Định lý điểm bất động krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn phi archimed

TRƯỜNG ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ĐỀ TÀI ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED Người báo cáo: TS Trần Đình Thanh LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động số phương pháp quan trọng hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm Định lí điểm bất động Krasnoselskii mở rộng hai định lí điểm bất động quan trọng Định lý Banach ánh xạ co định lý Schauder ánh xạ compact Đề tài xét mở rộng định lý điểm bất động Krasnoselskii cho không gian dạng nón định chuẩn Phi Archimed ứng dụng Định lí Krasnoselskii không gian nón định chuẩn phi Archimed Định nghĩa: Cho E không gian lồi địa phương Hausdorff thực mà tôpô xác định họ nửa chuẩn  pi  iI Nếu K nón thứ tự E sinh nón K định nghĩa sau u  v  v u K.Ta gọi cặp (E,K) không gian lồi địa phương có thứ tự Nón K gọi nón minihedral với cặp u, v E tồn cận sup{u,v} Ta kí hiệu sup{u,v} u  v + Ta kí hiệu u thay cho supu,  ,u - thay cho sup u,  Định nghĩa: Không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) có tính chất (E) nón K nón minihedral (i) ∀i ∈ I, nửa chuẩn pi bán đơn điệu, nghĩa là: ∃Ni > 0: θ ≤ u ≤ v ⇒ pi (u) ≤ Ni pi (v) (ii) ∀i ∈ I , ∃ mi > ∶ pi u+ ≤ mi pi u ∀u ∈ E Từ (i) ta có un   wn lim un  u, limwn  u lim  u Định nghĩa: Không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) toán tử Q : K  K a) Toán tử Q có tính chất Q Q( )  , Q liên tục  Q tăng b) Đặt Sn (u)  sup u, Q(u), , Qn1 (u) , S(u)= lim Sn (u)   D = { uK: S( u) xác định} n Do = { uK: lim Qn (u)   }  n D1  u K : lim Sk (Qn (u))   ñeà u ñoá i vôù i k n *  Bổ đề: Không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) đầy đủ có tính chất (E), toán tử Q có tính chất (Q) u D1 Khi 1)Qm(u)  D1 m  *   v  u v D1 2)Qn (u)  D n lim S(Qn (u))   n Định nghĩa: Cho (E, K) không gian lồi địa phương có thứ tự Ta gọi p nón_ metric X p: X  X  K thỏa (i) p( x, y)   E  x  y (ii) p( x, y)  p( y, x) x, y X (iii) p( x, y)  p( x, z)  p( z, y) x, y, z X Nếu nón K nón minihedral p nón _metric thỏa p( x, y)  sup p( x, z), p( z, y) , x,y,z  X p gọi nón_metric phi Archimed (E, K) không gian lồi địa phương có thứ tự , K nón minihedral, tôpô E xác định họ nửa chuẩn  pi  Giả sử X iI không gian vectơ thực p: X  K ánh xạ thỏa (i) p( x)   E  x   X (ii) p( x)   p( x)   ,x  X (iii) p( x  y)  sup p( x), p( y) x,y  X Khi đó, cặp (X, p) gọi không gian nón định chuẩn phi Archimed với tôpô xác định họ nửa chuẩn (pi p)iI Các định lí điểm bất động 6.1 Định lí Cho (E, K) không gian lồi địa phương có thứ tự, (E, K) đầy đủ, có tính chất (E) không gian nón_metric phi Archimed (X, p) đầy đủ theo Kantorovich.Cho F : X  X toán tử thỏa p( F ( x), F ( y))  Q  p( x, y) x,y  X Trong Q : K  K có tính chất (Q) tồn phần tử xo  X thỏa (i) Qn  p xo, F ( xo)    D n    (ii) lim S Qn  p xo, F ( xo)     n Khi đó, dãy xn  F ( xn1 ) hội tụ phần tử x*  lim xn điểm n bất động F Hơn x* có tính chất sau:   1) p( xn , x* )  S Qn  p xo, F ( xo)   2) x* điểm bất động F tập  x  X : p( x, xo)  Do 6.2 Định lý điểm bất động Krasnoselskii không gian nón định chuẩn phi Archimed Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) đầy đủ, có tính chất (E), (X,p) không gian nón định chuẩn phi Archimed đầy đủ theo Kantorovich Cho C  X tập lồi, đóng hai toán tử F , G : C  X thỏa (i) F (C)  G(C)  C (ii) G liên tục G(C) tập compact (iii) p( F ( x)  F ( y))  Q  p( x  y) x,y  C Trong toán tử Q:K  K có tính chất (Q) thỏa giả thuyết sau: a) Tồn toán tử R:K  K mà R( )   , R liên tục  u  sup v, Q(u) u  R(v) b) lim Sk (Qn( u))   k  n * u nằm tập compact K (iv) Tồn phần tử xo  C cho p(C  xo)  D1 Khi đó, F + G có điểm bất động C 7.Tính chất ổn định theo Ulam – Hyers 7.1 Định nghĩa Cho (E, K) không gian lồi địa phương có thứ tự với int K   , (X, p) không gian nón _metric; toán tử F , F1 : X  X F1( x)  F ( x) Phương trình: (5) gọi ổn định theo Ulam-Hyers với   int K,   K \   cho p F ( x'), F1( x')    tồn nghiệm x* (5) thỏa p( x* , x')   7.2 Định lý: Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) đầy đủ, có tính chất (E), int K   không gian nón metric phi Archimed (X, p) đầy đủ theo Kantorovich Giả sử toán tử F : X  X thỏa p( F ( x), F ( y))  Q  p( x, y) x, y X , Q : K  K có tính chất (Q), Q( K \  )  K \   tồn xo  X cho p( xo, F ( xo))  D1 Khi phương trình điểm bất động x = F(x) ổn định theo Ulam-Hyers 7.3 Định nghĩa Cho (E, K) không gian lồi địa phương có thứ tự với int K   , (X, p) không gian nón định chuẩn, C  X , toán tử F , F1 : C  X họ  toán tử từ C vào X Ta nói phương trình: F1( x)  F ( x) ổn định theo Ulam – Hyers toán tử từ họ  với   int K,   K cho G   p G( x)    x  C 1) Phương trình F1( x)  F ( x)  G( x) có nghiệm 2) Với nghiệm x’ phương trình F1( x)  F ( x)  G( x) tồn nghiệm x* phương trình F1( x)  F ( x) thỏa p( x*  x')   7.4 Định lí Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) đầy đủ, int K   không gian nón định chuẩn phi Archimed (X, p), C  X tập lồi đóng ánh xạ F , G : C  X thỏa (i) p( F ( x)  F ( y))  Q  p( x  y) x, y C toán tử Q : K  K có tính chất (Q) thỏa giả thuyết sau: a) Tồn R : K  K mà R( )   , R liên tục  từ u  sup v, Q(u) ta có u  R(v) b) lim Sk (Qn( u))   theo k n * u nằm tập compact K (ii) Tồn phần tử xo  C cho p(C  xo)  D1 Khi phương trình điểm bất động x  F ( x) ổn định theo Ulam – Hyers họ toán tử G thỏa: (a) F (C)  G(C)  C (b) G liên tục G(C) tập compact Ứng dụng cho phương trình hàm Cho (Y , Y ) không gian Banach phi Archimed X  Y T không gian vectơ hàm x : T  Y Xét ánh xạ p: X  K , x p( x)( t)  x( t) Y 8.1 Hệ Giả sử toán tử F : X  X thỏa F ( x)( t)  F ( y)( t) Y  Q  p( x  y) ( t) x,y  X,t  T Trong Q : K  K tăng liên tục  , Q    Hơn nữa, giả sử tồn uo  K xo  X thỏa lim Qn( uo)( t)  0, n F ( xo)( t)  xo( t) Y  uo( t) t  T Khi phương trình x  F ( x) ổn định theo UlamHyers Cho hàm  i ,  j : T  T; i  1, n; j  1, m f : T Y n  Y, g: T Y m  Y Xét phương trình x( t)  f  t, x  1 ( t)  , , x   n( t)   : F ( x)( t) x(t)  f  t, x  1 ( t)  , , x   n( t)    g  t, x   1( t)  , , x   m( t)   :=F ( x)( t)  G( x)( t) (8) (9) Trong x : T  T hàm cần tìm Đặt f hàm thỏa điều kiện (f) sau: tồn q (0,1) cho f (t, y1, , yn )  f (t, z1, , zn ) Y  qmax yi  zi 1 i  n Hàm f (t, , , ) bị chặn Y {yi },{zi }  Y n Giả sử hàm g thỏa mãn ( g1 )t  T , toán tử ( y1, , ym)  g(t, y1, , ym) liên tục  ( g2 )t  T , tập Yt  g {t}  Y m compact tương đối Y 8.2 Hệ Cho hàm f thỏa điều kiện ( f ) Khi phương trình: x(t)  F ( x)(t) với F ( x)( t) : f  t, x 1( t)  , , x  n ( t)   ổn định theo Ulam-Hyers lớp toán tử G cho bởi: G( x)(t)  g t, x  1(t)  , , x   m(t)   g thỏa điều kiện ( g1 ) , ( g2 ) Cám ơn quý thầy cô bạn lắng nghe ! ... mở rộng định lý điểm bất động Krasnoselskii cho không gian dạng nón định chuẩn Phi Archimed ứng dụng Định lí Krasnoselskii không gian nón định chuẩn phi Archimed Định nghĩa: Cho E không gian lồi... pháp điểm bất động số phương pháp quan trọng hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm Định lí điểm bất động Krasnoselskii mở rộng hai định lí điểm bất động quan trọng Định lý Banach ánh xạ co định lý. .. x,y  X Khi đó, cặp (X, p) gọi không gian nón định chuẩn phi Archimed với tôpô xác định họ nửa chuẩn (pi p)iI Các định lí điểm bất động 6.1 Định lí Cho (E, K) không gian lồi địa phương có thứ tự,