , Demonstratio Math.31 (1998), 773-782 [3] Dương Thị Thanh Bình, Nguyễn Thành Long, On the nonexistence of positive solution of Laplace equation in halfspace IR+n with a nonlinear Neumann boundary condition, Demonstratio Math 33 (2000), 365-372 [4] M Chipot, I Shafrir, M Fila, On the solutions to some elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions, Advances in Diff Equ (1996), 91-110 [5] B Hu, H M Yin, The profile near blow-up time for solution of the heat equation with a nonlinear boundary condition, Transactions of AMS 346 (1994), 117-135 [6] B Hu, Nonexistence of a positive solution of the Laplace equation with a nonlinear boundary condition, J Diff and Inte Equ (1994), 301-313 44 Sự không tồn nghiệm dương … [7] Nguyễn Thành Long, Đinh Vaên Ruy, On a nonexistence of positive solution of Laplace equation in upper half-space with Cauchy data, Demonstratio Math 28 (1995), No.4, 921-927 [8] Đinh Văn Ruy, Nguyễn Thành Long, Dương Thị Thanh Bình, On a nonexistence of positive solution of Laplace equation in upper half-space, Demonstratio Math 30 (1997), 7-14 [9] Nguyễn Thành Long, Dương Thị Thanh Bình, On the nonexistence of positive solution of a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 34 (2001), No.4, 837-845 [10] Nguyễn Thành Long, Ñinh Vaên Ruy, On the nonexistence of positive solutions of some nonlinear integral equations, Demonstratio Math 36 (2003), No 2, 393-404 [11] Nguyễn Thành Long, On the nonexistence of positive solution of some singular nonlinear integral equations, J Inequalities and Applications, Hindawi Publishing Corp (2005), (to appear) [12] Đinh Văn Ruy, Một định lý không tồn nghiệm dương phương trình tích phân u(x) = ∫ IR N g ( y, u ( y )) y−x σ dy , Tạp chí Phát triển khoa học công nghệ ĐHQG TP HCM, Vol.5, No.3 (2002), 5-10 45 Sự không tồn nghiệm dương … MỤC LỤC Chương 1: Phần tổng quan - trang 01 Chương 2: Thiết lập phương trình tích phân - trang 04 Boå ñeà 2.1: trang 06 Bổ đề 2.2: trang 07 Bổ đề 2.3: trang 11 Định lý 2.1: trang 12 Chương 3: Sự không tồn nghiệm dương toán với n=3 trang 13 Định lý 3.1: trang 13 Định lý 3.2: trang 14 Bổ đề 3.1: trang 15 Chương 4: Sự không tồn nghiệm dương toán với n>3 trang 28 Định lý 4.1: trang 29 Bổ đề 4.1: trang 30 Phần kết luaän: - trang 42 Tài liệu tham khảo: - trang 44 Muïc luïc: trang 46 46 ... chiều nửa không gian liên kết với điều kiện biên Neumann Trong chương 3, nghiên cứu không tồn nghiệm dương toán (1.1), (1.2) cụ thể với n = Trong chương 4, nghiên cứu không tồn nghiệm dương toán... giá trị biên xuất phát từ phương trình Laplace n − chiều nửa không gian IR+n liên kết với điều kiện biên Neumann Trong chương 3, nghiên cứu không tồn nghiệm dương toán (1)–(3) cụ thể với n =... ), ( S2* ), ( S3* ) 27 Sự không tồn nghiệm dương … CHƯƠNG SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG VỚI TRƯỜNG HP N > Trong phần ta xét toán Neumann sau với n > Tìm hàm u nghiệm toaùn Neumann (4.1) Δu = 0,