Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)

Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG NINH VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái TS Vũ Hoài An Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án cấp Trường họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN …………………………………………………………………… Vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc gia; - Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm; Mục lục Mở đầu Chương Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 1.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring hàm phân hình 1.3 Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm Chương Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 2.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring đường cong chỉnh hình 2.3 Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 12 Chương Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình trường không Ác-si-mét 14 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 14 3.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring nhiều biến hàm nguyên trường không Ác-si-mét 14 3.3 Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình trường khơng Ác-si-mét 15 Mở đầu Lý chọn đề tài Một ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị (phức p-adic) vấn đề xác định cho hàm phân hình khác (phức p-adic) qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm phân biệt mà ngày gọi Định lý điểm Nevanlinna (hoặc tương tự Định lý điểm cho trường hợp p-adic) Năm 1977, F.Gross đưa ý tưởng không xét ảnh ngược điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược tập hợp điểm C ∪ {∞} Ông đưa hai câu hỏi sau: i) Tồn hay không tập S C ∪ {∞} để với hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g? ii) Tồn hay không hai tập Si , i = 1, C ∪ {∞} để với hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, ta có f = g? Phương trình hàm P (f ) = P (g) (P (f1 , , fN +1 ) = P (g1 , , gN +1 )) gắn bó mật thiết với vấn đề xác định hàm phân hình (đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính) Từ đây, nảy sinh hai câu hỏi Câu hỏi 1: Vấn đề vơ nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm nhất, mơ tả nghiệm, phương trình hàm P (f ) = Q(g) liên quan đến ảnh ngược tập hàm phân nào? Câu hỏi 2: Vấn đề vơ nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm nhất, mơ tả nghiệm, phương trình hàm nhiều biến hàm nguyên P (f1 , , fN +1 ) = Q(g1 , , gN +1 ) liên quan đến ảnh ngược siêu mặt đường cong chỉnh nào? Năm 2007, F.Pakovich [26] có ý tưởng xét ảnh ngược hai tập compact hữu hạn vô hạn K1 , K2 ∈ C hai đa thức phức f1 , f2 Ông đưa câu hỏi sau: Với điều kiện f1 , f2 , K1 , K2 f1−1 (K1 ) = f2−1 (K2 )? Nhằm góp phần trả lời câu hỏi Gross, Pakovich, câu hỏi 1, làm phong phú thêm nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna, lựa chọn luận án: "Về xác định hàm ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm" Luận án nghiên cứu vấn đề sau: Cho Si , Ti ⊂ C ∪ {∞} , Si = ∅, Ti = ∅, i = 1, , k; Xi , Yi siêu mặt PN (C), i = 1, , k Vấn đề 1: Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược Si , Ti Vấn đề 2: Xác định đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính qua điều kiện ảnh ngược Xi , Yi Vấn đề 3: Tương tự Vấn đề Vấn đề cho trường hợp p-adic Mục tiêu luận án 2.1 Tìm Si , Ti , i = 1, , k, với điều kiện: Tồn hai hàm phân hình khác f, g thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Ti ) E f (Si ) = E g (Ti ), i = 1, , k Khi đó, mơ tả f, g liên hệ với Vấn đề hàm phân hình 2.2 Tìm Si , Ti , i = 1, , k, với điều kiện: Không tồn hai hàm phân hình khác f, g thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Ti ) E f (Si ) = E g (Ti ), i = 1, k 2.3 Tìm Xi , Yi , i = 1, , k với điều kiện: Tồn hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfXi = νgYi , i = 1, , k Khi đó, mơ tả f, g liên hệ với Vấn đề đường cong chỉnh hình 2.4 Tìm Xi , Yi , i = 1, , k với điều kiện: Không tồn hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfXi = νgYi , i = 1, , k Ở đó, νfX hàm bội giao đường cong chỉnh hình f siêu mặt X Luận án tập trung vào nghiên cứu mục tiêu trường hợp i = 2.5 Tìm tập Si để từ E f (Si ) = E g (Si ) xác định f, g với f, g hàm phân hình p-adic 2.6 Tìm siêu mặt X xác định đường cong chỉnh hình p-adic không suy biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hàm phân hình, đường cong chỉnh hình, tính chất nghiệm số phương trình đa thức, ứng dụng Lý thuyết Nevanlinna phân bố giá trị ánh xạ chỉnh hình vào tốn xác định ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp Phương pháp công cụ nghiên cứu Công cụ dùng để giải ba vấn đề nêu hai Định lý lý thuyết Nevanlinna tương tự nó, kiểu Bổ đề Borel tương tự trường hợp p-adic Ý nghĩa khoa học luận án Luận án góp phần làm sâu sắc thêm nghiên cứu việc ứng dụng Lý thuyết Nevanlinna phân bố giá trị ánh xạ chỉnh hình vào tốn xác định ánh xạ chỉnh hình điều kiện ảnh ngược tập hợp Cấu trúc kết luận án Nội dung luận án gồm ba chương tương ứng với ba vấn đề nghiên cứu luận án Chương 1: Nghiên cứu Vấn đề 1, thiết lập kết Định lý 1.3.3, Định lý 1.3.4 Định lý 1.3.7 Các kết mở rộng Định lý điểm Định lý điểm Nevanlinna góp phần trả lời câu hỏi Gross Pakovich trường hợp hàm phân hình tập compact gồm hữu hạn phần tử Nội dung Chương sử dụng vài kết công bố công trình [5], [16] Chương 2: Nghiên cứu Vấn đề 2, thiết lập kết Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3, Định lý 2.3.5 Định lý 2.3.7 Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3, Định lý 2.3.5 góp phần trả lời câu hỏi Gross Pakovich trường hợp siêu mặt Nội dung Chương sử dụng vài kết cơng bố cơng trình [5], [16] Chương 3: Nghiên cứu Vấn đề 3, thiết lập kết Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.4, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6 Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.4 mở rộng Định lý điểm Định lý điểm p-adic Định lý 3.3.6 góp phần trả lời câu hỏi Gross đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ K đến PN (K) Nội dung Chương sử dụng vài kết cơng bố cơng trình [6], [23] 5 Chương Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Trong mục này, nhắc lại số khái niệm kết lý thuyết phân bố giá trị: hàm đếm, Định lý thứ 2, số dạng định lý thứ 2, 1.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring hàm phân hình Định lý 1.2.1 Cho n > 2m + 3, a1 , b1 , c, a2 , b2 khác không thuộc C Giả sử m ≥ (n, m) = 1, m ≥ Khi phương trình f n + a1 f n−m + b1 = c(g n + a2 g n−m + b2 ) (1.1) b1 có nghiệm phân hình khác (f, g) c = , tồn h ∈ C b2 a cho hn = c, hm = f = hg a2 Cho đa thức P (z) = (z − a1 ) (z − aq ), Q(z) = (z − b1 ) (z − bq ), với = aj , bi = bj , P (z), Q(z) có bậc q số đạo hàm k Viết P (z) = q(z − d1 )m1 (z − dk )mk , Q (z) = q(z − e1 )n1 (z − ek )nk P (z), Q(z) thỏa mãn điều kiện sau: P (di ) = P (dj ) với i = j, i, j ∈ {1, , k} , (1.2) Q(ei ) = Q(ej ) với i = j, i, j ∈ {1, , k} (H) Đặt A = {i, j : i ∈ {1, , k} , j ∈ {1, , k} , P (di ) = cQ(ej ), c = 0} ; m = #A Trong trường hợp A = ∅ ta đặt m = Định lý 1.2.8 Cho P Q đa thức thỏa mãn (H), k ≥ k > m Với h số khác khơng, giả sử phương trình P (f ) = hQ(g) có nghiệm phân hình khác (f, g) Khi f= ag + b , ad − bc = cg + d Bổ đề 1.2.9 Cho n, n1 , n2 , , nq ∈ N∗ , a1 , a2 , , aq điểm phân q n i biệt C, c ∈ C, c = q > + Khi phương trình hàm i=1 n (f − a1 )n1 (f − a2 )n2 (f − aq )nq = cg n , (1.3) (f − a1 )n1 (f − a2 )n2 (f − aq )nq g n = c (1.4) khơng có nghiệm phân hình khác (f, g) 1.3 Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm Định lý 1.3.3 Cho a1 , b1 , a2 , b2 = 0, đa thức P (z) = z n + a1 z n−m + b1 Q(z) = z n + a2 z n−m + b2 khơng có nghiệm bội, m ≥ (m, n) = m ≥ Gọi S, T tập nghiệm P (z), Q(z) Khi i) Với n ≥ 2m+9, khẳng định sau đúng: Tồn hai hàm phân hình khác a1 f, g thỏa mãn Ef (S) = Eg (T ) f = hg với hm = , a2 b hn = b2 ii) Với n ≥ 5m + 15, khẳng định sau đúng: Tồn hai hàm phân hình khác f, g thỏa mãn E f (S) = E g (T ) f = hg với b1 a1 hm = , hn = a2 b2 Định lý 1.3.4 Cho a1 , a2 = 0, a1 , a2 ∈ C; Gọi S1 , T1 tương ứng tập hợp bậc n a1 , a2 Khi Với n > 8, khẳng định sau đúng: Tồn hai hàm phân hình khác l f, g thỏa mãn Ef (S1 ) = Eg (T1 ) f = f = hg, g a với ln = a1 a2 , hn = a2 Với n > 14, khẳng định sau đúng: Tồn hai hàm phân hình khác l f, g thỏa mãn E f (S1 ) = E g (T1 ) f = f = hg, g a1 n n với l = a1 a2 , h = a2 Xét đa thức P (z) Q(z) (1.2) thỏa mãn điều kiện sau: P (d1 ) + P (d2 ) + · · · + P (dk ) = 0, Q(e1 ) + Q(e2 ) + · · · + Q(ek ) = (H1 ) P (d1 ) + · · · + P (dk ) = Q(e1 ), , Q(ek ) (H2 ) Định lý 1.3.5 Cho f g hai hàm phân hình, P (z), Q(z) hai đa thức thỏa mãn điều kiện (H), (H1 ) (H2 ) với tập nghiệm tương ứng S, T Giả sử k ≥ 4, q > 2k + Ef (S) = Eg (T ) Khi S = T f = g; ag + b , ad − bc = S = T f = cg + d Định lý 1.3.6 Cho f g hai hàm phân hình khác hằng, P (z), Q(z) hai đa thức thỏa mãn điều kiện (H), (H1 ) (H2 ), với tập nghiệm tương ứng S, T Giả sử k ≥ E f (S) = E g (T ), q > 2k + 10 Khi Nếu S = T f = g ag + b Nếu S = T f = , ad − bc = cg + d Định lý 1.3.7 Cho n, m số nguyên dương, đa thức P (z) = z n−m (am z m + · · · + a1 z + a0 ) + a có bậc n khơng có nghiệm bội, đa thức R(z) = cz n + b, am , am−1 , , a1 , a0 , c, b ∈ C, cbam a0 = Viết am z m + · · · + a1 z + a0 = am (z − e1 )n1 (z − eq )nq Giả sử q > q n n−m i + S, T tương ứng tập nghiệm P (z), R(z) Khi 2+ m i=1 n Nếu n > m + khơng tồn hai hàm phân hình khác f, g thỏa mãn Ef (S) = Eg (T ) Nếu n > 3m + 14 khơng tồn hai hàm phân hình khác f, g thỏa mãn E f (S) = E g (T ) 9 Chương Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Trong mục này, nhắc hai kiểu bổ đề Borel nhắc lại số khái niệm hàm đặc trưng đường cong chỉnh hình, siêu mặt vị trí tổng qt, đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính, đa thức đa thức mạnh cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính 2.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring đường cong chỉnh hình (B1 ): Cho ui , vj , i = 1, , q, j = 1, , N +1 hai hệ véc tơ vị trí tổng quát CN +1 , q ≥ N + Với α1 , , αN +1 số nguyên dương phân biệt, định nghĩa tập Q = {α = (α1 , , αN +1 ) : ≤ α1 , , αN +1 ≤ q} Với phần tử α = (α1 , , αN +1 ) ∈ Q, đặt α = {α1 , , αN +1 } ma trận liên kết   uα1  uα  Aα =   , uαN +1 10  vα1  vα  Bα =   vαN +1  Ký hiệu σ song ánh từ {1, 2, , q} đến {1, 2, , q} ; σ(α) = (σ(α1 ), , σ(αN +1 )), σ(α) = {σ(α1 ), , σ(αN +1 )} Với hai véc tơ w = (w1 , , wN +1 ), x = (x1 , , xN +1 ), ta ký hiệu w · x = w1 x1 + · · · + wN +1 xN +1 Ký hiệu ω1 , , ωq số phức cho ωid = 1, d ∈ N∗ ,   ω1 0   ω2 Ωα =   ωαN +1 Với N + hàm nguyên f1 , , fN +1 , đặt f˜ = (f1 , , fN +1 ), ta ký hiệu   f1  f2  f t =   fN +1 (B2 ): Giả sử uj với j = 1, , q vị trí tổng quát CN +1 Lấy số nguyên dương d lấy α, α , β, β ∈ Q (B3 ): Nếu α = α β = β α = β α = β detAα detAα d = detAβ detAβ d (B4 ) : Nếu α ¯=α ¯ , β¯ = β¯ α ¯ = β¯ α ¯ = β¯ detAα detAα nd = detAβ detAβ nd Định lý 2.2.5 Cho q, d, N ∈ N∗ , d ≥ (2q − 1)2 , q ≥ N + 1, phương trình hàm q q (uj · f˜)d = j=1 (vj · g˜)d , (2.1) j=1 f˜ = (f1 , , fN +1 ), g˜ = (g1 , , gN +1 ) Khi phương trình (2.1) có nghiệm (f1 , , fN +1 , g1 , , gN +1 ), với {f1 , , fN +1 } , {g1 , , gN +1 } 11 hai họ hàm nguyên độc lập tuyến tính, tồn song −1 ánh σ từ {1, , q} đến {1, , q} cho A−1 α Ωα Bσ(α) = Aβ Ωβ Bσ(β) với α, β thuộc Q Hơn nữa, điều kiện cần f˜ = A−1 ˜t , α Ωα Bσ(α) g (2.2) α = (1, , N + 1) (B5 ): Cho d, m, n, N số nguyên dương, m < n, xét đa thức sau n n−m m Ai = zi+1 − zi+1 z1 + bi z1n , n n−m m Bi = zi+1 − ci zi+1 z1 + di z1n , i = 1, , N + 1, A(z1 , , zN +1 ) = Ad1 + · · · + AdN , d B(z1 , , zN +1 ) = B1d + · · · + BN Định lý 2.2.8 Với giả thiết (B5 ) n ≥ 2m + 9, (n, m) = 1, d ≥ (2N − 1)2 , phương trình hàm A(f1 , , fN +1 ) = B(g1 , , gN +1 ) (2.3) có nghiệm (f1 , , fN +1 , g1 , , gN +1 ), với {f1 , , fN +1 } , {g1 , , gN +1 } hai hệ hàm nguyên độc lập tuyến tính C, tồn song ánh σ từ {1, 2, , N } đến {1, 2, , N } số phức ciσ(i) , l1 , lσ(i) + 1, thỏa mãn bi n−m m n = l1n , lσ(i)+1 , lσ(i)+1 l1 = , i = 1, , N, = ciσ(i) dσ(i) ciσ(i) ciσ(i) aσ(i) gi = li fi , i = 1, , N + 1, cdiσ(i) = (B6 ): Cho a0 = 0, P (z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 khơng có nghiệm bội S tập nghiệm Đặt G(z1 , z2 ) = z1n + an−1 z n−1 z2 + · · · + a0 z2n , H(z1 , , zN +1 ) = Gd (L2 , L1 ) + · · · + Gd (Lq , L1 ), L1 , , Lq dạng tuyến tính CN +1 (q ≥ N + 2) thỏa mãn điều kiện (B2 ) (B4 ) 12 Định lý 2.2.14 Với kí hiệu giả thiết (B6 ) S tập xác định của hàm phân hình, d ≥ (2q − 3)2 , hai hàm Li (f1 , , fN +1 ), L1 (f1 , , fN +1 ) (Li (g1 , , gN +1 ), L1 (g1 , , gN +1 )), i = 2, , q điểm chung, phương trình hàm H(f1 , , fN +1 ) = H(g1 , , gN +1 ), (2.4) với {f1 , , fN +1 }, {g1 , , gN +1 } hai hệ hàm độc lập tuyến tính Khi nghiệm (f1 , , fN +1 , g1 , , gN +1 ) (2.4) (cg1 , , cgN +1 , g1 , , gN +1 ) với cnd = 2.3 Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm Gọi X, Y siêu mặt PN (C), f, g hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ C đến PN (C) với biểu diễn rút gọn f˜ = (f1 , , fN +1 ), g˜ = (g1 , , gN +1 ), tương ứng Gọi X1 , Y1 siêu mặt Pn (C) xác định q phương trình X1 : (uj x)d = Y1 : j=1 q (νj x)d = j=1 Định lý 2.3.1 Cho q, d, N ∈ N∗ , d ≥ (2q + 1)2 , q ≥ N + Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương: i) Tồn hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfX1 = νfY1 −1 ii) Tồn song ánh σ từ {1, , q} đến {1, , q} cho Bσ(α) Ω−1 α Aα −1 −1 = Bσ(β) Ωβ Aβ với α, β thuộc Q t Hơn điều kiện cần f t = A−1 α Ωσ(α) Bσ(α) (hg) , h hàm ngun khơng có khơng điểm α = (1, , N + 1) Định lý 2.3.2 Cho q, d, N ∈ N∗ , d ≥ (2q + 1)2 , q ≥ N + 2, α = β −1 −1 −1 α = α β = β A−1 α Ωα Aα = Aβ Ωβ Aβ , α, β, α , β thuộc Q Giả sử f, g hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính thỏa mãn νfX1 = νgX1 Khi f = g Định lý 2.3.3 Với giả thiết n ≥ 2m + 9, (n, m) = 1, d ≥ (2N − 1)2 Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương: 13 i) Tồn hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfX2 = νgY2 ii) Tồn song ánh σd từ {1, , N } đến {1, , N } , cho với bi n số ciσ(i) , l1 , lσ(i)+1 thỏa mãn cdiσ(i) = 1, l1n = = , lσ(i)+1 , ciσ(i) dσ(i) ciσ(i) n−m m , i = 1, , N ; gi = li fi , i = 1, , N + lσ(i)+1 l1 = ciσ(i) aσ(i) Cho q, d, m, n số nguyên dương, m < n q -dạng tuyến tính chấp nhận Li (z1 , , zN +1 ), i = 1, , q, , bi = 0, i = 1, , q − Xét đa thức sau: Ti (z1 , , zN +1 ) = Lni+1 (z1 , , zN +1 ) − Ln−m (z1 , , zN +1 )Lm (z1 , , zN +1 ) n + bi L1 (z1 , , zN +1 ), d T (z1 , , zN +1 ) = T1d (z1 , , zN +1 ) + · · · + Tq−1 (z1 , , zN +1 ) Gọi X3 siêu mặt PN (C) xác định phương trình T (z1 , , zN +1 ) = Định lý 2.3.4 T (z1 , , zN +1 ) đa thức cho đường cong chỉnh hình Định lý 2.3.5 Cho f g ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ C vào PN (C) Cho X3 siêu mặt kiểu Fermat-Waring Giả sử νfX3 =νgX3 , n ≥ 2m + 9, m ≥ 2, (m, n) = 1, q > n; d ≥ (2q − 3)2 , d d b2d i = bj bl với i = j, i = l Khi f = g Định lý 2.3.6 Cho d ≥ (2q − 1)2 , n ≥ 2m + 9, (n, m) = 1, m ≥ Khi khơng tồn hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfX4 = νgY4 Định lý 2.3.7 Cho S tập xác định hàm phân hình, d ≥ (2q − 3)2 , f, g hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính thỏa mãn f −1 (Hi ) ∩ f −1 (H1 ) = ∅, g −1 (Hi ) ∩ g −1 (H1 ) = ∅, i = 2, , q, νfX4 = νgX4 Khi f = g 14 Chương Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình trường khơng Ác-si-mét 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Trong phần này, nhắc lại số khái niệm kết tương tự mục 1.1 2.1 trường hợp p-adic 3.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring nhiều biến hàm nguyên trường không Ác-si-mét Bổ đề 3.2.1 [29] Cho d, N ∈ N∗ , qi ∈ N zid−qi Di (z1 , z2 , , zN +1 ) họ đa thức bậc d vị trí tổng quát với hệ số K thỏa mãn fid−qi Di (f1 , , fN +1 ) ≡ 0, ≤ i ≤ N + Giả sử N +1 N +1 fid−qi Di (f1 , , fN +1 ) = 0, d ≥ N − + i=1 qi , N > i=1 Khi f1d−q1 D1 (f1 , , fN +1 ), , fNd−qN DN (f1 , , fN +1 ) phụ thuộc tuyến tính K Bổ đề 3.2.2 Cho n, n1 , n2 , , nq , q ∈ N∗ , a1 , , aq , c ∈ K, c = 0, ni q ≥ + qi=1 Khi phương trình hàm n (f − a1 )n1 (f − a2 )n2 (f − aq )nq = cg n khơng có nghiệm phân hình khác (f, g) 15 Bổ đề 3.2.3 Cho n, m ∈ N∗ , n ≥ 2m + 8, a1 , b1 , a2 , b2 , c ∈ K, a1 = 0, b1 = 0, a2 = 0, b2 = 0, c = 0, f1 , f2 , g1 , g2 hàm nguyên khác không f1 hàm phân hình khác Giả sử f2 f1n + a1 f1n−m f2m + b1 f2n = b2 g2n (3.1) Khi tồn c1 = cho c1 b2 g2n = b1 f2n , g2 = hf2 với b1 = c1 b2 hn , h ∈ K f1 g1 hàm phân hình khác thỏa mãn Giả sử f2 g2 f1n + a1 f1n−m f2m + b1 f2n = c(g1n + a2 g1n−m g2m + b2 g2n ) (3.2) i Nếu m ≥ cb2 g2n = b1 f2n , g2 = hf2 với b1 = cb2 hn , h ∈ K ii Nếu m ≥ g1 = lf1 , g2 = hf2 với = cln , a1 = ca2 ln−m hm , b1 = cb2 hn , l, h ∈ K 3.3 Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình trường khơng Ác-si-mét Cho Si = {ci , di } , ci , di nghiệm đa thức Pi = z +ai z+bi = a2 0, = aj , bi = bj , bi = i , q ≥ − ak bi − bk aj − ak bj − bk = 0, (C1 ) với i, j, k phân biệt thuộc {1, 2, , q} Định lý 3.3.1 Giả sử điều kiện (C1 ) thỏa mãn Cho f, g hai hàm phân hình K thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, , q Khi f = g Bổ đề 3.3.2 Cho a, b, 0, ∞ phần tử phân biệt K ∪ {∞} z − ac T (z) = , b = ac2 Khi z + ac T (∞) + T (0) = = T (a) + T (b) 16 1 , N N r, f −a f − akj hàm đếm khơng tính bội f cho f (z) = a = g(z), f (z) = a = g(z) Với a ∈ K ∪{∞} , ký hiệu N N r, Bổ đề 3.3.3 Cho {ai } , i = 1, , p; Sk = {ak1 , ak2 } , k = 1, , q; tập phân biệt gồm phần tử phân biệt; f g hàm phân hình khác K thỏa mãn E f (ai ) = E g (ai ), E f (Sk ) = E g (Sk ), với i = 1, , p, k = 1, , q Khi q (q + 2p − 4)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ [N N r, k=1 j=1 + N N r, f − ak j ] − log r + O(1) g − ak j Định lý 3.3.4 Cho , i = 1, , p; ak1 , ak2 , k = 1, , q phần tử phân biệt K Gọi Sk = {ak1 , ak2 } , k = 1, , q Giả sử f g hàm phân hình K thỏa mãn E f (ai ) = E g (ai ), E f (Sk ) = E g (Sk ), với i = 1, , p, k = 1, , q Nếu p + q ≥ 3, p, q ≥ f biến đổi phân tuyến tính g (C2 ): Cho Li = Li (z1 , , zN +1 ) = αi,1 z1 + αi,2 z2 + · · · + αi,N +1 zN +1 , i = 1, 2, , q q -dạng tuyến tính N + biến (q > N + 1) vị trí tổng quát KN +1 Với n, m, số nguyên dương, m < n, a, b ∈ K, a, b = Đa thức sau gọi đa thức Yi : Y(m,n) (z1 , z2 ) = z1n − az1n−m z2m + bz2n Xét q đa thức nhất: n P1 = P1 (z1 , , zN +1 ) = Y(m,n) (L1 , L2 ) = Ln1 − aLn−m Lm + bL2 , với q ≥ i ≥ 2, đặt i−1 Pi = Pi (z1 , , zN +1 ) = Y(m,n) (Pi−1 , Lni+1 ) Xét đa thức kiểu Fermat-Waring có bậc nq sau: P (z1 , z2 , , zN +1 ) = Pq (z1 , , zN +1 ) 17 Đa thức P (z1 , z2 , , zN +1 ) gọi q -lặp đa thức Yi Cho hàm nguyên f1 , , fN +1 g1 , , gN +1 K, xét phương trình P (f1 , , fN +1 ) = P (g1 , , gN +1 ) (C3 ): Gọi X siêu mặt kiểu Fermat-Waring PN (K) xác định phương trình P (z1 , , zN +1 ) = Định lý 3.3.5 Cho P (z1 , z2 , , zN +1 ) đa thức xây dựng (C2 ), n ≥ 2m + 8, m ≥ 3, f1 , , fN +1 ; g1 , , gN +1 hai họ hàm nguyên độc lập tuyến tính K, thỏa mãn phương trình P (f1 , , fN +1 ) q = P (g1 , , gN +1 ) Khi gi = cfi , cn = 1, i = 1, , N + Định lý 3.3.6 Cho f g hai ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ K đến PN (K) Cho X siêu mặt xác định (C3 ) X n ≥ 2m + 8, m ≥ Khi đó, µX f = µg f = g 18 Kết luận Luận án nghiên cứu vấn đề xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm (phức p-adic) Mục tiêu luận án thiết lập số tập xác định lớp đa thức trường hợp Các kết luận án Đưa vài điều kiện để số phương trình hàm có nghiệm; mơ tả nghiệm vài phương trình hàm Từ đó, chúng tơi thiết lập số định lý cho hàm phân hình khác đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính; xây dựng hai cặp siêu mặt xác định đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính, ba siêu mặt xác định đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính Các kết mở rộng Định lý điểm, Định lý điểm Nevanlinna theo hướng trả lời câu hỏi F.Gross Pakovich Thiết lập kiểu Định lý bốn điểm kiểu Định lý hai điểm p-adic Xây dựng lớp đa thức siêu mặt kiểu FermatWaring xác định ánh xạ chỉnh hình khơng Ác-si-mét 19 Danh mục Cơng trình tác giả công bố liên quan đến đề tài Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2012), "Uniqueness polynomials for linearly non-degenerate holomorphic curves", Proc.20th Intern Conf Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Science and Technics publishing house Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2016), "On functional equations of the Fermat-Waring type for non-Archimedean vectorial entire functions", Bull Korean Math, 53(4), pp.1185-1196 Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2014), "Uniqueness Theorems for Holomorphic Curves with Hypersurfaces of FermatWaring Type", Complex Analysis and Operator Theory, 8, pp 17471759 Le Quang Ninh (2015), "Uniqueness polynomials for linearly nondegenerate p-adic holomorphic curves", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 144, số 14  ... kiểu Fermat-Waring hàm phân hình 1.3 Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm Chương Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm ... đề xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm (phức p-adic) Mục tiêu luận án thiết lập số tập xác định lớp đa thức trường hợp Các kết luận án Đưa vài điều. .. cong chỉnh hình 2.3 Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 12 Chương Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh