Về sự tồn tại nghiệm nguyên của một số dạng phương trình điôfan điôfan

M U Nhi u bƠi toán th c t d n t i ph nguyên vƠ đòi h i nghi m c a ph ng trình đ i s v i h s lƠ s ng trình c ng lƠ s nguyên Ch ng h n, d ng tam giác vuông có ba c nh a, b, c lƠ s nguyên, ngh a lƠ tìm b ba s nguyên (a, b, c) th a mưn h th c a2 + b2 = c2 M t s ph quen thu c b c h c ph thông Tuy nhiên nhi u lo i ph c ng r t đáng đ Ph ng trình lo i nƠy đư ng trình nh th c quan tơm tìm hi u vƠ h c t p ng trình iôph ng lƠ ph nghi m nguyên Ph ng trình đ i s đòi h i tìm nghi m h u t ho c ng trình đ i s lƠ ph ng trình ch bao g m bi u th c đa th c c a m t ho c nhi u bi n s Tính " iôph ng" c a ph ng trình bi u hi n ch h s c a đa th c ph i lƠ s h u t (ho c s nguyên) vƠ nghi m c ng ch có th lƠ s h u t (ho c s nguyên) Có r t nhi u d ng ph v n h n c lƠ ph ng trình iôph ng, đ n gi n vƠ đ c gi i quy t tr n ng trình iôph ng n tính c a hai hay nhi u bi n s , t t c h s c a bi n đ u lƠ s nguyên (hay nói chung lƠ s h u t ) Hai d ng ph th i ph ng trình quen bi t t th i s khai c a lý thuy t s , có t tr iôph ng lƠ nh ng ví d rõ nh t v ph ng trình nƠy đ u đư đ c ng ng trình c iôph ng C hai lo i i Babylon bi t đ n ó lƠ Ph ng trình b c nh t (tuy n tính), hai bi n: ax + by = c Ph ng trình b c hai (phi n), ba bi n: x2 + y2 = z2 Lu n v n nƠy có m c đích tìm hi u vƠ trình bƠy m t s d ng đáng ý c a ph ng trình iôph ng b c nhơt (tuy n tính) vƠ b c cao h n (2, vƠ 4) Xét s t n t i nghi m nguyên c a ph ng trình nƠy, tính ch t c a nghi m nguyên c a chúng vƠ m t s cách tìm nghi m nguyên cho lo i ph C th lu n v n s đ c p t i d ng ph ng trình đ ng trình iôph ng sau đơy: c xét a) Ph ng trình iôph ng n tính (b c nh t): a1x1 + a2x2 + + anxn = b b) Các d ng ph ng trình iôph ng b c hai c a hai, ba hay b n bi n: x2 + y2 = n (hai bi n), x2 + y2 = z2, x2 + axy + y2 = z2 (ba bi n), x.y = z.w, x2 + y2 = z2 + w2, x2 + y2 + z2 = t2 (b n bi n) c) Ph ng trình iôph ng b c ba: x3 + y3 = z3 (ba bi n) d) Ph ng trình iôph ng b c b n (ph ng trình trùng ph ng): x4 ± x2y2 + y4 = z2, x4 ± y4 = z2 (ba bi n), Lu n v n đ Ch trình ph c vi t thƠnh ch ng "Ph ng trình ng: iôph ng n tính” trình bƠy khái ni m ph ng iôph ng n tính, nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ng trình, u ki n c n vƠ đ đ ph ng trình có nghi m nguyên Xét m t s bƠi toán có liên quan v nghi m nguyên không ơm c a ph nh t vƠ ví d minh h a Cu i ch Ch ng "Ph ng trình ng trình iôph ng b c ng nêu m t s bƠi t p áp d ng iôph ng b c hai" đ c p t i khái ni m b ba Pytago (x2 + y2 = z2), b b n Pytago (x2 + y2 + z2 = t2) tính ch t vƠ m t s d ng ph ng trình iôph ng b c hai c a hai, ba hay b n bi n s (x2 + y2 = k(x - y), x + y = z 2, x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx = 2w2) Nêu tính ch t nghi m c a m t s ph ng trình iôph ng b c hai khác (xy = zw, x2 + y2 = z2 + w2, x2 + xyw + y2 = z2, x2 + axy + by2 = z2) Cu i ch Ch đ ng "M t s ph c c a ph ng, nêu m t s cơu h i vƠ bƠi t p áp d ng ng trình iôph ng b c cao" đ c p t i tính không gi i ng trình iôph ng b c cao h n hai có d ng x3 + y3 = z3, x4 + y4 = z4, ó lƠ tr ng h p riêng c a ph ng trình Fermat x n + yn = zn v i x, y, z lƠ s nguyên Ti p gi i thi u đ nh lý l n Fermat (còn g i lƠ đ nh lý cu i c a Fermat) nói r ng ph ng trình xn + yn = zn v i n > nghi m nguyên khác không vƠ gi thuy t Euler nói r ng ph ng trình xn + yn + zn = wn Thang Long University Libraty nghi m nguyên (khác không) n u n lƠ s nguyên l n h n hay b ng 4, hai ph n ví d Xét m t s d ng ph x4 + 6x2y2 + y4 = z2 Cu i ch ng trình iôph ng b c cao x4  y4 = z2, x4 + y4 = 2z2, ng nêu m t s cơu h i vƠ bƠi t p áp d ng Do th i gian vƠ ki n th c h n ch nên ch c ch n lu n v n nƠy có nh ng thi u sót nh t đ nh, kính mong quí th y cô vƠ b n đóng góp ý ki n đ tác gi ti p t c hoƠn thi n lu n v n sau nƠy Nhơn d p nƠy, tác gi lu n v n xin bƠy t lòng bi t n sơu s c t i GS.TS Tr n V Thi u, đư t n tình giúp đ su t trình lƠm lu n v n Tác gi c ng xin chơn thƠnh c m n th y, cô giáo B môn toán đư nhi t tình gi ng d y, cán b Phòng sau đ i h c vƠ qu n lý khoa h c, Ban giám hi u Tr ng đ i h c Th ng Long đư quan tơm, đ ng viên vƠ t o m i u ki n thu n l i trình tác gi h c t p vƠ nghiên c u t i Tr ng HƠ N i, tháng 05 n m 2016 Tác gi Nguy n H i HƠ Ch NG TRỊNH IÔPH NG TUY N TệNH PH Ch ng ng nƠy đ c p t i ph ng trình có liên quan, u ki n c n vƠ đ đ ph iôph ng n tính, m t s khái ni m ng trình có nghi m nguyên, ví d minh h a Xét m t s bƠi toán có liên quan v nghi m nguyên không ơm c a ph ng trình iôph ng n tính Cu i ch dung c a ch 1.1 ng đ ng nêu m t s bƠi t p áp d ng N i c tham kh o t tƠi li u [1], [2] vƠ [3] C CHUNG L N NH T M c nƠy nh c l i m t s khái ni m c n thi t lý thuy t s liên quan t i ph ng trình iôph ng n tính: c s vƠ ph n d , s nguyên t vƠ h p s , c chung l n nh t c a hai hay nhi u s nguyên 1.1.1 c s vƠ ph n d Xét t p s nguyên = {0,  1,  2, } nh ngh a 1.1 V i a, b  , ta nói a lƠ nguyên x cho a.x = b Trong tr c (divisor) c a b n u t n t i s ng h p nƠy ta nói r ng b chía h t (divisible) cho a hay b lƠ b i (multiple) c a a vƠ vi t a | b (đ c lƠ a lƠ nói a không lƠ c c a b vƠ vi t a b Ví d 1.1 Do vƠ - lƠ không lƠ c c a b) Trái l i, ta c c a 15 nên ta vi t | 15 vƠ - | 15 Nh ng - vƠ c c a 15 nên ta vi t - 15 vƠ 15 nh ngh a 1.2 V i b t k a  , u sau đơy đúng: | a, - | a, a | a, - a | a Ta nói 1, - 1, a vƠ - a lƠ lƠ đ n v (units), m i c t m th ng (trivial divisors) c a a; vƠ - g i c b t k khác c a a g i lƠ c th c s (proper divisors) T lý thuy t s , ta có k t qu sau Thang Long University Libraty nh lý 1.1 (Thu t toán chia) V i m i a, b  , b  0, t n t i nh t q, r  ,  r < |b| cho a = bq + r (Chia a cho b đ c q lƠ th ng s , r lƠ ph n d ) Ví d 1.2 a) V i a = 21, b = ta có q = 4, r = 1, 21 = 54 + b) V i a = 20, b = - ta có q = - 6, r = 1, 20 = (- 3)(- 6) + c) V i a = - 13, b = ta có q = - 7, r = 1, - 13 = 2(- 7) + d) V i a = - 11, b = - ta có q = 2, r = 3, - 11 = (- 7)2 + 1.1.2 S nguyên t vƠ h p s nh ngh a 1.3 S nguyên d c th c s S nguyên d c th c s N u a lƠ s nguyên d ng a > g i m t lƠ s nguyên t (prime) n u a ng a g i lƠ m t h p s (composite) n u a có ng vƠ s nguyên t p1, p2, , pk th a mưn p1p2 pk = a tích p1p2 pk g i lƠ phân tích th a s nguyên t (prime factorization) c a a Ví d 1.3 Các s nguyên t < 40: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, Các h p s : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, nh lý 1.2 ( nh lý c b n c a s h c) M i s a  , a > 1, có phơn tích th a s nguyên t nh t (không k s sai khác v th t th a s ) Ví d 1.4 12 = 223; 18 = 232; 231 = 3711, nh ngh a 1.4 Cho a, b  Ta đ nh ngh a c chung l n nh t (greatest common divisor) c a a vƠ b lƠ s nguyên l n nh t d mƠ c a vƠ b đ u chia h t cho d: d | a vƠ d | b c chung l n nh t đ Trong lu n v n nƠy ta s s d ng c ký hi u lƠ (a, b) = d ho c CLN(a, b) đ ch CLN (a, b) = d c chung l n nh t c a a vƠ b Ví d 1.5 Hưy tìm ±1, ±2, ±4, ±8; vƠ c chung l n nh t c a vƠ 28 Ta th y c c a 28 lƠ ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, 28 T đó, c c a lƠ c chung c a vƠ 28 lƠ ±1, ±2, ±4 Vì th , c chung l n nh t c a vƠ 28 lƠ Ta vi t gcd (8, 28) = Có th ki m tra l i r ng nh ngh a 1.5 N u CLN(21, - 6) = 3; c chung l n nh t CLN(- 10, 25) = 5, CLN(a, b) = ta nói hai s nguyên a vƠ b lƠ nguyên t (relatively prime) nh lý 1.3 N u a, b  Ví d 1.6 Hưy tìm CLN(a, b) = d CLN(a/d, b/d) = c chung l n nh t c a 15 vƠ 40 B ng cách phơn tích th a s nguyên t ta có 15 = 3×5 vƠ 40 = 23×5 T đó, ta tìm đ nh t c a 15 vƠ 40 b ng 5, t c lƠ c chung l n CLN(15, 40) = Ta th y CLN(15/5, 40/5) = nh lý 1.4 N u a, b, c  c CLN(3, 8) = cho a | bc a, b nguyên t a | c nh lý 1.5 Cho a, b, c  Khi CLN(a + cb, b) = CLN(a, b) Ví d 1.7 Xét ba s : a = 130, b = 52, c = 12 Theo CLN(130 + 12×52, 52) = CLN(130, 52) hay nh lý 1.4, ta s có CLN(754, 52) = CLN (130, 52) ki m tra đ ng th c nƠy, ta c n tính CLN(754, 52) vƠ CLN (130, 52) Ta th y 52 = 22×13, 130 = 2×5×13 vƠ 754 = 2×13×29 T suy CLN(754, 52) = CLN(130, 52) = 26 K t qu ki m tra nh ngh a 1.6 Cho a, b  T h p n tính (linear combination) c a a vƠ b lƠ t ng có d ng ax + by, x, y  nh lý 1.6 Cho hai s a, b  Khi d = CLN (a, b) s nguyên d nh nh t bi u di n đ cd ng i d ng d = ax + by v i x, y  Ví d 1.8 Gi s a = 57 vƠ b = 247 Ta th y 57 = 3×19 vƠ 247 = 13×19 T CLN(57, 247) = 19 Ch n x = 9, y = - 2, ta có 57×9 - 247×2 = 513 - 494 = 19 = CLN(57, 171) Thang Long University Libraty nh lý 1.7 N u a, b, m, n  c c s chung c a a b c c ng c s c a ma + nb, ngh a (c | a vƠ c | b) c | (ma + nb) Ví d 1.9 Gi s a = 18, b = 33, vƠ c = Ta có 18 = 3×6 vƠ 33 = 3×11 Vì th , 18 vƠ 33 chia h t cho Gi s m = 8, n = - Khi 8×18 - 2×33 = 144 - 66 = 78 Rõ rƠng lƠ c c a 78, 78 = 3×26 nh lý 1.8 N u a, b s nguyên d ng t p h p t h p n tính c a a b b ng t p b i nguyên c a CLN(a, b) Ví d 1.10 Gi s a = 68, b = 153 Ta th y 52 = 22×17 vƠ 117 = 32×17 Do CLN(68, 153) = 17 V i b t k ph tìm đ x, y c s nguyên k nghi m ng trình 68x + 153y = 17k Tìm x vƠ y đ cho k = 2, t c lƠ x, y th a mưn 68x + 153y = 17×2 = 34 Chia c hai v cho 17, ph Ta tìm đ 1.1.3 ng trình rút g n 4x + 9y = c x = vƠ y = - 2, 4×5 - 9×2 = 20 - 18 = c chung l n nh t c a n  s nguyên nh ngh a 1.7 Ta m r ng đ nh ngh a c chung l n nh t cho n s nguyên v i n ≥ Xét n s nguyên, không b ng Ta đ nh ngh a c a chúng lƠ s l n nh t c chung l n nh t c chung c a n s vƠ vi t CLN (a1, a2, , an) Ví d 1.11 Có th th y CLN(3, 9, 12) = vƠ CLN(5, 25, 45) = Tuy nhiên, ta g p nhi u h n ba s nguyên ho c nhi u s ph c t p mƠ ta không th d dƠng tìm đ c c chung c a chúng Trong nh ng tr ng h p nh th , ta có th dùng đ nh lý sau đơy nh lý 1.9 N u a1, a2, , an s nguyên, không b ng 0, CLN(a1, a2, , an-1, an) = CLN (a1, a2, , CLN(an-1, an)) Ví d 1.12 Tìm c chung l n nh t c a 112, 378, 693 vƠ 2016 Phơn tích s nguyên th a s nguyên t vƠ dùng nh lý 1.9, ta th y 112 = 24×7, 378 = 233×7, 693 = 32×7×11, 2016 = 25×32×7 CLN(112, 378, 693, 2016) = CLN (112, 378 (693, 2016)) = CLN(112, 378, 63) = CLN(112, (378, 63)) = CLN (112, 63) = nh lý 1.10 N u c, d  c = dq + r, v i q, r  CLN(c, d) = CLN(r, d) Ví d 1.13 Xét đ ng th c 75 = 12×6 + N u phơn tích đ ng th c nƠy theo nh lý 1.10, ta th y c = 75, d = 12, q = vƠ r = Ta có 75 = 52×3, 12 = 223 Áp d ng đ nh lý ta đ c CLN(75, 12) = CLN(3, 12) = 1.2 PH Ph NG TRỊNH TUY N TệNH V I CÁC H S NGUYÊN ng trình có d ng a1x1 + a2x2 + + anxn = c, a1, a2, , an, c lƠ s nguyên cho tr (1.1) c, đ c g i lƠ ph ng trình iôph ng n tính Ta gi thi t n  vƠ t t c h s a1, a2, , an đ u khác Ta b t đ u v i tr iôph ng n tính đ ng h p n = K t qu c b n liên quan đ n ph ng trình c nêu đ nh lý sau nh lý 1.11 Gi s a, b, c s nguyên, a b khác Xét ph ng trình iôph ng n tính hai bi n Thang Long University Libraty ax + by = c, Ph (1.2) ng trình (1.2) có nghi m nguyên ch d = chung l n nh t c a a b) CLN(a, b) ( c c s c a c N u (x, y) = (x0, y0) m t nghi m riêng c a (1 2) m i nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình (1.2) có d ng x = x0 + b a t, y = y0 - t, d d (1.3) t s nguyên N u c = CLN (a, b) |a| ho c |b| khác có th tìm đ c m t nghi m riêng (x, y) = (x0, y0) c a (1.3) cho |x0| < |b| |y0| < |a| Ch ng minh N u d không lƠ th có nghi m N u d lƠ c s c a c rõ rƠng ph ng trình không c s c a c chia hai v c a (1.2) cho d, ta ch c n ch ng minh r ng d lƠ t h p n tính v i h s nguyên c a a vƠ b Mu n v y ta dùng thu t toán clit Rõ rƠng lƠ n u b | a CLN(a, b) = b Trái l i, gi s a = bq + r v i s nguyên q, r v i < r < b D ki m tra l i r ng m i c chung c a b vƠ r vƠ ng c l i T ng quát ta có Nh n xét nƠy đ a t i cách tính tr c ti p c chung c a a vƠ b c ng lƠ CLN (a, b) = CLN(b, r) c chung l n nh t c a hai s nguyên M t cách h th ng nh sau: Ta đ t a = r1, b = r0 (gi thi t a > b > 0): r1 = r0q0 + r1,  r1 < r0, r0 = r1q1 + r2,  r2 < r1, r1 = r2q2 + r3,  r3 < r2, r2 = r3q3 + r4,  r4 < r3,   Phép chia nƠy cu i ph i k t thúc, b i ph n d ngƠy cƠng bé d n: r1 > r0 > r1 > r2 >  0, vƠ không ơm Nói m t cách khác, đ n m t lúc nƠo dó rn1 s chia h t cho rn sau (vƠ đ l i ph n d rn+1 = 0) Ta nh n đ  c   rn < rn1, rn2 = rn1qn1 + rn, rn1 = rnqn + (rn+1 = 0) T suy rn = CLN (rn1, rn) = CLN (rn2, rn1) = = CLN (rr1, r0) = CLN (a, b) Có th th c hi n theo th t ng CLN(a, b) d c tr l i phép toán đơy đ bi u di n i d ng t h p n tính c a a vƠ b T công th c suy ng c tr l i ta có: r1 = r-1 - q0r0, r2 = r0 - q1r1 T ng quát: rk = rk-2 - qk-1rk-1 v i k = 1, 2, , n Xác đ nh s nguyên xk vƠ yk theo h th c truy h i: x1 = 1, x0 = 0, xk = xk2  qk1xk1, k = 1, 2, , n y1 = 0, y0 = 1, yk = yk2  qk1yk1, k = 1, 2, , n Ta ch ng minh b ng qui n p r ng rk = axk + byk v i k = 1, 2, , n Th t v y, r1  a = ax1 + by1 (theo đ nh ngh a c a r1 vƠ x1 = 1, y1 = 0), r0  b = ax0 + by0 (theo đ nh ngh a c a r0 vƠ x = 0, y = 1), rk = rk2  qk1rk-1 = (axk2 + byk2)  qk1(axk1 + byk1) = a(xk2  qk1xk1) + b(yk2  qk1yk1) = axk + byk v i m i k = 1, 2, , n Nói riêng, b c k = n ta có CLN(a, b) = rn = axn + byn = axn+1 + byn+1 = a(xn1  qnxn) + b(yn1  qnyn) = rn-1 - qnrn = xn+1 = xn1  qnxn, yn+1 = yn1  qnyn, a|xn+1| = b|yn+1| 10 Thang Long University Libraty suy x4  x2y2 + y4 = (z2 + w2) T nh lý 2.6, suy r ng xy = ho c x = y Kh n ng đ u không th x y Kh n ng sau kéo theo w = 0, th ab = cd, u nƠy mơu thu n v i a < b < c < d 2.3 CÂU H I VÀ BÀI T P Ch ng minh r ng h ph ng trình sau nghi m nguyên d ng: x2 + y2 = u2, x2 + 2y2 = v2 BƠi gi i Gi s trái l i r ng h có nghi m vƠ (x, y, u, v) lƠ m t nghi m (nguyên d ng) Khi u2 - y2 = x2 vƠ u2 + y2 = v2 Nh ng u nƠy mơu thu n v i k t qu Cho hai s nguyên d Ví d 2.2 ng khác m vƠ n Ch ng minh r ng 2(m4 + n4) vƠ (m4 + 6m2n2 + n4) không s nƠo lƠ ph BƠi gi i Gi s trái l i r ng t n t i v  hai ph ฀ ng trình sau có nghi m nguyên d ng cho 2(m4 + n4) = v2 Khi đó, h ng (2mn)2 + (m2 - n2)2 = (m2 + n2)2, (2mn)2 + 2(m2 - n2)2 = v2, trái v i k t qu c a bƠi t p (v i x = 2mn, y = m2 - n2, u = m2 + n2) T ng t , gi s trái l i r ng t n t i v  h hai ph ng trình sau có nghi m nguyên d cho m4 + 6m2n2 + n4 = v2 Suy ng (m2 - n2)2 + (2mn)2 = (m2 + n2)2, (m2 - n2)2 + 2(2mn)2 = v2, trái v i k t qu c a bƠi t p (v i x = m2 - n2, y = 2mn, u = m2 + n2) 39 ฀ Ch ng minh r ng ph ng trình x2y2 = z2(z2 - x2 - y2) nghi m nguyên d ng BƠi gi i B ng cách gi i ph ph ng trình nh n đ ng trình theo z2, ta th y r ng bi t s  c a c b ng  = x4 + 6x2y2 + y4 Theo k t qu th hai c a bƠi t p 2,  không lƠ s ph ng, ph đ u nghi m nguyên d Ch ng minh r ng ph ng theo z2 vƠ ph ng ng trình ban ฀ ng trình x2 + y2 = (a2 + b2)z2, a vƠ b lƠ s nguyên d BƠi gi i ng khác cho tr c, có vô s nghi m nguyên t x = au + bv vƠ y = bu - av Khi x2 + y2 = (a2 + b2)(u2 + v2) vƠ ph ng trình tr thƠnh x2 + y2 = z2 Ta nh n đ c u = k(m2 - n2), v = 2kmn, z = k(m2 + n2) v i s nguyên m vƠ n nƠo Do nghi m c a ph ng trình đư cho có d ng x = k(am2 + 2bmn - an2), y = k(bm2 - 2amn - bn2), z = k(m2 + n2) Tìm t t c b s nguyên d ฀ ng (x, y, z, w) cho xy + yz + zx = w2 BƠi gi i Ph ng trình t ng đ ng v i (2x + y + z)2 = (y - z)2 + (2x)2 + (2ww)2 T nh lý 2.2 suy r ng l2  m2  n y-z= , 2x = 2l, 2w = 2m, n l2  m2  n 2x + y + z = n 40 Thang Long University Libraty v i s nguyên d ng l, m, n nƠo đó, v i n lƠ m t Do đó, t t c nghi m c a ph c c a l2 + m2 ng trình đư cho lƠ l  ln  m , z = n - l, w = m x = l, y = n l, m, n lƠ s nguyên cho n lƠ m t c c a l2 + m2 vƠ m2 l b, b i ng h p a =b không th x y không th có 2a2 = c2 Vì v y c2 + (2d)2 = (a + b)2 vƠ c2 - (2d)2 = (a - b)2, mơu thu n v i Ví d 2.2 ฀ Ch ng minh r ng s tam giác Pytago nguyên th y v i bán kính đ ng tròn n i ti p b ng r lƠ m t l y th a c a n u r nguyên BƠi gi i Gi s a, b vƠ lƠ đ dƠi ba c nh c a tam giác Pytago v i bán kính đ ng tròn n i ti p r, r  B ng tính toán hình h c đ n gi n, ta có h th c a bc = r M t khác, t n t i s nguyên d ng m vƠ n cho m > n, CLN (m, n) = 1, m + n lƠ s l vƠ a = m2 - n2, b = 2mn, c = m2 + n2 Ta nh n đ c n(m - n) = r Công th c nƠy co ngh a lƠ m - n lƠ m t th a s l c a r nguyên t v i r/(m - n) Nh v y m - n đ 41 c xác đ nh b i t p h p c nguyên t l c a r, đ ng th i lƠ c c a m - n M t t p h p b t k nh th s xác đ nh m - n vƠn, xác đ nh b ba Pytago nguyên th y V y s nghi m nguyên d ng b ng 2t, t lƠ s c nguyên t l c a r nh Cho p lƠ m t s nguyên t Tìm nghi m nguyên c a ph ฀ ng trình x + y - z - t = p, x, y, z, t lƠ s nguyên d ng cho xy = zt áp án Nghi m (x, y, z, t) = (ab, (b - p)(a - 1), a(b - p), b(a - 1)) v i a, b  Cho a, b, c lƠ s nguyên th a mưn CLN(a, b, c) = vƠ ab + bc + cd = Ch ng minh r ng t ng |a + b + c| bi u di n đ cd i d ng x + xy + y2, x, y lƠ s nguyên áp án ý r ng n u a, b, c lƠ s nguyên cho ab = c2 t n t i s nguyên k, m, n v i CLN (m, n) = cho a = km2, b = kn2, th y ab + bc + ca = o t ng đ c = kmn Ta ng v i (a + b)(a + c) = a2 Vì th , ta có a + b = km2, a + c =  kn2, a = kmn, k  Do CLN (a, b) = nên ta có k =  Do a + b + c = k(m2 - mn + n2) hay |a + b + c| = (- m)2 + (- m)n + n2 10 Ch ng minh r ng ph ฀ ng trình x2 + xy + y2 = 362 nghi m nguyên d áp án Gi s ph ng ng trình x2 + xy + y2 = 362 có nghi m nguyên d d ng công th c (2.22) ta nh n đ ng S c k(m2 + mn + n2) = 36, 42 Thang Long University Libraty m2 + mn + n2 lƠ m t s 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Trong s nƠy s nƠo xu t hi n c t th ba c a b ng Tóm l i, ch Ví d 2.6 ฀ ng nƠy đư trình bƠy b ba s Pytago, b b n s Pytago, tính ch t c a chúng vƠ m t s ví d v ph ng trình iôph ng b c hai c a hai, ba hay b n bi n s (x2 + y2 = k(x - y), x + y = z 2, x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx = 2w2) Ti p đó, xét tính ch t nghi m c a m t s ph ng trình iôph ng b c hai khác (xy = zw, x2 + y2 = z2 + w2, x2 + xyw + y2 = z2, x2 + axy + by2 = z2) Cu i ch m t s cơu h i vƠ bƠi t p áp d ng, liên quan t i ph Ch M TS Ch PH ng trình iôph ng b c hai ng NG TRỊNH IÔPH NG B C CAO ng nƠy đ c p t i tính không gi i đ c c a ph cao h n hai có d ng: x3 + y3 = z3, x4 + y4 = z4, ph ng, nêu ng trình ó lƠ tr iôph ng b c ng h p riêng c a ng trình Fermat xn + yn = zn v i x, y, z lƠ s nguyên Ti p đ c p t i đ nh lý l n Fermat (còn g i lƠ đ nh lý cu i c a Ferma) nói r ng ph ng trình xn + yn = zn v i n > nghi m nguyên khác không vƠ gi thuy t Euler nói r ng ph ng trình xn + yn + zn = wn nghi m nguyên (khác không) n u n lƠ s nguyên l n h n hay b ng 4, hai ph n ví d Cu i ch vƠ bƠi t p áp d ng, liên quan t i ph ch ng đ ng trình ng xét m t s ví d iôph ng b c cao N i dung c a c tham kh o ch y u t tƠi li u [1] vƠ [5] 3.1 PH NG TRỊNH FERMAT xn + yn = zn Ch ng minh đ nh lý cu i c a Fermat r t ph c t p ch ng minh đ nh lý cho tr nh lý 3.1 Ph minh h a, ta nêu ng h p n = Ch ng minh d a đ nh lý sau ng trình x4 + y4 = z2 Không có nghi m nguyên khác không 43 (3.1) Ch ng minh Ta ch c n xét x, y, z > Gi s trái l i, ph ng trình (3.1) có nghi m vƠ (x1, y1, z1) lƠ m t nghi m v i z1 nh nh t Ta có th gi thi t CLN (x1, y1, z1) = vƠ đ ý r ng (x 12 , y 12 , z1) lƠ m t b ba Pytago nguyên th y T suy CLN(x1, y1) = 1, CLN (y1, z1) = 1, CLN(z1, x1) = vƠ x1, y1 có tính ch n l khác Gi s x1 lƠ s l vƠ y1 lƠ s ch n Ta ch CLN (z1 - x 12 , z1 + x 12 ) = 2, (3.2) Th t v y, n u d | (z1 - x 12 ) vƠ d | (z1 + x 12 ) d | 2z1 vƠ d | 2x 12 Nh ng CLN(z1, x1) = vƠ z1 lƠ s l nên d = Do y 14 = (z1 - x 12 ) (z1 + x 12 ) nên suy m t hai s (z1 - x 12 ) vƠ (z1 + x 12 ) chia h t cho 2, nh ng không chia h t cho vƠ s chi h t cho Do y1 = 2ab vƠ ho c (z1 - x 12 ) = 2a4, (z1 + x 12 ) = 8b4 (3.3) ho c (z1 - x 12 ) = 8b4, (z1 + x 12 ) = 4a4 c hai tr Tr ng h p a lƠ s l vƠ gcd(a, b) = ng h p (3.3) không x y b i s kéo theo x 12 = - a4 + 4b4 vƠ cho  - (mod 4), ta g p mơu thu n Vì th ta có tình hu ng th hai, t c lƠ z1 = a4 + 4b4 v i < a < z1 vƠ 4b4 = (a2 - x1)( a2 + x1) Do CLN(a, b) = nên ta có (3.2), ta th y r ng CLN (a, x1) = vƠ nh ch ng minh CLN(a2 - x1, a2 + x1) = H qu lƠ a2 - x1 = 2x 42 vƠ a2 + x1 = 2y 42 x2y2 = b B ng cách đ t a = z2 ta nh n đ c x 42 + y 42 = z 22 , v i < z2 < z1, ta g p mơu thu n v i gi thi t z1 lƠ nh nh t ฀ 44 Thang Long University Libraty T đ nh lý suy h qu sau H qu 3.1 Ph ng trình x4 + y4 = z4 (3.4) Không có nghi m nguyên khác không Ch ng minh Do ph nên ph ng trình x4 + y4 = z2 nghi m nguyên khác ng trình x4 + y4 = z4 c ng không th có nghi m nguyên khác 0, b i n u x, y, z (nguyên khác 0) th a mưn ph trình tr ng trình sau x, y, z2 s th a mưn ph c vƠ nh th trái v i k t lu n c a H qu nƠy lƠ m t tr ng nh lý 3.1 ฀ ng h p riêng c a đ nh lý l n Fermat nói r ng ph ng trình xn + yn = zn nghi m nguyên khác không v i m i s nguyên n > Vi c nghiên c u ph tiên đư đ ng trình x3 + y3 = z3 ph c t p h n nhi u vƠ l n đ u c Euler ch ng minh ph nh lý 3.2 Ph ng trình nghi m nguyên khác không ng trình x3 + y3 = z3 (3.5) Không có nghi m nguyên khác không Ch ng minh đ nh lý nƠy ph c t p vƠ dƠi, th ta không d n đay Ch bi t r ng ch ng minh d a hai đ nh lý sau (ch phát bi u, b qua ch ng minh) nh lý 3.3 Cho n m t s nguyên d ng Ph ng trình iôph ng x2 + 3y2 = n có nghi m ch m i nhân t c a n d ng 3k - có l y th a b c ch n nh lý 3.4.7 Ph ng trình iôph ng x2 + 3y2 = z3 CLN(x0, y0) = ch t n t i có nghi m (x0, y0, z0) v i z0 s l s nguyên   cho   (mod 2), CLN(, 3) = x0 = (2 - 9/2), y0 = 3(2 - 2), z0 = 2 + 32 45 3.2 Ph NH Lụ L N FERMAT VÀ GI THUY T EULER ng trình (3.4) vƠ (3.5) lƠ tr ng h p riêng c a ph ng trình Fermat xn + yn = zn n lƠ s nguyên l n h n vƠ x, y, z lƠ s nguyên khác không nh lý cu i c a Fermat nói r ng ph ng trình x n + yn = zn nghi m x, y, z nguyên khác không n > Kho ng n m 1630, Fermat đư ghi bên l m t trang c a cu n S h c c a iôfan r ng "Tôi đư phát hi n m t ch ng minh th t t v i nh ng l sách h p đ ch a nó" Hình nh Fermat đư tìm th y ch ng minh ch cho tr l i ghi c a Fermat bên l sách đ ng h p n = 4, nh ng c công b đ nh lý nƠy tr nên n i ti ng, thu hút s ý c a c ng đ ng toán h c vƠ nhi u th k trôi qua mƠ đ nh lý cu i c a Fermat v n ch a đ c gi i quy t Tr i qua nhi u n m, nhi u nhƠ toán h c đư lƠm vi c v i tr ng h p riêng vƠ cho cơu tr l i kh ng đ nh Chúng ta có th k ra: Euler v i n = 3, Sophie Germain (n vƠ 2n + nguyên t , n < 100 vƠ x, y, z không lƠ c c a n), Dirichlet (n = 5, n = 14) vƠ Lamé (n = 7), Liouville vƠ Kummer đư phát tri n đ nh lý toán h c quan trong trình tìm ch ng minh cho đ nh lý cu i c a Fermat S d ng k thu t d a công trình c a Kummer, đ nh lý cu i c a Fermat đư đ c ch ng minh lƠ đúng, v i s tr giúp c a máy tính đ i v i n lên t i 4.000.000 (b n tri u) n m 1993 VƠo n m 1983 Gerd Faltings đư có đóng góp l n ch ng minh đ c r ng v i m i n > có nhi u nh t m t s h u h n s nguyên t th a mưn ph ng trình xn + yn = zn 46 Thang Long University Libraty Ch ng minh đ nh lý cu i c a Fermat h u nh đư đ n m 1993 b i Andrew Wiles, nhƠ toán h c ng c hoƠn thƠnh vƠo i Anh lƠm vi c Wiles đư đ c m t lo t ba bƠi gi ng t i Vi n Isaac Newton Princeton (M ) Cambridge (Anh) l n đ u vƠo Th hai, 21/6 vƠ l n th hai, 22/6 BƠi gi ng cu i vƠo Th t , 23/6/1993, Wiles đư thông báo ch ng minh c a v đ nh lý cu i c a Fermat nh m t h qu c a nh ng k t qu c a ông Ch ng minh c a ông d ng nh ch a hoƠn ch nh Tháng n m 1994, Wiles g i ch ng minh m i cho ba đ ng nghi p, có Faltings M i ng ch ng minh tr i đư nh n đ c ch ng minh m i, v b n ch t ng n g n h n c Pierre de Fermat m t n m 1665 NgƠy ngh v Fermat nh m t nhƠ lý thuy t s , th c t có l lƠ nhƠ lý thuy t s n i ti ng nh t t i Vì th , đáng ng c nhiên nh n th y r ng Fermat th c lƠ m t lu t gia vƠ lƠ toán h c nghi p d i u đáng ng c nhiên n a lƠ c cu c đ i ông ch công b m t bƠi báo toán h c nh t vƠ lƠ bƠi báo n danh, đ c vi t d i d ng m t ph l c cu n sách c a đ ng nghi p Nh ng có l ng c nhiên h n ta đ ý r ng vƠo th i m t t p chí toán h c nƠo vƠ h u h t trao đ i khoa h c đ nh th t cá nhơn Nh n xét 3.2 Gi thuy t Euler: ph i ch ng ph ng trình xn + yn + zn = wn nghi m nguyên v i m i s nguyên n l n h n hay b ng N m 1988, Noam Elkies đ a ph n ví d sau đơy: 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 Sau đó, Roger Frye (1988) tìm đ c nghi m nh nh t lƠ 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 47 c ti n hƠnh 3.3 M T S PH NG TRỊNH IÔPH NG B C CAO KHÁC M c nƠy xét vƠi ví d v ph Ví d 3.1 Ph ng trình iôph ng b c cao ng trình x4  y4 = z2 nghi m nguyên khác không Gi i Ta có th gi thi t r ng x, y, z > vƠ xét m t nghi m (x, y, z) v i CLN(x, y) = vƠ x lƠ nh nh t Khi (y2, z, x2) lƠ b ba Pytago nguyên th y Do ta có hai tr Tr ng h p x y ra: ng h p 1: y2 = a2 - b2, z = 2ab, x2 = a2 + b2, a > b > vƠ CLN (a, b) = T suy a4 - b4 = (xy)2 vƠ a < x, trái v i gi thi t x lƠ nh nh t Tr ng h p 2: y2 = 2ab, z == a2 - b2, x2 = a2 + b2, a > b > vƠ CLN(a, b) = Do (a, b, x) c ng lƠ m t b ba Pytago nguyên th y nên ta có th gi thi t r ng a lƠ s ch n vƠ b lƠ s l Khi a = 2p2 vƠ b = q2 v i q, q lƠ s nguyên d ng nƠo đó, CLN (p, q) = vƠ q  (mod 2) T suy x = 4p4 + q4 vƠ y = 2pq Nh v y (2p2, q2, x) lƠ b ba Pytago nguyên th y Do p2 = rs, q2 = r2 - s2 v i s nguyên d ng r, s nƠo đó, r > s vƠ CLN (r, s) = Cu i cùng, r = u2, s = v2 v i s nguyên d ng u, v nƠo vƠ CLN (u, v) = Khi u4 - v4 = q2 vƠ u = r < p < 2p2 < x, trái v i gi thi t x lƠ nh nh t Ví d 3.2 Tìm nghi m nguyên c a ph ฀ ng trình 48 Thang Long University Libraty x4 + y4 = 2z2 Gi i Không gi m t ng quát, ta có th gi thi t r ng CLN(x, y) = Khi c x vƠ y đ u lƠ s l vƠ  x  y4  4  x - (xy) =    T Ví d 3.1 suy r ng xyz = ho c x4 - y4 = Do x = y = z = ho c x2 = y2 = z Các nghi m c a ph ng trình lƠ (k, k, k2), k  Ví d 3.3 Tìm nghi m nguyên c a ph ฀ ng trình x4 + 6x2y2 + y4 = z2 Gi i Gi s (x, y, z) lƠ m t nghi m c a ph ng trình Khi đó, (2x)4 + 6(2x)2(2y)2 + (2y)4 = (4z)2 B ng cách đ t 2x = u + v, 2y = u - v, v i u, v  , ta nh n đ c ph ng trình (u + v)4 + 6(u2 - v2)2 + (u - v)4 = 16z2, ph ng trình nƠy t ng đ ng v i u4 + v4 = 2z2 T Ví d 3.2 suy r ng (u, v, z) = (k, k, k2) T cho nghi m (x, y, z) = (k, 0, k2) vƠ (x, y, z) = (0, k, k2), k  Nh n xét 3.3 M t bi n th khác c a bƠi toán nƠy đư đ hai c a BƠi t p m c 2.3, Ch ฀ c cho ph n th ng 3.4 CÂU H I VÀ BÀI T P Tìm b ba s nguyên không ơm (x, y, z) th a mưn ph x4 + 14x2y2 + y4 = z2 49 ng trình áp án Nghi m c a ph ng trình lƠ (x, y, z) = (k, 0, k2), (0, k, k2) vƠ (x, y, z) = (l, l, 4l2) v i k, l  Tìm nghi m nguyên d ng c a ph + ng trình 3x4 + 10x2y2 + 3y4 = z2 áp án Nghi m c a ph ng trình lƠ (x, y, z) = (k, k, (4k)2) v i k  Tìm b ba nguyên (x, y, z) th a mưn ph + ng trình x4 - 6x2y2 + y4 = z2 áp án (x, y, z) = (k, 0, k2), (x, y, z) = (0, k, k2) v i k  Cho a vƠ b lƠ hai s nguyên d không th lƠ m t s l p ph áp án ng khác bi t Ch ng minh r ng 2a(a2 + 3b2) ng ý r ng 2a(a2 + 3b2) = (a + b)3 + (a - b)3 Do n u 2a(a2 + 3b2) = = c3 ta nh n đ c (a + b)3 + (a - b)3 = c3 Theo nh lý 3.2, h th c không th x y Ch ng minh r ng ph d ฀ ng trình x6 - y6 = 4z3 nghi m nguyên ng áp án Gi s ph ng trình có nghi m nguyên d nghi m Khi đó, 2(x6 - y6) lƠ m t s l p ph ng vƠ (x, y, z) lƠ m t ng Do 2(x2 - y2)[(x2 - y2)2 + 3(xy)2] = z2 lƠ m t s l p ph ng Nh ng u nƠy trái v i k t qu c a bƠi t p tr Ch ng minh r ng h ph c ฀ ng trình 50 Thang Long University Libraty x  y  z ,   z4  z  xy  , nghi m nguyên khác không áp án Gi s trái l i r ng (x, y, z) lƠ m t nghi m nguyên d ng c a h đư cho Ta có z4 = (x + y)2  4xy = 4(z4 - z)/3 hay 4z  z4 Ngh a lƠ z > vƠ  z3 (do z nguyên d v i x, y d ng) Do z = vƠ t ph ng V y h ph Tóm l i, ch ng trình th hai ta nh n đ c xy = 0, trái ng trình đư cho không th có nghi m nguyên d ng nƠy đư đ c p t i ph ng ฀ ng trình Fermat xn + yn = zn v i x, y, z lƠ s nguyên vƠ gi i thi u đ nh lý l n Fermat (còn g i lƠ đ nh lý cu i c a Fermat) nói r ng ph ng trình xn + yn = zn v i n > nghi m nguyên khác không vƠ gi i thi u gi thuy t Euler nói r ng ph ng trình xn + yn + zn = wn nghi m nguyên (khác không) n u n  hai ph n ví d Cu i ch m t s d ng ph ng trình ng xét iôph ng b c cao: x4  y4 = z2, x4 + y4 = 2z2, x4 + 6x2y2 + y4 = z2 vƠ nêu m t s cơu h i vƠ bƠi t p áp d ng v i đáp án đ tham kh o 51 K T LU N Lu n v n đư đ c p t i m t s d ng tiêu bi u c a ph ng trình iôph ng b c nhơt vƠ b c cao h n (2, vƠ 4) Xét s t n t i nghi m nguyên c a ph ng trình nƠy, tính ch t nghi m nguyên vƠ m t s cách tìm nghi m nguyên c a ph ng trình đ c xét ơy lƠ ch đ không m i nh ng h p d n, đáng đ c quan tơm tìm hi u vƠ h c t p Lu n v n đư trình bƠy nh ng n i dung sau: M t s khái ni m c b n c a lý thuy t s : chia nguyên, s nguyên t vƠ h p s , c chung vƠ c s vƠ ph n d phép c chung l n nh t c a s nguyên, thu t toán clit Ph ng trình nghi m nguyên, ph quát c a ph iôph ng n tính, u ki n c n vƠ đ đ ph ng trình có ng pháp tìm nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng ng trình, bƠi toán có liên quan t i ph ng trình iôph ng n tính B ba Pytago, b b n Pytago vƠ tính ch t M t s d ng ph ng trình iôph ng b c hai c a hai, ba hay b n bi n s Tính ch t nghi m c a m t s ph ng trình iôph ng b c hai khác vƠ ví d Ph ng trình Fermat xn + yn = zn v i x, y, z lƠ s nguyên nh lý l n Fermat (đ nh lý cu i c a Ferma) vƠ gi thuy t Euler v không t n t i nghi m nguyên khác không c a ph ng trình xn + yn + zn = wn v i n  ph n ví d Cơu h i vƠ bƠi t p áp d ng cu i m i ch ng 52 Thang Long University Libraty TÀI LI U THAM KH O [1] Andreescu T et al (2010), An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach, DOI 10.1007/978-0-8176-4549-6_2, Springer Science+Business Media, LLC [2] Adamchik V (2005), "Integer Divisibility", 21-127: Concepts of Mathematics, Lecture [3] Davis T (2006), "Introduction to Diophantine Equations", tomrdavis@earthlink.net: http://www.geometer.org/mathcircles, Sept 7, 2006 [4] A Schrijver A (1986), Theory of Linear and Integer Programming John Wile & Son, New York [5] Some Classical Diophantine Equations (Ngu n Internet) 53 [...]... các nghi m nguyên c a ph ng trình x2 + y2 = z2 + w2 lƠ 1 (mn + pq), y = 2 1 z = (mp + nq), w = 2 x= 1 (mp  nq), 2 1 (mn  pq), 2 trong đó m, n, p, q lƠ các s nguyên  Ta ti p t c m c nƠy b ng vi c xét ph ng trình iôph ng d ng x2 + axy + y2 = z2, trong đó a lƠ s nguyên cho tr ph c Ph ng trình Pytago lƠ tr (2.14) ng h p riêng c a ng trình nƠy (a = 0) nh lý 2.4 M i nghi m nguyên c a ph ng trình (2.14)... a (2.1) v i gcd(x, y, z) = 1 đ ng trình (2.1) i u nƠy t ng ng v i x, y, z t ng đôi nguyên t cùng nhau M t nghi m (x0, y0, z0) c a (2.1) v i x0, y0, z0 t ng đôi nguyên t cùng nhau g i lƠ m t nghi m nguyên th y (primitive solution) Rõ rƠng lƠ trong m t nghi m nguyên th y có đúng m t s lƠ ch n x0 ho c y0 19 nh lý 2.1 M t nghi m nguyên d ng nguyên th y b t k c a ph ng trình (2.1) (x, y, z) v i y ch n có... ch t sau: (a) xj nguyên v i m i j = 1, 2, , q; (b) t n t i j sao cho xj  0; Tóm l i, ch ng nƠy đư trình bƠy l i m t s khái ni m c b n c a lý thuy t s : c s vƠ ph n d , s nguyên t vƠ h p s , c chung vƠ c chung l n nh t c a các s nguyên, thu t toán Euclid, bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph ng trình iôph ng tuy n tính, đi u ki n t n t i nghi m nguyên vƠ xét bƠi toán liên quan t i ph ng trình iôph ng tuy... trình Pytago "ơm") Tìm nghi m nguyên d ng trình x2 + y2 = z2 Gi i Ph ng trình t ng đ (2.7) ng lƠ  xy  x +y =    z  2 2 2 i u nƠy có ngh a lƠ z | xy vƠ x2 + y2 lƠ m t s chính ph Khi đó x2 + y2 = t2 v i s nguyên d ng t nƠo đó vƠ ph t= Gi s d = vƠ ng c a ng (perfect square) ng trình tr thƠnh xy z (2.8) CLN(x, y, t) Khi đó x = ad, y = bd, t = cd, trong đó a, b, c  CLN (a, b, c) = 1 Ph + ng trình. .. ng trình đ n gi n, nh ng có nhi u ng d ng nh lý 2.3 M i nghi m nguyên c a ph ng trình xy = zw có d ng x = mn, y = pq, z = mp, w = nq, trong đó m, n, p, q là các s nguyên và CLN (n, p) = 1 Ch ng minh Vi t ph gi n t ng trình d ng x z = w y vƠ ký hi u n p lƠ phơn th c t i ng ng Sau đó đ t m= z y x w = vƠ q = = p n p n Nh n xét 2.2 (i) V i m i nghi m nguyên d ฀ ng x, y, z, w th a mưn xy = zw thì s nguyên. .. ng ph ng trình (k + 1)(k + 2) = 100 không có nghi m nguyên ฀ 6 Cho a, b, c, d lƠ các s nguyên sao cho v i b t k hai s nguyên m vƠ n luôn t n t i hai s nguyên x vƠ y th a mưn ax + by = m vƠ cx + dy = n Ch ng minh r ng ad - bc =  1 7 Cho n lƠ s nguyên l n h n 3 vƠ gi s X lƠ t p g m 3n2 ph n t thu c t p {1, 2, , n3} Ch ng minh r ng t n t i 9 s khác nhau a1, a2, , a9 thu c X sao cho h ph ng trình tuy... zw + xz + xw = (x + z)(x + w), vƠ t đó suy ra k t lu n (ii) M t tr ph ng h p riêng lƠ ph ng trình xy = z2 M i nghi m nguyên c a ng trình nƠy lƠ x = km2, y = kn2, z = kmn v i k, m, n lƠ các s nguyên vƠ CLN (m, n) = 1 Ví d 2.5 N u có hai c p s nguyên d đ c, mƠ th a mưn ph ng (x, y) khác nhau, không s p th t ng trình x2 + y2 = n thì n lƠ m t h p s Gi i Gi s (a, b) vƠ (c, d) lƠ hai nghi m nh th Khi đó... c nguyên t cùng nhau nên suy ra r ng b = m2 vƠ c = n2 v i m vƠ n lƠ hai s nguyên d ng nƠo đó Ta nh n th y r ng m + n lƠ s l vƠ x = b  c = m2  n2, y = 2mn, z = b + c = m2 + n2 ฀ 20 Thang Long University Libraty Ba s (x, y, z) d ng (2.2) g i lƠ b ba nguyên th y nghi m nguyên th y c a ph li t kê t t c các ng trình (2.1), ta gán các giá tr 2, 3, 4, cho m vƠ sau đó v i m i giá tr nƠy ta l y các s nguyên. .. m, n  lƠ nguyên t cùng nhau, k T ng quát, ch n k  nguyên đ u t sao cho (a2 - 4b)k  s cho nghi m nguyên, nh ng không ph i m i nghi m ng ng v i k nguyên Ch ng h n, v i a = 0, b =  21 thì h nghi m (2.19) lƠ x = k(m2 + 21n2), y =  2kmn, z = k(21n2  m2), nh ng nghi m b ba (5, 1, 2) không đ c t o ra theo cách nƠy (iii) S d ng nh n xét trên đơy ta có th xơy d ng h nghi m nguyên c a ph ng trình iôph... n2)  (m2  n2) Do m vƠ n nguyên t cùng nhau nên ta suy ra d = 2 Vì th m2 + n2 lƠ s ch n, trái v i m l vƠ n ch n T đó suy ra d = 1 vƠ vì th nghi m (2.2) lƠ nguyên th y Ng c l i, gi s (x, y, z) lƠ m t nghi m nguyên th y c a (2.1) v i y = 2a Khi đó x vƠ z lƠ hai s l vƠ do đó các s nguyên z + x vƠ z - x lƠ các s ch n Gi s z + x = 2b, z - x = 2c Ta có th gi thi t r ng b vƠ c nguyên t cùng nhau, b i vì