Về định lý điểm bất động trên các không gian Metric đầy đủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM ANH KHOA VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Trần Phương Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Trần Phương Phản biện 1: TS Nguyễn Quỳnh Nga Phản biện 2: TS.Vũ Mạnh Xuân Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 18 tháng 11 năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Mở đầu điểm bất động ánh xạ hợp thành 1.1 Ánh xạ Lipschitz định lý điểm bất động 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Ánh xạ Lipschitz nguyên lý ánh xạ co Banach 1.2 Định lý điểm bất động ánh xạ hợp thành 1.2.1 Giới thiệu 1.2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ hợp thành với p = p = 5 11 17 17 19 Điểm bất động ánh xạ hợp thành năm không gian metric 27 2.1 Định lý điểm bất động Garg Agarwal 27 2.2 Một số cải tiến Định lý 2.1 37 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài toán nghiên cứu tồn tại, tính điểm bất động ánh xạ vấn đề thời sự, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới đạt nhiều kết quan trọng Với không gian X, f : X −→ X ánh xạ Điểm x0 ∈ X thỏa mãn x0 = f (x0 ) gọi điểm bất động ánh xạ f Vấn đề đặt với điều kiện X f f có điểm bất động điểm bất động Những định lý điểm bất động xuất từ đầu kỷ XX Các công trình Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Nguyên lý ánh xạ co Banach đánh giá định lý điểm bất động đơn giản sử dụng rộng rãi Về sau, kết kinh điển mở rộng nhiều lớp ánh xạ không gian khác ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học Các kết nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tập chung vào hướng: nghiên cứu tồn tại, điểm bất động Các phương pháp tìm điểm bất động nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động Các công trình theo hướng nghiên cứu biết đến với tên: "Lý thuyết điểm bất động" ngày phát triển mạnh mẽ Thời gian gần đây, định lý điểm bất động mở rộng cho họ ánh xạ hợp thành không gian metric Cho M1 , , Mp họ không gian metric, Aj : Mj → Mj+1 , j = 1, , p − Ap : Mp → M1 họ ánh xạ Vấn đề đặt với điều kiện không gian Mj ánh xạ Aj ánh xạ hợp thành Aj−1 Aj+1 Aj : Mj → Mj có điểm bất động Năm 1985, N P Nung [8] chứng minh điều kiện đủ cho tồn 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ánh xạ hợp thành ba không gian metric Trong [6], tác giả xem xét trường hợp p = tính chất liên tục ánh xạ bỏ qua L Kikina K Kikina khảo sát với p = [5], [3] tác giả chứng minh định lý điểm bất động với p = 5, Trong luận văn này, trình bày tổng quan kết nghiên cứu chứng minh chi tiết kết L Kikina [6], M Garg and S Agarwal [3] Ngoài chứng minh thêm kết nghiên cứu cải tiến kết M Garg and S Agarwal Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Dành cho việc trình bày số vấn đề sở không gian metric, không gian Banach, Nguyên lý ánh xạ co Banach kết L Kikina [6] trường hợp p = Chương 2: Chúng trình bày dạng định lý điểm bất động ánh xạ hợp thành năm không gian metric đầy đủ Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Hà Trần Phương - Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hà Trần Phương Người Thầy dành nhiều thời gian quý báu, tâm huyết Đã hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Những thầy cô tận tình dạy bảo cho tác giả suốt thời gian học Đã trang bị cho tác giả lớp Cao học Toán K4c kiến thức tạo điều kiện cho lớp học tập trường Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K4c - Trường Đại học Khoa học động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Kim Ngọc - Huyện Bắc Quang tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hoàn thành khóa học Tuy nhiên, thời gian khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, tác 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn giả mong dạy đóng góp ý kiến quý Thầy Cô độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày 18 tháng 11 năm 2012 Tác giả Phạm Anh Khoa 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Mở đầu điểm bất động ánh xạ hợp thành Trong chương giới thiệu số định lý cổ điển định lý điểm bất động chứng minh lại định lý điểm bất động ánh xạ hợp thành ba không gian metric đầy đủ L Kikina ([6]) 1.1 1.1.1 Ánh xạ Lipschitz định lý điểm bất động Một số khái niệm Cho X tập khác rỗng, X ta trang bị hàm số ρ :X × X → R (x, y) → ρ(x, y) thỏa mãn điều kiện (1) ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = ⇔ x = y; (2) ρ(x, y) = ρ(x, y); (3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), với x, y, z ∈ X Khi ρ gọi metric hay khoảng cách X cặp (X, ρ) gọi không gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, ρ(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x, y X 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho X không gian tuyến tính trường K (C, R), chuẩn X hàm số ||.|| :X → R+ x → ||x|| thỏa mãn điều kiện (1) ||x|| ≥ 0, ||x|| = ⇔ x = 0; (2) ||λx|| = |λ|||x|; (3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với x, y ∈ X λ ∈ K Cặp (X, ||.||), X không gian tuyến tính, ||.|| chuẩn X Gọi không gian định chuẩn (hay gọi không gian tuyến tính định chuẩn) Với không gian định chuẩn (X, ||.||), ta dễ dàng chứng minh hàm ρ : X × X → R+ , xác định ρ(x, y) = ||x − y||, với x, y ∈ X, metric X, ρ = o gọi metric sinh chuẩn Như không gian định chuẩn không gian metric Ví dụ 1.1 Dễ dàng chứng minh K = R K = C không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi: ||x|| = |x| với x ∈ X Do K không gian metric với ρ(x, y) = |x − y| Ví dụ 1.2 Cho X = Rn với x = (x1 , , xn ), đặt ||x|| = |x1 |2 + |x2 |2 + + |xn |2 Khi x ≥ 0, x = x1 = · · · = xn = 0, tức x = λx = |λx1 |2 + + |λxn |2 = |λ| x Và với x = (x1 , , xn ), 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn y = (y1 , , yn ) ∈ Rn , x+y = (|x1 + y1 |)2 + + (|xn + yn |)2 = (|x1 |2 + + |xn |2 ) + (|y1 |2 + + |yn |2 ) + 2(|x1 y1 | + + |xn yn |) ≤ (|x1 |2 + + |xn |2 ) + (|y1 |2 + + |yn |2 ) +2 |x1 |2 + + |xn |2 |y1 |2 + + |yn |2 = ( |x1 |2 + + |xn |2 + |y1 |2 + + |yn |2 )2 Từ x + y ≤ x + y Như vậy, chuẩn Rn Do n |xk − yk |2 ρ(x, y) = x − y = k=1 metric Rn Cho (X, ρ) không gian metric, x0 ∈ X r > Tập B(x0 , r) = {x ∈ X : ρ(x0 , x) < r} gọi hình cầu mở tâm x0 bán kính r Tập B(x0 , r) = {x ∈ X : ρ(x0 , x) ≤ r} gọi hình cầu đóng tâm x0 bán kính r Giả sử A tập không gian metric X, điểm x0 ∈ A gọi điểm A tồn r > cho B(x0 , r) ⊂ A Tập tất điểm A gọi phần A kí hiệu intA Ao Một tập A không gian metric (X, ρ) gọi đóng phần bù CX A tập mở Nhận xét Trong không gian metric (X, ρ), X, ∅ tập mở Hình cầu B(x0 , r) tập mở với x ∈ B(x0 , r) tồn r1 = r−ρ(x0 , r) > cho B(x, r1 ) ⊂ B(x0 , r), tức điểm B(x0 , r) điểm Hiển nhiên X ∅ tập đóng không gian metric Ngoài hình cầu đóng tập đóng 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho (X, ρ) không gian metric, {xn } dãy phần tử X, ta nói {xn } hội tụ đến x0 ∈ X nếu: lim ρ(xn , x0 ) = n→∞ Khi ta viết lim xn = x0 xn → x0 , x0 gọi giới hạn dãy n→∞ {xn } Không gian metric đầy đủ, không gian Banach Giả sử (X, ρ) không gian metric Dãy {xn } phần tử X gọi dãy Cauchy (hay gọi dãy bản) nếu: lim ρ(xm , xn ) = m,n→∞ Nghĩa với ε > 0, tồn n0 ∈ N∗ , với m, n ≥ n0 : ρ(xm , xn ) < ε Trong trường hợp X không gian siêu metric, điều kiện Cauchy dãy {xn } ⊂ X lim ρ(xn , xn+1 ) = n→∞ Ta biết dãy hội tụ không gian metric dãy Cauchy, nhiên điều ngược lại chưa Ví dụ 1.3 Q với metric ρ(x, y) = |x − y|, x, y ∈ Q không gian n ∞ metric, dãy xn = + dãy Cauchy Q n n=1 không hội tụ Q Không gian metric X gọi không gian metric đầy đủ với dãy Cauchy phần tử X hội tụ Không gian định chuẩn đầy đủ với metric sinh chuẩn gọi không gian Banach Ví dụ 1.4 R, C với metric tự nhiên, không gian metric đầy đủ (theo tiêu chuẩn Cauchy không gian này) Đồng thời chúng không gian Banach Rn không gian metric đầy đủ Tuy nhiên Q không không gian đầy đủ 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Chương Mở đầu điểm bất động ánh xạ hợp thành Trong chương giới thiệu số định lý cổ điển định lý điểm bất động chứng minh lại định lý điểm bất động ánh xạ hợp thành ba không gian metric đầy đủ L Kikina... kiện X f f có điểm bất động điểm bất động Những định lý điểm bất động xuất từ đầu kỷ XX Các công trình Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Nguyên lý ánh xạ co... ∈ Q không gian n ∞ metric, dãy xn = + dãy Cauchy Q n n=1 không hội tụ Q Không gian metric X gọi không gian metric đầy đủ với dãy Cauchy phần tử X hội tụ Không gian định chuẩn đầy đủ với metric