phương pháp lặp cho những điểm bất động của ánh xạ không giãn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Thảo PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO NHỮNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Thảo PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO NHỮNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian lồi 1.2 Không gian lồi chặt 1.3 Môđun lồi không gian Banach 1.4 Không gian trơn 10 1.5 Ánh xạ đối ngẫu không gian Banach 10 1.6 Các định nghĩa 12 1.6.1 Dãy chấp nhận 12 1.6.2 Nửa compact 12 1.6.3 Nửa đóng 12 1.6.4 Không gian Opial 12 CHƯƠNG 2:MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 13 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 19 3.1 Tiệm Cận Đều 19 3.2 Các định lý điều kiện đủ để 26 3.3 Các định lý hội tụ dãy lặp điểm bất động 32 3.4 Hai định lý hội tụ yếu 37 3.5 Phương pháp lặp kiểu Halpern 39 3.5.1 Giới thiệu phương pháp lặp kiểu Halpern …….40 3.5.2 Các định lý hội tụ theo điều kiện Halpern 40 3.5.2.1 Định lý Shioji Takahashi 40 3.5.2.2 Định lý Xu 45 3.5.2.3 Định lý 3.21 48 3.5.2.4 Định lý hội tụ trường hợp ánh xạ không vào tập 56 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 LỜI CÁM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hóa, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cám ơn PGS.TS Đậu Thế Cấp, PGS.TS Nguyễn Bích Huy, TS Trần Huyên, PGS.TS Đặng Đức Trọng, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, TS Trịnh Công Diệu nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức quý báu làm công cụ để thực việc nghiên cứu Tôi xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học - Các thành viên lớp giải tích khóa 20 vượt qua khó khăn thời gian học trường - Các bạn lớp Toán Tin K31(2005-2009) - Đại học Cần Thơ thường xuyên hỏi thăm, động viên cho Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, anh chị người thân gia đình động viên, nâng đỡ cho mặt Võ Thanh Thảo LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động đời từ năm kỷ XX Từ đời đến có nhiều ứng dụng toán học nói riêng khoa học kỹ thuật nói chung Trong nhiều trường hợp, việc giải phương trình quy việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X không gian tuyến tính, f ánh xạ X , y phần tử cố định X nghiệm phương trình f (x ) = y điểm bất động ánh xạ T xác định bởi: Tx = f (x ) + x − y với x ∈ X Cho (M , d ) không gian mêtric Ánh xạ T : M → M gọi ánh xạ không giãn với x, y ∈ X ta có d (Tx, Ty ) ≤ d (x, y ) Các kết điểm bất động ánh xạ không giãn xuất cách vài chục năm, kể từ đến lĩnh vực mảnh đất màu mỡ thu hút nhiều nhà toán học lao vào nghiên cứu Chính mẽ vấn đề nên việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn chắn hứa hẹn nhiều điều thú vị Mục đích luận văn nghiên cứu phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ không giãn, định lý hội tụ dãy điểm bất động, đồng thời nghiên cứu phương pháp lặp kiểu Hapern, phương pháp mà dãy lặp {x } ∞ n n =0 ⊂ K định nghĩa sau:  x0 ∈ K   xn +1 = α nu + (1 − α n ) Txn , n ≥ với K tập lồi, đóng không gian Banach E, dãy {α n } ⊂ [ 0,1] u tùy ý thuộc K Luận văn gồm có chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc nghiên cứu luận văn rõ ràng, dễ hiểu Chương 2: Một số kết điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương trình bày số kết điểm bất động ánh xạ không giãn chứng minh rõ ràng, chi tiết Chương 3: Phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương trình bày tiệm cận đều, hội tụ dãy lặp điểm bất động, định lý hội tụ mạnh điểm bất động, hai định lý hội tụ yếu điểm bất động, phương pháp lặp kiểu Halpern định lý hội tụ theo điều kiện Halpern CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày cấu trúc hình học không gian Banach như: không gian lồi điều, không gian lồi chặt, môđun lồi không gian Banach, không gian trơn… Tài liệu tham khảo chương này, xem [6] 1.1 Không gian lồi Định nghĩa 1.1 Không gian Banach X gọi lồi với ε > tồn δ ( ε ) > cho với x, y ∈ X mà x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε ta có x+ y ≤ − δ (ε ) Mọi không gian Hilbert không gian lồi Thật vậy, đặt ε > Lấy x, y ∈ H cho x ≤ 1; y ≤ x− y ≥ε 4−ε2 Đặt δ = δ ( ε ) = 1− Khi δ > theo đẳng thức hình bình hành ta có: x+ y = x+ y + x− y − x− y 2 = x +2 y − x− y 2 ≤ − ε = (1 − δ ) Từ ta suy ra: 2 x+ y ≤1−δ Định lý 1.2 Cho X không gian lồi Khi đó, với d > 0, ε > x, y véctơ tùy ý thuộc X thỏa x ≤ d , y ≤ d , x − y ≥ ε tồn δ > cho x+ y   ε  ≤ 1 − δ    d  d   Chứng minh Lấy tùy ý x, y ∈ X Đặt z1 = x y = , z2 d d Đặt ε = ε d Khi ε > Hơn nữa, z1 ≤ 1, z2 ≤ 1, z1 − z2 = ε x − y ≥ = ε1 d d z1 + z2 ε  ≤ − δ (ε1 )  > thỏa d  Do X lồi nên tồn δ = δ  Nghĩa Vậy x+ y ε  ≤1−δ   2d d  x+ y   ε  ≤ 1 − δ    d  d   Định lý chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho X không gian lồi đều, lấy α ∈ ( 0,1) ε > Khi với d > , ε  δ δ   > cho x, y ∈ X mà x ≤ d , y ≤ d , x − y ≥ ε , tồn = d    ε  α x + (1 − α ) y ≤ 1 − 2δ   {α ,1 − α } d d     1.2 Không gian lồi chặt Định nghĩa 1.4 Không gian Banach X gọi lồi chặt với x ≠ y mà x ≤ 1, y ≤ ta có x+ y < Điều kiện tương đương với: x + y = x + y y ≠ x = λ y với λ > Định lý 1.5 Mọi không gian Banach lồi lồi chặt 1.3 Môđun lồi không gian Banach Định nghĩa 1.6 Môđun lồi không gian Banach X hàm số δ X : [ 0,2] → [ 0,1] xác định công thức:  x+y  δ X ( ε ) inf 1: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε  =   Đặc trưng lồi không gian Banach X xác định bởi: ε0 ( X ) = sup {ε ∈ [ 0,2] : δ X ( ε ) = 0} Hai đại lượng δ X ε ( X ) cho ta nhiều thông tin tính chất không gian X Chẳng hạn, X lồi ε ( X ) = ; X lồi chặt δ X ( ε ) = ; ε ( X ) < X không gian phản xạ Mệnh đề 1.7 Với không gian định chuẩn X, hàm số δ X ( ε ) ε hàm không giảm ( 0,2] Định lý 1.8 Không gian Banach X lồi δ X ( ε ) > , với ε ∈ ( 0,2] Chứng minh (⇒) X không gian lồi đều, với ε > , tồn δ > cho với x, y ∈ X mà x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε δ ≤ − x+ y Vì δ X ( ε ) > ( ⇐ ) giả sử δ (ε ) > , với ε ∈ ( 0,2] X Cố định ε ∈ ( 0,2] lấy x, y ∈ X cho x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε Khi < δ X (ε ) ≤ − Do x+ y x+ y ≤ − δ , với δ = δ X ( ε ) không phụ thuộc vào x y Vậy X không gian lồi Định lý 1.9 Nếu X không gian Banach lồi đều, X phản xạ Chứng minh Giả sử X không gian Banach lồi X không phản xạ Khi với ε > , tồn x** ∈ X ** , x** = thỏa mãn x** − x = 2ε , với x ∈ B ( X ) hình cầu đóng đơn vị X Chọn δ cho x, y ∈ X mà x ≤ 1, y ≤ 1, − δ ≤ x + y Khi x − y ≤ ε Lấy x* ∈ X * , x* = cho x** , x* = Xét lân cận trù mật V x** có dạng: δ  V= u ** ∈ X ** : x* , u ** − <  2  Nếu x, y ∈ B ( X ) ⊂ V x* , x + y > − δ , − δ ≤ x + y Vì x− y ≤ε Cố định x ta V ∩ B ( X ) ⊂ x + ε B ( X ** ) Theo định lý Goldstine, ta có V ∩ B ( X ) trù mật V ∩ B ( X ** ) Vì x + ε B ( X ** ) đóng trù mật nên x** ∈ x + ε B ( X ** ) Điều chứng tỏ x** − x ≤ ε Mâu thuẩn với cách chọn x** Định lý chứng minh 1.4 Không gian trơn Định nghĩa 1.10 Không gian Banach X gọi trơn với x ∈ X , x = , tồn x* ∈ X * cho x* = x, x* = x Định nghĩa 1.11 Không gian Banach X gọi trơn với ε > tồn δ > cho với x, y ∈ X mà= x 1, y ≤ δ x + y + x − y < + ε y 1.5 Ánh xạ đối ngẫu không gian Banach Định nghĩa 1.12 Một hàm số liên tục tăng chặt φ : R + → R + thỏa mãn φ ( ) = lim φ ( t ) = ∞ t →∞ gọi hàm đo Định nghĩa 1.13 limsup u − zt , j ( xn − zt ) ≤ limsup n →∞ n →∞ t zt − xn 2 Cho t → , theo bổ đề 3.18 ta có { zt } hội tụ mạnh z ánh xạ đối ngẫu j liên tục theo chuẩn tập bị chặn X tôpô mạnh nên ta có: limsup u − z , j ( xn − z ) ≤ (3.25) n →∞ Bước 4: { xn } hội tụ mạnh z Từ (*) ta viết xn +1 − z = α n ( u − z ) + (1 − α n )(Txn − z ) Do theo bổ đề 1.14 ta có xn +1 − z ≤ (1 − α n ) Txn − z + 2α n u − z , j ( xn +1 − z ) 2 ( 3.26 ) Vì vậy, xn +1 − z ≤ (1 − α n ) Txn − z + α n β n 2 với β n = u − z , j ( xn+1 − z ) thỏa mãn limsup β n ≤ ( (3.25) ) n →∞ Từ (3.26) bổ đề 3.19 ta có lim xn − z = , nghĩa { xn } hội tụ mạnh z n →∞ 3.5.2.3 Định lý 3.21 ( xem [6], [14], [16] ) Cho K tập lồi đóng không rỗng không gian Banach thực E có chuẩn khả vi Gâteaux T : K → K nột ánh xạ không giãn với F (T ) ≠ φ Cố định δ ∈ ( 0,1) , định nghĩa S : K → K bới Sx = (1 − δ ) x + δ Tx, ∀x ∈ K Cho {α n } dãy số thực ( 0,1) thỏa mãn điều kiện: αn = (a ) lim →∞ n ∞ ( b ) ∑α n =0 n = ∞ Cho tùy ý u , x0 ∈ K , dãy { xn } K định nghĩa sau:  x0 ∈ K   xn +1 = α nu + (1 − α n ) Sxn , n ≥ (**) Giả sử { zt } hội tụ mạnh đến z ∈ F (T ) t → ∞ với zt phần tử K thỏa mãn zt = tu + (1 − t ) Tzt , < t < Khi { xn } hội tụ mạnh đến điểm bất động T Để chứng minh định lý ta cần kết sau: Bổ đề 3.22 Cho { xn } { yn } hai dãy không gian Banach E cho {β n } [0,1] mà limsup β n →∞ n < n ( 3.27 ) Đặt d = limsup yn − xn d = liminf yn − xn n →∞ dãy n →∞ n n Giả sử x= β n yn + (1 − β n ) xn , ∀n ∈  , n +1 limsup ( yn +1 − yn − xn +1 − xn ) ≤ n →∞ ( 3.28) n d < ∞ Khi lim inf yn+ k − xn − (1 + β n + β n+1 + + β n+ k −1 ) d = 0, ∀k ∈  n →∞ n ( 3.29 ) Chứng minh Từ yn+1 − xn+1 − yn − xn ≤ yn+1 − yn + yn − xn+1 − yn − xn = yn+1 − yn − xn+1 − xn , (3.30) có ( limsup yn + j − xn + j − yn − xn n →∞ n ) j −1 = limsup ∑ ( yn+i +1 − xn+i +1 − yn+i − xn+i n →∞ i =0 n j −1 ≤ limsup ∑ ( yn+i +1 − yn+i − xn+i +1 − xn+i n →∞ i =0 n j −1 ) ) ≤ ∑ limsup ( yn +i +1 − yn +i − xn +i +1 − xn +i n →∞ i =0 n ( 3.31) ≤ 0, ∀j ∈  Đặt a = Cố − limsup βn n →∞ định n k , l ∈ Khi < a < ε > Khi tồn m' ≥ l cho a ≤ − β n , yn+1 − yn − xn+1 − xn ≤ ε j = 1,2, , k ) yn+ j − xn+ j − yn − xn ≤ ε với n ≥ m' Trong trường hợp d = limsup yn − xn , chọn m ≥ m' thởa n →∞ ym+ k − xm+ k ≥ d − n ε ( 3.32 ) yn − xn ≤ d + ε , ∀n ≥ m Khi ε ym+ j − xm+ j ≥ ym+ k − xm+ k − ≥ d −= ε , j 0,1, , k − ( 3.33) Trong trường hợp d = liminf yn − xn , chọn m ≥ m' thỏa n →∞ ym − xm ≤ d + n ε ( 3.34 ) yn − xn ≤ d − ε , ∀n ≥ m Khi ε ( 3.35) ym+ j − xm+ j ≤ ym − xm + ≤ d + ε , j = 0,1, , k Trong hai trường hợp, có m thỏa m ≥ l ; yn +1 − yn − xn +1 − xn ≤ ε ; a ≤ − β n ≤ với n ≥ m ( 3.36 ) d − ε ≤ ym+ j − xm+ j ≤ d + ε , j = 0,1, , k Tiếp theo thể ym+ k − xm+ j ≥ (1 + β m+ j + β m+ j +1 + + β m+ j + k −1 ) d − ( k − j )( 2k + 1) ε ak− j ( 3.37 ) với= j 0,1, , k − Từ d − ε ≤ ym+ k − xm+ k = ym+ k − β m+ k −1 ym+ k −1 − (1 − β m+ k −1 ) xm + k −1 ≤ β m+ k −1 ym+ k − ym+ k −1 + (1 − β m+ k −1 ) ym+ k − xm+ k −1 ≤ β m+ k −1 xm+ k − xm+ k −1 + ε + (1 − β m+ k −1 ) ym+ k − xm+ k −1 = β m2+ k −1 ym+ k −1 − xm+ k −1 + ε + (1 − β m+ k −1 ) ym+ k − xm+ k −1 ≤ β m2+ k −1d + 2ε + (1 − β m+ k −1 ) ym+ k − xm+ k −1 có ( 3.38) (1 − β ≥ ym+ k − xm+ k −1 m + k −1 ) d − 3ε − β m+ k −1 ≥ (1 + β m+ k −1 ) d − 2k + ε a ( 3.39 ) Vì (3.37) với j= k − Giả sử (3.37) với j ∈ {1,2, , k − 1} Khi đó, từ ( k − j )( 2k + 1) ε  k −1  1 + ∑ β m +i  d − ak− j  i= j  ≤ ym+ k − xm+ j = ym+ k − β m+ j −1 ym+ j −1 − (1 − β m+ j −1 ) xm+ j −1 ( ) ≤ β m+ j −1 ym+ k − ym+ j −1 + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 ( k −1 ) ≤ β m+ j −1 ∑ ym+i +1 − ym+i + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 i= j −1 k −1 ( ) ( ) ≤ β m+ j −1 ∑ ( xm +i +1 − xm +i + ε ) + − β m+ j −1 ym + k − xm + j −1 i= j −1 k −1 ≤ β m+ j −1 ∑ xm+i +1 − xm+i + kε + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 i= j −1 = β m+ j −1 ∑ β m+i ym+i − xm+i + kε + (1 − β m+ j −1 ) ym+ k − xm+ j −1 k −1 i= j −1 ( k −1 ) ≤ β m+ j −1 ∑ β m+i ( d + ε ) + kε + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 i= j −1 ( k −1 ) ≤ β m+ j −1 ∑ β m+i d + 2kε + − β m+ j −1 ym+ k − xm+ j −1 i= j −1 ( 3.40 ) nhận ym+ k − xm+ j −1 ≥ k −1 k −1 i= j i= j −1 + ∑ β m+i −β m+ j −1 ∑ β m +i − β m+ j −1 ( k − j )( 2k + 1) d− a k − j + 2k − β m+ j −1 k −1 ( k − j + 1)( 2k + 1) ε   ≥ 1 + ∑ β m+i  d − a k − j +1  i= j −1  Vì (3.37) với j= ε ( 3.41) với j 0,1, , k − Với j = ta có j − Vậy (3.37) đúng= ym+ k − xm ≥ (1 + β m + β m +1 + + β m + k −1 ) d − k ( 2k + 1) ε ak ( 3.42 ) Mặt khác, có k −1 ym+ k − xm ≤ ym+ k − xm+ k + ∑ xm+i −1 − xm+i i =0 k −1 ( 3.43) = ym+ k − xm+ k + ∑ β m+i ym+i − xm+i i =0 k −1 ≤ d + ε + ∑ β m+i ( d + ε ) i =0 k −1 ≤ d + ∑ β m+i d + ( k + 1) ε i =0 Từ (3.42) (3.43), ta có ym+ k − xm − (1 + β m + β m +1 + + β m + k −1 ) d ≤ Do l ∈ k ( 2k + 1) ε ak ε > nên lim inf yn+ k − xn − (1 + β n + β n+1 + + β n+ k −1 ) d = 0, ∀k ∈  n →∞ n Bổ đề 3.23 Cho { xn } { yn } hai dãy bị chặn không gian Banach E {β n } dãy [ 0,1] với < liminf β n ≤ limsup β n < Giả sử x= β n yn + (1 − β n ) xn , ∀n ∈  n +1 n →∞ n →∞ limsup ( yn +1 − yn − xn +1 − xn ) ≤ n →∞ Khi lim yn − xn = n →∞ Chứng minh Đặt a = liminf βn > n →∞ = M 2sup { xn + yn : n ∈ } < ∞ d = limsup yn − xn < ∞ n →∞ Giả sử d > Cố định k ∈ với (1 + ka ) d > M Theo bổ đề 3.22 ta có liminf yn + k − xn − (1 + β n + β n +1 + + β n + k −1 ) d = n →∞ Vì tồn dãy {ni } {n}  cho ( ) lim yn + k − xn − + β n + β n +1 + + β n + k −1 d = i →∞ i i Giới hạn {y n i+k − xn i i i i } tồn giới hạn {β } tồn với n i+ j j ∈{0,1, , k − 1} Đặt µ j = lim β n + j với j ∈ {0,1, , k − 1} Khi µ j ≥ a với j ∈ {0,1, , k − 1} i →∞ i Chúng ta có: M < (1 + ka ) d ≤ (1 + µ0 + µ1 + µ + + µ k −1 ) d = lim (1 + β n + β n +1 + + β n + k −1 ) d i →∞ i = lim yn + k − xn i →∞ i i i i ≤ limsup yn + k − xn ≤ M n →∞ Ta gặp mâu thuẩn Vậy d = hay lim yn − xn = n →∞ Chứng minh định lý 3.21 Ta có (1 − δ ) x + δ Tx − (1 − δ ) y − δ Ty = (1 − δ )( x − y ) + δ (Tx − Ty ) ≤ (1 − δ ) x − y + δ x − y = x − y , Sx − Sy = ∀x, y ∈ K Giả sử u điểm bất động T Ta có: Su = (1 − δ ) u + δ Tu =(1 − δ ) u + Su =u Vậy S : K → K ánh xạ không giãn có tập điểm bất động với T Đặt β n = (1 − δ )α n + δ , ∀n ≥ 0; = yn xn +1 − xn + β n xn βn ( 3.44 ) , ∀n ≥ Khi β n → δ n → ∞ { xn } bị chặn { yn } bị chặn { } Lấy x* ∈ F (T ) Khi xn − x* ≤ max u-x* , x0 − x* , ∀n ≥ Do { xn } ,{ yn } ,{Txn } {Sxn } bị chặn Ta có ( 3.45) xn +1 − Sxn = α n u − Sxn → n → ∞ Từ định nghĩa β n S ta được= yn Do βn (α u + (1 − α )δ Tx ) n n n (1 − α n+1 ) δ Tx − Tx α n+1 α n − u + n +1 n β n+1 β n β n+1 yn +1 − yn − xn +1 − xn ≤ + − α n +1 β n +1 − − αn βn δ Txn − xn+1 − xn Vì { xn } , {Txn } bị chặn nên tồn M > 0, M > cho  α α limsup ( yn +1 − yn − xn +1 − xn ) ≤ limsup  n +1 − n u n →∞ n →∞  β n +1 β n + (1 − α ) δ − M + n +1 β n+1 1 − α n +1 β n+1 − − αn βn Theo bổ đề 3.23, yn − xn → n → ∞ Do = = xn lim β n yn − xn lim xn +1 − n →∞ n →∞ Kết hợp với ( 3.45 ) ta ( 3.46 ) xn − Sxn → n → ∞ Tiếp theo thể limsup u − z , j ( xn − z ) ≤ ( 3.47 ) n →∞ Với n ≥ , lấy tn ∈ ( 0,1) cho tn → 0, xn − Sxn → n → ∞ tn ( 3.48) Lấy zt ∈ K điểm bất động ánh xạ co St cho n n St x = tnu + (1 − tn ) Sx, x ∈ K Khi n zt − xn= tn ( u − xn ) + (1 − tn ) ( Szt − xn ) n n Theo bổ đề 1.14 ta có zt − xn n ≤ (1 − tn ) Szt − xn + 2tn u − xn , j ( zt − xn ) 2 n n  δ M2 ≤  ≤ (1 − tn ) ( Sz − Sxn + Sxn − xn tn ) ( + 2tn zt − xn + u − z , j ( zt − xn ) ( n n ≤ (1 + tn2 ) zt − xn + Sxn − xn zt − xn + Sxn − xn n n ) ) Vì + 2tn u − zt , j ( zt − xn ) n n vậy, u − zt , j ( xn − zt n ≤ n ) Sx − xn tn zt − xn + n zt − xn + Sxn − xn 2tn ( n n n limsup u − zt , j ( xn − zt n n →∞ ) xn − Sxn → n → ∞ Từ ta có 2tn { } {Sx } bị chặn Do { xn } , zt n n ) ( 3.49 ) ≤0 Hơn nữa, có u − zt , j ( xn − zt n n ) =u − z , j ( xn − z ) + u − z , j ( xn − zt n + z − zt , j ( xn − zt n ) − j(x n n − z) ) ( 3.50 ) Do zt → z ∈ F ( S ) , n → ∞ tính bị chặn { xn } ta có n z − zt , j ( xn − zt n n ) → 0, n → ∞ Mặt khác, ánh xạ đối ngẫu j liên tục theo chuẩn tập bị chặn E tôpô yếu nên u − z , j ( xn − zt n ) − j(x n − z ) → n → ∞ Do từ (3.49) (3.50) ta có limsup u − z , j ( xn − z ) ≤ n →∞ Hơn nữa, từ (**) ta có: xn +1 −= z α n ( u − z ) + (1 − α n )( Sxn − z ) Lại theo bổ đề 1.14 ta có: xn +1 − z =(1 − α n ) Sxn − z + 2α n u − z , j ( xn +1 − z ) 2 ≤ (1 − α n ) xn − z + α nσ n với σ n = u − z , j ( xn +1 − z ) , γ n = 0, ∀n ≥ Do theo bổ đề 3.19, { xn } hội tụ mạnh điểm bất động T 3.5.2.4 Định lý hội tụ trường hợp ánh xạ không vào tập Tài liệu tham khảo mục này, xem [6] Định nghĩa 3.24 Cho K tập không rỗng không gian Banach E Với x ∈ K , tập hướng vào x , ký hiệu I K x , định nghĩa I K x = { x + α ( u − x ) : u ∈ K ,α ≥ 1} Ánh xạ T : K → E nói hướng vào yếu Tx ∈ cl [ I K x ] , ∀x ∈ K , với cl [ I K x ] bao đóng tập hướng vào Cho K ⊂ E tập lồi đóng Q : E → K ánh xạ Khi Q nói sunny Q ( Qx + t ( x − Qx )= ) Qx, ∀x ∈ E t ≥ Ánh xạ Q : E → E nói co rút Q = Q Tập K E nói sunny không giãn co rút E tồn sunny không giãn co rút E K nói co rút không giãn E tồn co rút không giãn E K Nhận xét: Nếu T : K → E hướng vào yếu, F (T ) = F ( QT ) , với Q sunny không giãn co rút E K Chứng minh ( ⇐ ) Ta chứng minh F ( QT ) ⊂ F (T ) Giả sử x ∈ F ( QT ) x ∉ F (T ) x λ ( u − x ) , với Từ T : K → E hướng vào yếu nên tồn u ∈ K cho Tx =+ λ > u ≠ x Nếu u = x Tx = x , mâu thuẩn x ∉ F (T ) Do Q sunny không giãn nên Q ( QTx + t (Tx − QTx ) ) = x, ∀t ≥ Do QTx = x nên Q ( tTx + (1 − t ) x ) = x, ∀t ≥ Từ T : K → E hướng vào yếu nên tồn t0 ∈ ( 0,1) cho u = t0Tx + (1 − t0 ) x từ u ∈ K , Qu = u cho ta= u Qu = x , mâu thuẩn Vì F ( QT ) ⊂ F (T ) ( ⇒ ) F ( QT ) ⊃ F (T ) Định lý 3.25 Cho K tập lồi đóng không rỗng không gian Banach E với chuẩn khả vi Gâteaux T : K → E ánh xạ không giãn thỏa mãn điều kiện hướng vào yếu với F (T ) ≠ φ Giả sử K sunny không giãn co rút E với Q sunny không giãn co rút Giả sử { zt } hội tụ mạnh đến điểm bất động QT t → , với < t < , zt phần tử K thỏa mãn zt = tx + (1 − t ) QTzt Lấy {α } dãy số thưc ( 0,1) thỏa mãn điều kiện sau: n (a) lim αn = →∞ n ∞ ( b ) ∑α n =1 = ∞ n ∞ (c) ∑ α − α n n =1 n −1 , (α − α )( u − QTx ) + (1 − α )( QTx ≤ M α − α + (1 − α ) x − x =− (1 α ) x − x + σ xn +1 − xn = n −1 n n −1 n n với= σ n M α n − α n −1 n −1 n n −1 n ∞ ∑σ n =1 n < ∞ n n n n −1 n − QTxn −1 ) Do theo bổ đề 3.19 ta xn +1 − xn → n → ∞ Kết hợp với (***) ta có xn − QTxn → n → ∞ Với n ≥ , lấy tn ∈ ( 0,1) cho xn − QTxn →0 tn tn → Lấy zt ∈ K điểm bất động ánh xạ co Tt cho n n Tt x = tnu + (1 − tn ) QTx, x ∈ K n ( ) Khi zt − xn= tn ( u − xn ) + (1 − tn ) QTzt − xn Theo bổ đề 1.14 ta có n zt − xn n n ≤ (1 − tn ) QTzt − xn + 2tn u − xn , j ( zt − xn ) 2 n ≤ (1 − tn ) ( ( n QTzt − QTxn + QTxn − xn n ) + 2tn zt − xn + u − zt , j ( zt − xn ) n n n ( ) ≤ (1 + tn2 ) zt − xn + QTxn − xn zt − xn + QTxn − xn n n ) + 2tn u − zt , j ( zt − xn ) n n Vì u − zt , j ( zt − xn ) n n ≤ QTxn − xn tn zt − xn + zt − xn + QTxn − xn 2tn ( n { } {Tx } bị chặn Từ { xn } , zt n n n ) xn − QTxn → n → ∞ Do tn limsup u − zt , j ( xn − zt n →∞ n n ) ≤0 (3.52) Hơn nữa, có u − zt , j ( xn − zt n n ) = u − z , j ( xn − z ) + u − z , j ( xn − zt + z − zt , j ( xn − zt n n ) n ) − j(x n − z) ( 3.53) Theo giả thiết ta có zt → z ∈ F ( QT ) theo nhận xét có QTz= z= Tz n Vì z − zt , j ( xn − zt n ( n ) Mặt khác, u − z , j xn − zt n → n → ∞ ( { xn } bị chặn ) ) − j(x n − z ) → n → ∞ ( j liên tục theo chuẩn tập bị chặn E tôpô yếu ) Vì từ (3.52) (3.53) ta có limsup u − z , j ( xn − z ) ≤ n →∞ Từ (***) có xn +1 −= z α n ( u − z ) + (1 − α n )( QTxn − z ) Lại theo bổ đề 1.14 ta có xn +1 − z ≤ (1 − α n ) QTxn − z + 2α n u − z , j ( xn +1 − z ) 2 ≤ (1 − α n ) xn − z + σ n với σ n =2α n u − z , j ( xn +1 − z ) limsup σ n ≤ n →∞ Vì theo bổ đề 3.19, { xn }n =0 hội tụ mạnh điểm bất động z ∈ F (T ) ∞ KẾT LUẬN Tóm lại luận văn trình bày số kết điểm bất động ánh xạ không giãn, có hai định lý định lý Kirk định lý Browder – Gohde Luận văn trình bày kết phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ không giãn, trình bày phương pháp lặp kiểu Halpern với định lý tiêu biểu như: định lý Shioji Takahashi, định lý Xu định lý hội tụ theo điều kiện Halpern Có thể nói trình thực luận văn giúp làm quen dần với việc nghiên cứu vấn đề khoa học, đòi hỏi người nghiên cứu phải làm việc cách nghiêm túc Điểm bất động ánh xạ không giãn lĩnh vực toán học mẽ, mảnh đất vô màu mỡ cho nhiều nhà toán học lao vào nghiên cứu Thực chất, qua việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn thấy lĩnh vực thú vị Vì thế, thời gian tới, có điều kiện nghiên cứu tiếp lĩnh vực này, mà cụ thể nghiên cứu phương pháp lặp cho cho ánh xạ không giãn tiệm cận, ánh xạ tựa không giãn tiệm cận nghiên cứu phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp mà dãy lặp {x } ∞ n n =0 ⊂ K định nghĩa sau:  x0 ∈ K  α n xn + (1 − α n ) Tyn  xn +=   yn= β n xn + (1 − β n ) Tyn với K tập lồi, đóng không gian Banach E, T : K → K ánh xạ không giãn; hai dãy {α n } , {β n } nằm [ 0,1] thỏa mãn điều kiện cho trước TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các Định Lý Điểm Bất Động, Nhà xuất Đại học sư phạm [2] PGS.TS Lê Hoàn Hóa, Giải tích phi tuyến Tiếng Anh [3] Agarwal Ravi P., Maria Meehan, Donal O’Regan (2004), “Fixed Point Theory and Applications”, Cambridge University Press [4] Browder F.E., Petryshyn W.V.(1966), “The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach spaces”, Bull Amer Math Soc 72, pp.571-575 [5] Bruck F E.(1981), “On the convex approximation property and the asymptotic behavior of nonlinear contractions in Banach spaces”, Israel J Math 38, pp 304-314 [6] Charles Chidume (2009), Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlinear Iterations, Springer [7] Edelstein M (1964), “On nonexpansive mappings”, Proc Amer Math Soc 15, pp.689695 [8] Edelstein M., O’Brian R.C (1978), “Nonexpansive mappings, asymptotic regularity and sucessive approximations”, J London Soc 17, (3), pp 547-554 [9] Halpern B.(1967), “Fixed point of nonexpansive maps”, Bull Amer Math Soc 3, pp 957-961 [10] Ishikawa S (1976), “Fixed points and iteration of nonexpansive mapping in a Banach space”, Proc Amer Math Soc 73, pp 61-71 [11] Opial Z.(1967), “Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings”, Bull Amer Math Soc 73, pp 591-597 [12] Reich S.(1980), “Strong convergence theorems for resolvents of accrective operator in Banach spaces”, J Math, Anal Appl 75,pp 287-292 [13] Shioji S., Takahashi W.(1997), “Strong convergence of approximated sequences for nonexpansive mappings in Banach spaces”, Proc Amer Soc 125, pp 3641-3645 [14] Suzuki T.(2005), “Strong convergence theorems for infinite families of nonexpansive mappings in general Banach spaces”, Fixed Point Theory Appl, (1), pp.103-123 [15] Xu H K.(2002), “Another control condition in an iterative method for nonexpansive mappings”, Bull Austral Math Soc 65, pp.109-113 [16] Xu H K.(2002), “Iterative algorithms for nonlinear operators”, J London Math Soc 66, (2), pp 240-256 [...]... mỗi ánh xạ không giãn T : K → K có ít nhất một điểm bất động Chứng minh Vì H là không gian Hilbert nên H là không gian lồi đều Mặt khác, theo định lý 2.3 thì tập hợp các điểm bất động của ánh xạ không giãn T : K → K là lồi, đóng và không rỗng nên ánh xạ không giãn T : K → K sẽ có ít nhất một điểm bất động .Định lý 2.5 Cho K là tập lồi, đóng, không rỗng của không gian định chuẩn E T : K → K là ánh xạ không. .. tính không giãn của T + Giả sử β < λ Khi đó ta có Tu − Tm =u − Tm =u − β u − (1 − β ) v =− (1 β ) u − v > (1 − α ) u − v = u − m Ta gặp mâu thuẩn vì T là ánh xạ không giãn Vậy β = λ nên Tm = m Vì mọi điểm trên đoạn nối hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm bất động là tập hợp lồi Định lý đã được chứng minh Hệ quả 2.4 Cho K là một tập lồi, đóng, bị chặn, không rỗng trong không. .. tiệm cận đều của bất kỳ điểm tới hạn nào của dãy { x } nên { x } ∞ n n n =0 { f ( x )} là một điểm tới hạn của n hội tụ mạnh về điểm bất động của f Định lý 3.11 Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn thực, C là một tập con lồi, đóng, bị chặn của X và f : C → C là ánh xạ không giãn Giả sử một trong hai điều kiện sau được thỏa: i) ánh xạ f : C → C nửa compact tại 0 ii) I − f là ánh xạ từ một... của ánh xạ không giãn Định lý 3.2 Cho X là không gian Banach lồi đều, T : X → X là ánh xạ không giãn Đặt Sλ = λ I + (1 − λ ) T , ∀λ ∈ ( 0,1) , với I là ánh xạ đồng nhất của X Khi đó Sλ là tiệm cận đều và có cùng tập điểm bất động với T Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh tập điểm bất động của Sλ và T là trùng nhau Thật vậy, giả sử với mọi u ∈ X là điểm bất động của Sλ Khi đó ta có: S= u λ I ( u ) + (1... tính lồi của X, ta có: (x n − u ) − (Tx n − u ) → 0 nghĩa là, x n − Tx n → 0 trong X Vì vậy, x n +1 − x n → 0 trong X hay S λn +1 x − S λn x → 0 trong X Vậy Sλ là tiệm cận đều Tiếp theo chúng ta đưa ra một định lý về phương pháp lặp cho ánh xạ không giãn nhưng không có giả thiết về tính lồi của không gian Banach Định lý 3.3 Cho K là một tập con của không gian Banach X và T : K → X là ánh xạ không giãn. .. trong không gian Banach E và f : K → K liên tục sao cho f ( K ) là tập compact tương đối Khi đó f có điểm bất động trong K Thật vậy, đặt K1 = co f ( K ) thì K1 lồi, compact chứa trong K Xét ánh xạ f : K1 → K1 thì f liên tục và compact trong K1 Như vậy các giả thiết của định lý 2.5 đều thõa mãn CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 3.1 Tiệm Cận Đều Tài liệu tham khảo mục này,... Cho không gian mêtric ( M , d ) , ánh xạ f : M → M được gọi là tiệm cận đều tại x ∈ M nếu f n +1 ( x ) − f n ( x ) → 0 khi n → ∞ Ánh xạ f : M → M được gọi là tiệm cận đều trên M nếu nó tiệm cận đều tại mọi x∈M Khái niệm tiệm cận đều là một khái niệm quan trọng trong các định lý của ánh xạ không giãn Định lý sau đây là một kết quả cơ bản đầu tiên về tiệm cận đều của ánh xạ không giãn Định lý 3.2 Cho. .. KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về một số kết quả của ánh xạ không giãn, trong đó có hai định lý cơ bản là: định lý của Kirk và định lý của Browder – Gohde Tài liệu tham khảo chương này, xem [1] và [3] Định nghĩa 2.1 Tập hợp K trong không gian định chuẩn X được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập hợp con, lồi, đóng, bị chặn H của nó với diamH... Vậy A không bị chặn Định lý 3.8 Cho K là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X và f : K → X là ánh xạ không giãn Giả sử với x0 ∈ K tồn tại một dãy chấp nhận được bị chặn { xn }n =0 ⊆ K Khi ∞ 0 Hơn nữa, nếu K là tập bị chặn thì giới hạn ở trên là đều đó, lim x n +1 − x n = n →∞ Định lý 3.9 Cho K là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X và f : K → X là ánh xạ không giãn, x0... đều X và T : K → K là ánh xạ không giãn Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng Chứng minh Vì X là không gian lồi đều nên X phản xạ, do đó K compact yếu và có cấu trúc chuẩn tắc Do đó, theo định lý 2.2, tập hợp các điểm bất động của T không rỗng và đóng do T liên tục Ta chỉ còn phải chứng minh tính lồi của tập hợp này Cho = u Tu = , v Tv và m = λu + (1 − λ ) v , với một λ ∈ ... 12 1.6.4 Không gian Opial 12 CHƯƠNG 2:MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 13 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN ... nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn chắn hứa hẹn nhiều điều thú vị Mục đích luận văn nghiên cứu phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ không giãn, định lý hội tụ dãy điểm bất động, đồng... 3: Phương pháp lặp cho điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương trình bày tiệm cận đều, hội tụ dãy lặp điểm bất động, định lý hội tụ mạnh điểm bất động, hai định lý hội tụ yếu điểm bất động,