vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI QUANG THIỆN VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI QUANG THIỆN VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ HOÀI AN Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii 1 Tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic 1 1.1 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange . 1 1.1.2 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic . . . . . . 7 1.2.1 Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ 7 1.2.2 Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập . . . . . . . 8 1.3 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh của tập hợp điểm và áp dụng 15 ii 2.1 Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Đa thức duy nhất của hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Đa thức duy nhất kiểu Y n,m . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Đa thức duy nhất kiểu F n,b . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Hàm hữu tỷ chung nhau tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1 Tập duy nhất cho hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Tập duy nhất kiểu F 0 n,b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng” là của tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ. Tác giả Bùi Quang Thiện iv Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Vũ Hoài An. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Sau quá trình nhận đề tài và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy, luận văn “Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng” của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ, PGS. TS. Trịnh Thanh Hải đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sức tốt đẹp. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K6B (Khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. v Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề nội suy cho đa thức là vấn đề kinh điển của Toán học sơ cấp. Newton, Lagrange đã giải quyết vấn đề này đối với đa thức với hệ số thực. Hai ông đã đưa ra công thức nội suy mà ngày nay được gọi là Công thức nội suy Newton, Công thức nội suy Lagrange. Đây là các công thức nội suy với hữu hạn mốc nội suy. Trong trường hợp vô hạn mốc nội suy, vấn đề nội suy cho hàm nguyên đã là bài toán mở trong một thời gian dài. Năm 1979, Hà Huy Khoái là người đầu tiên mở rộng vấn đề nội suy cho đa thức cho các hàm nguyên p-adic [4]. Ông đã tìm được điều kiện cần và đủ để xác định hàm nguyên p-adic từ vô hạn mốc nội suy. Trong trường hợp hàm nguyên phức, vấn đề này vẫn chưa được giải quyết. Điều thú vị ở đây là, xuất phát từ vấn đề nội suy cho các hàm nguyên p-adic, Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng lý thuyết phân bố giá trị cho các hàm phân hình p-adic (xem [5]). Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý thuyết phân bố giá trị (p-adic) là vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm. Kết quả kinh điển đầu tiên của vấn đề này là Định lý 4 điểm của Nevalinna. Có hai hướng mở rộng định lý 4 điểm: 1. Xét nghịch ảnh riêng rẽ của điểm. 2. Xét nghịch ảnh của tập hợp điểm. Mặt khác, từ Công thức nội suy Newton, Công thức nội suy Lagrange, vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số thực được giải quyết qua n + 1 mốc nội suy. Nhận xét rằng, có sự tương tự giữa vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số thực được giải quyết qua n + 1 mốc nội suy với vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng p-adic vi qua điều kiện ảnh ngược của tập điểm. Điều này gợi ý cho chúng tôi xem xét vấn đề nội suy cho đa thức dưới góc độ của lý thuyết phân bố trị. Theo hướng tiếp cận này, luận văn nghiên cứu Vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức. 2. Mục tiêu nghiên cứu Trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương tự các định lý duy nhất đối với hàm phân hình p-adic trong [6] cho Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. 3. Nội dung nghiên cứu và Phương pháp nghiên cứu 3.1. Tổng hợp và trình bày về vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học phổ thông. 3.2. Trình bày tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic. 3.3. Tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương tự các định lý duy nhất đối với hàm phân hình p-adic cho Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. 4. Kết quả nghiên cứu Luận văn tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1]. Cụ thể là: • Định lý 2.1.1 là tương tự của Định lý 4 điểm trong [6]. • Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý 3.9 trong [6]. • Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6]. • Định lý 2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6]. 5. Bố cục luận văn Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. vii Chương 1. Trong Chương 1, chúng tôi tổng hợp và trình bày về vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông, trình bày tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic. Chúng tôi cũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đã được đưa ra trong [1] và đã được trình bày lại ở [2]. Chương 2. Trong Chương 2 chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức đã đưa ra trong [1]. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Học viên Bùi Quang Thiện viii Bảng ký hiệu f Hàm hữu tỷ n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a T f Hàm đặc trưng của f E f (S) Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f E f (S) Ảnh ngược không tính bội của S đối với f K Trường đóng đại số, đặc trưng không [...]... p-adic trong [6] cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức Định lý 2.1.1 là tương tự của Định lý 4 điểm, Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6], Định lý 2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6], 2.1 Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị Ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng không Cho f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a ∈ K ∪ {∞} Kí... 1 là hàm hữu tỷ trên trường số thực R Xét x4 + 1 (x2 + 1)(x2 + 3) g(x) = 4 Nếu ta định nghĩa hàm độ cao tương tự như trên thì (x + 1)(x2 + 3) Tf = 4, Tg = 6 Tf < Tg nhưng f (x) = g(x) trên R 15 Chương 2 Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh của tập hợp điểm và áp dụng Trong chương này, chúng tôi sẽ tương tự các định lý duy nhất đối với hàm phân... tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 1.3.1 Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Tiếp theo, tôi nhắc lại các kết quả trong [1] đã được trình bày ở [2] Từ đây trở đi, ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng không Giả sử f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểm của f Khi đó viết f = (z − a)m p(z) với p(a) = 0 Ta gọi m là bội của không điểm. .. , n + 1) Định nghĩa 1.3.3 Đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn (K) được gọi là không suy biến tuyến tính nếu ảnh của f không được chứa trong bất kỳ siêu phẳng nào của Pn (K) 12 Đường cong hữu tỷ f được gọi là khác hằng nếu ảnh của f không là một điểm nào của Pn (K) 1.3.2 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Hai định lý sau đây là được đưa ra trong [1] và trình... Dùng định lý chính thứ hai, xét bội của không điểm để chuyển hàm đếm tính với bội 1 về hàm đặc trưng, sau đó ước lượng trên hàm đặc trưng và cho bán kính của đĩa đang xét tiến ra vô hạn Đối với trường hợp hai hàm phân hình nhận chung một tập Dùng giả thiết nhận chung một tập, đưa về phương trình hàm Dùng hai định lý chính để phương trình hàm có nghiệm duy nhất 1.3 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ. .. hai định lý chính của hàm phân hình p-adic nên việc tương tự vấn đề duy nhất của trường hợp p-adic cho trường hợp hàm hữu tỷ trên K là có ý nghĩa Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho các khái niệm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên K Ví dụ 1.3.1 Xác định hàm độ cao, hàm đếm, hàm đếm tính với bội bị chặn của các hàm hữu tỷ trên K sau đây 1 f (x) = x2 + 1 2 f (x) = x2 + 1 x3 + 2 3 f (x)... Thay x = 2 vào đa thức f (2) = α2 = 0 Khi đó f (x) = α3 (x − 1)(x − 2) Chọn α3 = 1 ta có f (x) = (x − 1)(x − 2) = x2 − 3x + 2 1.2 Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic và các định lý được phát biểu ở đây là được Yang - Hu đề cập trong [6] Ký hiệu Cp là trường số phức p-adic, Cp là trường đóng đại số, đặc trưng 0 và đầy đủ với chuẩn không acsimét... z = 1 Suy ra t1 , , t2n−6 đều là các không điểm đơn của ϕ Từ (2.9), ta thấy rằng 1 2 Θh (tj ) (1 j 2n − 6) Do đó theo Định lý 1.3.2 ta có 2n−6 2n − 6 = n − 3, 2 Θh (tj ) 2 j=1 Do đó n 5, mâu thuẫn với điều kiện n 6 Định lý được chứng minh 2.3 Hàm hữu tỷ chung nhau tập hợp 2.3.1 Tập duy nhất cho hàm hữu tỷ Cho f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và S ⊂ K ∪ {∞} là một tập không rỗng Kí hiệu {(µa (z),... cho các hàm phân hình Đặc biệt, S là URS tính bội chặn m0 cho các hàm nguyên khi các điều kiện sau đây thỏa mãn 10 g, q > 2k + 4 trong trường hợp m0 = 1, h, q > 2k + 2 + 1 trong trường hợp m0 m0 − 1 2, k, q > 2k + 1 trong trường hợp m0 = ∞ Tiếp theo, chúng tôi nêu khái quát phương pháp chứng minh các định lý vừa phát biểu trên đây như sau Đối với trường hợp hai hàm phân hình nhận chung các điểm riêng... dương Tương tự như trên, ta định nghĩa các hàm n k (f, a), nk (f, a), nl k (f, a), nk (f, a) l l Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, a ∈ K Ta định nghĩa khuyết của f tại a bởi Θf (a) = 1 − n1 (f, a) Tf Trong trường hợp a = ∞, ta kí hiệu Θf (∞) = 1 − n1 (f, ∞) Tf Do hai định lý nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên K khác hai định lý chính của hàm phân hình . trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh của tập. chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức đã đưa. này, luận văn nghiên cứu Vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức. 2. Mục tiêu