Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRƯƠNG MINH TUYÊN THÁI NGUYÊN, 5/2018 ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun tận tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Giang, Ban Giám Hiệu trường Trung Học Phổ Thơng Hiệp Hòa số Bắc Giang, tồn thể đồng nghiệp, người thân gia đình quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2018 Tác giả luận văn NGUYỄN ĐÌNH LÝ iii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach phản xạ 1.1.2 Không gian Banach lồi 1.1.3 Không gian Banach trơn 1.1.4 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.2 Toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co ánh xạ không giãn 14 1.3 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 17 1.4 Giới hạn Banach 19 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 23 Chương Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach 28 2.1 Phương pháp lặp ẩn 28 2.2 Phương pháp lặp 35 Kết luận 43 iv Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vơ bé bậc cao t Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, tốn liên quan đến kinh tế toán cân bằng, toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân Bài tốn điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ yếu, là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, T ánh xạ từ tập C không gian X vào X nghiệm x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp quan trọng việc giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, S ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y điểm bất động ánh xạ T xác định T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm tốn ngồi nước Một toán xấp xỉ điểm bất động quan tâm nghiên cứu nhiều tốn tìm điểm bất động hay họ ánh xạ không giãn Những kết cổ điển lĩnh vực phải kể đến phương pháp lặp Mann [9], phương pháp lặp Halpern [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết [10] Cho đến có nhiều phương pháp đưa dựa cải biên phương pháp cho lớp toán liên quan, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Mục đích luận văn trình bày lại phương pháp lặp tổng quát đề xuất Jung tài liệu [7] cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach khơng có tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, đồng thời điểm bất động nghiệm bất đẳng thức biến phân Phương pháp ứng dụng vào việc giải tốn cực trị dạng tồn phương (xem [8]) tập lồi, đóng C (tập điểm bất động phép chiếu mêtric) Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co mạnh ánh xạ không giãn; giới hạn Banach Ngoài ra, chương luận văn giới thiệu số phương pháp giải toán điểm bất động với số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến chương sau luận văn Chương Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Jung [7] phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn, đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân không gian Banach Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục Mục 1.1 giới thiệu không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn toán tử j-đơn điệu Mục 1.2 trình bày tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co, giả co mạnh ánh xạ không giãn Mục 1.3 giới thiệu số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.4 đề cập đến giới hạn Banach số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày nội dung chương Mục 1.5 trình bày số bổ đề bổ trợ cần sử dụng chứng minh định lý chương sau luận văn 1.1 Một số vấn đề không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn phần tử x thuộc E cho x, x∗ = x∗ , x∗∗ , với x∗ ∈ E Chú ý 1.1 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu x, x∗ để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ x ∈ E Mệnh đề 1.1 [1] Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho y, x∗ ≤ x, x∗ − ε, với y ∈ C Đặc biệt ta có xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn x nên xn , x∗ → x, x∗ Do đó, bất đẳng thức cho n → ∞, ta nhận x, x∗ ≤ x, x∗ − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.2 Nếu C tập đóng yếu hiển nhiên C tập đóng Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục khơng gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Banach phản xạ E f : C −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục C, cho f (xn ) → ∞ xn → ∞ Khi đó, tồn x0 ∈ dom(f ) cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} Chứng minh Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho f (xn ) → m n → ∞ Nếu {xn } không bị chặn tồn dãy {xnk } {xn } cho xnk → ∞ Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m = ∞ Do đó, {xn } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.2, tồn dãy {xnj } {xn } cho xnj x0 ∈ C Vì f nửa liên tục tơpơ yếu nên ta có m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m n→∞ j→∞ Do đó, m = f (x0 ) Mệnh đề chứng minh 1.1.2 Không gian Banach lồi Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x = y mà x = 1, y = ta có x+y < Chú ý 1.3 Định nghĩa 1.2 phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa x+y mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x = y ta có tx + (1 − t)y < với t ∈ (0, 1), SE = {x ∈ E : x = 1} Mệnh đề 1.4 Giả sử C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Banach lồi chặt phản xạ E Khi đó, tập C = x ∈ C : x = inf{ y : y ∈ C} gồm phần tử Chứng minh Đặt d = inf{ y : y ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn → d, n → ∞ Từ tính bị chặn {xn } Mệnh đề 1.1, tồn dãy {xnk } ⊂ {xn } cho xnk x Từ tính đóng yếu C (Mệnh đề 1.2), suy x ∈ C Do đó, từ tính nửa liên tục yếu chuẩn ta có x ≤ lim xn = d n→∞ 31 Suy xt bị chặn với t ∈ (0, min{1, A −1 }) Do đó, từ T xt − v ≤ xt − v , ta thu {T xt }, {AT xt } {Axt } bị chặn Hơn nữa, h ánh xạ bị chặn nên {h(xt )} bị chặn Điều suy xt − T xt = t γh(xt ) − AT xt → 0, t → Sự hội tụ mạnh lưới {xt } xác định (2.1) cho định lý Định lý 2.1 Giả sử E không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gâteaux Giả sử tập lồi, compact yếu E có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn Giả sử {xt } xác định (2.1) Khi đó, t → 0, {xt } hội tụ mạnh đến điểm bất động p T , nghiệm bất đẳng thức biến phân (A − γh)p, j(p − q) ≤ 0, ∀q ∈ F ix(T ) (2.2) Chứng minh Trước hết, ta tính nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Giả sử p1 , p2 ∈ F ix(T ) hai nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Khi đó, ta có (A − γh)p1 , j(p1 − p2 ) ≤ (A − γh)p2 , j(p2 − p1 ) ≤ Cộng vế với vế hai bất đẳng thức ta (A − γh)p1 − (A − γh)p2 , j(p1 − p2 ) ≤ Mặt khác, ta lại có (A − γh)p1 − (A − γh)p2 , j(p1 − p2 ) = A(p1 − p2 ), j(p1 − p2 ) − γ h(p1 ) − h(p2 ), j(p1 − p2 ) ≥ γ p1 − p2 − γk p1 − p2 = (γ − γk) p1 − p2 ≥ 32 Từ suy p1 = p2 tính chứng minh Gọi p nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Bây giờ, khơng tính tổng qt ta giả sử t ≤ A −1 Từ Mệnh đề 2.1 c) {xt } bị chặn Giả sử tn → n → ∞ Đặt xn = xtn Theo Mệnh đề 1.11 tập K = {u ∈ C : φ(u) = φ(z)} z∈C tập lồi, đóng, khác rỗng bị chặn E Từ Mệnh đề 2.1 c) xn − T xn → → ∞ Vì vậy, với x ∈ K ta có φ(T u) = LIMn ( xn − T u ) = LIMn ( T xn − T u ) ≤ LIMn ( xn − u ) = φ(u) Suy T (K) ⊂ K, tức K bất biến với T Do đó, theo giả thiết T có điểm bất động p ∈ K Với x − Ap ∈ C t thỏa mãn < t < min{1, A −1 }, từ Mệnh đề 1.8, ta có xn − p − t(x − Ap) ≤ xn − p − 2t x − Ap, j(xn − p − t(x − Ap)) Giả sử ε > cho trước Do chuẩn E khả vi Gâteaux nên ánh xạ đối ngẫu j liên tục *yếu tập bị chặn E (Mệnh đề 1.7) Vì | x − Ap, j(xn − p − t(x − Ap) − j(xn − p) | < ε với t đủ gần Từ đó, ta có x − Ap, j(xn − p) < ε + x − Ap, j(xn − p − t(x − Ap)) ≤ ε + ( xn − p − xn − p − t(x − Ap) ) 2t Vì p điểm cực tiểu φ C nên ta có (LIMn xn − p 2t − LIMn xn − p − t(x − Ap) ) LIMn x − Ap, J(xn − p) ≤ ε + ≤ ε 33 Do LIMn x − Ap, j(xn − p) ≤ 0, ∀x ∈ C (2.3) Mặt khác, từ xn − p = tn (γh(xn ) − Ap) + (I − tn A)(T xn − p) suy xn − p = tn γh(xn ) − Ap, j(xn − p) + (I − tn A)(T xn − p), j(xn − p) ≤ tn γh(xn ) − Ap), j(xn − p) + (1 − tn γ) xn − p Suy x ∈ C, ta có xn − p γh(xn ) − Ap, j(xn − p) γ 1 = γh(xn ) − Ap, j(xn − p) + x − Ap, j(xn − p) γ γ ≤ (2.4) Kết hợp (2.3) (2.4) ta nhận LIMn xn − p γLIMn xn − p LIMn γh(xn ) − x, j(xn − p) γ + LIMn x − Ap, j(xn − p ) γ ≤ LIMn γh(xn ) − x, j(xn − p) γ ≤ Đặc biệt ≤ LIMn γh(xn ) − γh(p), j(xn − p) ≤ γkLIMn xn − p Do đó, (γ − γk)LIMn ( xn − p ) ≤ Vì γ > γk nên ta có LIMn ( xn − p ) = tồn dãy {xn } mà ta kí hiệu {xn } cho xn → p Tiếp theo ta chứng minh p nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Thật vậy, từ Mệnh đề 2.1 b) với q ∈ F ix(T ) ta có (A − γh)(xt ), j(xt − q) ≤ A(I − T )xt , j(xt − q) Thay t tn từ (I − T )xtn → (I − T )p = 0, cho n → ∞ ta nhận (A − γh)p, j(p − q) ≤ 34 Tức p = p ∈ F ix(T ) nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Tóm lại, {xt } hội tụ mạnh đến điểm bất động p T , nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Định lý chứng minh Tiếp theo ta thay giả thiết tập lồi, compact yếu E có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn đề cập Định lý 2.1, cách giả thiết không gian Banach E lồi chặt Định lý 2.2 Giả sử E không gian Banach phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux Giả sử {xt } xác định (2.1) Khi {xt } hội tụ mạnh tới điểm bất động p T t → ∞ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Chứng minh Giả sử ω ∈ F ix(T ) Tương tự chứng minh Định lý 2.1 ta xác định φ : C → R φ(z) = LIMn ( xn − z ), z ∈ C Đặt K = {u ∈ C : φ(u) = φ(z)} z∈C Khi đó, theo chứng minh Định lý 2.1 K bất biến với T Hơn nữa, K chứa điểm bất động ω T Xét hàm g : K → R xác định g(u) = u − ω Khi theo Định lí 2.5.72.1 [1] ta suy tập K = {v ∈ K : g(v) = min{g(u) : u ∈ K}} khác rỗng theo Mệnh đề 1.4, K gồm phần tử p ∈ K Khi đó, từ T w = w tính khơng giãn T ta có Tp − w = Tp − Tw ≤ p − w Suy T p = p Từ Định lý 2.1 ta nhận điều phải chứng minh 2.1 Định lý 2.5.7 Cho E không gian Banach phản xạ cho g : E −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục Khi đó, với tập lồi, đóng, bị chặn khác rỗng E tồn x0 ∈ dom(g) cho g(x0 ) = inf x∈C g(x) 35 2.2 Phương pháp lặp Trong mục này, luận văn đề cập đến hội tụ mạnh phương pháp lặp sau:   x1 = x ∈ C  xn+1 = αn γh(xn ) + (I − αn A)T xn , n ≥ 1, (2.5) {αn } dãy thuộc (0, 1) Ta có định lý đây: Định lý 2.3 Giả sử {xn } dãy xác định (2.5) Cho {αn } dãy số thỏa mãn điều kiện sau: ∞ αn = ∞; C1) lim αn = n→∞ n=1 ∞ C2) |αn+1 − αn | ≤ o(αn+1 ) + σn , σn < ∞ n=1 Nếu giả thiết (H1) E khơng gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux với tập lồi chặt compact yếu E có tính chất điểm ánh xạ không giãn, (H2) E khơng gian Banach phản xạ, lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, {xn } hội tụ mạnh đến điểm bất động p T , nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Chứng minh Từ điều kiện C1) khơng làm tính tổng qt ta giả sử αn < A −1 với ∀n ≥ Theo Mệnh đề 1.9 ta có I − αn A ≤ (1 − αn γ) Ta chứng minh định lý theo bước sau: Bước Ta {xn } bị chặn Thật vậy, lấy p ∈ F ix(T ) ta có xn+1 − p = αn γh(xn ) + (I − αn A)T xn − p = αn (γh(xn ) − γh(p)) + αn (γh(p) − Ap) + (I − αn A)(T xn − p) ≤ αn γk xn − p + αn γh(p) − Ap + (1 − αn γ) xn − p 36 ≤ (1 − αn (γ − γk)) xn − p + αn (γ − γk) γh(p) − Ap γ − γk Từ quy nạp, ta nhận xn − p ≤ max{ x1 − p , γh(p) − Ap }, ∀n ≥ γ − γk Do {xn } bị chặn Hơn nữa, h ánh xạ bị chặn nên {h(xn )} bị chặn Từ điều kiện C1) ta có xn+1 − T xn = αn αn γh(xn ) − AT xn → (2.6) Bước Ta lim xn+1 − xn = n→∞ Thật vậy, từ (2.5) có xn+2 − xn+1 = αn+1 γh(xn+1 ) + (I − αn+1 A)T xn+1 − αn γh(xn ) + (I − αn A)T xn = (I − αn+1 A)(T xn+1 − T xn ) + (αn − αn+1 )(AT xn − γh(xn )) + αn+1 γ(h(xn+1 ) − h(xn )) ≤ (1 − αn γ) xn+1 − xn + |αn − αn+1 | AT xn − γh(xn ) + αn+1 γk xn+1 − xn = (1 − αn+1 (γ − γk)) xn+1 − xn + |αn − αn+1 | AT xn − γh(xn ) , với ∀n ≥ Do đó, từ Điều kiện C2) ta nhận xn+2 − xn+1 ≤ (1 − αn+1 (γ − γk)) xn+1 − xn + (o(αn+1 ) + σn )M, (2.7) với ∀n ≥ 1, M = sup{ AT xn − γh(xn ) } n≥1 Đặt sn = xn+1 − xn , λn = αn+1 (γ − γk)), λn δn = o(αn+1 )M Khi từ ∞ điều kiện C1) C2) suy λn → 0, ∞ λn = ∞ n=1 n=1 Từ (2.7) suy sn+1 = (1 − λn )sn + λn δn + ωn Từ Bổ đề 1.1 suy lim xn+1 − xn = n→∞ ∞ σn < ∞ ωn = M n=1 37 Bước Ta chứng minh lim xn − T xn = n→∞ Thật vậy, từ (2.6) Bước suy T xn − xn ≤ T xn − xn+1 + xn+1 − xn → 0, n → ∞ Bước Ta chứng minh lim sup γh(p) − Ap, j(xn − p) ≤ 0, p = lim xt t→0 n→∞ xt xác định (2.1) Thật vậy, giả sử xt = tγh(xt ) + (I − tA)T xt Khi đó, từ Định lý 2.1 Định lý 2.2 ta suy {xt } hội tụ mạnh đến p ∈ F ix(T ) nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Ngồi ra, ta có xt − xn = tγh(xt ) + T xt − tAT xt − xn = t(γh(xt ) − Axt ) + (T xt − xn ) − t(AT xt − Axt ) = t(γh(xt ) − Axt ) + (T xt − T xn ) + (T xn − xn ) + t2 A(γh(xt ) − Axt ) Suy xt − xn = t γh(xt ) − Axt , j(xt − xn ) + T xt − T xn , j(xt − xn ) + T xn − xn , j(xt − xn ) + t2 A(γh(xt ) − AT xt ), j(xt − xn ) ≤ t γh(xt ) − Axt , j(xt − xn ) + xt − xn + T xn − xn xt − xn + t2 A(γh(xt ) − AT xt xt − xn Từ đó, ta nhận γh(xt ) − Axt , j(xt − xn ) ≤ ≤ T xn − x n t + t A(γh(xt ) − AT xt xt − xn T xn − xn + tL, t với L > số xác định L = supn { A(γh(xt ) − AT xt xn } t ∈ (0, min{1, A −1 (2.8) xt − }) Từ xn − T xn → (Bước 3), (2.8), lấy giới hạn n → ∞ ta thu lim sup γh(p) − Ap, j(xn − p) ≤ tM n→∞ (2.9) 38 Trong (2.9), lấy limsup t → ta nhận lim sup γh(p) − Ap, j(xn − p) ≤ n→∞ Bước Ta chứng minh lim xn = p, p = lim xt ∈ F ix(T ), với xt n→∞ t→0 xác định (2.1), nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Thật vậy, từ (2.5), Mệnh đề 1.9 Mệnh đề 1.8 ta có xn+1 − p = αn (γh(xn ) − Ap) + (I − αn A)T xn − (I − αn A)p ≤ (I − αn A)(T xn − p) ≤ (1 − αn γ)2 xn − p 2 + 2αn γh(xn ) − Ap, j(xn+1 − p) + 2αn γh(xn ) − γh(p), j(xn+1 − p) + 2αn γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) ≤ (1 − αn γ)2 xn − p + 2αn γk xn − p xn+1 − p + 2αn γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) ≤ (1 − αn γ)2 xn − p + 2αn γk( xn − p + xn+1 − p ) + 2αn γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) Suy xn+1 − p (1 − αn γ)2 + αn γk xn − p − αn γk 2αn + γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) − αn γk 2αn (γ − γk) αn2 γ ) xn − p + xn − p = (1 − − αn γk − αn γk (2.10) 2αn + γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) − αn γk 2αn (γ − γk) 2αn (γ − γk) αn γ ≤ (1 − ) xn − p + L − αn γk − αn γk 2(γ − γk) 2αn (γ − γk) + γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) , − αn γk γ − γk ≤ L = sup{ xn − p } 2αn (γ − γk) Đặt λn = − αn γk δn = αn γ L+ γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) 2(γ − γk) γ − γk 39 ∞ λn = ∞ Khi từ Điều kiện C1) Bước 4, suy lim λn = 0, n→∞ n=1 lim sup δn ≤ Từ (2.10) suy n→∞ xn+1 − p ≤ (1 − λn ) xn − p + λn δn (2.11) Vì vậy, áp dụng Bổ đề 1.1 với ωn = 0, ta nhận lim xn = p n→∞ Định lý chứng minh Hệ 2.1 Cho E không gian Banach trơn Cho {xn } dãy được xác định (2.5) Khi đó, dãy {αn } thỏa mãn Điều kiện C1) C2) Định lý 2.3 {xn } hội tụ mạnh đến điểm bất động p ∈ F ix(T ), nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Tiếp theo Jung [7] đưa phương pháp lặp khác để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Với phương pháp lặp Jung bỏ điều kiện C2) Định lý 2.3 Ta có kết Định lý 2.4 Cho {xn } dãy lặp xác định   x1 = x ∈ C (2.12)  xn+1 = αn γh(xn ) + βn xn + ((1 − βn )I − αn A)T xn , n ≥ 1, {αn } {βn } dãy thuộc khoảng (0, 1), thỏa mãn điều kiện ∞ αn = ∞; C1) lim αn = n→∞ n=1 C3) < lim inf βn ≤ lim sup βn < n→∞ n→∞ Nếu giả thiết (H1) E khơng gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux với tập lồi chặt compact yếu E có tính chất điểm ánh xạ không giãn, (H2) E không gian Banach phản xạ, lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, {xn } hội tụ mạnh đến điểm bất động p T , nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) 40 Chứng minh Từ điều kiện C1) C3), khơng tính tổng qt ta αn giả sử ≤ A −1 , ∀n ≥ Theo Mệnh đề 1.9 ta có − βn (1 − βn )I − αn A ≤ (1 − βn − αn γ) Bước Ta chứng minh {xn }, {h(xn )}, {T (xn )} {AT (xn )} bị chặn Thật vậy, lấy p ∈ F ix(T ) ta có xn+1 − p = αn γh(xn ) + βn xn + ((1 − βn )I − αn A)T xn − p = αn (γh(xn ) − γh(p)) + αn (γh(p) − Ap) + βn (xn − p) + ((1 − βn )I − αn A)(T xn − p) ≤ αn γk xn − p + αn γh(p) − Ap + βn xn − p + (1 − βn − αn γ) xn − p = (1 − αn (γ − γk)) xn − p + αn (γ − γk) γh(p) − Ap γ − γk Tương tự Bước chứng minh Định lý 2.3, ta nhận tính bị chặn {xn }, {h(xn )}, {T (xn )} {AT (xn )} Bước Ta chứng minh lim xn+1 − xn = n→∞ xn+1 − βn xn Xét dãy {zn } xác định zn = , ta nhận − βn xn+1 = βn xn + (1 − βn )zn (2.13) Ta có zn+1 − zn xn+2 − βn+1 xn+1 xn+1 − βn xn − − βn+1 − βn αn+1 γh(xn+1 ) + βn+1 xn+1 + ((1 − βn+1 )I − αn+1 A)T xn+1 − βn+1 xn+1 = − βn+1 αn γh(xn ) + βn xn + ((1 − βn )I − αn A)T xn − βn xn − − βn αn+1 = (γh(xn+1 ) − AT xn+1 ) + T xn+1 − T xn − βn+1 αn + (AT xn ) − γh(xn )) − βn (2.14) = 41 Do từ (2.14) ta suy zn+1 − zn − xn+1 − xn ≤ αn+1 ( γh(xn+1 ) + AT xn+1 ) − βn+1 αn ( γh(xn ) + AT xn ) + − βn (2.15) Từ điều kiện C1), C3) (2.15) ta có lim sup( zn+1 − zn − xn+1 − xn ) ≤ n→∞ Do Bổ đề 1.3, ta có lim zn − xn = (2.16) n→∞ Từ Điều kiện C3), (2.13) (2.16) suy lim xn+1 − xn = lim (1 − βn ) zn − xn = n→∞ n→∞ Bước Ta chứng minh lim xn − T xn = n→∞ Thật vậy, từ (2.12) suy T xn − xn ≤ T xn − xn+1 + xn+1 − xn ≤ αn γh(xn ) − αn AT xn + βn xn − T xn + xx+1 − xn Do (1 − βn ) T xn − xn ≤ αn (γ h(xn ) + AT xn ) + xx+1 − xn Vì vậy, từ điều kiện C1), C3) Bước ta có lim T xn − xn = n→∞ Bước Chứng minh tương tự Bước chứng minh Định lý 2.3 ta nhận lim sup γh(p) − Ap, J(xn − p) ≤ 0, p = lim xt xt xác n→0 n→∞ định (2.1) Bước Ta chứng minh lim xn = p, p = lim xt ∈ F ix(T ) xt n→∞ n→0 xác định (2.1) nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Thật vậy, từ (2.12) suy xn+1 − p = αn (γh(xn ) − Ap) + βn (xn − p) + ((1 − βn )I − αn A)(T xn − p) 42 Theo Mệnh đề 1.8 Mệnh đề 1.9 ta có xn+1 − p ≤ (βn xn − p + (1 − βn )I − αn A)(T xn − p) )2 + 2αn γh(xn ) − Ap, j(xn+1 − p) ≤ (βn xn − p + (1 − βn − αn γ) xn − p )2 + 2αn γh(xn ) − Ap, j(xn+1 − p) = (1 − αn γ)2 xn − p + 2αn γh(xn ) − γh(p), j(xn+1 − p) + 2αn γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) ≤ (1 − αn γ)2 xn − p + 2αn γk xn − p xn+1 − p + 2αn γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) ≤ (1 − αn γ)2 xn − p + αn γk( xn − p + xn+1 − p ) + 2αn γh(p) − Ap, j(xn+1 − p) Phần lại chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.3 43 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; • Khái niệm tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co mạnh khơng gian Banach số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn; • Khái niệm giới hạn Banach số tính chất; • Các kết nghiên cứu Jung tài liệu [7] phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ không giãn đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) 44 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Browder F.E., Petryshyn W.V (1967), “Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space”, J Math Anal Appl., 20, pp 197-228 [3] Cai G., Hu C S (2010), “Strong convergence theorems of a general iterative process for a finite family of λi pseudocontraction in q-uniformly smooth Banach spaces”, Comput Math Appl., 59, pp 149–160 [4] J Diestel, Geometry of Banach space-Selected topics, Springer-Verlag, 1970 [5] Goebel K., Kirk W A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge University Press, Cambridge [6] Halpern B.(1967), “Fixed points of nonexpanding maps”, Bull Math Soc., 73, pp 957-961 [7] Jung J.S (2017), “Strong convergence of general iterative algorithms for nonexpansive mappings in Banach spaces”, J Korean Math Soc., 54(3), pp 1031-1047 [8] Marino G, Xu H.K (2006), “A general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 318(1), pp 43-52 [9] Mann W R (1953), “Mean value methods in iteration”, Proc Amer Math Soc., 4, pp 506-510 [10] Moudafi A (2000), “Vicosity approximation methods for fixed point problems”, J Math Anal Appl., 241, pp 45-55 [11] Wangkeeree R., Petrot N (2011), “The general iterative methods for nonexpansive mappings in Banach spaces”, J Glob Optim., 51(1), pp 27-46 45 [12] Suzuki T (2007), “A sufficient and necessary condition for Halpern-type strong convergence to fixed points of nonexpansive mappings”, Proc Amer Math Soc., 135(1), pp 99–106 ... biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Mục đích luận văn trình bày lại phương pháp lặp tổng quát đề xuất Jung tài liệu [7] cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach tính... văn Chương Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Jung [7] phương pháp lặp ẩn phương pháp. .. x ∈ C, phương pháp xấp xỉ mềm Moudafi trở phương pháp lặp Halpern Phương pháp lặp tổng quát Năm 2006 Marino Xu [8], đưa phương pháp lặp tổng quát cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn T