Ứng dụng các không gian e mêtric trong bài toán điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Tiến Thuận ỨNG DỤNG CÁC KHƠNG GIAN E-MÊTRIC TRONG BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Tiến Thuận ỨNG DỤNG CÁC KHƠNG GIAN E-MÊTRIC TRONG BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ tốn học với đề tài “Ứng dụng không gian E-Mêtric tốn điểm bất động” tơi thực dựa hướng dẫn thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo số tài liệu, sách chuyên khảo, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm luận văn TP.HCM, ngày tháng năm 2017 Tác giả Đặng Tiến Thuận LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Giảng viên Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người ln ln nhiệt tình tận tâm giúp đỡ, động viên, hướng dẫn cung cấp đầy đủ tài liệu tham khảo để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến Giảng viên Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt kiến thức vơ bổ ích cho tơi suốt thời gian khóa học Đồng thời xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp dành thời gian để đọc cho lời nhận xét quý báu luận văn Bên cạnh đó, tơi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, chuyên viên Phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho chúng suốt thời gian khóa học diễn Cuối cùng, xin cảm ơn bạn học viên lớp Cao học Tốn giải tích khóa 25 tơi chia sẻ khó khăn q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Đặng Tiến Thuận MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN E-MÊTRIC 1.1 Không gian E-mêtric 1.2 Định lí điểm bất động dạng co 1.3 Định lí điểm bất động dạng Krasnoselskii Chương BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN ĐỀU 18 2.1 Khơng gian cho họ nửa mêtric 18 2.2 Định lí điểm bất động 31 Chương ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN CAUCHY TRONG THANG KHÔNG GIAN BANACH 34 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm cho nhiều lớp phương trình xuất phát từ Khoa học tự nhiên Kinh tế, Xã hội Lí thuyết điểm bất động hình thành từ đầu kỉ XX, phát triển mạnh mẽ tiếp tục hồn thiện ngày Để ứng dụng cho lớp toán phát sinh q trình phát triển Khoa học – Cơng nghệ, nhà Tốn học tìm cách mở rộng định lí điểm bất động Có thể mở rộng định lí điểm bất động theo hai hướng Trong hướng thứ ta giảm nhẹ điều kiện đặt lên ánh xạ Ở hướng thứ hai mở rộng khơng gian phương trình xét Ở hướng này, không gian mêtric thông thường thay không gian E-mêtric mêtric không nhận giá trị mà nhận giá trị khơng gian có thứ tự E Lí thuyết khơng gian E-mêtric định lí điểm bất động chúng xây dựng năm 1950 cơng trình Kantorovich, Zabreiko,… tìm ứng dụng sâu sắc Lí thuyết tính xấp xỉ, Lí thuyết phương trình vi phân tích phân,… Gần Lí thuyết nhà Toán học quan tâm nghiên cứu trở lại với ứng dụng Vì lí mà việc thực đề tài khơng gian E-mêtric ứng dụng tốn điểm bất động cần thiết có ý nghĩa khoa học đào tạo Nội dung phù hợp với yêu cầu luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Giải tích Luận văn có ba chương: Chương 1: Trình bày số định lí điểm bất động khơng gian Emêtric Chương 2: Trình bày tốn điểm bất động khơng gian Chương 3: Trình bày ứng dụng cho tốn Cauchy thang khơng gian Banach Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN E-MÊTRIC 1.1 Khơng gian E-mêtric Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach E trường Tập gọi nón nếu: (i) K tập đóng, (ii) , (iii) Định nghĩa 1.1.2 Nón gọi là: Nón chuẩn tồn số N cho Nón sinh tồn số M cho: Định nghĩa 1.1.3 Ta nói tập E thứ tự khơng tồn phần số phần tử có định nghĩa quan hệ “≤” cho: (i) (ii) (iii) Không gian tuyến tính thực E với quan hệ thứ tự “≤” E thỏa: (i) (ii) gọi không gian tuyến tính có thứ tự Như vậy, theo định nghĩa trên, dễ dàng ta thấy K nón thứ tự E sinh nón K định nghĩa cách hợp lí sau: Mỗi gọi phần tử dương Khi cặp (E, K) gọi khơng gian Banach có thứ tự Định nghĩa 1.1.4 Cho (E, K) không gian Banach có thứ tự Ánh xạ gọi dương Ánh xạ S gọi tăng Ta dễ thấy ánh xạ tuyến tính dương S ánh xạ tăng Để thuận tiện cho việc trình bày nội dung sau, ta sử dụng kí hiệu thay cho nón K, tức Định nghĩa 1.1.5 Cho E không gian tuyến tính thực thứ tự khơng tồn phần Sự hội tụ dãy E ( ) gọi hội tụ tuyến tính tính chất sau thỏa mãn: (i) Nếu (ii) (iii) (iv) (v) Nếu (vi) Nếu Định nghĩa 1.1.6 Cho X tập khác rỗng cho E không gian tuyến tính có thứ tự, hội tụ E hội tụ tuyến tính Một E-mêtric X ánh xạ thỏa mãn tính chất: (i) (ii) (iii) Không gian E-mêtric tập hợp khác rỗng X với E-mêtric X Khơng gian có thứ tự E gọi khơng gian mêtric hóa X Định nghĩa 1.1.7 Một dãy hội tụ phần tử không gian E-mêtric X gọi (ta viết Một dãy ) X gọi dãy Cauchy , nghĩa với dãy tùy ý Không gian E-mêtric X gọi đầy đủ theo dãy dãy Cauchy X hội tụ tới điểm X Định nghĩa 1.1.8 Một tập Y không gian E-mêtric X gọi bị chặn tập có cận E, nghĩa 1.2 Định lí điểm bất động dạng co Định lí 1.2.1 [5] Cho E khơng gian tuyến tính có thứ tự, hội tụ E hội tụ tuyến tính, tập đếm khác rỗng có cận có sup Cho X khơng gian E-mêtric đầy đủ theo dãy Cho toán tử tăng với S0 = cho S-co, nghĩa Hơn nữa, toán tử S thỏa điều kiện: (i) suy (ii) Tồn Khi tồn cho bị chặn và , với A có điểm bất động Chứng minh Đặt Hơn nữa, Khi Do dãy Cauchy X Từ tính chất đầy đủ theo dãy không gian X, tồn cho Bây ta cần Trước tiên ta để ý , Hơn nữa, , nên Định lí 1.2.2 [5] Cho E khơng gian tuyến tính có thứ tự, hội tụ E hội tụ tuyến tính Cho X không gian E-mêtric đầy đủ theo dãy Cho họ toán tử cho ánh xạ thỏa mãn: Giả sử rằng: (i) (ii) Tồn suy cho chuỗi Khi A có điểm bất động Hơn nữa, điểm bất động Chứng minh Ta ý dãy Cauchy Thật vậy: hội tụ toán tử tăng cho A có 24 Họ tập đóng, đối xứng sở Chứng minh + Với Gọi hay Với ta có Suy lân cận x tơpơ sinh cấu trúc tồn Lại , đối xứng thỏa có nên Do từ Tương tự ta có lấy với Vậy (với Ta sở ) hay đối xứng Theo Mệnh đề 2.1.1 ta có Với Khi bất kì, theo Mệnh đề 2.1.2 tồn Đặt Khi theo ta có , đối xứng chứa đối xứng 25 Định nghĩa 2.1.5 Cho không gian tôpô sinh gọi Hausdorff tập hợp gồm phần tử Không gian X tập đóng Khi ta cịn gọi khơng gian tách Định lí 2.1.8 Khơng gian X với tôpô sinh cấu trúc Hausdorff Chứng minh Với Lấy ta có Suy Vậy hay hay ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 2.1.6 Ánh xạ không gian gọi liên tục Như ta xét liên tục có nghĩa là: Và từ định nghĩa tơpơ sinh cấu trúc X ta có kết sau: Định lí 2.1.9 Nếu liên tục liên tục tôpô sinh cấu trúc Chứng minh Gọi sở cấu trúc Xét ta ta chứng minh cận y tồn Ta có liên tục x Đặt thỏa lân cận y , lân 26 Theo định nghĩa Suy Do Theo Hệ 2.1.6, lân cận x Chọn liên tục x hay Vậy liên tục nên ánh xạ liên tục X với tôpô sinh cấu trúc Định nghĩa 2.1.7 Cho không gian gọi cấu trúc liên kết kết với Y) đến Một họ tập và (hoặc cấu trúc liên cấu trúc nhỏ cho ánh xạ đồng từ liên tục Khi ta gọi khơng gian khơng gian Định nghĩa 2.1.8 Cho không gian đều tích khơng gian Khi cấu trúc cấu trúc nhỏ cho phép chiếu lên không gian tọa độ liên tục Họ tất tập với tiền sở cấu trúc tích Định nghĩa 2.1.9 Cho không gian Dãy gọi dãy Cauchy Không gian gọi đầy đủ dãy Cauchy có giới hạn Định nghĩa 2.1.10 Một hàm thực thuộc X ta có: (i) (ii) thỏa: Với x, y z 27 (iii) gọi nủa mêtric X Khi khơng gian gọi khơng gian nửa mêtric Cho không gian nửa mêtric , với số thực dương r ta đặt Theo Ví dụ 2.1.3 ta có Định lí 2.1.10 [3] Họ sở cấu trúc X ta gọi cấu trúc cấu trúc nửa mêtric cấu trúc sinh d Khi ta gọi tơpơ sinh cấu trúc tôpô nửa mêtric X Định lí 2.1.11 [3] Cho khơng gian X Khi d liên tục hợp d nửa mêtric theo cấu trúc tích tập với số thực dương r Chứng minh Lấy Khi , đặt: và thuộc vào cấu trúc tích họ tập sở cấu trúc tích Do d liên tục với số dương r tồn Đặc biệt, chọn Vì Ngược lại nếu ta có hay cho với với thuộc ta có 28 Suy Do d liên tục Theo Định lí 2.1.10 2.1.11, cấu trúc sinh d xem cấu trúc nhỏ làm cho d liên tục đồng với tơpơ sinh Khi tơpơ nửa mêtric hình cầu mở chứa x họ hình cầu sở lân cận x hai tôpô Bổ đề 2.1.12 [3] (Bổ đề mêtric hóa) dãy tập Cho thỏa    với n Khi tồn hàm thực không âm d xác định cho: a) với số nguyên dương n b) Nếu đối xứng tồn nửa mêtric d thỏa điều kiện b) Chứng minh Xét ánh xạ định 2 n nÕu ( x, y) U n1 \ U n f ( x)   0 nÕu ( x, y) U n Với đặt với tất dãy hữu hạn Khi thỏa thỏa điều kiện a) Vì nên 29 Nếu đối xứng với cặp d nửa mêtric trường hợp Ta chứng minh Dùng quy nạp theo n, hiển nhiên (*) với Giả sử (*) với Ta quy ước: + Đặt a độ dài chuỗi từ đến n+1 Gọi k số nguyên lớn cho chuỗi từ đến k có độ dài khơng Khi đó, chuỗi từ k + đến n + có độ dài khơng q Ta có Gọi m số dương nhỏ cho Ta có: Do Vậy (*) với Suy Nếu từ (*) ta suy Vậy và Bổ đề chứng minh xong Định nghĩa 2.1.11 Không gian có nửa mêtric d cho gọi nửa mêtric hóa cấu trúc sinh d Định lí 2.1.13 [3] Một khơng gian cấu trúc có sở đếm nửa mêtric hóa 30 Chứng minh Giả sử sở đếm đối xứng Chọn Theo Mệnh đề 2.1.1 tồn Đặt , , đối xứng đối xứng, Tiếp tục trình ta tìm họ + thỏa: đối xứng + với số tự nhiên n + Khi đó, sở Theo Bổ đề 2.1.12 tồn nửa mêtric d thỏa với số nguyên dương n Suy họ sở khơng gian nửa mêtric hóa Ngược lại, không gian nửa mêtric d cho Vậy cấu trúc sinh d nửa mêtric hóa tồn cấu trúc sinh d Khi họ sở đếm Định nghĩa 2.1.12 Cho (I tập số) họ nửa mêtric X Khi họ tập tiền sở cấu trúc X Ta gọi cấu trúc cấu trúc sinh họ Nhận xét Rõ ràng cấu trúc để ( ) liên tục Định lí 2.1.10, họ tập không gian nửa mêtric cấu trúc nhỏ Với cố định, theo sở cấu trúc Giả sử Định lí 2.1.11 nửa mêtric ứng với sinh họ cấu trúc khác X, theo liên tục với theo cấu trúc tích Khi ánh xạ đồng từ vào 31 liên tục với nhỏ cho với Như cấu trúc , ánh xạ đồng từ X vào là liên tục Định lí 2.1.14 [3] Mỗi cấu trúc mêtric liên tục trên X sinh họ nửa Chứng minh Gọi cấu trúc sinh họ nửa mêtric liên tục theo cấu trúc tích Khi đó, 2.1.11) nên (Định lí Mặt khác theo Bổ đề 2.1.12 với Vì cấu trúc X nên tồn Do cho Vậy 2.2 Định lí điểm bất động Định lí 2.2.1 [5] Cho X không gian Hausdorff đầy đủ theo dãy sinh họ nửa mêtric (I tập số) Cho họ hàm thỏa tính chất: (i) đơn điệu tăng liên tục từ bên phải (ii) tồn hàm (iii) và ánh xạ từ tập số I vào họ cho tăng Cho A: X → X -co X, nghĩa là: Giả sử tồn phần tử cho: 32 (iv) Thì A có điểm bất động Nếu ta giả sử thêm: (v) Dãy , nghĩa là: bị chặn Khi điểm bất động A Chứng minh Ta chọn khơng gian mêtric hóa cho X khơng gian tốn, thứ tự hội tụ theo điểm Ta định nghĩa , với phép theo thứ tự biểu thức Bây ta chứng minh giả thiết Hệ 1.2.3 thỏa mãn Ta chứng minh qua bước: S toán tử tăng Thật vậy, xét Khi suy Thật vậy, Thật vậy, chuỗi hội tụ 33 Như ta cần phải chứng minh: , chuỗi thực tổng hữu hạn Nếu tồn n cho Ngược lại, từ (iii) (ii) ta có Vậy nên tiêu chuẩn tỉ số ta có điều phải chứng minh Nếu thêm vào điều kiện (v) thỏa mãn Dãy cuối hội tụ theo giả thiết (i) (ii) Hệ 2.2.2 [5] Cho X Định lí 2.2.1 Cho với tính chất: hàm (i) họ đơn điệu tăng liên tục từ bên phải co suy rộng, nghĩa là: Cho (ii) tồn họ Giả sử tồn phần tử cho cho Khi A có điểm bất động Chứng minh Đặt Theo chứng minh Định lí 2.2.1, dễ thấy giả thiết Định lí 1.2.2 thỏa mãn 34 Chương ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN CAUCHY TRONG THANG KHÔNG GIAN BANACH Nội dung chương trình bày ứng dụng quan trọng định lí điểm bất động nêu để chứng minh cho tồn nghiệm toán Cauchy thang khơng gian Banach Định lí 3.1 [5] Cho Gọi họ khơng gian Banach cho giao không gian trước Giả sử hàm cho thỏa điều kiện sau: (i) Với cặp số r, s cho – tôpô tới , ánh xạ liên tục từ – tơpơ (ii) Khi tốn Cauchy có nghiệm khả vi liên tục Chứng minh Ta đặt (a) trang bị phép toán đại số thứ tự theo điểm Sự hội tụ tuyến tính E, kí hiệu theo t (b) định nghĩa (c) định nghĩa , 35 định nghĩa Trước tiên ta cần lưu ý: Không gian E-mêtric X đầy đủ theo dãy Thật vậy, Cauchy X, nghĩa định tồn t giả thiết theo t với dãy cố với s Hơn nữa, hội tụ theo cho ta Từ định nghĩa hội tụ E toán tử phi tuyến tăng S liên tục theo dãy Từ giả thiết (i) (ii) cho ta toán tử A S-co Bây ta chứng tỏ chuỗi hội tụ với , nghĩa chuỗi hội tụ, theo t với s cố định Thật vậy, Nói riêng, từ (*) ta có với , Và quy nạp, với n ∈ ℕ với cách chọn ta có Từ bất đẳng thức cuối cùng, với n ta chọn vơ hướng (nghĩa ta có: phân hoạch 36 Do với s theo t, tiêu chuẩn cho ta chuỗi Theo Hệ 1.2.3 tồn điểm bất động với Hiển nhiên hội tụ E toán tử A nghiệm (CP) ∎ 37 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày chi tiết hệ thống khái niệm khơng gian E-mêtric, khơng gian đều, định lí điểm bất động dạng ánh xạ co dạng Krasnoselskii, ứng dụng để nghiên cứu điểm bất động không gian đều, cho tốn Cauchy thang khơng gian Banach Qua q trình làm luận văn, tơi thấy phần mối liên hệ lý thuyết ứng dụng học phần giải tích Tơpơ, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến, biết vận dụng kiến thức học để học tập vấn đề làm quen với nghiên cứu khoa học Do khả thời gian có hạn nên luận văn chưa trình bày nhiều ứng dụng kết đạt Hướng nghiên cứu tới, hi vọng cố gắng đưa nhiều kết ứng dụng lĩnh vực khác Giải tích tốn học, dựa tảng luận văn đạt 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hồng Tụy (2005), Lí thuyết hàm Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag J L Kelly (1955), General Topology, Princetion: Van Nostrand M A Krasnoselskii (1964), Positive solutions of operators equations, Groningen: Noordhoff E De Pascale, G Marino, P Pietramala (1993), The use of the E-metric spaces in the search for fixed point, Le Matematiche, vol XLVIII, Fasc II, 367-376 ... LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN E- MÊTRIC 1.1 Không gian E- mêtric 1.2 Định lí điểm bất động dạng co 1.3 Định lí điểm bất động dạng Krasnoselskii Chương BÀI... lí điểm bất động khơng gian Emêtric Chương 2: Trình bày tốn điểm bất động khơng gian Chương 3: Trình bày ứng dụng cho tốn Cauchy thang khơng gian Banach 2 Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG. .. operators equations, Groningen: Noordhoff E De Pascale, G Marino, P Pietramala (1993), The use of the E- metric spaces in the search for fixed point, Le Matematiche, vol XLVIII, Fasc II, 367-376