Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)

Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG NINH VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG NINH VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái TS Vũ Hồi An THÁI NGUN-NĂM 2017 i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn GS TSKH Hà Huy Khối TS Vũ Hồi An Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình khoa học khác Thái Nguyên, tháng 11 năm 2017 Tác giả Lê Quang Ninh ii Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Hà Huy Khối TS Vũ Hoài An Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa Tốn tồn thể giảng viên khoa, đặc biệt Bộ môn Giải tích Tốn ứng dụng tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô, bạn bè Seminar Bộ mơn Giải tích Tốn ứng dụng Trường Đại học Sư phạm -ĐHTN, Trường Đại học Thăng Long Trường Cao đẳng Hải Dương giúp đỡ, động viên tác giả nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH Trần Văn Tấn PGS TSKH Tạ Thị Hoài An (hai cán phản biện) nhà khoa học Hội đồng bảo vệ luận án cấp sở tác giả dành nhiều thời gian đọc, sửa, góp ý để luận án hồn thiện tốt nhiều Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân gia đình, người chịu nhiều khó khăn, vất vả dành hết tình cảm u thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành luận án Tác giả Lê Quang Ninh Mục lục Mở đầu Chương Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 13 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 13 1.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring hàm phân hình 17 1.3 Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 26 Chương Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 45 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 45 2.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring đường cong chỉnh hình 47 2.3 Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 61 Chương Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình trường khơng Ác-si-mét 66 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 66 3.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring nhiều biến hàm nguyên trường không Ác-si-mét 68 3.3 Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình trường không Ác-si-mét 73 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong toán học, Định lý đại số khẳng định đa thức biến khác với hệ số phức có nghiệm phức Từ suy đa thức khác với hệ số phức nhận giá trị phức Picard người mở rộng Định lý Đại số cho hàm nguyên phức mà ngày gọi Định lý Picard Định lý Picard phát biểu sau: hàm nguyên biến khác mặt phẳng phức C nhận giá trị phức, trừ giá trị Vào thập niên kỷ XX, Nevanlinna xây dựng lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình C mà ngày gọi lý thuyết Nevanlinna Kết lý thuyết Nevanlinna hai định lý Định lý thứ mở rộng Định lý đại số, mô tả phân bố giá trị hàm phân hình khác C Định lý thứ hai mở rộng Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng đạo hàm đến phân bố giá trị hàm phân hình Hà Huy Khối người xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp p-adic Ơng học trò xây dựng tương tự lý thuyết Nevanlinna cho trường số p-adic mà ngày thường gọi lý thuyết Nevanlinna p-adic Họ đưa hai Định lý cho hàm phân hình ánh xạ chỉnh hình p-adic Năm 1926, R.Nevanlinna chứng minh rằng: Với hai hàm phân hình f g mặt phẳng phức C, chúng có ảnh ngược (khơng tính tính bội) điểm phân biệt f = g (Định lý điểm) g có af + b dạng (a, b, c, d số phức thỏa mãn ad − bc = 0) f cf + d g có ảnh ngược (kể bội) điểm phân biệt (Định lý điểm) Một ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị (phức p-adic) vấn đề xác định cho hàm phân hình khác (phức p-adic) qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm phân biệt mà ngày gọi Định lý điểm Nevanlinna (hoặc tương tự Định lý điểm cho trường hợp p-adic) Có hai hướng mở rộng Định lý điểm Hướng thứ nhất: Xét nghịch ảnh riêng rẽ điểm cho hàm nghịch ảnh siêu phẳng, siêu mặt cho ánh xạ chỉnh hình trường hợp phức p-adic vấn đề xác định hàm ánh xạ chỉnh hình Hướng thứ mở rộng tự nhiên Định lý điểm Vấn đề xác định theo hướng thứ nghiên cứu liên tục mạnh mẽ với kết nhiều tác giả: M.Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Ha Huy Khoai, L.Lahiri, G.Dethloff, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, A.Escassut, Phạm Việt Đức, Hà Trần Phương Năm 1977, F.Gross đưa ý tưởng không xét ảnh ngược điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược tập hợp điểm C ∪ {∞} Ông đưa hai câu hỏi sau: i) Tồn hay không tập S C ∪ {∞} để với hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g? ii) Tồn hay không hai tập Si , i = 1, C ∪ {∞} để với hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, ta có f = g? Các cơng trình trả lời câu hỏi F.Gross hình thành phát triển hướng thứ hai: Xét nghịch ảnh tập hợp điểm cho hàm trường hợp phức p-adic hàm ánh xạ chỉnh hình Hướng thứ hai nhận nhiều kết sâu sắc F.Gross C.C.Yang, H.X.Yi, B.Shiffman, C.C.Yang-X.Hua, E.Mues- M.Reinders, P.Li, H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, Hà Huy Khoái, A.Escassut, Liên quan đến vấn đề hàm phân hình khái niệm đa thức nhất, đa thức mạnh phương trình hàm C.C.Yang X.Hua [37] năm 1997 B.Shiffman năm 2001 nghiên cứu vấn đề khơng tồn cặp hàm phân hình (hoặc hàm nguyên) khác phân biệt f, g thỏa mãn P (f ) = P (g) Năm 2000, H.Fujimoto [12] xây dựng lớp đa thức mạnh mà tập nghiệm tập xác định Năm 2004, Hà Huy Khoái C.C.Yang [18] nghiên cứu vấn đề phương trình hàm P (f ) = Q(g) Năm 2010, F.Pakovich [27] mô tả nghiệm hàm nguyên phương trình P (f ) = Q(g) Năm 2011, Tạ Thị Hoài An [2] xây dựng hai lớp đa thức mạnh mà tập nghiệm chúng tập xác định Từ kết trên, nhận thấy: công việc xây dựng tập xác định gồm hai bước Bước Từ điều kiện ảnh ngược Ef (S) = Eg (S) E f (S) = E g (S) đưa đến phương trình hàm P (f ) = cP (g), S tập nghiệm đa thức P khơng có nghiệm bội, c = Bước Dùng hai Định lý kỹ thuật đánh giá để chứng minh c = chứng minh phương trình P (f ) = P (g) có nghiệm f = g dùng tính hyperbolic Brody đường cong để chứng minh phương trình P (f ) = cP (g), c = có nghiệm f = g Trong [33], M.Shirosaki xây dựng siêu mặt X xác định đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính Cơng việc xây dựng siêu mặt X gồm bước: Một là, dùng điều kiện bội giao để đưa phương trình hàm nhiều biến hàm nguyên f1 , , fN +1 ; g1 , , gN +1 Hai là, chứng minh nghiệm phương trình có dạng (f1 , , fN +1 , γg1 , , γgN +1 ), γ hàm ngun khơng có khơng điểm Từ đó, chúng tơi có nhận xét rằng: Phương trình hàm P (f ) = P (g) (P (f1 , , fN +1 ) = P (g1 , , gN +1 )) gắn bó mật thiết với vấn đề xác định hàm phân hình (đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính) Có thể nói rằng: tập xác định (theo hướng thứ hai) nảy sinh vấn đề nghiệm phương trình hàm P (f ) = P (g) ngược lại Từ đây, nảy sinh hai câu hỏi Câu hỏi 1: Vấn đề vơ nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm nhất, mơ tả nghiệm, phương trình hàm P (f ) = Q(g) liên quan đến ảnh ngược tập hàm phân nào? Câu hỏi 2: Vấn đề vơ nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm nhất, mơ tả nghiệm, phương trình hàm nhiều biến hàm nguyên P (f1 , , fN +1 ) = Q(g1 , , gN +1 ) liên quan đến ảnh ngược siêu mặt đường cong chỉnh nào? Hai câu hỏi có liên quan đến vấn đề nghiên cứu F.Pakovich [26] Đinh Tiến Cường [10], [11] Trong [26] có nhắc lại câu hỏi sau C C Yang: "Cho f1 , f2 hai đa thức phức, S = {−1, 1} f1−1 (S) = f2−1 (S) Khi f1 = f2 f1 = −f2 ?" Câu hỏi C.C.Yang giải [36] Họ chứng minh rằng: Đối với tập compact K ∩ C chứa hai điểm hai đa thức bậc f1 (z), f2 (z), đẳng thức f1−1 (K) = f2−1 (K) suy f1 (z) = σ(f2 (z)) Ở σ(z) = za + b, a, b ∈ C, cho σ(K) = K Kết mở rộng cho hai đa thức khác có bậc (Xem [11]) Năm 2007, F.Pakovich [26] có ý tưởng xét ảnh ngược hai tập compact hữu hạn vô hạn K1 , K2 ∈ C hai đa thức phức f1 , f2 Ông đưa câu hỏi sau: "Với điều kiện f1 , f2 , K1 , K2 f1−1 (K1 ) = f2−1 (K2 )?" Nhằm góp phần trả lời câu hỏi Gross, Pakovich, câu hỏi 1, làm phong phú thêm nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna, lựa chọn luận án: "Về xác định hàm ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm" Luận án nghiên cứu vấn đề sau: Cho Si , Ti ⊂ C ∪ {∞} , Si = ∅, Ti = ∅, i = 1, , k; Xi , Yi siêu mặt PN (C), i = 1, , k Vấn đề 1: Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược Si , Ti Vấn đề 2: Xác định đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính qua điều kiện ảnh ngược Xi , Yi Vấn đề 3: Tương tự Vấn đề Vấn đề cho trường hợp p-adic Mục tiêu luận án 2.1 Tìm Si , Ti , i = 1, , k, với điều kiện: Tồn hai hàm phân hình khác f, g thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Ti ) E f (Si ) = E g (Ti ), i = 1, , k Khi đó, mơ tả f, g liên hệ với Vấn đề hàm phân hình 2.2 Tìm Si , Ti , i = 1, , k, với điều kiện: Khơng tồn hai hàm phân hình khác f, g thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Ti ) E f (Si ) = E g (Ti ), i = 1, k 2.3 Tìm Xi , Yi , i = 1, , k với điều kiện: Tồn hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfXi = νgYi , i = 1, , k Khi đó, mơ tả f, g liên hệ với Vấn đề đường cong chỉnh hình 2.4 Tìm Xi , Yi , i = 1, , k với điều kiện: Khơng tồn hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfXi = νgYi , i = 1, , k Ở đó, νfX hàm bội giao đường cong chỉnh hình f siêu mặt X Luận án tập trung vào nghiên cứu mục tiêu trường hợp i = 2.5 Tìm tập Si để từ E f (Si ) = E g (Si ) xác định f, g với f, g hàm phân hình p-adic 2.6 Tìm siêu mặt X xác định đường cong chỉnh hình p-adic khơng suy biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hàm phân hình, đường cong chỉnh hình, tính chất nghiệm số phương trình đa thức, ứng dụng Lý thuyết Nevanlinna phân bố giá trị ánh xạ chỉnh hình vào tốn xác định ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp Phương pháp công cụ nghiên cứu Công cụ dùng để giải ba vấn đề nêu hai Định lý lý thuyết Nevanlinna tương tự nó, kiểu Bổ đề Borel tương tự trường hợp p-adic Sử dụng công cụ trường hợp tập Si , Ti siêu mặt Xi , Yi gặp nhiều khó khăn Vì vậy, luận án chúng tơi tìm tập Si , Ti tập 75 Từ suy a2 − a1 b2 − b1 a3 − a1 b3 − b1 = Mâu thuẫn với giả thiết (C1 ) Trường hợp 1.2 #A = ∅ Khi Ef (ci ) = Eg (di ), Ef (di ) = Eg (ci ), (3.15) với i = 3, 4, Do f1 − ci f2 = ti (g1 − di g2 ), g1 − ci g2 = ri (f1 − di f2 ), i = 3, 4, Nhân vế với vế hai phương trình ta có f1 g1 − ci (f1 g2 + f2 g1 ) + c2i f2 g2 = li f1 g1 − d3 (g1 f2 + g2 f1 ) + d23 g2 f2 , với li = ti ri , i = 3, 4, Chia hai vế phương trình cho f2 g2 ta có f g − ci (f + g) + c2i = li (f g − di (f + g) + d2i ) Lấy i = ta có f g − c3 (f + g) + c23 = l3 f g − d3 (f + g) + d23 (3.16) Do f −1 (ci ) = g −1 (di ) = ø, i = 4, 5, nên tồn zi cho f (zi ) = ci , g(zi ) = di , i = 4, Để ý ci + di = −ai , ci di = bi , i = 4, Từ (3.16) ta có c32 + c3 + bi = li (d23 + d3 + bi ), i = 4, Xét hệ phương trình x(d23 + d3 + bi ) + y(c23 + c3 + bi ) = 0, với i = 4, Hệ phương trình (3.17) ln có nghiệm (l3 , 1) = (0; 0) Vậy d22 − a4 d3 + b4 c23 + a4 c3 + b4 = 0, d23 + a5 d3 + b5 c23 + a5 c3 + b5 (3.17) 76 a3 b3 c23 d23 1 a4 b4 c3 d3 = 0, a5 b5 1 a3 b − a3 b − b a4 b = a = a − a3 b − b a5 b Mâu thuẫn với giả thiết (C1 ) Trường hợp 1.3 #A = Khơng làm tính tổng qt, giả sử phương trình ứng với i = (3.12) có tính chất tồn j = cho f −1 (c5 ) ∩ g −1 (c5 ) = ∅ f −1 (d5 ) ∩ g −1 (d5 ) = ∅ Tiếp theo, xét phương trình sau (3.12) (g − c5 )(g − d5 ) (f − c5 )(f − d5 ) = h5 (f − c1 )(f − d1 ) (g − c1 )(g − d1 ) (3.18) Từ #A = (3.18) ta có f −1 (ci ) ∩ g −1 (ci ) = ∅ = f −1 (di ) ∩ g −1 (di ), i = 2, 3, Do Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 2, 3, nên Ef (ci ) = Eg (di ), Ef (di ) = Eg (ci ), i = 2, 3, Bây lý luận tương tự xét (3.15) ta có mâu thuẫn Trường hợp f nhận giá trị K ∪ {∞} Gọi B tập tất i với i ∈ {1, , q} thỏa mãn điều kiện f −1 (ci ) ∩ f −1 (ci ) = ∅ Xét trường hợp sau: Trường hợp 2.1 #B ≥ Không giảm tổng quát giả sử ∈ B Khi ta lý luận tương tự Trường hợp 1.1 Trường hợp 2.1 #B = ∅ Khi Ef (ci ) = Eg (di ), Ef (di ) = Eg (ci ), i = 1, , q Lý luận tương tự trường hợp 1.2 ta có mâu thuẫn Vậy f = g Định lý chứng minh Bổ đề 3.3.2 Cho a, b, 0, ∞ phần tử phân biệt K ∪ {∞} z − ac T (z) = , b = ac2 Khi z + ac T (∞) + T (0) = = T (a) + T (b) Chứng minh Ta có T (0) = −1, T (∞) = 1, T (a) = a − ac − c = ; a + ac 1+c ac2 − ac ac(c − 1) c − T (b) = T (ac ) = = = = −T (a) ac + ac ac(c + 1) c+1 Do T (∞) + T (0) = = T (a) + T (b) Ta có điều phải chứng minh 77 1 , N N r, f −a f − akj hàm đếm khơng tính bội f cho f (z) = a = g(z), f (z) = a = g(z) Với a ∈ K ∪{∞} , ký hiệu N N r, Bổ đề 3.3.3 Cho {ai } , i = 1, , p; Sk = {ak1 , ak2 } , k = 1, , q; tập phân biệt gồm phần tử phân biệt; f g hàm phân hình khác K thỏa mãn E f (ai ) = E g (ai ), E f (Sk ) = E g (Sk ), với i = 1, , p, k = 1, , q Khi q (q + 2p − 4)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ [N N r, k=1 j=1 + N N r, f − ak j ] − log r + O(1) g − ak j Chứng minh Theo định lý thứ hai ta có q N r, (q + 2p − 2)T (r, f ) ≤ f − i=1 q + N r, k=1 j=1 q (q + 2p − 2)T (r, g) ≤ N r, i=1 q − log r + O(1) (3.19) − log r + O(1) (3.20) = 0, i = 1, , p (3.21) g − + f − ak i N r, k=1 j=1 g − ak i Ta có N N r, f − = N N r, g − Hơn nữa, với k = 1, , q ta có NE j=1 r, f − aki = N E r, j=1 g − aki , 78 NN j=1 r, f − aki = N N r, j=1 g − ak i (3.22) Giả sử f không đồng g ta có q NE i=1 p r, f − N E r, + k=1 j=1 f − ak j ≤ N f −g (r) ≤ T (r, f ) + T (r, g) Từ (3.19), (3.20) suy q r, f − NN i=1 p N N r, = k=1 j=1 q i=1 N p r, f − + NE k=1 j=1 p N N r, + k=1 j=1 f − ak j f − ak , r, f − p − N E r, k=1 j=1 ≥ (q + 2p − 3)T (r, f ) − T (r, g) + log r + O(1) f − ak j (3.23) Tương tự, ta có p N N r, k=1 j=1 g − aki ≥ (q + 2p − 3)T (r, g) −T (r, f ) + log r + O(1) Từ (3.23) (3.24) ta có q + NN j=1 N N r, k=1 f − ak i ≥ (q + 2p − 4) [T (r, g) + T (r, f )] r, (3.24) g − ak j − log r + O(1) Định lý 3.3.4 Cho , i = 1, , p; ak1 , ak2 , k = 1, , q phần tử phân biệt K Gọi Sk = {ak1 , ak2 } , k = 1, , q Giả sử f g hàm phân hình K thỏa mãn E f (ai ) = E g (ai ), E f (Sk ) = E g (Sk ), với i = 1, , p, k = 1, , q Nếu p + q ≥ 3, p, q ≥ f biến đổi phân tuyến tính g 79 Chứng minh Nếu f = g hiển nhiên f phép biến đổi phân tuyến tính g Nếu f khác g Do ak1 , ak2 khác 0, ∞ nên viết ak2 = c2k ak1 , k = 2, , q Theo Bể đề 3.3.2 ta có T (∞) + T (0) = Tk (ak1 ) + Tk (ak2 ) = Đặt Fk = Tk (f ), Gk = Tk (g) Giả sử Fk + Gk = với k = 1, , q Theo giả thiết Bổ đề 3.3.3 ta có (q + 2p − 4) [T (r, g) + T (r, f )] q ≤ N N r, k=1 j=1 f − ak i + N N r, g − ak j − 2logr + O(1) f (z) = akj g(z) = aki ; i = j, Fk (z) + Gk (z) = Từ suy q N N r, k=1 j=1 q f − akj r, f − ak j NN k=3 j=1 + N N r, + NN g − akj r, g − ak j ≤ NF2 +G2 (r), q ≤ NFk +Gk (r) k=3 Từ bất đẳng thức ta có q N N r, k=1 j=1 q f − ak j k=2 g − ak j q NF+ Gk (r) ≤ ≤ + N N r, [TFk (r) + TGk (r)] + O(1) k=2 Từ TFk = T (r, f ) + O(1), TGk (r) = T (r, g) + O(1) ta có (p + 2q − 4) [T (r, f ) + T (r, g)] ≤ (q − 1) [T (r, f ) + T (r, g)] (p + q − 3) [T (r, f ) + T (r, g)] ≤ −2logr + O(1) Do p + q ≥ 3, ta có mâu thuẫn Vậy, tồn k = {2, , 4} cho Fk + Gk ≡ Khi f − ak1 ck g − ak1 ck = f + ak c k g + ak c 80 Vậy f g + ak1 ck f − ak1 ck g − a2k c2k = −f g + ak1 ck f − ak1 ck g + a2k1 c2k Do ak ak 2f g = 2a2k1 c2k Suy g = f Tiếp theo, thiết lập siêu mặt xác định đường cong chỉnh hình p-adic khơng suy biến tuyến tính từ đa thức kiểu FermatWaring (C2 ): Cho Li = Li (z1 , , zN +1 ) = αi,1 z1 + αi,2 z2 + · · · + αi,N +1 zN +1 , i = 1, 2, , q q -dạng tuyến tính N + biến (q > N + 1) vị trí tổng quát KN +1 Với n, m, số nguyên dương, m < n, a, b ∈ K, a, b = Đa thức sau gọi đa thức Yi : Y(m,n) (z1 , z2 ) = z1n − az1n−m z2m + bz2n Xét q đa thức nhất: n P1 = P1 (z1 , , zN +1 ) = Y(m,n) (L1 , L2 ) = Ln1 − aLn−m Lm + bL2 , với q ≥ i ≥ 2, đặt i−1 Pi = Pi (z1 , , zN +1 ) = Y(m,n) (Pi−1 , Lni+1 ) Xét đa thức kiểu Fermat-Waring có bậc nq sau: P (z1 , z2 , , zN +1 ) = Pq (z1 , , zN +1 ) Đa thức P (z1 , z2 , , zN +1 ) gọi q -lặp đa thức Yi Cho hàm nguyên f1 , , fN +1 g1 , , gN +1 K, xét phương trình P (f1 , , fN +1 ) = P (g1 , , gN +1 ) (C3 ): Gọi X siêu mặt kiểu Fermat-Waring PN (K) xác định phương trình P (z1 , , zN +1 ) = Định lý 3.3.5 Cho P (z1 , z2 , , zN +1 ) đa thức xây dựng (C2 ), n ≥ 2m + 8, m ≥ 3, f1 , , fN +1 ; g1 , , gN +1 hai họ hàm nguyên độc lập tuyến tính K, thỏa mãn phương trình P (f1 , , fN +1 ) q = P (g1 , , gN +1 ) Khi gi = cfi , cn = 1, i = 1, , N + Chứng minh Đặt Li (f˜) = Li (f1 , , fN +1 ), Li (˜ g ) = Li (g1 , , gN +1 ), i = 1, , q, Pi (f˜) = Pi (f1 , , fN +1 ), Pi (˜ g ) = Pi (g1 , , gN +1 ), i = 1, , q 81 Đầu tiên ta chứng minh Pi (f˜) ≡ 0, i = 1, 2, , q; q > N, cách quy nạp theo i Với i = giả sử n ˜ ˜ P1 (f˜) = Ln1 (f˜) − aLn−m (f˜)Lm (f ) + bL2 (f ) ≡ L1 (f˜) Từ Ln2 (f˜) ≡ mà ta có điều mâu thuẫn với độc L2 (f˜) lập tuyến tính f1 , , fN +1 Với i = 2, giả sử n2 ˜ ˜ P2 (f˜) = P1n (f˜) − aP1n−m (f˜)Lnm (f ) + bL3 (f ) ≡ P1 (f˜) Do Từ P1 (f˜) ≡ 0, Ln3 (f˜) ≡ thấy n L3 (f˜) n ˜ n ˜ ˜ Ln1 (f˜) − aL1n−m (f˜)Lm (f ) + bL2 (f ) − AL3 (f ) ≡ 0, A = Từ L1 (f˜) ≡ 0, L2 (f˜) ≡ 0, L3 (f˜) ≡ 0, n ≥ 2m + 8, m ≥ 3, Bổ đề 3.2.3 L2 (f˜) ta có ta có điều mâu thuẫn với phụ thuộc tuyến tính L3 (f˜) f1 , , fN +1 Bây xét Pi (f˜) ≡ Khi i n n−m ˜ ni−1 m ˜ Pi−1 (f˜) − aPi−1 (f )Li+1 (f ) + bLni+1 (f˜) ≡ (3.25) Tương tự chứng minh ta có điều trái giả thuyết Tiếp theo, xét Pi (f˜) = Ai Pi (˜ g ), Ai = 0, i = 1, 2, , q (3.26) Chúng ta Lj (˜ g ) = cj Lj (f˜), cj = 0, j = 1, , i + 1, cách quy nạp theo i Với i = ta có P1 (f˜) = A1 P1 (˜ g ), n ˜ n ˜ Ln1 (f˜)−aLn−m (f˜)Lm g )−aLn−m (˜ g )Lm g )+bLn2 (˜ g )) (f )+bL2 (f ) = A1 (L1 (˜ (˜ 1 Từ L1 (f˜) ≡ 0, L2 (f˜) ≡ 0, L1 (˜ g ) ≡ 0, L2 (˜ g ) ≡ 0, n ≥ 2m + 8, m ≥ 3, Bổ đề 3.2.3 phương trình suy Lj (˜ g ) = cj Lj (f˜), cj = 0, j = 1, Bây xét (3.26) Khi i n n−m ˜ ni−1 m ˜ Pi−1 (f˜) − aPi−1 (f )Li+1 (f ) + bLni+1 (f˜) = 82 i−1 i n n−m Ai (Pi−1 (˜ g ) − aPi−1 (˜ g )Lni+1 m (˜ g ) + bLni+1 (˜ g )) (3.27) Từ Pi−1 (f˜) ≡ 0, Li+1 (f˜) ≡ 0,Pi−1 (˜ g ) ≡ 0, Li+1 (˜ g ) ≡ 0, n ≥ 2m + 8, m ≥ 3, Bổ đề 3.2.3, Bổ đề 3.27 i−1 i−1 Pi−1 (f˜) = Bi−1 Pi−1 (˜ g ), Lni+1 (˜ g ) = Ci+1 Lni+1 (f˜) Ta có Lj (˜ g ) = cj Lj (f˜), cj = 0, j = 1, 2, , i + Xét P (f˜) = P (˜ g ), q > N (3.28) Từ (3.26) ta có Li (˜ g ) = ci Li (f˜), ci = 0, i = 1, , q + Do Li , i = 1, , N +1, độc lập tuyến tính L1 , , LN +1 , Lj , j ∈ {N +2, , q+1} độc lập tuyến tính ta có Lj = b1j L1 +b2j L2 +· · ·+bN +1j LN +1 , bkj = 0, k = 1, , N + 1, j = N + 2, , q + 1; Lj (f˜) = b1j L1 (f˜) + b2j L2 (f˜) + · · · + bN +1j LN +1 (f˜), j = N + 2, , q + 1; Lj (˜ g ) = b1j L1 (˜ g ) + b2j L2 (˜ g ) + · · · + bN +1j LN +1 (˜ g ), j = N + 2, , q + Từ điều Li (˜ g ) = ci Li (f˜), ci = 0, i = 1, 2, , N + 1; Lj (˜ g) = cj Lj (f˜), ta thu Lj (˜ g ) = c1 b1j L1 (f˜) + c2 b2j L2 (f˜) + · · · + cN +1 bN +1j LN +1 (f˜); c1 b1j L1 (f˜) + c2 b2j L2 (f˜) + · · · + cN +1 bN +1j LN +1 (f˜) = cj b1j L1 (f˜) + cj b2j L2 (f˜) + · · · + cj bN +1j LN +1 (f˜), j = N + 2, , q + Do f1 , , fN +1 phụ thuộc tuyến tính ta có cj = c1 = cj = c2 = · · · = cN +1 , j = N + 2, , q + Đặt c = ci , i = 1, , q + Khi Lj (˜ g) = q cLj (f˜), j = 1, , q + Vậy gi = cfi , i = 1, , N + 1, cn = Định lý 3.3.6 Cho f g hai ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ K đến PN (K) Cho X siêu mặt xác định (C3 ) X n ≥ 2m + 8, m ≥ Khi đó, µX f = µg f = g Chứng minh Cho f˜ = (f1 : · · · : fN +1 ) g˜ = (g1 : · · · : gN +1 ) X biểu diễn rút gọn f g Từ µX f = µg suy tồn số c q ˜ = (lg1 : · · · : lgN +1 ) khác không cho P (f˜) = cP (˜ g ) Đặt ln = c h ˜ biểu diễn thu gọn g Pq (f˜) = Pq (h) ˜ Áp dụng Định Khi h lý 3.3.5 ta có f = g Định lý chứng minh 83 Kết luận Chương Trong chương này, giải vấn đề sau Thiết lập kiểu Định lý bốn điểm kiểu Định lý hai điểm p-adic (Định lý 3.3.1 Định lý 3.3.4) Từ kiểu Bổ đề Borel cho trường hợp p-adic (Bổ đề 3.2.1) đưa điều kiện để phương trình hàm khơng có nghiệm phân hình p-adic khác (Bổ đề 3.2.2) Chỉ rằng: Nếu f1 , , fN +1 ; g1 , , gN +1 hai họ hàm nguyên phụ thuộc tuyến tính fi = cgi , i = 1, , N + 1, với c nghiệm (Định lý 3.3.5) Từ thu lớp tập xác định cho đường cong chỉnh hình khơng Ác-si-mét (Định lý 3.3.6) 84 Kết luận Luận án nghiên cứu vấn đề xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm (phức p-adic) Mục tiêu luận án thiết lập số tập xác định lớp đa thức trường hợp Các kết luận án Đưa vài điều kiện để số phương trình hàm có nghiệm; mơ tả nghiệm vài phương trình hàm Từ đó, thiết lập số định lý cho hàm phân hình khác đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính; xây dựng hai cặp siêu mặt xác định đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính, ba siêu mặt xác định đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính Các kết mở rộng Định lý điểm, Định lý điểm Nevanlinna theo hướng trả lời câu hỏi F.Gross Pakovich Thiết lập kiểu Định lý bốn điểm kiểu Định lý hai điểm p-adic Xây dựng lớp đa thức siêu mặt kiểu FermatWaring xác định ánh xạ chỉnh hình khơng Ác-si-mét 85 Danh mục Cơng trình tác giả công bố liên quan đến đề tài [5] Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2012), "Uniqueness polynomials for linearly non-degenerate holomorphic curves", Proc.20th Intern Conf Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Science and Technics publishing house [6] Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2016), "On functional equations of the Fermat-Waring type for non-Archimedean vectorial entire functions", Bull Korean Math, 53(4), pp.1185-1196 [16] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2014), "Uniqueness Theorems for Holomorphic Curves with Hypersurfaces of FermatWaring Type", Complex Analysis and Operator Theory, 8, pp 17471759 [23] Le Quang Ninh (2015), "Uniqueness polynomials for linearly nondegenerate p-adic holomorphic curves", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 144, số 14 86 Tài liệu tham khảo [1] Adam W W and Straus E G (1971), "Non-Archimedean analytic functions taking the same values at the same points", Illinois J Math.,15, pp.418-424 [2] Ta Thi Hoai An (2011), "Unique range sets for meromorphic functions constructed without an injectivity hypothesis", Taiwanese J Math, 15, pp 697 - 709 [3] Ta Thi Hoai An, Nguyen Thi Ngoc Diep (2013), "Genus one factors of curves defined by separated variable polynomials", J Number Theory, 133(8), pp 2616 - 2634 [4] Vu Hoai An and Tran Dinh Duc (2011), "Uniqueness theorems and uniqueness polynomials for holomorphic curves", Complex Var Elliptic Equ., 56(14), pp.253-262 [5] Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2012), "Uniqueness polynomials for linearly non-degenerate holomorphic curves", Proc.20th Intern Conf Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Science and Technics publishing house [6] Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2016), "On functional equations of the Fermat-Waring type for non-Archimedean vectorial entire functions", Bull Korean Math, 53(4), pp.1185-1196 [7] Bai X., Han Q., and Chen A (2009), "On a result of H Fujimoto", J Math Kyoto Univ, 49(3), pp.631-643 [8] Boutabaa A (1990), "Théorie de Nevanlinna p-adique", Manuscripta Math, 67, pp.251-269 87 [9] Boutabaa A and Escassut A (1998), "On uniqueness of p−adic meromorphic functions", Proc Amer Math., 9, pp.2557-2568 [10] T Dinh (2002), "Ensembles d’unicite’ pour les polnomes", Ergodic Theory Dynam Systems, 22(1), pp 171–186 [11] T Dinh (2005), "Distribution des préimages et des points périodiques d’une correspondance polynomiale", Bull Soc Math France, 133(3), pp 363–394 [12] Fujimoto H (2000), "On uniqueness of meromorphic functions sharing finite sets", Amer J Math., 122, pp 1175-1203 [13] Hayman W K (1964), Meromorphic Functions, Clarendon, Oxford [14] Hu P C and Yang C C (2000), Meromorphic functions over nonArchimedean fields, Kluwer [15] Hu P C and Yang C C (1999), "A unique range set for p-adic meromorphic functions with 10 elements", Acta Math Vietnamica., 24, pp 95-108 [16] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2014), "Uniqueness Theorems for Holomorphic Curves with Hypersurfaces of FermatWaring Type", Complex Analysis and Operator Theory, 8, pp 17471759 [17] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), "p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem", Internat J Math., 6, pp 719-731 [18] Ha Huy Khoai and Yang C C (2004), "On the functional equation P (f ) = Q(g)", Value Distribution Theory and Related Topics, Advanced Complex Analysis and Application, Vol 3, Kluwer Academic, Boston, MA, pp 201-208 [19] Li P., Yang C.C (2006), "Meromorphic solutions of functional equations with nonconstant coefficient.", Proc.Jpn Acad Ser.A Math Sci., 82(10), pp 183-186 88 [20] Li P and Yang C.C (2004), "Some Further Results on the Functional Equation P(f)=Q(g)", Value Distribution Theory and Related Topics, Advanced Complex Analysis and Application, Vol 3, Kluwer Academic, Boston, MA, pp 219-231 [21] Li P., and Yang C C (1995), "Some further results on the unique range sets of meromorphic functions", Kodai Math J., 18, pp 437-450 [22] Masuda K., Noguchi J (1996), "Construction of hyperbolic hypersurfaces of Pn (C)", Math Ann., 304, pp 339-362 [23] Le Quang Ninh (2015), "Uniqueness polynomials for linearly nondegenerate p-adic holomorphic curves", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Ngun, tập 144, số 14 [24] Ostrovskii I., Pakovitch F., Zaidenberg M (1996), "A remark on complex polynomials of least deviation", Internat Math Res Notices, 14, pp 699–703 [25] Pakovitch F (1996), "Sur un problème d’unicité pour les fonctions méromorphes", C.R Acad Sci Paris Sr I Math., 323(7), pp 745–748 [26] Pakovich F (2007), "On polynomials sharing preimages of compact sets, and related questions", GAFA, Geom funct anal, 18(56), pp 163-183 [27] Pakovich F (2010), "On the equation P(f)=Q(g), where P,Q are polynomials and f,g are entire functions", Amer J Math., 132(6), pp 1591-1607 [28] Pólya G (1921), "Bestimmung einer ganzen Funktion endlichen Geschlechts durch viererlei Stellen", Math Tidsskrift B, Kbeahavn , pp 16-21 [29] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2004), "Siu-Yeung’s Lemma in the p-Adic Case", Vietnam Journal of Mathematics, 32(2), pp 227-234 89 [30] Ru M.(2001), "Uniqueness theorems for p-adic holomorphic curves", Illinois J Math., 45(2), pp 487-493 [31] Siu Y.T., Yeung S K (1997), "Defects for ample divisors of Abelian varieties, Schwarz lemma, and hyperbolic hypersurfaces of low degrees.", Am J Math., 119, pp 1139-1172 [32] Shirosaki M (1997), "On polynomials which determine holomorphic mappings", J.Math Soc.Japan, 49, pp 289-298 [33] Shirosaki M (2002), "A family of polynomials with the uniqueness property for linearly non-degenerate holomorphic mappings", Kodai math.J, 25, pp 288-292 [34] Tran Van Tan (2005), "Uniqueness polynomials for entire curves into complex projective space", Analysis, 25, pp 297–314 [35] Van der Waerden B L (1991), "Algebra", Springer-Verlag, New York, 2(7) [36] Yang C , Open problem, in “Complex Analysis”, Proceedings of the SUNY Brockport Conf on Complex Function Theory, June 7–9, (1976), (S.S Miller, ed.), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 36,Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, 1978 [37] Yang C C and Hua X H (1997), "Uniqueness and value sharing of meromorphic functions", Ann.Acad.Sci.Fenn.Math, pp395-406 [38] Yi H X (1990), "A question of C C Yang on the uniqueness of entire functions", Kodai Math J., 13, pp 39-46 [39] Yi H X (1995), "The unique range sets of entire or meromorphic functions", Complex Variables Theory Appl., 28, pp 13–21 ... kiểu Fermat-Waring hàm phân hình 17 1.3 Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 26 Chương Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG NINH VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người... cong chỉnh hình 47 2.3 Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 61 Chương Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh