Định lý điểm bất động và sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC -oOo - TÓM TẮT LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH GVHD SVTH KHÓA : Thạc só TRẦN HOÀNG : NGÔ THỊ THANH THẢO : 2000 – 2004 Thành phố Hồ Chí Minh 2004 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO PHẦN I TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG §1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I-Định nghóa tích phân xác định : Cho hàm f(x) liên tục [a,b], F(x) nguyên hàm f(x) b ∫ f ( x) = F ( x) = F (b) − F (a ) b a a * Chú ý : a.Rõ ràng b ∫ f ( x)dx phụ thuộc vào hàm f cận a,b, không phụ thuộc a vào biến tích phân, tức b ∫ a b f ( x)dx = ∫ f (t )dt a b.Ở định nghóa, ta giả thiết a < b Nếu a > b định nghóa : a ∫ b Tất nhiên : b f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a a ∫ f ( x)dx = a c.Từ định nghóa ta thấy hàm f khả tích [a,b] phải giới nội II-Tính chất tích phân : Định lý 1: Giả sử f g hai hàm khả tích đoạn chứa điểm a, b c thì: i b b b a a a ∫ (af ( x) + bg ( x))dx = a ∫ ( f ( x))dx + b ∫ ( g ( x))dx , b c b a a c ∀ a, b ∈ R; ii ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f ( x)dx ; iii Neáu a ≤ b f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ (a,b) iv Nếu a ≤ b b b ∫ f ( x)dx ≤ ∫ b a a ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx ; f ( x) dx ; a a v Nếu f hàm chẵn b a ∫ −a a f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx ; f hàm lẻ a ∫ f ( x)dx = −a Định lý (Định lý giá trị trung bình) : Giả sử f(x) khả tích [a,b] đoạn m ≤ f(x) ≤ M Khi đó,∃µ ∈ [m,M] cho : b ∫ f(x)dx = µ (b – a) a Nói riêng, f liên tục [a,b] ∃ c∈ [a,b] để GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang1 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO b ∫ f(x)dx = f(c) (b - a) a Giá trị µ = b f(x)dx gọi giá trị trung bình f [a,b] b − a ∫a III-Phương pháp tính tích phân: 1.Phương pháp đổi biến số : a.Đổi biến dạng u =u(x) Định lý 3ù : Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục x ∈ ( a,b) có f(x)dx = g(u)du (a,b) ta có : ∫ f ( x)dx = ∫ g (u )du b Đổi biến dạng x = ϕ(t) Định lý : Giả sử f(x) hàm số liên tục x [a,b] x = ϕ(t) hàm số khả vi, đơn điệu t [a,b] lấy giá trị [a,b] Khi ta có: ∫ f ( x)dx = ∫ f [(ϕ (t ))]ϕ ' (t )dt 2.Phương pháp tích phân phần : Định lý : Giả sử u =u(x), v=v(x) có đạo hàm liên tục x ∈ ( a,b) Khi (a,b) ta coù : ∫ u(x ).v' (x )dx = u(x ).v(x ) − ∫ v(x ).u' (x )dx 3.Tích phân hàm hữu tỉ : a.Tích phân hàm hữu tỉ đơn giản : dx (i) ∫ ax + b = a ln ax + b + C (ii) ∫ (ax + b ) (iii) ∫x dx k = ,a≠0 1 +C , − k a (ax + b )k −1 Adx + bx + c Phương pháp: + Biến đổi x2 + bx + c = + Đặt u = x + (iv) k ≠ 1, a ≠ ( Ax + B )dx + bx + c ( x+ b )2 − b − 4c b chuyeån tích phân cho vềdạng Adu ±1 ∫u ∫x Ab B− Ax + B A  2x + b  Phương pháp :Biến đổi =  + x + bx + c  x + bx + c  x + bx + c du Sau đưa tích phân cho dạng : ∫ tích phân dạng (iii) u 2x + Ví dụ : Tính ∫ dx x + x +1 GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang2 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG ∫x 2x + dx = + x +1 SVTH-NGÔ THỊ THANH THAÛO 2x + dx dx + ∫ + x +1 x + x +1 d ( x + x + 1) 2dx  1 =∫ arctg +∫ = ln( x + x + 1) +  x +  +C 2 x + x +1 3 1  x +  + 2  P (x ) dx b> Tích phân hàm hữu tỉ dạng tổng quát :daïng ∫ n Qm ( x ) ∫x b1 Baäc P n (x) < baäc Q m (x) (n < m) xdx −1 x A Bx + C A x + x + + (Bx + C )( x − 1) x Ta coù : = = = + (x − 1) x + x + x − x + x + (x − 1) x + x + x −1 Ví dụ : Tính I = ∫x ( ( ) => x = ( A + B)x + ( A – B + C)x + A – C Đồng thức hai vế (*) ta : ) ( ) (*)  A = A + B = O    A − B + C = ⇔ B = − A − C =    C =  dx x −1 − ∫ dx ∫ x −1 x + x +1 3 1 1 arctg = ln x − − ln x + x + + x + +C 3  2 b2 Baäc P n (x) ≥ baäc Q m (x) ,( n ≥ m) ⇒I= Ta chia P n (x) cho Q m (x), phaân tích Ví dụ 3: Tính I = Ta có : Pn ( x) đưa dạng (b1) Q m ( x) x + 2x ∫ x + dx x + 2x ∫ x + dx = x dx +1 x2 1  1 = − ln x + + ln x − x + + arctg x− +C 2 3 ∫ xdx + ∫ x 4) Tích phân hàm vô tỉ: m r a) Daïng ∫ R( x, x n , x s )dx; R hữu tỉ;m,n,r,s ∈ N Phương pháp :Giả sử k bội số chung nhỏ mẫu số n,…,s ( r m =, , = ) Đặt x = tk, ta được: n s m r k-1 m r k ∫ R (x, x n , ,x s )dx = ∫ R (t , t , ,t )k t dt, thành tích phân hàm hữu tỉ GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang3 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG Ví dụ 4: Tính I = I= ∫ ∫ x( x −8 x x + 1) SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO dx Đặt x= t8 ta được: t −1 tdt dt 8t dt = 8∫ − 8∫ =4 ln(t + 1) − 8arctgt + C t (t + 1) t +1 t +1 =4ln( x + )-8arctg x +C m r  ax + b  n  ax + b  s b) Daïng ∫ R ( x,   , ,  )dx  cx + d   cx + d  Phương pháp:+Gọi k bội số chung nhỏ n,… s ax + b = t k , ta hữu tỉ hóa tích phân cx + d x + dx dx = ∫3 Ví dụ5: Tính I = ∫ x −1 x +1 ( x − 1)( x + 1) + Đặt t3 +1 − 6t dt 2t x +1 => x = , dx = ; x+1 = Đặt t = x −1 t −1 (t − 1) t −1 Do : I = ∫t 3dt = -ln −1 t −1 + 2t + x +1 ln t + t + + 3arctg + C , với t = x −1 c) Daïng ∫ R( x, ax + bx + c)dx, a ≠ Phương pháp: +Nếu a>0 đặt Từ đó: x= ax + bx + c = ± a x + t t2 − c b − at Phép biến đổi đưa tích phân tích hữu tỷ + Nếu c>0 đặt ax + bx + c = xt ± c Từ đó: x = ± ct − b a −t2 + Nếu ax2 +bx +c có hai nghiệm thực a vàb đặt : ax + bx + c = ( x − a)t Bởi : ax2 + bx + c = a(x- a)(x-b) = (x-a)2t2 nên ta có : x = Ví dụ 6: Tính I = Đặt I= ∫ aβ − a t a − t2 dx x2 + x +1 x + x + = x+t x = 2(−t + t − 1) t −1 ,dx = dt − 2t (1 − 2t ) 2(−t + t − 1) − 2t 2dt d (1 − 2t ) ∫ − t + t − (1 − 2t ) dt = ∫ − 2t = −∫ − 2t = − ln − 2t + C = -ln + x − x + x + +C Ví dụ 7: Tính I = ∫ dx x + 3x − GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang4 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG Đặt => I = x + 3x − = ( x + 4)t x= 2dt ∫1− t = ln 1+ t +C = ln 1− t SVTH-NGÔ THỊ THANH THAÛO + 4t ,dx= 1− t2 x + + x −1 x + − x −1 10tdt (1 − t ) 2 +C Tích phân hàm lượng giác : a Dạng ∫ R(cos x, sin x)dx, ( với R(.,.) biểu thức hữu tỉ sinx, cosx) x 1− t2 2t 2dt Khi : sin x = , cosx = dx= 2 1+ t 1+ t2 1+ t Phương pháp chung :+ Đặt t = tg +Biến đổi tích phân dạng tích phân hàm hữu tỉ 2t 2dt ; sinx= 1+ t2 1+ t 2 2dt dx ⇒∫ = ∫ = − +C = − +C 2t x sin x + 1+ t 1+ t +1 + tg 1+ t2 Ví dụ 8: Tính dx x ∫ sin x + Đặt t = tg => dx = * Đặc biệt : Nếu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đặt t = cosx Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đặt t = sinx Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) đặt t = tgx b Daïng ∫ cos ax cos bxdx, ∫ sin ax sin bxdx, ∫ cos ax sin bxdx, Phương pháp : Biến đổi hàm dấu tích phân thành tổng Ví dụ 9: Tính ∫ cos 3x sin xdx Ta coù : ∫ cos 3x sin xdx = 1 11  ∫ sin xdx + ∫ sin xdx = −  cos x + cos x  + C c Daïng ∫ sin n xdx; ∫ cos n xdx Phương pháp : + Cách : Áp dụng dạng a) phần đặc biệt + Cách : Nếu n chẵn (n nhỏ) dùng công thức hạ bậc: cos2x = + cos x − cos x ,sin2x = đưa cosnx, sinnx hàm lượng giác có bậc 2 nhỏ dùng công thức tích phân phần, suy công thức truy hồi Ví dụ10: Tính ∫ cos xdx  + cos x  Ta coù: ∫ cos xdx = ∫   dx = ∫ + cos x + cos x dx    1 = ∫  + cos x + (1 + cos x )dx 4  1 = x + sin x + sin x + C 32 GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 ( ) Trang5 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO cos x ∫ sin x dx Ví dụ11:Tính I = Đặt t = sinx, dt = cosxdx ⇒I= (1 − t )dt t2 sin x +C = − + = + ln t C ln sin x ∫ t 2 §2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG I-Tích phân có cận vô hạn ( Tích phân suy rộng loại 1) 1-Định nghóa : ♦Định nghóa : Giả sử f(x) xác định [a,+∞) khả tích [a,b], ∀ b> a b * lim b − > +∞ gọi tích phân suy rộng f(x) [a, +∞) kí hiệu ∫ f ( x)dx a +∞ +∞ a a ∫ f ( x)dx Tức ∫ f ( x)dx = laø b lim b − > +∞ ( 1a) ∫ f ( x)dx a ♦Định nghóa : Giả sử f(x) xác định (-∞, b] ,khả tích [a,b], ∀ a < b b * lim a → −∞ b ∫ gọi tích phân suy rộng f(x) (-∞,b] kí hiệu ∫ f ( x)dx a f ( x)dx Tức −∞ b ∫ f ( x)dx = lim b a − > −∞ −∞ (1b) ∫ f ( x)dx a ♦Định nghóa : Giả sử f(x) xác định (-∞, +∞) , khả tích [a,b],b∈R, a < b, tích phân suy rộng f(x) ( -∞,+∞) kí hiệu xác định sau : +∞ ∫ +∞ c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx f ( x)dx + −∞ −∞ với c∈ R ( 1c) c Nếu tích phân suy rộng (1a), (1b), 1c) số hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại số vô hạn không tồn ta nói phân kỳ Ví dụ12 :Tính tích phân suy roäng sau : a +∞ dx ∫1 (x + 1) ; b) dx ∫ x+3 −∞ Giaûi a +∞ dx dx  = lim − = lim  − + ∫1 (x + 1) = blim ∫ b − > +∞ − > +∞ ( x + 1) b − > +∞ + x b +  1 b b 1 = 2 ⇒Tích phân suy rộng hội tụ b 1 dx dx = lim ln x + a = lim (ln − ln a + ) = −∞ ∫ ∫−∞ x + = alim − > −∞ a − > −∞ x + a − > −∞ a ⇒Tích phân suy rộng phân kỳ 2.Tiêu chuẩn hội tụ : * Trường hợp f(x) ≥ : GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang6 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO +∞ Định lý :Nếu f(x) ≥ [a,+ ∞) ∫ f ( x)dx hội tụ ∃ M >0 a cho b ∫ f ( x)dx ≤ Μ , ∀b ∈[a,+ ∞) a Định lý : ( Tiêu chuẩn so sánh1) Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,b], ∀ b ≥ a vaø f(x) ≤ g(x) ,∀x ≥ a Khi : +∞ + Nếu ∫ g ( x)dx hội tụ +∞ ∫ f ( x)dx a +∞ + Nếu ∫ a hội tụ a +∞ f ( x)dx phân kỳ ∫ g ( x)dx phân kỳ a Định lý : ( Tiêu chuẩn so sánh ) : Giả sử f(x) g(x) không âm khả f ( x) =k: g ( x) tích [a,b], ∀ b ≥ a vaø lim x − > +∞ a)Neáu k = 0, +∞ +∞ a a ∫ g ( x)dx hội tụ => ∫ f ( x)dx hội tụ b)Nếu < k < + ∞, hai tích phân tính chất +∞ c)Nếu k = + ∞ : ∫ f ( x)dx hội tụ => +∞ ∫ g ( x)dx +∞ phân kỳ => ∫ g ( x)dx a Định lý 9: +∞ ∫ a Ví dụ 13: Xét x ∫ + x dx b dx Do ∫ với x>1 ta có: phân kì ( α = < 1) nên x Ví dụ 14: Xét phân kỳ −∞ dx ∫ f ( x)dx (b < 0) hội tụ a>1,phân kỳ a ≤ ∫ xα +∞ +∞ a dx (a > 0) xa +∞ hội tụ a a +∞ x ∫ + x dx x x > = 1+ x x+x x phaân kì +∞ x3 ∫2 + x dx x3 ≈ x-> +∞, tức k = x 1+ x +∞ +∞ x3 Mà ∫ dx phân kỳ nên ∫ dx phân kỳ 2 x 1+ x Ta có : • Trường hợp f(x) có dấu tùy ý : Định lí 10 a: Tích phân +∞ ∫ f ( x)dx hội tụ : a    ( ∀ε > 0) ( ∃Α > 0) ( ∀b > A)( ∀b’> A)  GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 b ∫ b'  f ( x ) dx 〈ε    Trang7 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO +∞ Định lí 10 b : Nếu +∞ ∫ f ( x) dx hội tụ ∫ f ( x)dx hội tụ a + Nếu +∞ a ∫ f ( x) dx hội tụ, ta nói +∞ +∞ a + Nếu +∞ ∫ f ( x)dx hội tụ tuyệt đối a ∫ f ( x)dx hội tụ a f ( x) dx phân kỳ ta nói ∫ a +∞ ∫ f ( x)dx hội tụ a không tuyệt đối bán hội tụ a Với tích phân suy rộng ∫ f ( x)dx −∞ +∞ ∫ f ( x)dx ta có tiêu chuẩn tương tự −∞ II-Tích phân suy rộng loại : 1-Định nghóa : Giả sử f(x) khả tích [a,c], ( ∀c∈ [a,b]) vaø lim f ( x) ) = ∞ x − >b − Nếu tồn giới hạn ( hữu hạn hay vô cùng) b c lim c − >b − ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx (1) a a giới hạn gọi tích phân suy rộng ( loại 2) f(x) [a,b] Nếu (1) hữu hạn ta nói tích phân suy rộng b ∫ f ( x)dx hội tụ, giới hạn không tồn a vô ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Định nghóa hoàn toàn tương tự phát biểu cho trường hợp lim f ( x) ) = ∞: x −>a + b ∫ f ( x)dx = ∫a f ( x)dx b lim c −>a + c Neáu f(x) có điểm gián đoạn vô d ∈(a,b) ta định nghóa b d b a a d ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ( tức tích phân hội tụ hai vế tích phân phải hội tụ ) 2.Tiêu chuẩn hội tụ : Định lí 11: b ∫ dx (b > 0) xα dx ∫ x a (a < 0) hoäi tụ < α < , phân kì α ≥ a b - Định lí 12 : Nếu f(x) ≥ [a,b] -> +∞ x -> b ∫ f ( x)dx hội tụ a c ∫ f ( x )dx ≤ M cố định, ∀ c ∈ [a,b) a Định lí 13: Nếu f g không âm lân cận trái b, ta có f(x) ≤ g(x) Khi : GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang8 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO b b a ∫ g ( x)dx hội tụ ∫ f ( x)dx hội tụ a a b b ∫ a b f ( x)dx phân kì g ( x)dx phân kì ∫ a Định lí 14 : Giả sử f g không aâm vaø lim x − >b − f ( x) =k g ( x) b b a.Neáu k = : ∫ g ( x)dx hội tụ => a ∫ f ( x)dx hội tụ a b Nếu < k < +∞ : hai tích phân tính chất b c Nếu k = + ∞ : ∫ f ( x)dx hội tụ => ∫ g ( x)dx hội tụ b a a b b ∫ g ( x)dx phân kì => ∫ f ( x)dx phân kì a a Định lí 15 : Nếu b ∫ f (x )dx b hội tụ tuyệt đối ( tức ∫ f ( x) dx hội tụ ) hội a a tụ Ví dụ15 : Xét hội tụ ( ) ln + x ∫0 e sin x − dx Ta thấy hàm dấu tích phân (0,1] nên áp dụng ĐL so sánh Khi x->0+ ta có : ln(1+ x ) ∼ x , esinx-1 ∼sinx ∼ x ( ) ln + x x Do : sin x ∼ ∼ x e −1 mà x2 xét hội tụ ∫ dx x hội tụ ( a < < 1) nên tích phân cần §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I Tính diện tích hình phẳng : 1.Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x) liên tục đơn trị [a,b] đường x=a, x=b với f(x) ≥ g(x), ∀x ∈[a,b] tính theo công thức : S= b ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx y a f(x) s g(x) GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 a x b Trang9 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong cho theo phương trình tham số x = x(t), y = y(t) đường x = a, x= b, trục Ox, tính theo công thức : S= t2 ∫ y(t ).x' (t ) dt với a = x(t ), b= x(t ) t1 x(t), x’(t), y(t) liên tục [t , t ] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f(x) trục Ox [a,b] tính theo công thức : S= y b ∫ f ( x) dx a = c ∫ a b c f ( x)dx − ∫ f ( x)dx b x a c Ví dụ 16:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x2, y = Giải : Diện tích hình phẳng cần tìm S = S +S  x3 x2  Với : S = ∫  x − dx =    S = ∫  x − y = 2x 8 = =  dx =  2 Vaäy S = S +S = + = (ñvdt) 3 y x2 , y =2x 2 x y = x2 S1 x II.Thể tích vật thể : 1- Vật thể : Thể tích vật thể hữu hạn giới hạn mặt cong mặt phẳng x = a, x = b có tiết diện cắt mặt phẳng vuông góc trục Ox x, a≤ x ≤ b S(x) liên tục [ a,b] tính theo công thức : b V = ∫ S ( x)dx a 2- Vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tròn xoay hình thang cong giới hạn đường x = a, x = b, y = b f(x) ≥ liên tục [a,b], trục Ox , quay quanh trục Ox tính theo công thức : V = π∫ f ( x )dx Ví dụ 17: Tính thể tích vật tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = x2, y = x quay quanh trục Ox GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang10 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO Giải : Thể tích vật thể tròn xoay cho : V = V1 - V Với V thể tích tròn xoay hình phẳng giới hạn y = x , x=1, trục Ox, quay quanh Ox : V1 = π ∫ ( ) x2 x dx = π 2 = y = x2 y y= x π ø V hình phẳng giới hạn đường y = x2 , x=1,trục Ox, quay quanh Ox: V = π∫ (x ) 2 Vaäy V = π − π x5 dx = π = = π 3π (đvtt) 10 III Độ dài cung phẳng : Độ dài cung L từ A (a,f(a)) đến B (b,f(b)) đường cong y = f(x) có đạo hàm liên tục [a,b] tính theo công thức : (đdL)= b ∫ + ( y ') dx a Ví dụ 18: Tính độ dài d cung phẳng đường y = lnx từ điểm có hoành độ x = đến điểm có hoành độ x = Giải : y Độ dài cung phẳng AB cho : d= ∫ + [(ln x )'] dx = d= ∫ x + => u = x + => xdx = udu ∫ (1 + 1 +   dx x 3 Đặt u = 2 A lnx B du ) = 1+ ln u −1 2 Độ dài cung L từ A (x(t ), y(t )) đến B(x(t ), y(t )) đường cho theo phương trình tham số x = x(t), y = y(t) có x’(t), y’(t) liên tục biến thiên đơn điệu [t , t ] tính theo công thức : t2 (ñdL) = ∫ ( x' t ) + ( y' t ) dt t1 IV Dieän tích mặt tròn xoay : Diện tích mặt tròn xoay cung đường cong y = f(x), x∈[a,b] quay quanh trục Ox tạo thành tính theo công thức : b S = 2π∫ f ( x ) + f ' ( x )dx a GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang11 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO Ví dụ19: Tính diện tích mặt xuyến đường tròn x2 + (y – b)2 = a2 ( b>a>0) quay xung quanh truïc Ox tạo thành Giải : Nửa đường tròn có phương trình y = b + a − x , nửa có phương trình y = b - a − x , x ∈[-a,a] Mặt xuyến có diện tích diện tích hai nửa đường tròn quay xung quanh Ox tạo thành Do : a S = 2π ∫ b + a − x + −a a = 4πab ∫ −a x2 x2 2 dx + dx π b − a − x + ∫−a a2 − x2 a2 − x2 a dx x = πab arcsin 2 a a −x a = πab.2 −a π = π ab V- Một vài ứng dụng vật lý : 1-Tính khối lượng : Giả sử có đoạn vật chất [a,b] nằm trục Ox x ∈[a,b] đoạn vật chất có mật độ khối lượng p(x) b Khối lượng đoạn vật chất tính theo công thức : m = ∫ p( x )dx a 2-Tính công lực biến thiên Giả sử có chất điểm có khối lượng chuyển động từ a đến b tác động lực f hướng theo trục Ox, lực điểm x ∈[a,b] có cường độ F(x) Công thức sinh lực làm chất điểm chuyển động từ a đến b tính theo công thức : b A = ∫ F( x )dx a Ví dụ 20: Lực đẩy hai điện tích e e dấu đặt cách khoảng r cho công thức : F = e1e Giả sử điện tích e đặt cố định r2 tạiđiểm gốùc có hoành độ x = Hãy tính công sinh làm cho điện tích e dịch chuyển từ điểm M có hoành độ r đến điểm M có hoành độ r p dụng công thức ta có : A= e1e e e (r − r ) dr = 2 r1 r2 r1 r r2 ∫ GIAÙO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang12 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ SVTH: NGÔ THỊ THANH THẢO PHẦN II TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG §1-KHÔNG GIAN BANACH I-Định nghóa không gian tuyến tính định chuẩn : 1-Định nghóa: * Định nghóa1:Giả sử E không gian tuyến tính trường vô hướng K vàø R* = [0,+∞ ) ⊂ R Hàm số P : E → R* (x → P(x) ) gọi chuẩn E , thỏa mãn điều kiện sau : (I) P(x) ≥ ; P(x) = x = (II) P(λx) = |λ|P(x) , với x ∈ E vaø λ ∈ K (III) P(x+y) ≤ P(x) + P(y) , với x , y ∈ E * Định nghóa : Một không gian tuyến tính E mà có xác định chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Giá trị chuẩn x ∈ E thường ký hiệu x Khi điều kiện từ (I) đến (III) viết sau: (I) x ≥ ; (II) ||λx || = x = x= |λ| x (III) x + y ≤ x + y ; ∀ x,y ∈ E 2-Ví dụ 1: K (K = R hay C ) không gian định chuẩn với chuẩn ơclic thông thường : n x = x1 + + x n 2 x = (x ,…, x n ) ∈ Kn Và trường vô hướng K = K1 không gian định chuẩn II- Dãy Cauchy : Một dãy {x n } không gian chuẩn E gọi dãy (hay dãy Cauchy) : * lim x n − x m = ,tức với số ε > cho trước , tồn số n ∈ N n, m →∞ cho với n > n , m > n (n,m ∈ N* ) ta coù : xn − xm < ε III-Sự hội tụ không gian định chuẩn: Cho x n dãy không gian định chuẩn E: + x n → x o (dãy x n hội tụ tới x o ) nghóa x n − x o → + Neáu x n → x o x n → x o Hay chuẩn x hàm liên tục GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang 14 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ SVTH: NGÔ THỊ THANH THẢO + Mọi dãy hội tụ bị chặn, tức là: x n hội tụ ∃ k > cho: xn ≤ k IV- Định nghóa không gian Banach : 1- Định nghóa :Một không gian tuyến tính định chuẩn E gọi không gian tuyến tính định chuẩn đầy ( gọi tắt không gian chuẩn đầy ) dãy E hội tụ Không gian chuẩn đầy gọi không gian Banach 2- Ví dụ 2: a) Trường vô hướng K với chuẩn nêu ví dụ 1.3 không gian Banach b) Giả sử E , E , … , E n không gian Banach với chuẩn tương ứng : x1 , x , … , x n , với x i ∈ E i , i= 1, n Khi không gian tích : E = E1 × E2 × … × En với chuẩn : x = x1 + x + … + x n , x = (x , … , x n ) ∈ E không gian chuẩn ♦ Bây ta nói hội tụ E Ta có dãy : x k = ( x (k) , x (k) , … , x n (k) ) → x = ( x , … , x n ) Khi :x j (k) → x j ( k → ∞ , j = 1, n ) Thaät vaäy, ta coù : (k ) (k ) (k ) (k ) x1 , , x n − ( x1 , , x n ) = x1 − x1 , , x n − x n ) ( ( ) = x1(k ) − x1 + … + x n (k ) − x n → : x j (k ) − x j → với j = 1, n ♦Bây ta chứng minh E không gian Banach Giả sử {x k } dãy E Khi với j = 1, n , ta coù : xj (k ) − xj (1) ≤ x1 (k ) − x1 { } (1) + … + x n (k ) − x n (1) = x1(k ) − x1(1) , , x n (k ) − x n (1) Do , daõy x j (k ) , j = 1, n dãy E j , j = 1, n (k) Vì ta có : x j → x j ∈ E j , j = 1, n Chứng tỏ : {x k } ⊂ E hội tụ tới x = (x , …, x n ) ∈E Từ , K không gian Banach nên Kn không gian Banach §2 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ I-Tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân không đổi : 1- Định nghóa : Cho hàm f :D × U → F với giá trị không gian Banach F , D tập compac Rn U không gian mêtric Giả sử với u ∈ U hàm x a f (x,u) ∈ F khả tích D Khi tích phân ∫ f (x, u )dx tồn xác định hàm D I :U → F GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang 15 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ SVTH: NGÔ THỊ THANH THẢO I(u) = ∫ f (x, u )dx ,u∈U D Biểu thức vế phải đẳng thức gọi tích phân phụ thuộc tham số u ∈ U với miền lấy tích phân không đổi D 2- Tính chất : a-Tính liên tục : Định lý1 : Giả sử f : D x U → F hàm với giá trị không gian Banach F ,D ⊂ Rn tập compac tích , U không gian mêtric Khi hàm I :U → F I(u) = ∫ f (x, u )dx , u ∈ U laø xác định liên tục U D b- Tính khả vi: Định lý2 :Giả sử D ⊂ Rn tập compac tích , U tập mở không gian Banach E f :D × U → F hàm liên tục D × U với giá trị không gian Banach F Nếu : ∂f : D ×U → L ( E , F ) ∂u ∫ f (x, u )dx , u ∈ U tồn liên tục D x U , hàm I(u) = D xác định khả vi liên tục U Ngoài ∂f (x, u )dx ,với u ∂ u D I’(u) = ∫ ∈U x u Ví dụ3: Tính đạo hàm hàm số :F(u) = ∫ arctg dx (u ≠ 0) x xdx = - ln u + x F’(u) = ∫ u dx = - ∫ 2 x u + x 1+ u − ( ) = u2 ln 1+ u2 c- Tính khả tích : Định lý 3:Giả sử D U tập compac tích Rn Rm tương ứng, F không gian Banach Nếu hàm f : D × U → F liên tục hàm I: U → F cho I(u) = ∫ f (x, u )dx khả tích U D ∫ I (u )du U =   ∫ du ∫ f (x, u )dx  U D = ∫ dx ∫ f (x, u )du D Ví dụ 4: Xét hàm vô hướng : (x , y) a xy với x ( < a < b ) Khi tích phân : I(x) = b ∫x y dy U ∈ [ ,1 ] , y ∈ [ a , b ] , x ∈ [ , ] laø haøm khả tích đoạn [ , ] a GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang 16 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ Vậy ta có : ∫ I ( x )dx = b ∫ dx ∫ x = y SVTH: NGÔ THỊ THANH THẢO dy = b ∫ dy ∫ x  x y +1  ∫a  y +  dy = b dx a a y b dy b +1 ∫ y + = ln a + a II-Tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi 1-Định nghóa : Cho đoạn [ a , b] ⊂ R U không gian mêtric Khi với hai hàm α vàβ từ U vào [ a , b ] Ta xét tập Dαβ = { (x, u) ∈ R x U : x ∈ [α (u) , β (u) ] } Hiển nhiên : [α(u) , β (u) ] x {u} ⊂ Dαβ với u ∈ U , Dαβ tập đóng α vàβ hai hàm liên tục Bây cho f : Dαβ → F hàm liên tục từ Dαβ vào không gian Banach F cho với u ∈ U,hàm x a f(x,u) khả tích [α(u), β(u)] Như , xác định hàm J : U → F J(u) = β (u ) ∫ f (x, u )dx , u ∈ U α (u ) Đó dạng tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân D(u) = [α(u) , β (u) ] phụ thuộc tham số 2-Tính chất : a-Tính liên tục : Định lý : Giả sử U không gian mêtric , α , β : U → [ a, b ] ⊂ R hai hàm liên tục f hàm liên tục từ lân cận mở G Dαβ R xU vào không gian Banach F Khi hàm J(u) = β (u ) ∫ f (x, u )dx , u ∈ U α (u ) xaùc định liên tục U b-Tính khả vi : Định lý2: Cho U tập mở không gian Banach E vaø α , β : U → [ a, b ] hai hàm khả vi liên tục Giả sử f : G → F hàm liên tục lân cận mở G Dαβ R x U cho tồn đạo hàm riêng (x , u) ∈ Nếu ∂f : Dαβ → L(E ,F) liên tục hàm J(u) = ∂u ∂f ∂u Dαβ β (u ) f ( x, u )dx , u ∈ U ,xác định ∫ α( ) u khả vi liên tục U Ngoaøi ra: ∂f J’(u) = ∫ (x,u)dx + β’(u) f[β (u) , u ] – α’ (u) f [ α (u) , u ] ∂u Ví dụ5 : Tính J’(u) : J(u) = GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 ln(1 + ux ) dx , (u ≠ 0) x u ∫ Trang 17 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ SVTH: NGÔ THỊ THANH THẢO (điểm x = điểm kỳ dị bỏ ) ln(1 + ux) 1+ u2 Ta coù : J’(u) = ∫ = dx + ln + ux u u u u ln(1 + u ) = ln + u u u ( + ) II-Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận 1- Định nghóa : Xét hàm f : [ a , + ∞ ) × U → F , với [ a , + ∞ ] ⊂ R , U tập tùy ý, F không gian Banach +∞ ∫ f (x, u )dx ∈ F Giả sử với u ∈ U , tích phân hội tụ , tức tồn giới a hạn A lim ∫ f ( x, u )dx với moïi u A→ +∞ a +∞ ∈ U Khi ñoù ϕ (u ) = ∫ f (x, u )dx , u ∈ U (1) a hàm từ U → F Tích phân dạng (1)làtích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận Tương tự , ta có hàm ψ : U → F cho ψ(u) = b ∫ f (x, u )dx ,u∈U (2) −∞ hàm χ : U → F dạng χ(u)= +∞ ∫ f (x, u )dx , u ∈ U (3) −∞ ta hiểu +∞ ∫ f ( x, u )dx = −∞ c ∫ f ( x, u )dx + −∞ +∞ ∫ f (x, u )dx phải hội tụ với c ∈ ( -∞ , +∞ ) Ví dụ5: Xét hàm f : [ , + ∞ ) × R → R cho : +∞ Khi : u = ϕ (u) = ∫ ue −ux , hai tích phân ôû veá c f (u,x) = u e-u x dx Hãy tìm miền xác định hàm số ϕ A Ta coù : ∫ ue − ux dx = −e − ux A -Au = 1–e neân lim ∫ ue −ux dx = lim (1 − e − Au ) = A A → +∞ A → +∞  voi u >  =  voi u = − ∞ voi u <  Vì miền xác định haøm ϕ laø [ , + ∞ ) 2- Sự hội tụ : a- Định nghóa : Ta bảo tích phân +∞ ∫ f (x, u )dx hội tụ F hàm ϕ a U, với số ε > cho trước , tồn A > a cho với A > A u ∈ U , ta coù +∞ ∫ f (x, u )dx A ta coù : sin x 3 dx ≤ < =ε x A A0 Với u ≥ Chứng tỏ tích phân nói hội tụ R với u ∈ [ , +∞ ) b Định lý 3ù : (Dấu hiệu hội tụ ) Đối với tích phân +∞ ∫ f (x, u )dx ( giả sử tồn với u ∈ U ) a Nếu có hàm Φ : [ a , + ∞ ) → R+sao cho f (x, u ) ≤ Φ(x ) với u ∈ U x∈[a,+∞) Và tích phân +∞ +∞ a a ∫ f (x )dx hội tụ tích phân ∫ f (x )dx hội tụ u ∈ U Ví dụ 7: Xét hội tụ tích phân : +∞ ∫e −ux sin xdx (3) nửa đoạn [ u , +∞ ), u số dương GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang 19 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ SVTH: NGÔ THỊ THANH THẢO Với x ≥ với u ≥ u > 0, ta coù : e −ux sin x ≤ e −ux ≤ e −u x Mặt khác ta coù : +∞ ∫e −u0 x +∞ − e −u0 x dx = u0 = tức u0 +∞ ∫e −u0 x dx hội tụ Vậy tích phân (3) hội tụ nửa ñoaïn [ u o , + ∞ ) - Tính chất tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận : a-Tính liên tục : Định lý 4: Nếu hàm f : [ a , +∞ ) × U → F , U không gian Mêtric F không gian Banach , liên tục tích phân +∞ ∫ f (x, u )dx hội tụ a u ∈ U, hàm ϕ : U → F cho bởi: ϕ (u) = +∞ ∫ f (x, u )du ,u ∈ U liên tục U a b- Tính khả tích : Định lý : Giả sử thoả mãn tất điều kiện định lý tập U ⊂ Rn compac tích Khi hàm ϕ : U → F cho : ϕ (u ) = +∞ ∫ f (x, u )dx , u ∈ U khả tích U a +∞ +∞ a a Hơn ta có : ∫ ϕ (u )du = ∫ du ( ∫ f ( x, u )dx) = ∫ dx( ∫ f ( x, u )du ) U U U c-Tính khả vi: Định lý :Gỉa sử U tập mở trong không gian Banach E,F không gian Banach Gỉa sử hàm f:[a,+∞) x U →F liên tục đạo hàm riêng liên tục [a,+∞) x U.Nếu tích phân +∞ ∫ f ( x, u )dx hội tụ với u∈ U a ∫ +∞ a ∂f (x,u)dx hội tụ u ∈ U , hàm: ∂u ϕ : U → F với ϕ (u) = +∞ ∫ f (x, u )dx , u ∈ U khả vi U a GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 ∂f ∂u Trang 20 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ ' +∞  ϕ’ (u) =  ∫ f ( x, u )dx  = a  ∫ +∞ a Ví dụ : Tính tích phân I= SVTH: NGÔ THỊ THANH THẢO ∂f (x,u)dx , u ∈ U ∂u ∫ +∞ sin x dx x Tích phân , biết hội tụ Để tính giá trị ta xét hàm soá sau I (u) = ∫ +∞ e −ux sin x dx , u ∈ [ 0,1 ] x -ux Rõ ràng hàm f(x,u) = e +∞ sin x dx x liên tục miền[0,+ ∞) x[u ,1] sin x dx hội tu ï u ∈ [ 0,1 ] Do hàm ϕ liên tục x [ 0,1 ] I = ϕ (0) = lim ϕ (u ) Hơn ∫ e −ux u →0 + Haøm ϕ : [ 0,1 ] → R khả vi Thật ,hàm f’(u) liên tục [0,+∞ ) x[ u ,1 ] , (0 , u < 1) tích phân : +∞ ∫ a +∞ f u' ( x, u )dx = - ∫ e −ux sin xdx hội tụ R u ∈ [ u ,1 ] a Vậy hàm ϕ khả vi có : +∞ ϕ’(u) = - ∫ e −ux sin xdx , với < u ≤ +∞ Nhưng ϕ’(u) = - ∫ e −ux sin xdx = e −ux a Do : Vì  +∞ +∞ α α sin x x ∫ ϕ ' (u)du = ϕ (u ) = -arctgu u sin x + cos x + ∞ =- 2 o 1+ u 1+ u +∞ α = arctgα - π ≤ 1với x nên ϕ (u)≤ GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 +∞ ∫e a −ux dx = u Trang 21 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ SVTH: NGÔ THỊ THANH THẢO Do : lim ϕ (u ) = u → +∞ Vaäy ϕ (+∞ ) - ϕ (α) = arctg α - π Hay ϕ ( u) = - π -arctg u , ϕ (+∞) = π π Do : I = lim ϕ (u ) = lim( − arctgu ) = u →0 + Vaäy : I = ∫ u →0 + sin x π dx = x +∞ IV-MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ Tích phân phụ thuộc tham số ứng dụng để tính số tích phân : 1.Tính tích phân Dirichlet có dạng : I= ∫ +∞ sin x dx x Để tính tích phân ta xuất phát từ nhận xét : +∞ = x ⇒I= ∫e − xt dt +∞ +∞ − xt ∫ sin x( ∫ e dt )dx = ∫ +∞ 0 (∫ +∞ 0 e − xt sin xdx)dt = +∞ dt ∫ 1+ t = π 2 Tính tích phân Gauss có dạng : +∞ J = ∫ e − x dx Baèng cách biến đổi x = ut (trong u số dương tùy ý ) ta có : +∞ I= u ∫ e −u t dt 2 Nhaân vế đẳng thức với e −u lấy tích phân từ đến vô , ta coù : +∞ J ∫e −u +∞ du = J = ∫ (e −u +∞ +∞ − (1+ t ∫(∫e +∞ u ∫ e −u t dt )du 2 +∞ )u udu )dt = dt π = ∫ 2 1+ t ⇒ J= +∞ ∫e − x2 dx = π Tích phân Fresnel có dạng : I= +∞ ∫ sin x dx +∞ , J= ∫ cos x dx Đổi biến x = t ,ta có : GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang 22 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ I= SVTH: NGÔ THỊ THANH THẢO + ∞ sin t + ∞ cos t , J= dt dt ∫0 ∫0 t t Sử dụng bất đẳng thức : Ta có : ∫ +∞ sin t ⇒ I= J = π π t − tu du +∞ du = π π 2 +∞ +∞ ∫e +∞ − t (α + x ) + x2 ) Vì : ∫ e −tx cos βxdx = +∞ ∫e −α t − +∞ +∞ 2 β2 4t β2 π − 4t e t dt t +∞ − a x − b x2 ∫e α,β >0 dt = ∫ e −α t dt ∫ e −tx cos βxdx = π +∞ −α z − β 4z2 ∫e dz = Vì : dt 0 +∞ 0 ⇒y= ∫ cos βx ∫ e −t (α ⇒ y= π 2 = α + x2 π π = Tích phân Laplace có dạng : +∞ +∞ sin βx cos βx y= ∫ , z = dx x dx , ∫ 2 α + x α + x 0 Ta coù : +∞ − tu ∫ du ∫ e sin tdt π ∫ 1+ u +∞ 2 +∞ = ∫e − tu ∫ sin tdt ∫ e du = π t = +∞ dt = +∞ dx = e − +∞ ab ∫e − ( ax − b ) x π −αβ e 2α dx 0 = a e −2 +∞ ab ∫e −t dt = π −2 e a ab Tích phân Laplace thứ hai nhận đươc từ tích phân thứ nhất: dy π −αβ z= − = e dβ GIÁO DỤC TIỂU HỌC –K6 Trang 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO Thái Xuân Tiên (chủ biên) – Đặng Ngọc Dục Toán cao cấp (Phần I : Giải tích) Trần Đức Long – Nguyễn Đình Sang – Hoàng Quốc Toàn Giáo trình giải tích (Tập 2) NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ,2001 Phan Quốc Khánh Phép tính vi tích phân (Tập 1) NXB Giáo dục ,1998 Vũ Tuấn – Phan Đức Thành – Ngô Xuân Sơn Giải tích toán học (Tập 2) Nguyễn Duy Tiến Bài giảng giải tích (Tập 1) NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ,2001 R.K.Miler G.R.Sell, Existenee, uniquaness and continnity of selutien of integral equations, Annali di Matemtiea, 1970 R.K.Miller, Nonlinear Volterra Integral Equations, 1971 Dunferd – She watz, Linear eperators, 1976  ... SỐ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG §1-KHÔNG GIAN BANACH I -Định nghóa không gian tuyến tính định chuẩn : 1 -Định nghóa: * Định nghóa1:Giả sử E không gian tuyến tính trường vô hướng K và? ? R* =... K không gian Banach nên Kn không gian Banach §2 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ I -Tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân không đổi : 1- Định nghóa : Cho hàm f :D × U → F với giá trị không. ..TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG SVTH-NGÔ THỊ THANH THẢO PHẦN I TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG §1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I -Định nghóa tích phân xác định : Cho hàm f(x) liên