Định lý điểm bất động schauder trong không gian lũy đẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Lê Văn Phương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Lê Văn Phương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Bích Huy Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy người cung cấp tài liệu, bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học kinh nghiệm thực đề tài truyền đạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Xin chân thành cảm ơn q thầy tổ Giải tích, khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu suốt khóa học cao học Chân thành cảm ơn q thầy phịng sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, anh chị học viên lớp cao học Giải tích khóa 24 ln đồng hành, ủng hộ có trao đổi góp ý, động viên tơi suốt q trình thực luận văn Người thực luận văn Lê Văn Phương MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian topo .4 1.2 Khơng gian metric hóa 1.3 Không gian compact 1.4 Ánh xạ đa trị CHƯƠNG Å - KHÔNG GIAN TOPO 2.1 Các khái niệm tính chất .9 2.2 Å - không gian topo 11 2.3 Tập lồi Å - không gian topo .16 CHƯƠNG 34 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG 34 3.1 Định lý Brouwer 34 3.2 Định lý Schauder 38 3.3 Định lý Schauder ánh xạ đa trị tăng 40 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Cho X tập không gian V, f ánh xạ từ X vào X Phải đặt điều kiện X, V f để khẳng định tồn điểm x X cho f(x ) = x ? Điểm x gọi điểm bất động ánh xạ f Lý thuyết điểm bất động có ý nghĩa quan trọng việc nghiên cứu tính chất nghiệm số lớp phương trình phi tuyến Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) cho không gian hữu hạn chiều, định lý điểm bất động Schauder (1930) mở rộng định lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều (cụ thể không gian Banach), định lý điểm bất động Tychonoff (1935) mở rộng định lý điểm bất động Schauder cho không gian lồi địa phương Cụ thể: Định lý Brouwer (1912): Cho X tập lồi, compact  n f : X ® X ánh xạ liên tục Khi đó, f có điểm bất động X Định lý Schauder (1930): Cho X tập lồi, compact khơng gian Banach V, f : X ® X ánh xạ liên tục Khi đó, f có điểm bất động X Định lý Schauder (1930): Cho X tập lồi, đóng bị chặn khơng gian Banach V, f : X ® X ánh xạ liên tục compact Khi đó, f có điểm bất động X (ánh xạ compact ánh xạ biến tập bị chặn thành tập compact) Định lý Tychonoff (1935): Cho X tập lồi, compact không gian lồi địa phương V f : X ® X ánh xạ liên tục Khi đó, f có điểm bất động X Các kết kinh điển mở rộng lớp ánh xạ khơng gian khác Giải tích hàm thông thường xét không gian vectơ topo trường số thực  trường số phức  với phép tốn thơng thường ánh xạ tuyến tính liên tục chúng Xuất phát từ việc nghiên cứu phương trình Vật lý - Tốn, nhà tốn học người Nga, V.P.Maslov học trị xây dựng Lý thuyết Giải tích lũy đẳng Giải tích hàm lũy đẳng từ nửa cuối thập niên 1980 Giải tích hàm lũy đẳng nghiên cứu khơng gian lũy đẳng phép “cộng” Å hai phần tử có tính chất a Å a = a có phép “nhân”  phần tử với số thuộc nửa vành lũy đẳng Ví dụ đơn giản thơng dụng với nửa vành lũy đẳng tập  È� {-¥} với phép “cộng” Å “nhân”  định nghĩa sau: a Å b := max{a; b} a  b := a + b (1) Một số ánh xạ khơng gian hàm phép tốn thơng thường trường số thực  trường số phức  khơng có tính chất tuyến tính xét phép tốn (1) khơng gian hàm khơng gian lũy đẳng vá ánh xạ nói tuyến tính, nghiên cứu nhờ kết Giải tích lũy đẳng Đây lý mà Giải tích hàm lũy đẳng nhà tốn học giới quan tâm nghiên cứu có ứng dụng sâu sắc Vật lýTốn, Tính tốn khoa học, Toán kinh tế, Toán thống kê,… Hiện nay, Giải tích hàm lũy đẳng xây dựng tương đối hồn chỉnh Tuy nhiên, nghiên cứu phương trình khơng gian lũy đẳng, nói riêng tốn điểm bất động, cịn hạn chế Do đó, việc tìm hiểu mở rộng định lý điểm bất động định lý ánh xạ co, định lý Schauder,… không gian lũy đẳng đề tài có ý nghĩa Luận văn viết dựa việc tìm hiểu sách chuyên khảo báo khoa học có liên quan đến đề tài Phân tích, tổng hợp kiến thức thu trình bày chúng theo thể thống khoa học, chi tiết Mục tiêu luận văn trình bày chi tiết hệ thống kiến thức không gian lũy đẳng, nửa vành lũy đẳng,  Å - không gian topo, tập lồi  Å - không gian, định lý Brouwer định lý Schauder không gian lũy đẳng Luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm tính chất có liên quan đến chương sau: Khơng gian topo, không gian compact, ánh xạ đa trị Chương 2: Å - không gian topo Trong chương xây dựng khái niệm nửa vành lũy đẳng, nửa modun lũy đẳng nửa vành lũy đẳng,…, khơng gian lũy đẳng, tính lồi khơng gian lũy đẳng Đồng thời, trình bày khái niệm số tính chất tập Å - lồi, phát biểu chứng minh định lý tách tập Å - lồi với điểm không gian lũy đẳng Chương 3: Định lý Schauder không gian lũy đẳng Trong chương phát biểu chứng minh định lý điểm bất động Brouwer không gian lũy đẳng, định lý điểm bất động Schauder không gian lũy đẳng ánh xạ đơn trị Ngoài ra, luận văn cịn trình bày kết mở rộng định lý điểm bất động Schauder không gian lũy đẳng ánh xạ đa trị tăng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian topo 1.1.1 Định nghĩa topo không gian topo Cho hp X ặ Mt h t cỏc tập X gọi topo X t thỏa mãn tính chất sau: t1 )."Ỉ, X ẻ t t2 )."G1,G2 ẻ t ị G1 G2 Ỵ t t )."Gi Ỵ t, "i Ỵ I ị Gi ẻ t iẻ I Nu t topo X cặp (X, t) gọi khơng gian topo Mỗi tập G Ỵ t gọi tập mở X (hay G tập t - mở) Tập F Ì X gọi tập đóng (hay t - đóng) X \ F tập t - mở Cho t, t/ hai topo X Ta nói t mạnh t/ t É t/ 1.1.2 Cơ sở topo Cho (X, t) không gian topo Một họ s Ì t gọi sở t nu "G ẻ t, "x ẻ G ị $V Î s : x Î V Ì G 1.1.3 Lân cận, sở lân cận Cho (X, t) không gian topo x Ỵ X Lân cận Tập U Ì X gọi lân cận x $G Ỵ t : x Ỵ G Ì U Nếu lân cận U x tập mở U gọi lân cận mở x Họ gồm lân cận x ký hiệu U x Cơ sở lân cận Họ Vx Ì U x gọi sở lân cận x nu "U ẻ U x ị $V ẻ Vx : V Ì U 1.1.4 Phần trong, bao đóng tập hợp Cho (X, t) không gian topo A Ì X o Phần Phần A, ký hiệu A hay IntA , tập mở lớn chứa o A (tức hợp tất tập mở, chứa A) Mỗi x Î A gọi điểm A Bao đóng Bao đóng A, ký hiệu A hay ClA , tập đóng nhỏ chứa A (tức giao tất tập đóng, chứa A) Mỗi x Ỵ A gọi điểm dính A Tính chất o • A tập mở Û A = A • A tập đóng Û A = A o ã x ẻ A ( $ G m cho x Ỵ G Ì A) Û A Ỵ U x ã x ẻ A ( "U ẻ U x ị U ầ A ặ) 1.1.5 Ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi Cho không gian topo (X, t) (Y, q) Ánh xạ liên tục Ta nói ánh xạ f : X ® Y liên tục x Ỵ X "V ẻ U f(x ) ị $U ẻ U x : f(U) Ì V 0 Hay "V Ỵ U f(x ) ị f 1(V) ẻ U x 0 Hiển nhiên định nghĩa lấy V thuộc sở lân cận f(x ) Ta nói f liên tục X f liên tục x thuộc X Ánh xạ đồng phơi Ta nói ánh xạ f : X ® Y đồng phôi f song ánh, liên tục ánh xạ ngược f -1 liên tục ĐỊNH LÝ 1.1.1 Các mệnh đề sau tương đương: i) f liên tục X ii) Mọi tập B mở (đóng) Y f -1(B) mở (đóng) X ĐỊNH LÝ 1.1.2 Cho t, s hai topo X Khi đó: i) s Ì t Û ánh xạ đồng I : (X, t) ® (X, s) liên tục ii) s = t Û ánh xạ đồng I : (X, t) ® (X, s) đồng phôi 1.1.6 Topo cảm sinh, không gian Cho không gian topo (X, t) v ặ A è X Topo cảm sinh Họ t A = {A Ç G : G Ỵ t} topo A gọi topo cảm sinh A t Không gian Không gian topo (A, t A ) gọi không gian topo (hay không gian topo con) (X, t) ĐỊNH LÝ 1.1.3 Cho khụng gian topo (X, t) v ặ A è X Khi ú: i) Nu ặ B è A (t A )B = t B ii) Nếu f : (X, t) ® Y liên tục f |A : (A, t A ) ® Y liên tục 1.2 Khơng gian metric hóa Topo sinh metric Cho không gian metric (X, d) Họ t = {U Ì X | "x Ỵ X, $r > : B(x, r) Ì U} topo X gọi topo sinh metric d X, phần tử thuộc t gọi tập mở (X,d) 36 r  x Å p  y = p  (r Å y) = p  y nên r  x £ p  y hay p  y Ỵ env(X) MỆNH ĐỀ 3.1.3 Giả sử V Å - không gian topo, X tập a - lồi V Khi tồn ánh xạ p : env(X) ® X ánh xạ liên tục topo thỏa mãn p(x) = x, p(r  x) Ỵ Å  x với x Ỵ X, r Ỵ Å, r <  CHỨNG MINH Đặt M = {(x, y) Ỵ X ´ env(X) { $r £  : r  x £ y} Với (x, y) Ỵ M ta đặt: rx (y) = sup {r £ � { r  x £ y} m(y) = Å rz (y) (z,y)ỴM n x (y) = m(y)-1  rx (y) p(y) = Å rz (y)  z (z,y)ỴM p(y) = Å n z (y)  z = m(y)-1  p(y) (z,y)ỴM Theo cách đặt, ta có m(y) £  Å n x (y) = với y Ỵ env(X) xỴX X tập a - lồi nên X tập Å - lồi Mà p(y) Å - tổ hợp lồi phần tử X nên p(y) Ỵ X Ta có m(y)  n x (y)  x = rx (y)  x £ y với x Ỵ X Nên m(y)  p(y) = p(y) £ y Mà m(x) = rx (x) = n x (x) =  với x Ỵ X Dẫn đến x = n x (x)  x £ p(x) £ x p(x) = x p : env(X) ® X Mà p : env(X) ® X ánh xạ tăng thỏa mãn p(r  x) £ r  p(x) với x Ỵ env(X), r >  nên theo mệnh đề 2.2.1 ta có p liên tục topo  37 MỆNH ĐỀ 3.1.4 Giả sử T tập hữu hạn, khác rỗng B(T) không gian hàm thực bị chặn T, X tập tập Å - lồi, compact B(T) Y bao lồi X không gian Euclide B(T) Khi đó, tồn ánh xạ p : Y ® X cho p(x) = x với x Ỵ X CHỨNG MINH Theo mệnh đề 3.1.2 ta có X tập a - lồi Mà Y Ì env(X) = B(T) nên áp dụng mệnh đề 3.1.3 tồn ánh xạ p : Y ® X cho p(x) = x với x Ỵ X  ĐỊNH LÝ 3.1.1 (Định lý Brouwer) Giả sử T tập hữu hạn, khác rỗng B(T) không gian hàm thực bị chặn T, X tập Å - lồi, compact B(T) ánh xạ f : X ® X liên tục Khi f có điểm bất động X CHỨNG MINH Giả sử Y bao lồi đóng X khơng gian Euclide B(T) ánh xạ p : Y ® X liên tục mệnh đề 3.1.4 Khi đó, Y tập compact không gian Euclide B(T) Áp dụng định lý điểm bất động Brouwer không gian Euclide cho ánh xạ cho f  p : Y ® X tồn ánh xạ x Ỵ Y cho f  p(x) = x hay f(p(x)) = x Mà f  p(Y) Ì X nên x Ỵ X suy p(x) = x Do f(x) = x hay f có điểm bất động X  38 3.2 Định lý Schauder BỔ ĐỀ 3.2.1 Giả sử V Å - không gian topo, X tập Å - lồi, compact V, T tập hữu hạn khác rỗng V* Gọi i : V đ B(T), v V t(v) vi t ẻ T Khi tồn ánh xạ liên tục p : B(T) ® X cho i(p(f)) = f với f Ỵ i(X) CHỨNG MINH Lập ánh xạ p : B(T) ® X, f  p(f) = Å x Ỵ X,i(x)£f x Theo mệnh đề 3.1.2, ta có X tập a - lồi nên p(f) Ỵ X với r ³ , f Ỵ B(T) ta có r-1  p(r  f) Å p(f) Ỵ X Dễ thấy i ánh xạ tuyến tính, liên tục Mà i(p(f)) £ f suy ( ) i r-1  p(r  f( Å p(f( = r-1  i(p(r  f(( Å i(p(f(( £ r -1  r  f Å f = f Từ theo định nghĩa p(f) ta có r-1  p(r  f) £ p(f) Suy p(r  f) £ r  p(f) Hơn p ánh xạ không tăng nên theo mệnh đề 2.2.1, p ánh xạ liên tục topo V Từ mệnh đề 2.2.2 ta có p liên tục topo ban đầu V (vì topo yếu topo V)  MỆNH ĐỀ 3.2.1 Giả sử V Å - không gian topo, X tập Å - lồi, compact V, T tập hữu hạn khác rỗng V* f : X ® X ánh xạ liên tục, Å - yếu Khi tồn x Ỵ X cho t(x) = t(f(x)) với t Ỵ T CHỨNG MINH 39 Gọi i : V đ B(T), v V t(v) vi t ẻ T Do i ánh xạ tuyến tính liên tục X tập Å - lồi, compact V nên i(X) tập Å - lồi, compact B(T) Theo bổ đề 3.2.1, tồn ánh xạ liên tục p : i(X) ® X cho i(p(w)) = w với w Ỵ i(X) Lập ánh xạ g : i(X( ® i(X(, ww  g( ( = i (f(p(w(() Khi ta có g : i(X) ® i(X) liên tục i(X) tập Å - lồi, compact B(T) nên theo định lý 3.1.1, g có điểm bất động u Ỵ i(X) , g(u) = u Đặt x = p(u) Ỵ X Dẫn đến i (f(p(u(() = g(u( = u hay i (f(x() = u Suy i(x) = i(p(u)) = u = i(f(x)) Theo định nghĩa ánh xạ i ta có t(x) = t(f(x)) với t Ỵ T  ĐỊNH LÝ 3.2.1 (Định lý Schauder) Giả sử V Å - khơng gian topo quy, X tập Å - lồi, compact V f : X ® X ánh xạ liên tục, Å - yếu Khi f có điểm bất động X CHỨNG MINH Lấy T tập hữu hạn khác rỗng V* Đặt S(T) = {x Î X { t(x) = t(f(x))"""t Î T} Khi ú S(T) l úng S(T) ặ mnh đề 3.2.1 S(T1 ) Ç S(T2 ) = S(T1 Ç T2 ) ặ Nờn {S(T)} S(T) ặ T Ì V* TÌ V* họ có tâm tập đóng tập compact X nên 40 Chọn x Ỵ  T Ì V* S(T) Ì X suy t(x) = t(f(x))"""t Ỵ V * Mà V Å - khơng gian topo quy nên f(x) = x hay f có điểm bất động X  3.3 Định lý Schauder ánh xạ đa trị tăng 3.3.1 Các khái niệm Tập thứ tự Tập X với quan hệ thứ tự ³ gọi tập hợp phận ký hiệu (X, ³) • Nếu x ³ y x ¹ y ta ký hiệu x > y • Có thể thay ký hiệu x ³ y y £ x • Có thể thay ký hiệu x > y y < x • Ta nói (X, ³) tập tồn phần hay dây chuyền với x, y Ỵ X ta có x ³ y x £ y • Trong tập phận (X, ³) Ta định nghĩa: o Chặn x y z Ỵ X cho z £ x, z £ y Chặn lớn x y, ký hiệu, x Ù y, chặn x y cho z ' chặn x y z ' £ x Ù y o Chặn x y z Ỵ X cho z ³ x, z ³ y Chặn bé x y , ký hiệu, x Ú y, chặn x y cho z ' chặn x y z ' ³ x Ú y o Chặn A Ỵ 2X \ {Ỉ} z Ỵ X cho z £ x, x Ỵ A Chặn lớn A , ký hiệu, ÙA, chặn A cho z ' chặn A z ' £ ÙA 41 o Chn trờn ca A ẻ 2X \ {ặ} l z Ỵ X cho x £ z, x Ỵ A Chặn bé A , ký hiệu, ÚA, chặn A cho z ' chặn A z ' ³ ÚA Quy ước Khi A dây chuyền ta ký hiệu sup A := ÚA, inf A := ÙA o X gọi nửa dàn x Ù y tồn tại, "x, y Ỵ X o X gọi nửa dàn x Ú y tồn tại, "x, y Ỵ X o X gọi dàn x Ù y x Ú y tồn tại, "x, y Ỵ X o X gọi dây chuyền đầy đủ bên sup A tồn X với dây chuyn A ẻ 2X \ {ặ} Khi ú, X ' Ỵ 2X \ {Ỉ} gọi dây chuyền đầy đủ bên sup A Ỵ X ' vi mi dõy chuyn A ẻ 2X ' \ {ặ} o X gọi dây chuyền đầy đủ bên sup A tồn X với dõy chuyn A ẻ 2X \ {ặ} Khi ú, X ' ẻ 2X \ {ặ} c gi l dõy chuyn đầy đủ bên inf A Ỵ X ' với dây chuyền A Ỵ 2X ' \ {Ỉ} o X gọi dây chuyền đầy đủ sup A, inf A tồn X với mi dõy chuyn A ẻ 2X \ {ặ} B Zorn Cho (X, ³) tập phận tha mi dõy chuyn A ẻ 2X \ {ặ} có chặn Khi đó, {x Ỵ X : $x ' ẻ X, x ' > x} Æ Ánh xạ đa trị tăng • Cho (X, ³) tập phận, ta định nghĩa quan h ># nh sau: #A, B ẻ 2X \ {ặ}, A ># B Û ("a Ỵ A, "b Ỵ B, $b/ Ỵ B : a ³ b/ b ³ b/ ) 42 • Cho (X, ³) , (Y, ³) tập phận Ta nói F : X đ 2Y \ {ặ} l ỏnh x a trị tăng quan hệ ># #x, x ' ẻ X, x ' > x ị Fx ' ># Fx • Cho Y dàn, ta định nghĩa quan hệ >+ sau: "A, B Ỵ 2Y \ {ặ}, A >, B (a b ẻ A a Ù b Ỵ B, "a Ỵ A, "b ẻ B) ã Cho (X, ) l c phận, Y dàn Ta nói F : X đ 2Y \ {ặ} l ỏnh x a trị tăng quan hệ >+ "x, x ' ẻ X, x ' > x ị Fx ' >, Fx • Cho X, Y tập phận ánh xạ đa trị F : X đ 2Y \ {ặ} Vi mi x ẻ X, ta ký hiệu: F-x := {y Ỵ Fx : $z Ỵ Fx, z < y} F+ x := {y Ỵ Fx : $z Ỵ Fx+ z > y} 3.3.2 Định lý Schauder ánh xạ đa trị tăng ĐỊNH LÝ 3.3.1 Giả sử V Å - khơng gian topo quy, X tập Å - lồi, compact ánh xạ đa trị F : X đ 2X \ {ặ} l tng i vi quan h ># tha F-x ặ v F(r x) Ì r  F-x, với x Ỵ X, r ³  Khi đó, F có điểm bất động V CHỨNG MINH Với x Ỵ X , F-x ặ nờn chn c f(x) ẻ F-x Ì Fx Khi đó, f hàm chọn ánh xạ đa trị F Ta chứng minh f hàm chọn đơn điệu F Thật vậy, lấy tùy ý x/ > x , F tăng quan hệ ># nên Fx/ ># Fx 43 Do đó, với f(x/ ) Ỵ F-x/ Ì Fx/ f(x) Ỵ F-x Ì Fx , từ định nghĩa ># ta có tồn x Ỵ Fx cho x £ f(x) x £ f(x/ ) Mà f(x) Ỵ F-x x Ỵ Fx nên x ³ f(x) , x = f(x) £ f(x / ) Vậy f hàm chọn đơn điệu F Khi đó, với r ³ , x Î X ta có f(r  x) Î F(r  x) Ì r  F-x Nên tồn y Î F-x cho f(r  x) = r  y Mà f(x) Ỵ Fx nên từ y Ỵ F-x ta có y £ f(x) Suy f(r  x) = r  y £ r  f(x) Áp dụng định lý 3.1.1, f liên tục topo theo định lý Schauder không gian lũy đẳng ánh xạ đơn trị, f có điểm bất động x hay x = f(x ) Ỵ F(x ) Suy x điểm bất động ánh xạ đa trị F  ĐỊNH LÝ 3.3.2 Cho (X, ³) tập phận, Y dn v F : X đ 2Y \ {ặ} l ánh xạ đa trị tăng quan hệ >+ thỏa mãn với x Ỵ X ta có Fx l dõy chuyn y bờn trờn, F-x ặ Khi đó, F có chứa hàm chọn đơn điệu CHỨNG MINH Ta định nghĩa R tập ánh xạ đa trị G : X ® 2Y \ {ặ} tha món: (1) "x ẻ X : F.x è Gx Ì Fx (2) "x Ỵ X; "y, z Ỵ Fx : y > z, y ẻ Gx ị z Î Gx (3) "x Î X, Gx dây chuyền đầy đủ bên Fx (4) G tăng i vi >+ Rừ rng, R ặ vỡ F ẻ R t G : X đ 2Y \ {ặ}, x GẻR Gx Khi ú, G Î R 44 Thật vậy, ta kiểm tra điều kiện (1), (2), (3), (4): Kiểm tra (1): "G ẻ R, "x ẻ X ị F.x è Gx Ì Fx Suy ra, F-x Ì  GỴR Gx Ì Fx hay F.x Ì Gx Ì Fx, "x Ỵ X Kiểm tra (2): "x Ỵ X; "y, z Ỵ Fx : y > z, y Ỵ Gx suy y Ỵ  GỴR Gx hay y Ỵ Gx, "G Î R Từ (2) ta có: z Î Gx, "G Î R hay z Î Gx Kiểm tra (3): Với x Ỵ X dây chuyền A Ỵ 2Gx \ {ặ}, suy A è Gx, "G ẻ R Dẫn đến, sup A Ỵ Gx, "G Ỵ R hay sup A Ỵ Gx Do đó, ta có Gx dây chuyền đầy đủ bên Fx Kiểm tra (4): Lấy tùy ý x, x ' Î X, x ' > x ta chứng minh Gx ' >+ Gx Thật vậy, lấy tùy ý y Î Gx ', z Î Gx Suy ra, y Î Gx ', z Ỵ Gx với G Ỵ R Khi đó:  Nếu y Ù z Ỵ Fx từ (2) ta có y Ù z Ỵ Gx, "G Ỵ R hay y Ù z Ỵ Gx  Nếu y Ù z Ï Fx từ (1) ta có y Ù z Ï Gx, "G Ỵ R Mà Gx ' >, Gx, "G Ỵ R nên y Ú z Ỵ Gx ', "G Ỵ R hay y Ù z Ỵ Gx ' Do vậy, G tăng >+ Tóm lại, ta chứng minh G Ỵ R Tiếp theo ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3.3.1 Giả sử x, x ' Ỵ X, x ' > x Khi đó, y Ỵ G, x ', z Ỵ F-x y ³ z Thật vậy, Phản chứng Giả sử y ³z Khi đó, y Ú z > y, y Ù z < z Mà y Ỵ G, x ', z Ỵ F-x nên y Ú z Ï Gx ', y Ù z Ï Fx Điều mâu thuẫn với Gx ' >+ Gx Ì Fx Vậy y ³ z Bổ đề 3.3.2 Giả sử G Ỵ R Khi đó, G* ẻ R vi G* : X đ 2Y \ {ặ} { } x G* x := z ẻ Gx : x ' Ỵ X, y Ỵ G, x ', x ' > x Þ y ³ z 45 Thật vậy, Ta kiểm tra điều kiện (1), (2), (3), (4): Kiểm tra (1): "x Ỵ X, G Ỵ R nên F.x Ì Gx Ì Fx Mà G* x Ì Gx theo bổ đề 2.2 ta có F.x Ì G* x Suy ra, F.x Ì G* x Ì Gx Ì Fx Kiểm tra (2): "x Î X; "y, z Î Fx : y > z, y Ỵ G* x Khi đó, lấy tùy ý x ' Ỵ X y ' Ỵ G+ x ' cho x ' > x Khi đó, y Î G* x nên y ' ³ y > z Vậy z Ỵ G* x * Kiểm tra (3): Với x Ỵ X dây chuyền A Ỵ 2G x \ {Ỉ}, ta chứng minh z* = sup A Ỵ G* x Giả sử, z* Ï G* x, tức tồn x ' Ỵ X, y Ỵ G, x ', x ' > x cho y ³ z* Khi đó, y Ú z* > y, y Ù z* < z* Mà Gx dây chuyền đầy đủ bên Fx nên z* Î Gx Do y Î G+ x ' Ì Gx ' nên y Ỵ Gx ' Mặt khác, ta có G tăng >+ nên Gx ' >+ Gx suy y Ú z* Ỵ Gx ' y Ù z* Ỵ Gx Mà y Ỵ G+ x ' y Ú z* > y nên y Ú z* Ï Gx ', đó, y Ù z* Ỵ Gx Khi đó, với z Ỵ A Ì G* x, ta có z* ³ z, y ³ z Suy y Ù z* ³ z Tức y Ù z* chặn A y Ù z* < z* (Mâu thuẫn với z* = sup A ) Do đó, z* = sup A Ỵ G* x Vậy, G* x dây chuyền đầy đủ bên Fx Kiểm tra (4): Lấy tùy ý x, x ' Ỵ X, x ' > x ta chứng minh G* x ' >+ G*x Thật vậy, lấy tùy ý y Ỵ G* x ', z Ỵ G* x Do G tăng >+ nên Gx ' >+ Gx suy y Ú z Ỵ Gx ' y Ù z Ỵ Gx Khi đó:  Nếu y Ù z Ỵ Gx từ (2) ta có y Ù z Ỵ G* x  Nếu y Ù z Ï Gx y Ú z Ỵ Gx ' Ta chứng minh y Ú z Ỵ G* x ' Thật vậy, với u Ỵ X u ' Ỵ G+u cho u > x ', đó, 46 z Ỵ G* x, u > x, u ' Ỵ G,u nên u ' ³ z Mặt khác, y Ỵ G* x ', u > x ', u ' Ỵ G+u nên u ' ³ y Do đó, u ' ³ y Ú z Vì u, u ' tùy ý nên y Ú z Ỵ G* x ' Do vậy, G* tăng >+ Tóm lại, ta chứng minh G* Î R * Với G Î R , từ bổ đề 3.3.2, suy G = G Bây ta chứng minh định lý 3.3.1 sau: Với x Ỵ X, G Ỵ R nên theo (4), Gx dây chuyền đầy đủ bên + Fx Suy theo bổ Zorn ta cú G x ặ Ta chn tùy ý + f(x) Ỵ G x Ì Fx Khi đó, f : X ® Y hàm chọn F Ta chứng minh f hàm tăng Thật vậy, , *, , Với x, x ' Ỵ X, x ' > x Ta có, f(x) Ỵ G x = G x, mà f(x ') Ỵ G x ', nên suy f(x ') ³ f(x) Vậy, f hàm chọn đơn điệu tăng F  ĐỊNH LÝ 3.3.3 Giả sử V Å - không gian topo quy, X tập Å - lồi, compact V ánh xạ đa trị F : X đ 2X \ {ặ} l tng i vi quan hệ >+ thỏa mãn Fx dây chuyền đầy đủ bờn trờn, F-x ặ v F(r x) è r  F-x, với x Ỵ X, r ³  Khi đó, F có điểm bất động X CHỨNG MINH Áp dụng định lý trên, f hàm chọn đơn điệu tăng F Khi đó, với r ³ 1, x Ỵ X ta có f(r  x) Ỵ F(r  x) Ì r  F-x Nên tồn y Ỵ F-x cho f(r  x) = r  y 47 Mà f(x) Ỵ Fx nên từ y Ỵ F-x ta có y £ f(x) Suy f(r  x) = r  y £ r  f(x) Áp dụng định lý 3.1.1, f liên tục topo theo định lý Schauder khơng gian lũy đẳng ánh xạ đơn trị, f có điểm bất động x hay x = f(x ) Ỵ F(x ) Suy x điểm bất động ánh xạ đa trị F  48 KẾT LUẬN Cùng với việc nghiên cứu số tài liệu chuyên khảo, số báo khoa học có liên quan đến đề tài bảo tận tình Thầy hướng dẫn, tác giả nắm số kết định lý điểm bất động Schauder không gian lũy đẳng ánh xạ đơn trị Từ cho thấy tầm quan trọng lý thuyết điểm bất động nhiều lĩnh vực tốn học Ngồi ra, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy, phương pháp tương tự với cải biên cần thiết, tác giả trình bày kết mở rộng định lý điểm bất động Schauder ánh xạ đa trị tăng theo quan hệ thứ tự mở rộng Tuy nhiên, tác giả chưa có điều kiện trình bày ứng dụng cụ thể kết Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên khác tìm hiểu đề tài có liên quan làm sở cho nghiên cứu tác giả có điều kiện Một số hướng nghiên cứu phát triển luận văn là: o Làm giảm nhẹ điều kiện kết trình bày luận văn o Nghiên cứu phát triển kết lý thuyết ứng dụng kết lý thuyết vào việc chứng minh tồn nghiệm số lớp phương trình cụ thể phương trình vi phân, phương trình tích phân khơng gian lũy đẳng… Qua q trình làm luận văn tơi nhận thấy kiến thức học học phần Giải tích: Giải tích hàm nâng cao, Giải tích phi tuyến, … giúp tơi nhiều việc hồn thành luận văn Từ cho thấy phong phú, đa dạng mà thống nhất, chặt chẽ Tốn học nói riêng Khoa học nói chung Và quan trọng thân tác giả bước đầu học phương pháp tự học nghiên cứu từ việc đặt vấn đề, khảo cứu tài liệu đến việc giải vấn đề bảo Thầy hướng hướng dẫn 49 Dù cố gắng nghiêm túc trình thực luận văn, hạn chế định mặt thời gian kiến thức nên thiếu sót điều khơng thể tránh khỏi Kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu Thầy Cơ, anh chị đồng nghiệp, bạn học viên để góp phần hồn thiện nội dung luận văn Xin chân thành cảm ơn 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hoàng Tụy (2003), Lý thuyết hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia Nguyễn Đức Dũng (2012), Hàm chọn số lớp ánh xạ đa trị ứng dụng, Luận văn thạc sĩ toán học, chuyên ngành tốn giải tích, ĐH Sư phạm Tp.HCM Lê Văn Phương (2013), Ánh xạ đa trị với giá trị khơng lồi, Luận văn tốt nghiệp tốn học, ĐH Sư phạm Tp.HCM Tiếng Anh G.B Litvinov and G.B Shpiz (2009), A tropical version of the Schauder fixed point theorem G.L.Litvinov, V.P.Maslov, and G.B.Shpiz (2001), Idempotent functional analysis: An algebraic approach, Math Notes 69, 696-729 G Cohen, S Gaubert, and J Quadrat (2002), Duality and separation theorem in indempotent semimodules, Research report 4668 G Cohen, G.S Gaubert, J Quadrat, and I Singer (2003), Max-plus convex sets and functions, Preprint 1341 ESI Vienna V.N Kolokoltsov and V.P Maslov (1997), Idempotent analysis and applications, Kluwer Acad Publisher T Blyth and M Janowiz (1972), Residuation theory, Pergamon press 10 L Fuchs (1963), Partially Ordered Algebraic Systems, Pergamon Press, Oxford et al ... với điểm không gian lũy đẳng Chương 3: Định lý Schauder không gian lũy đẳng Trong chương phát biểu chứng minh định lý điểm bất động Brouwer không gian lũy đẳng, định lý điểm bất động Schauder không. .. tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) cho không gian hữu hạn chiều, định lý điểm bất động Schauder (1930) mở rộng định lý điểm bất động. .. chi tiết hệ thống kiến thức không gian lũy đẳng, nửa vành lũy đẳng,  Å - không gian topo, tập lồi  Å - không gian, định lý Brouwer định lý Schauder không gian lũy đẳng Luận văn chia thành ba