Định lý điểm bất động banach trong không gian metric từng phần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM ÁNH NGỌC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BANACH TRONG KHÔNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM ÁNH NGỌC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BANACH TRONG KHƠNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Hà Đức Vượng, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể Thầy, Cơ giáo khoa Tốn đặc biệt chun ngành Tốn Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Ánh Ngọc Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, luận văn chun ngành Tốn giải tích với đề tài: Định lý điểm bất động Banach không gian metric phần tơi tự làm Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Ánh Ngọc Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian metric 11 1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach 20 Định lý điểm bất động Banach không gian metric phần 24 2.1 Không gian metric phần 24 2.2 Định lý điểm bất động Banach không gian metric phần 31 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực R+ Tập số thực không âm ∅ Tập rỗng T :X→X Ánh xạ T từ tập hợp X vào tập hợp X (X, d) Không gian metric d(x, y) Khoảng cách hai phần tử x y (X, p) Không gian metric phần ✷ Kết thúc chứng minh Mở đầu Lí chọn đề tài Cho tập hợp X khác rỗng tùy ý ánh xạ f : X → X Nếu có phần tử x ∈ X thỏa mãn f (x) = x x gọi điểm bất động ánh xạ f tập X Việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Các kết nghiên cứu lĩnh vực hình thành nên “ Lý thuyết điểm bất động” (fixed point theory) gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học lớn Banach, Brouwer, Schauder, Sadovski, Tikhonov, Ky Fan, Lý thuyết điểm bất động nghiên cứu theo hai hướng chính: Hướng thứ nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ liên tục, mở đầu Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912): Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng Rn vào có điểm bất động [1] Hướng thứ hai nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ co, mở đầu Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922): Mọi ánh xạ co không gian metric đầy đủ có điểm bất động [1] Ngồi hướng thứ ba nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ không giãn Lớp ánh xạ xem lớp ánh xạ trung gian lớp ánh xạ co lớp ánh xạ liên tục Kết hướng nghiên cứu Kirk, Browder - Gohde công bố năm 1965 Năm 1994, Matthews đề xướng khái niệm metric phần (partial metric) không gian metric phần định nghĩa sau: X tập khơng rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ thỏa mãn: p(x, x) p(x, y), ∀x, y ∈ X Nếu p(x, x) = p(x, y) = p(y, y) x = y, ∀x, y ∈ X p(x, y) = p(y, x), ∀x, y ∈ X p(x, y) p(x, z) + p(z, y) − p(z, z), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, p gọi metric phần cặp (X, p) gọi không gian metric phần [3] Các kết điểm bất động lớp không gian công bố Năm 2005, Oscar Valero mở rộng Nguyên lý điểm bất động Banach từ không gian metric sang không gian metric phần Kết công bố báo: "On Banach fixed point theorems for partial metric spaces" đăng tạp chí Applied General Topology [3] Với mong muốn tìm hiểu sâu điểm bất động không gian metric phần, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý điểm bất động Banach không metric phần" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu điểm bất động Banach không gian metric phần Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu không gian metric phần, Định lý điểm bất động Banach không gian metric phần Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu không gian metric phần điểm bất động lớp không gian dựa hai báo: - "On Banach fixed point theorems for partial metric spaces" (2005) Oscar Valero [3]; - "Partial metric topology" (1994) S G Matthews [4] Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức giải tích hàm để phục vụ cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Luận văn tổng quan điểm bất động Banach không gian metric phần Luận văn gồm hai chương nội dung: Chương 1, Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức không gian tôpô, không gian metric, không gian metric đầy đủ với ví dụ phản ví dụ Cuối cùng, chúng tơi trình bày ngun lý ánh xạ co Banach Chương 2, Định lý điểm bất động Banach không gian metric phần Trong chương chúng tơi trình bày khái niềm metric phần, hội tụ không gian metric phần Sau chúng tơi trình bày khơng gian metric phần đầy đủ, sở lân cận khơng gian metric phần Tiếp theo, chúng tơi trình bày tựa metric, không gian tựa metric không gian tựa metric phần Cuối cùng, chúng tơi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach không gian metric phần 27 Định lý 2.1.1 [4] Cho khơng gian metric phần (X, p), hình cầu mở Bp (a, ) ⊂ X x ∈ Bp (a, ) Khi tồn δ > cho Bp (x, δ) ⊂ Bp (a, ) Chứng minh Giả sử x ∈ Bp (a, ), ta suy p(x, a) < Lấy δ = − p(x, a) + p(x, x) Ta có δ > δ > p(x, x) với > p(x, a) Vì x ∈ Bp (x, δ) Bây giả sử y ∈ Bp (x, δ), ta có p(y, x) < δ Suy p(y, x) < − p(x, a) + p(x, x) Hay p(y, x) + p(x, a) − p(x, x) < Theo định nghĩa metric phần p, ta suy p(y, a) < Vậy y ∈ Bp (a, ) Do Bp (x, δ) ⊂ Bp (a, ) Định nghĩa 2.1.3 [4] Cho (X, p) không gian metric phần Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim p(xn , x) = p(x, x) n→∞ Định nghĩa 2.1.4 [4] Cho (X, p) không gian metric phần Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim p(xn , xm ) n,m tồn hữu hạn 28 Định nghĩa 2.1.5 [4] Không gian metric phần (X, p) gọi đầy đủ (complete partial metric space) dãy Cauchy {xn } X hội tụ theo tôpô τ (p) tới x ∈ X cho lim p(xn , xm ) = p(x, x) n,m→∞ Ví dụ 2.1.2 Khơng gian metric phần (R+ , pmax ) ví dụ 2.1.1 đầy đủ Chứng minh Thật vậy, lấy {xn } dãy Cauchy tùy ý R+ Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có thiết giới hạn số thực x lim p(xn , xm ) tồn hữu hạn Ta giả n,m→∞ ∈ R+ Theo định nghĩa metric phần ta có x = max{x, x} = p(x, x) Vậy lim p(xn , xm ) = p(x, x) nên (R+ , pmax ) không gian metric n,m→∞ phần đầy đủ Nhận xét 2.1.2 Trong khơng gian metric (X, d) ta ln có x = y Suy d(x, y) = Hay d(x, x) = 0, ∀x ∈ (X, d), tức khoảng cách từ điểm đến ln Nhưng không gian metric phần (X, p) điều không Tức p(x, y) = ta có x = y x = y khơng thể suy p(x, y) = Hay p(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ (X, p) 29 Nếu p(x, x) = 0, ∀x ∈ (X, p) p trở thành metric thơng thường.Ta minh họa ví dụ sau Ví dụ 2.1.3 Gọi S ω tập tất dãy vô hạn x = {x0 , x1 , } tập hợp S Với dãy x y S ω ta xác định dS (x, y) = 2−k k số lớn (có thể ∞) chiều dài dãy x dãy y cho xi = yi , ∀i < k Tức k chiều dài dãy dài nhất, hay k = sup{i : i ≤ length(x) ∨ i ≤ length(y) ∨ ∀j < i, xj = yj } Ta dễ kiểm tra (S ω , dS ) không gian metric Như dS (x, x) = 2−k với x ∈ S ω dãy vô hạn hay k = ∞ nên ta có dS (x, x) = Xét chương trình máy tính để in kết dãy, ta phải in giá trị x0 , x1 , Ta thu dãy hữu hạn {x0 }, {x0 , x1 }, , {x0 , x1 , , xk } phận dãy vô hạn giới thiệu Giả sử ta gọi tập hợp tất dãy hữu hạn tập hợp S S ∗ Hiển nhiên dS (x, x) = 2−k với x dãy hữu hạn, k < ∞ dS (x, x) = 0, ∀x ∈ S ∗ Nhận xét 2.1.3 Cho (X, p) khơng gian metric phần Khi d(x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y), ∀x, y ∈ X 30 metric X Chứng minh Thật vậy, theo định nghĩa metric phần p, ta có p(x, x) ≤ p(x, y), p(y, y) ≤ p(y, x), ∀x, y ∈ X Suy 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X Hay d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X Nếu x = y 2p(x, x) − p(x, x) − p(x, x) = 0, hay d(x, y) = Ta có d(x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y), ∀x, y ∈ X d(y, x) = 2p(y, x) − p(y, y) − p(x, x), ∀x, y ∈ X Vì p(x, y) = p(y, x), ∀x, y ∈ X nên ta có d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X Cuối ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác Với x, y, z ∈ X, theo định nghĩa metric phần ta có p(x, y) ≤ p(x, z) + p(z, y) − p(z, z) Hay 2p(x, y) ≤ 2p(x.z) + 2p(z, y) − 2p(z, z), ∀x, y, z ∈ X Suy 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) ≤ [2p(x, z) − p(x, x) − p(z, z)] + [2p(z, y) − p(z, z) − p(y, y)] với x, y, z ∈ X Hay d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Vậy (X, d) không gian metric 31 2.2 Định lý điểm bất động Banach không gian metric phần Định nghĩa 2.2.1 [3] Cho X tập hợp không rỗng Ánh xạ d : X × X → R+ gọi tựa metric (quasi - metric) tập X với x, y, z ∈ X ta có: d(x, x) = ≤ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Khi cặp (X, d) gọi không gian tựa metric (quasi - metric space) Nhận xét 2.2.1 Cho (X, d) không gian tựa metric, d thỏa mãn d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X d trở thành metric (X, d) trở thành không gian metric Chứng minh Hiển nhiên, với d tựa metric hàm số dS : X × X → R+ xác định dS = max{d(x, y), d(y, x)} metric X (X, dS ) không gian metric Thật vậy, d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X nên dS (x, y) ≥ với x, y ∈ X dS (x, y) = ⇔ max{d(x, y), d(y, x)} = 32 Hay d(x, y) = d(y, x) = 0, x = y Ta có dS (x, y) = max{d(x, y), d(y, x)} = max{d(y, x), d(x, y)} = dS (y, x), ∀x, y ∈ X Cuối cùng, với x, y, z ∈ X ta có dS (x, y) = max{d(x, y), d(y, x)} ≤ max{d(x, y), d(y, x), d(x, z), d(z, x), d(y, z), d(z, y)} ≤ max{d(x, y), d(y, z), d(z, x), d(z, y), d(y, x), d(x, z)} ≤ max{d(x, z), d(z, x), d(z, y), d(y, z)} ≤ max{d(x, z), d(z, x)} + max{d(z, y), d(y, z)} = dS (x, z) + dS (z, y) Nhận xét 2.2.2 Cho (X, d) không gian tựa metric Mỗi tựa metric d sinh tôpô τ (d) X mà có sở lân cận họ hình cầu mở {Bd (x, ) : x ∈ X, > 0}, Bd (x, ) = {y ∈ X : d(x, y) < } Định nghĩa 2.2.2 [3] Cho X tập không rỗng Ánh xạ q : X × X → R+ 33 gọi tựa metric phần (quasi - partial metric) với x, y, z ∈ X thỏa mãn: Nếu ≤ q(x, x) = q(x, y) = q(y, y) x = y q(x, x) ≤ q(x, y) q(x, x) ≤ q(y, x) q(x, y) ≤ q(x, z) + q(z, y) − q(z, z) Khi cặp (X, q) gọi khơng gian tựa metric phần (quasi partial metric space) Nhận xét 2.2.3 Cho (X, q) không gian tựa metric phần Nếu q(x, y) = q(y, x), ∀x, y ∈ X (X, q) trở thành khơng gian metric phần Hàm số dp : X × X → R+ xác định dp (x, y) = q(x, y) + q(y, x) − q(x, x) − q(y, y), ∀x, y ∈ X, metric X Chứng minh Thật vậy, (X, q) không gian tựa metric phần Nếu có q(x, y) = q(y, x), ∀x, y ∈ X theo định nghĩa 2.1.1 định nghĩa 2.2.1 ta có q metric phần Mặt khác, từ định nghĩa 2.2.2 ta có ≤ q(x, x) ≤ q(x, y) ≤ q(y, y) ≤ q(y, x), ∀x, y ∈ X 34 Vậy dp (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X Nếu dp (x, y) = ta có q(x, y) − q(x, x) + q(y, x) − q(y, y) = Hay q(x, x) − q(x, y) = q(y, y) − q(y, x) Suy q(x, x) = q(x, y) = q(y, y) Vậy x = y Ta có q(x, y) = q(x, y) + q(y, x) − q(x, x) − q(y, y), ∀x, y ∈ X q(y, x) = q(y, x) + q(x, y) − q(x, x) − q(y, y), ∀x, y ∈ X Do dp (x, y) = dp (y, x), ∀x, y ∈ X Cuối cùng, ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác.Ta có dp (x, y) = q(x, y) + q(y, x) − q(x, x) − q(y, y) ≤ q(x, z) + q(z, y) − q(z, z) + q(y, z) + q(z, x) − q(z, z) − q(x, x) − q(y, y) = q(x, z) + q(z, x) − q(x, x) − q(z, z) + q(y, z) + q(z, y) − q(y, y) − q(z, z) = qp (x, z) + qp (z, y), ∀x, y, z ∈ X Vậy (X, dp ) không gian metric Định nghĩa 2.2.3 [3] Cho (X, q) không gian tựa metric phần Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ đến điểm x ∈ X q(x, x) = lim p(xn , x) = lim p(x, xn ) n→∞ n→∞ Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim p(xn , xm ) n,m→∞ lim p(xm , xn ) tồn hữu hạn n,m→∞ 35 Định nghĩa 2.2.4 [3] Không gian tựa metric phần gọi đầy đủ dãy Cauchy {xn } ⊂ X hội tụ theo tôpô τ (q) đến phần tử x ∈ X cho q(x, x) = lim p(xm , xn ) = n,m→∞ lim p(xn , xm ) n,m→∞ Định lý 2.2.1 [3] Cho (X, q) không gian tựa metric phần Khi p(x, y) = [q(x, y) + q(y, x)], ∀x, y ∈ X metric phần X Hay (X, p) không gian metric phần Chứng minh Từ định nghĩa không gian tựa metric phần, (X, q) ta có q(x, y) = q(y, x) với x, y ∈ X (X, q) trở thành khơng gian metric phần Thật vậy, ta có p(x, y) = q(x, y) + p(y, x) = q(y, x) + q(y, x), ∀x, y ∈ X q(x, y), ∀x, y ∈ X Vậy p(x, y) = p(y, x), ∀x, y ∈ X Ta có (X, p) khơng gian metric phần Định lý 2.2.2 [3] Cho (X, q) không gian tựa metric phần Khi đó, ta có: Nếu q(x, y) = x = y 36 Nếu x = y q(x, y) > q(y, x) > Chứng minh Trong không gian tựa metric phần (X, q), giả sử ta có q(x, y) = Ta cần chứng minh x = y Thật vậy, từ định nghĩa metric phần (X, d) ta có q(x, x) ≤ q(x, y) = q(y, y) ≤ q(x, y) = Tương tự ta có q(x, x) ≤ q(y, x) = q(y, y) ≤ q(y, x) = Do ta có q(x, x) = q(x, y) = q(y, y) = q(x, x) = q(y, x) = q(y, y) = Do từ định nghĩa tựa metric phần ta có x = y Bây giờ, giả sử x = y, từ định nghĩa ta có q(x, y) ≥ q(y, x) ≥ với x, y ∈ X Giả sử q(x, y) = 0, theo chứng minh ta suy x = y mâu thuẫn Vậy q(x, y) > Tương tự ta có q(y, x) > với x = y Nhận xét 2.2.4 [3] Cho (X, q) không gian tựa metric phần Không gian metric phần không gian metric tương ứng (X, p), (X, dS ) Khi đó, mệnh đề sau tương đương: 37 (X, q) không gian tựa metric phần đầy đủ (X, p) không gian metric phần đầy đủ (X, dS ) không gian metric đầy đủ Định nghĩa 2.2.5 [3] Cho (X, p) không gian metric phần Ánh xạ f : X → X gọi co tồn số c ∈ [0, 1) cho p(f (x), f (y)) ≤ cp(x, y), ∀x, y ∈ X Định lý 2.2.3 [3] Cho (X, p) không gian metric phần đầy đủ Ánh xạ f : X → X ánh xạ co Khi tồn điểm a ∈ X cho f (a) = a p(a, a) = Chứng minh Giả sử u điểm X Với số tự nhiên n, k ta có p(f n+k+1 (u), f n (u)) ≤ p(f n+k+1 (u), f n+k (u)) + p(f n+k (u), f n (u)) − p(f n+k (u), f n+k (u)) (2.1) (Bất đẳng thức tam giác định nghĩa metric phần) Theo định nghĩa ánh xạ co, ta có p(f (u), f (u)) = p(f (f (u)), f (u)) ≤ cp(f (u), u) p(f (u), f (u)) = p(f (f (u)), f (u)) ≤ cp(f (u), f (u)) ≤ c2 p(f (u), u) Tiếp tục trình trên, quy nạp ta có p(f n+k+1 (u), f n+k (u)) ≤ cn+k p(f (u), u) 38 Từ (2.1) ta có p(f n+k+1 (u), f n (u)) ≤ cn+k p(f (u), u) + p(f n+k (u), f n+k (u)) (2.2) Mặt khác, với n, k ∈ N∗ ta có p(f n+k+1 (u), f n (u)) ≤ cn+k p(f (u), u) p(f n+1 (u), f n (u)) ≤ cn p(f (u), u) Ta suy p(f n+k+1 (u), f n (u)) ≤ (cn+k + + cn )p(f (u), u) + p(f n (u), f n (u)) − ck+1 p(f (u), u)) + p(f n (u), f n (u)) =c ( 1−c n (2.3) Cũng từ định nghĩa ánh xạ co ta có: p(f (u), f (u)) ≤ cp(u, u) p(f (u), f (u)) ≤ cp(f (u), f (u)) ≤ c2 p(u, u) Bằng quy nạp ta suy p(f n (u), f n (u)) ≤ cn p(u, u) (2.4) Từ (2.3) ta có − ck+1 p(f (u), f (u)) ≤ c ( p(f (u), u)) + cn p(u, u) 1−c p(f (u), u) ≤ cn ( + p(u, u)) 1−c n+k+1 n n Từ (2.4), c < nên lim cn = Suy n→∞ lim p(f n (u), f n (u)) = n→∞ (2.5) 39 Do dãy {f n (u)} hội tụ dãy Cauchy, thỏa mãn (2.5) Tức lim p(f n (u), f m (u)) = n,m→∞ Do p metric phần đầy đủ nên tồn a ∈ X cho lim p(f n (u), a) = n→∞ Mặt khác, với n ∈ N∗ ta có p(f (a), a) ≤ p(f (a), f n+1 (u)) + p(f n+1 (u), a) − p(f n+1 (u), f n+1 (u)) cp(a, f n (u)) + p(f n+1 (u), a) Do lim p(f n (u), a) = lim p(f n+1 (u), a) = nên ta suy n→∞ n→∞ p(f (a), a) = 0, hay f (a) = a Từ định nghĩa metric phần p, ta suy p(a, a) = Vậy tồn a ∈ X thỏa mãn f (a) = a p(a, a) = Bây giờ, ta chứng minh a phản chứng Giả sử có b ∈ X thỏa mãn f (b) = b Ta có p(a, b) = p(f (a), f (b)) ≤ cp(a, b) Hay (1 − c)p(a, b) ≤ Vì c < nên ta có p(a, b) = 0, a = b Vậy a 40 Kết luận Luận văn trình bày khái niệm metric phần, không gian metric phần, không gian metric phần đầy đủ không gian tựa metric, không gian tựa metric phần Mối quan hệ không gian metric không gian metric phần, có ví dụ minh họa Đặc biệt, luận văn trình bày chi tiết chứng minh định lý điểm bất động Banach không gian metric phần đầy đủ 41 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Oscar Valero (2005), "On Banach fixed point theorems for partial metric spaces", Applied General Topology, Vol 6, No 2, 229 - 240 [4] S G Matthews (1994), "Partial metric topology", Proc 8th Summer Conference on General Topology and Application Ann New York Acad Sci 728, 183 - 197 ... cứu không gian metric phần, Định lý điểm bất động Banach không gian metric phần Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu không gian metric phần điểm bất động lớp không gian dựa hai báo: - "On Banach. .. khơng gian metric phần, không gian metric phần đầy đủ, không gian tựa metric, không gian tựa metric phần, ánh xạ co không gian metric phần cuối chúng tơi trình bày kết điểm bất động Banach không gian. .. gọi metric phần cặp (X, p) gọi không gian metric phần [3] Các kết điểm bất động lớp không gian công bố Năm 2005, Oscar Valero mở rộng Nguyên lý điểm bất động Banach từ không gian metric sang không