Phương pháp lặp cho những điểm bất động của ánh xạ không giãn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Thảo PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO NHỮNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Thảo PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO NHỮNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .7 1.1 Không gian lồi 1.2 Không gian lồi chặt .8 1.3 Môđun lồi không gian Banach 1.4 Không gian trơn 11 1.5 Ánh xạ đối ngẫu không gian Banach 11 1.6 Các định nghĩa 12 1.6.1 Dãy chấp nhận 12 1.6.2 Nửa compact 13 1.6.3 Nửa đóng 13 1.6.4 Không gian Opial 13 CHƯƠNG 2:MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 14 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 21 3.1 Tiệm Cận Đều 21 3.2 Các định lý điều kiện đủ để 29 3.3 Các định lý hội tụ dãy lặp điểm bất động 35 3.4 Hai định lý hội tụ yếu .40 3.5 Phương pháp lặp kiểu Halpern .43 3.5.1 Giới thiệu phương pháp lặp kiểu Halpern …….43 3.5.2 Các định lý hội tụ theo điều kiện Halpern 45 3.5.2.1 Định lý Shioji Takahashi 45 3.5.2.2 Định lý Xu .49 3.5.2.3 Định lý 3.21 53 3.5.2.4 Định lý hội tụ trường hợp ánh xạ khơng vào tập 62 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 LỜI CÁM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hồn Hóa, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cám ơn PGS.TS Đậu Thế Cấp, PGS.TS Nguyễn Bích Huy, TS Trần Huyên, PGS.TS Đặng Đức Trọng, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, TS Trịnh Công Diệu nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tơi kiến thức quý báu làm công cụ để thực việc nghiên cứu Tôi xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi suốt khóa học - Các thành viên lớp giải tích khóa 20 tơi vượt qua khó khăn thời gian học trường - Các bạn lớp Toán Tin K31(2005-2009) - Đại học Cần Thơ thường xuyên hỏi thăm, động viên cho Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, anh chị người thân gia đình ln động viên, nâng đỡ cho mặt Võ Thanh Thảo LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động đời từ năm kỷ XX Từ đời đến có nhiều ứng dụng tốn học nói riêng khoa học kỹ thuật nói chung Trong nhiều trường hợp, việc giải phương trình quy việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, f ánh xạ X , y phần tử cố định X nghiệm phương trình f (x ) = y điểm bất động ánh xạ T xác định bởi: Tx = f (x ) + x − y với x ∈ X Cho (M , d ) không gian mêtric Ánh xạ T : M → M gọi ánh xạ không giãn với x, y ∈ X ta có d (Tx, Ty ) ≤ d (x, y ) Các kết điểm bất động ánh xạ không giãn xuất cách vài chục năm, kể từ đến lĩnh vực mảnh đất màu mỡ thu hút nhiều nhà toán học lao vào nghiên cứu Chính mẽ vấn đề nên việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn chắn hứa hẹn nhiều điều thú vị Mục đích luận văn nghiên cứu phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ không giãn, định lý hội tụ dãy điểm bất động, đồng thời nghiên cứu phương pháp lặp kiểu Hapern, phương pháp mà dãy lặp {x } ∞ n n =0 ⊂ K định nghĩa sau:  x0 ∈ K   xn +1 = α nu + (1 − α n ) Txn , n ≥ với K tập lồi, đóng khơng gian Banach E, dãy {α n } ⊂ [ 0,1] u tùy ý thuộc K Luận văn gồm có chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc nghiên cứu luận văn rõ ràng, dễ hiểu Chương 2: Một số kết điểm bất động ánh xạ khơng giãn Trong chương chúng tơi trình bày số kết điểm bất động ánh xạ không giãn chứng minh rõ ràng, chi tiết Chương 3: Phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương chúng tơi trình bày tiệm cận đều, hội tụ dãy lặp điểm bất động, định lý hội tụ mạnh điểm bất động, hai định lý hội tụ yếu điểm bất động, phương pháp lặp kiểu Halpern định lý hội tụ theo điều kiện Halpern CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương tơi trình bày cấu trúc hình học không gian Banach như: không gian lồi điều, không gian lồi chặt, môđun lồi không gian Banach, không gian trơn… Tài liệu tham khảo chương này, xem [6] 1.1 Không gian lồi Định nghĩa 1.1 Không gian Banach X gọi lồi với ε > tồn δ ( ε ) > cho với x, y ∈ X mà x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε ta ln có x+ y ≤ − δ (ε ) Mọi không gian Hilbert không gian lồi Thật vậy, đặt ε > Lấy x, y ∈ H cho x ≤ 1; y ≤ x− y ≥ε 4−ε2 1− Đặt δ = δ ( ε ) = Khi δ > theo đẳng thức hình bình hành ta có: x+ y = x+ y + x− y − x− y 2 = x +2 y − x− y 2 ≤ − ε = (1 − δ ) Từ ta suy ra: x+ y ≤1−δ Định lý 1.2 Cho X không gian lồi 2 Khi đó, với d > 0, ε > x, y véctơ tùy ý thuộc X thỏa x ≤ d , y ≤ d , x − y ≥ ε tồn δ > cho x+ y   ε  ≤ 1 − δ    d  d   Chứng minh Lấy tùy ý x, y ∈ X Đặt = z1 x y = , z2 d d Đặt ε = ε d Khi ε > Hơn nữa, z1 ≤ 1, z2 ≤ 1, z1 − z2 = ε x − y ≥ = ε1 d d z1 + z2 ε  ≤ − δ (ε1 )  > thỏa d  Do X lồi nên tồn δ = δ  Nghĩa Vậy x+ y ε  ≤1−δ   2d d  x+ y   ε  ≤ 1 − δ    d  d   Định lý chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho X không gian lồi đều, lấy α ∈ ( 0,1) ε > Khi với ε  δ δ   > d > , x, y ∈ X mà x ≤ d , y ≤ d , x − y ≥ ε , tồn = d  cho   ε  α x + (1 − α ) y ≤ 1 − 2δ   {α ,1 − α } d d  1.2 Không gian lồi chặt Định nghĩa 1.4    Không gian Banach X gọi lồi chặt với x ≠ y mà x ≤ 1, y ≤ ta có x+ y < Điều kiện tương đương với: x + y = x + y y ≠ x = λ y với λ > Định lý 1.5 Mọi khơng gian Banach lồi lồi chặt 1.3 Mơđun lồi không gian Banach Định nghĩa 1.6 Môđun lồi không gian Banach X hàm số δ X : [ 0,2] → [ 0,1] xác định công thức:  x+y  : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε  δ X ( ε ) inf 1=   Đặc trưng lồi không gian Banach X xác định bởi: sup {ε ∈ [ 0,2] : δ X ( ε ) = 0} ε0 ( X ) = Hai đại lượng δ X ε ( X ) cho ta nhiều thơng tin tính chất khơng gian X Chẳng hạn, X lồi ε ( X ) = ; X lồi chặt δ X ( ε ) = ; ε ( X ) < X không gian phản xạ Mệnh đề 1.7 Với không gian định chuẩn X, hàm số δ X ( ε ) ε hàm không giảm ( 0,2] Định lý 1.8 Không gian Banach X lồi δ X ( ε ) > , với ε ∈ ( 0,2] Chứng minh ( ⇒ ) X không gian lồi đều, với ε > , tồn δ > cho với mà x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε δ ≤ − x, y ∈ X x+ y Vì δ X ( ε ) > ( ⇐ ) giả sử δ (ε ) > , với ε ∈ ( 0,2] X Cố định ε ∈ ( 0,2] lấy x, y ∈ X cho x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε Khi < δ X (ε ) ≤ − Do x+ y x+ y ≤ − δ , với δ = δ X ( ε ) không phụ thuộc vào x y Vậy X không gian lồi Định lý 1.9 Nếu X không gian Banach lồi đều, X phản xạ Chứng minh Giả sử X không gian Banach lồi X khơng phản xạ Khi với ε > , tồn x** ∈ X ** , x** = thỏa mãn x** − x = 2ε , với x ∈ B ( X ) hình cầu đóng đơn vị X Chọn δ cho x, y ∈ X mà x ≤ 1, y ≤ 1, − δ ≤ x + y Khi x− y ≤ε Lấy x* ∈ X * , x* = cho x** , x* = Xét lân cận trù mật V x** có dạng: δ  V= u ** ∈ X ** : x* , u ** − <  2  Nếu x, y ∈ B ( X ) ⊂ V x− y ≤ε x* , x + y > − δ , − δ ≤ x + y Vì j −1 ≤ ∑ limsup ( yn+i+1 − yn+i − xn+i+1 − xn+i →∞ i =0 n n ) ( 3.31) ≤ 0, ∀j ∈  Đặt a = − limsup βn n →∞ n Khi < a < Cố định k , l ∈  ε > Khi tồn m' ≥ l cho a ≤ − β n , yn+1 − yn − xn+1 − xn ≤ ε yn+ j − xn+ j − yn − xn ≤ ε với n ≥ m' j = 1,2, , k Trong trường hợp d = limsup yn − xn , chọn m ≥ m' thởa n →∞ ym+ k − xm+ k ≥ d − n ε ( 3.32 ) yn − xn ≤ d + ε , ∀n ≥ m Khi ε ε , j 0,1, , k − ym+ j − xm+ j ≥ ym+ k − xm+ k − ≥ d −= ( 3.33) Trong trường hợp d = liminf yn − xn , chọn m ≥ m' thỏa n →∞ ym − xm ≤ d + n ε ( 3.34 ) yn − xn ≤ d − ε , ∀n ≥ m Khi ε ym+ j − xm+ j ≤ ym − xm + ≤ d + ε , j = 0,1, , k Trong hai trường hợp, có m thỏa m ≥ l ; ( 3.35) yn +1 − yn − xn +1 − xn ≤ ε ; a ≤ − β n ≤ với n ≥ m d − ε ≤ ym+ j − xm+ j ≤ d + ε , j = 0,1, , k Tiếp theo thể ( 3.36 ) ym+ k − xm+ j ≥ (1 + β m+ j + β m+ j +1 + + β m+ j + k −1 ) d − ( k − j )( 2k + 1) ε ak− j ( 3.37 ) với= j 0,1, , k − Từ d − ε ≤ ym+ k − xm+ k = ym+ k − β m+ k −1 ym+ k −1 − (1 − β m+ k −1 ) xm + k −1 ≤ β m+ k −1 ym+ k − ym+ k −1 + (1 − β m+ k −1 ) ym+ k − xm+ k −1 ≤ β m+ k −1 xm+ k − xm+ k −1 + ε + (1 − β m+ k −1 ) ym+ k − xm+ k −1 = β m2+ k −1 ym+ k −1 − xm+ k −1 + ε + (1 − β m+ k −1 ) ym+ k − xm+ k −1 ≤ β m2+ k −1d + 2ε + (1 − β m+ k −1 ) ym+ k − xm+ k −1 ( 3.38) có ym+ k − xm+ k −1 (1 − β ≥ m + k −1 ) d − 3ε − β m+ k −1 ≥ (1 + β m+ k −1 ) d − 2k + ε a ( 3.39 ) Vì (3.37) với j= k − Giả sử (3.37) với j ∈ {1,2, , k − 1} Khi đó, từ ( k − j )( 2k + 1) ε  k −1  1 + ∑ β m +i  d − ak− j  i= j  ≤ ym+ k − xm+ j = ym+ k − β m+ j −1 ym+ j −1 − (1 − β m+ j −1 ) xm+ j −1 ( ) ≤ β m+ j −1 ym+ k − ym+ j −1 + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 k −1 ( ) ≤ β m+ j −1 ∑ ym+i +1 − ym+i + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 i= j −1 k −1 ( ) ≤ β m+ j −1 ∑ ( xm +i +1 − xm +i + ε ) + − β m+ j −1 ym + k − xm + j −1 i= j −1 ( k −1 ) ≤ β m+ j −1 ∑ xm+i +1 − xm+i + kε + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 i= j −1 = β m+ j −1 ∑ β m+i ym+i − xm+i + kε + (1 − β m+ j −1 ) ym+ k − xm+ j −1 k −1 i= j −1 ( k −1 ) ≤ β m+ j −1 ∑ β m+i ( d + ε ) + kε + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 i= j −1 ( k −1 ) ≤ β m+ j −1 ∑ β m+i d + 2kε + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 i= j −1 ( 3.40 ) nhận ym+ k − xm+ j −1 ≥ k −1 k −1 i= j i= j −1 + ∑ β m+i −β m+ j −1 ∑ β m +i − β m+ j −1 ( k − j )( 2k + 1) d− a k − j + 2k − β m+ j −1 k −1 ( k − j + 1)( 2k + 1) ε   ≥ 1 + ∑ β m+i  d − a k − j +1  i= j −1  Vì (3.37) với j= ε ( 3.41) với j 0,1, , k − Với j = j − Vậy (3.37) đúng= ta có ym+ k − xm ≥ (1 + β m + β m +1 + + β m + k −1 ) d − k ( 2k + 1) ε ak ( 3.42 ) Mặt khác, có k −1 ym+ k − xm ≤ ym+ k − xm+ k + ∑ xm+i −1 − xm+i i =0 k −1 ( 3.43) = ym+ k − xm+ k + ∑ β m+i ym+i − xm+i i =0 k −1 ≤ d + ε + ∑ β m+i ( d + ε ) i =0 k −1 ≤ d + ∑ β m+i d + ( k + 1) ε i =0 Từ (3.42) (3.43), ta có ym+ k − xm − (1 + β m + β m +1 + + β m + k −1 ) d ≤ k ( 2k + 1) ε ak Do l ∈ ε > nên inf yn+ k − xn − (1 + β n + β n+1 + + β n+ k −1 ) d = 0, ∀k ∈  lim n →∞ n Bổ đề 3.23 Cho { xn } { yn } hai dãy bị chặn không gian Banach E {β n } dãy [0,1] < liminf β n ≤ limsup β n < n →∞ với n →∞ Giả sử x= β n yn + (1 − β n ) xn , ∀n ∈  limsup ( yn+1 − yn − xn+1 − xn ) ≤ n +1 n →∞ Khi lim yn − xn = n →∞ Chứng minh Đặt a = liminf βn > n →∞ = M 2sup { xn + yn : n ∈ } < ∞ d = limsup yn − xn < ∞ n →∞ Giả sử d > Cố định k ∈ với (1 + ka ) d > M Theo bổ đề 3.22 ta có liminf yn + k − xn − (1 + β n + β n +1 + + β n + k −1 ) d = n →∞ Vì tồn dãy {ni } {n}  cho ( ) lim yn + k − xn − + β n + β n +1 + + β n + k −1 d = i →∞ Giới hạn i i {y − xn n i+k i } i i i tồn giới hạn {β } n i+ j tồn với j ∈{0,1, , k − 1} Đặt µ j = lim βn + j i →∞ j ∈{0,1, , k − 1} với i Khi j ∈{0,1, , k − 1} Chúng ta có: M < (1 + ka ) d ≤ (1 + µ0 + µ1 + µ + + µ k −1 ) d = lim (1 + β n + β n +1 + + β n +k −1 ) d i →∞ i i i µj ≥ a với = lim yn + k − xn i →∞ i i ≤ limsup yn + k − xn ≤ M n →∞ Ta gặp mâu thuẩn Vậy d = hay lim yn − xn = n →∞ Chứng minh định lý 3.21 Ta có (1 − δ ) x + δ Tx − (1 − δ ) y − δ Ty = (1 − δ )( x − y ) + δ (Tx − Ty ) ≤ (1 − δ ) x − y + δ x − y = x − y , Sx − Sy = ∀x, y ∈ K Giả sử u điểm bất động T Ta có: Su = (1 − δ ) u + δ Tu =(1 − δ ) u + Su =u Vậy S : K → K ánh xạ khơng giãn có tập điểm bất động với T Đặt β n = (1 − δ )α n + δ , ∀n ≥ 0; = yn xn +1 − xn + β n xn βn ( 3.44 ) , ∀n ≥ Khi β n → δ n → ∞ { xn } bị chặn { yn } bị chặn { } Lấy x* ∈ F (T ) Khi xn − x* ≤ max u-x* , x0 − x* , ∀n ≥ Do { xn } ,{ yn } ,{Txn } {Sxn } bị chặn Ta có ( 3.45) xn +1 − Sxn = α n u − Sxn → n → ∞ Từ định nghĩa β n S ta được= yn Do βn (α u + (1 − α )δ Tx ) n n n (1 − α n+1 ) δ Tx − Tx α n+1 α n − u + n +1 n β n+1 β n β n+1 yn +1 − yn − xn +1 − xn ≤ + − α n +1 β n +1 − − αn βn δ Txn − xn+1 − xn Vì { xn } , {Txn } bị chặn nên tồn M > 0, M > cho  α α limsup ( yn +1 − yn − xn +1 − xn ) ≤ limsup  n +1 − n u n →∞ n →∞  β n +1 β n + (1 − α ) δ − M + n +1 β n+1 1 − α n +1 β n+1 − − αn βn Theo bổ đề 3.23, yn − xn → n → ∞ Do = = xn lim β n yn − xn lim xn +1 − n →∞ n →∞ Kết hợp với ( 3.45 ) ta ( 3.46 ) xn − Sxn → n → ∞ Tiếp theo thể ( 3.47 ) limsup u − z , j ( xn − z ) ≤ n →∞ Với n ≥ , lấy tn ∈ ( 0,1) cho tn → 0, xn − Sxn → n → ∞ tn ( 3.48) Lấy zt ∈ K điểm bất động ánh xạ co St cho n n St x = tnu + (1 − tn ) Sx, x ∈ K Khi n zt − xn= tn ( u − xn ) + (1 − tn ) ( Szt − xn ) n n Theo bổ đề 1.14 ta có zt − xn n ≤ (1 − tn ) Szt − xn + 2tn u − xn , j ( zt − xn ) 2 n n  δ M2 ≤  ≤ (1 − tn ) ( Szt − Sxn + Sxn − xn n ) ( + 2tn zt − xn + u − z , j ( zt − xn ) ( n n ≤ (1 + tn2 ) zt − xn + Sxn − xn zt − xn + Sxn − xn n n ) + 2tn u − zt , j ( zt − xn ) n n Vì vậy, u − zt , j ( xn − zt n ≤ n ) Sx − xn tn zt − xn + n zt − xn + Sxn − xn 2tn ( n n n limsup u − zt , j ( xn − zt n n →∞ ) xn − Sxn → n → ∞ Từ ta có 2tn { } {Sx } bị chặn Do { xn } , zt n n ) ( 3.49 ) ≤0 Hơn nữa, có u − zt , j ( xn − zt n n ) =u − z , j ( xn − z ) + u − z , j ( xn − zt n + z − zt , j ( xn − zt n ) − j(x n n − z) ) ( 3.50 ) Do zt → z ∈ F ( S ) , n → ∞ tính bị chặn { xn } ta có n z − zt , j ( xn − zt n n ) → 0, n → ∞ Mặt khác, ánh xạ đối ngẫu j liên tục theo chuẩn tập bị chặn E tôpô yếu nên u − z , j ( xn − zt n ) − j(x n − z ) → n → ∞ Do từ (3.49) (3.50) ta có limsup u − z , j ( xn − z ) ≤ n →∞ Hơn nữa, từ (**) ta có: xn +1 −= z α n ( u − z ) + (1 − α n )( Sxn − z ) Lại theo bổ đề 1.14 ta có: ) xn +1 − z =(1 − α n ) Sxn − z + 2α n u − z , j ( xn +1 − z ) 2 ≤ (1 − α n ) xn − z + α nσ n với σ n = u − z , j ( xn +1 − z ) , γ n = 0, ∀n ≥ Do theo bổ đề 3.19, { xn } hội tụ mạnh điểm bất động T 3.5.2.4 Định lý hội tụ trường hợp ánh xạ khơng vào tập Tài liệu tham khảo mục này, xem [6] Định nghĩa 3.24 Cho K tập không rỗng không gian Banach E Với x ∈ K , tập hướng vào x, ký hiệu IK x , định nghĩa yếu IK x = { x + α ( u − x ) : u ∈ K ,α ≥ 1} Ánh xạ T :K → E nói hướng vào Tx ∈ cl [ I K x ] , ∀x ∈ K , với cl [ I K x ] bao đóng tập hướng vào Cho K ⊂ E tập lồi đóng Q : E → K ánh xạ Khi Q nói sunny Q ( Qx + t ( x − Qx )= ) Qx, ∀x ∈ E t ≥ Ánh xạ Q : E → E nói co rút Q = Q Tập K E nói sunny không giãn co rút E tồn sunny không giãn co rút E K nói co rút không giãn E tồn co rút không giãn E K Nhận xét: Nếu T : K → E hướng vào yếu, F (T ) = F ( QT ) , với Q sunny không giãn co rút E K Chứng minh ( ⇐ ) Ta chứng minh F ( QT ) ⊂ F (T ) Giả sử x ∈ F ( QT ) x ∉ F (T ) Từ T : K → E hướng vào yếu nên tồn u ∈ K Tx =+ x λ ( u − x ) , với λ > u ≠ x cho Nếu u = x Tx = x , mâu thuẩn x ∉ F (T ) Do Q sunny không giãn nên Q ( QTx + t (Tx − QTx ) ) = x, ∀t ≥ Do QTx = x nên Q ( tTx + (1 − t ) x ) = x, ∀t ≥ Từ T : K → E hướng vào yếu nên tồn t0 ∈ ( 0,1) cho u = t0Tx + (1 − t0 ) x từ u ∈ K , Qu = u cho ta = u Qu = x , mâu thuẩn Vì F ( QT ) ⊂ F (T ) ( ⇒ ) F ( QT ) ⊃ F (T ) Định lý 3.25 Cho K tập lồi đóng khơng rỗng không gian Banach E với chuẩn khả vi Gâteaux T : K → E ánh xạ không giãn thỏa mãn điều kiện hướng vào yếu với F (T ) ≠ φ Giả sử K sunny không giãn co rút E với Q sunny không giãn co rút Giả sử { zt } hội tụ mạnh đến điểm bất động QT t → , với < t < , zt phần tử K thỏa mãn zt = tx + (1 − t ) QTzt Lấy {α n } dãy số thưc ( 0,1) thỏa mãn điều kiện sau: (a) αn = lim →∞ n ∞ ( b ) ∑α n =1 n = ∞ ∞ (c) ∑ α − α n =1 n n −1 , (α − α )( u − QTx ) + (1 − α )( QTx ≤ M α − α + (1 − α ) x − x =− (1 α ) x − x + σ xn +1 − xn = n −1 n n −1 n −1 n n n n −1 n ∞ ∑σ với= σ n M α n − α n −1 n =1 n n n n − QTxn −1 ) n −1 n < ∞ Do theo bổ đề 3.19 ta xn +1 − xn → n → ∞ Kết hợp với (***) ta có xn − QTxn → n → ∞ Với n ≥ , lấy tn ∈ ( 0,1) cho tn → xn − QTxn →0 tn Lấy zt ∈ K điểm bất động ánh xạ co Tt cho n n Tt x = tnu + (1 − tn ) QTx, x ∈ K n ( ) Khi zt − xn= tn ( u − xn ) + (1 − tn ) QTzt − xn Theo bổ đề 1.14 ta có n zt − xn n n ≤ (1 − tn ) QTzt − xn + 2tn u − xn , j ( zt − xn ) 2 n ≤ (1 − tn ) ( ( QTz tn n − QTxn + QTxn − xn ) + 2tn zt − xn + u − zt , j ( zt − xn ) n n n ) ( ≤ (1 + tn2 ) zt − xn + QTxn − xn zt − xn + QTxn − xn n n ) + 2tn u − zt , j ( zt − xn ) n n Vì u − zt , j ( zt − xn ) n n ≤ QTxn − xn tn zt − xn + zt − xn + QTxn − xn 2tn ( n n n limsup u − zt , j ( xn − zt n n →∞ ) xn − QTxn → n → ∞ Do tn { } {Tx } bị chặn Từ { xn } , zt n n ) ≤0 (3.52) Hơn nữa, có u − zt , j ( xn − zt n n ) = u − z , j ( xn − z ) + u − z , j ( xn − zt + z − zt , j ( xn − zt n n n ) − j(x ) n − z) ( 3.53) Theo giả thiết ta có zt → z ∈ F ( QT ) theo nhận xét có n QTz= z= Tz Vì ( z − zt , j ( xn − zt n Mặt khác, u − z , j xn − zt n ) − j(x n n ) → n → ∞ ( { xn } bị chặn ) − z ) → n → ∞ ( j liên tục theo chuẩn tập bị chặn E tơpơ yếu ) Vì từ (3.52) (3.53) ta có limsup u − z , j ( xn − z ) ≤ n →∞ Từ (***) có xn +1 −= z α n ( u − z ) + (1 − α n )( QTxn − z ) Lại theo bổ đề 1.14 ta có xn +1 − z ≤ (1 − α n ) QTxn − z + 2α n u − z , j ( xn +1 − z ) 2 ≤ (1 − α n ) xn − z + σ n với σ n =2α n u − z , j ( xn +1 − z ) limsup σ n ≤ n →∞ Vì theo bổ đề 3.19, { xn }n =0 hội tụ mạnh điểm bất động z ∈ F (T ) ∞ KẾT LUẬN Tóm lại luận văn trình bày số kết điểm bất động ánh xạ khơng giãn, có hai định lý định lý Kirk định lý Browder – Gohde Luận văn trình bày kết phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ khơng giãn, trình bày phương pháp lặp kiểu Halpern với định lý tiêu biểu như: định lý Shioji Takahashi, định lý Xu định lý hội tụ theo điều kiện Halpern Có thể nói q trình thực luận văn giúp làm quen dần với việc nghiên cứu vấn đề khoa học, địi hỏi người nghiên cứu phải làm việc cách nghiêm túc Điểm bất động ánh xạ không giãn lĩnh vực tốn học mẽ, mảnh đất vơ màu mỡ cho nhiều nhà toán học lao vào nghiên cứu Thực chất, qua việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn thấy lĩnh vực thú vị Vì thế, thời gian tới, có điều kiện tơi nghiên cứu tiếp lĩnh vực này, mà cụ thể nghiên cứu phương pháp lặp cho cho ánh xạ không giãn tiệm cận, ánh xạ tựa không giãn tiệm cận nghiên cứu phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp mà dãy lặp {x } ∞ n n =0 ⊂ K định nghĩa sau:  x0 ∈ K  α n xn + (1 − α n ) Tyn  xn +=   yn= β n xn + (1 − β n ) Tyn với K tập lồi, đóng không gian Banach E, T : K → K ánh xạ không giãn; hai dãy {α n } , {β n } nằm [ 0,1] thỏa mãn điều kiện cho trước TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các Định Lý Điểm Bất Động, Nhà xuất Đại học sư phạm [2] PGS.TS Lê Hồn Hóa, Giải tích phi tuyến Tiếng Anh [3] Agarwal Ravi P., Maria Meehan, Donal O’Regan (2004), “Fixed Point Theory and Applications”, Cambridge University Press [4] Browder F.E., Petryshyn W.V.(1966), “The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach spaces”, Bull Amer Math Soc 72, pp.571-575 [5] Bruck F E.(1981), “On the convex approximation property and the asymptotic behavior of nonlinear contractions in Banach spaces”, Israel J Math 38, pp 304-314 [6] Charles Chidume (2009), Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlinear Iterations, Springer [7] Edelstein M (1964), “On nonexpansive mappings”, Proc Amer Math Soc 15, pp.689-695 [8] Edelstein M., O’Brian R.C (1978), “Nonexpansive mappings, asymptotic regularity and sucessive approximations”, J London Soc 17, (3), pp 547-554 [9] Halpern B.(1967), “Fixed point of nonexpansive maps”, Bull Amer Math Soc 3, pp 957-961 [10] Ishikawa S (1976), “Fixed points and iteration of nonexpansive mapping in a Banach space”, Proc Amer Math Soc 73, pp 61-71 [11] Opial Z.(1967), “Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings”, Bull Amer Math Soc 73, pp 591-597 [12] Reich S.(1980), “Strong convergence theorems for resolvents of accrective operator in Banach spaces”, J Math, Anal Appl 75,pp 287-292 [13] Shioji S., Takahashi W.(1997), “Strong convergence of approximated sequences for nonexpansive mappings in Banach spaces”, Proc Amer Soc 125, pp 3641-3645 [14] Suzuki T.(2005), “Strong convergence theorems for infinite families of nonexpansive mappings in general Banach spaces”, Fixed Point Theory Appl, (1), pp.103-123 [15] Xu H K.(2002), “Another control condition in an iterative method for nonexpansive mappings”, Bull Austral Math Soc 65, pp.109-113 [16] Xu H K.(2002), “Iterative algorithms for nonlinear operators”, J London Math Soc 66, (2), pp 240-256 ... 13 1.6.4 Không gian Opial 13 CHƯƠNG 2:MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 14 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN ... nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn chắn hứa hẹn nhiều điều thú vị Mục đích luận văn nghiên cứu phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ không giãn, định lý hội tụ dãy điểm bất động, đồng... 3: Phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương chúng tơi trình bày tiệm cận đều, hội tụ dãy lặp điểm bất động, định lý hội tụ mạnh điểm bất động, hai định lý hội tụ yếu điểm