Xấp xỉ theo dung lượng của hàm chỉnh hình bởi các hàm hữu tỷ

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CƠNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CƠNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ Chun nghành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU THÁI NGUN - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo Giáo sư Nguyễn Quang Diệu, Đại học sư phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn - Đại học sư phạm, Đại học Thái Ngun tạo điều kiện thuận lợi suốt q trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K19 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi suốt thời gian học tập q trình làm Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng năm 2013 Tác giả Đinh Cơng Sơn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Đinh Cơng Sơn Xác nhận cán hướng dẫn Xác nhận trưởng khoa chun mơn GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Hàm đa điều hòa 1.1.1 Hàm điều hòa 1.1.2 Hàm đa điều hòa 10 Khái niệm dung lượng tương đối 17 1.2.1 Các định nghĩa 17 1.2.2 Các tính chất dung lượng tương đối 20 Khái niệm hội tụ theo dung lượng 25 Hội tụ nhanh theo dung lượng dãy hàm hữu tỷ 27 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mở đầu Ký hiệu tập hợp hàm giải tích f xác định lân cận ∈ Cn cho tồn dãy hàm hữu tỷ {rn } ,deg rn n cho:|f − rn | n → lân cận U ∈ Cn Một ví dụ tập g hàm phân hình f = , g h hàm ngun Trong trường hợp h Tn (g) ta chọn: rn = Tn (g), Tn (h) đa thức Taylor Tn (h) bậc n g h Một kết quan trọng Goncar[G3] nói f ∈ tồn Wf f đơn trị dãy {rn } hội tụ nhanh f theo độ đo Wf Nội dung luận văn trình bày lại kết Bloom nói khẳng định Goncar dãy {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tập khơng đa cực Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trước hết mục 1.1 trình bày khái qt hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa Trong mục giới thiệu dung lượng tương đối C(K, D), hội tụ theo dung lượng Chương 2: Chứng minh khẳng định Goncar dãy hội tụ nhanh theo dung lượng tập khơng đa cực Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Hàm đa điều hòa Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X khơng gian tơpơ Hàm u: X → [−∞; +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập Xα = {x ∈ X : u(x) < α} mở X Hàm v: X → (−∞; +∞] gọi nửa liên tục X -v nửa liên tục trên X Định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X → [−∞; +∞) Ta nói hàm u nửa liên tục x ∈ X ∀ε > tồn lân cận Ux0 x0 X cho ∀x ∈ Ux0 ta có: u(x) < u(x0 ) + ε, u(x0 ) = −∞, u(x) < − , u(x0 ) = −∞ ε Hàm u gọi nửa liên tục trên X u nửa liên tục x0 ∈ X Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mặt khác ta định nghĩa: giả sử E ⊂ X u: E → [ − ∞; +∞) hàm E Giả sử x0 ∈ E Ta định nghĩa: lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }}, (1.1) x→x0 x∈E inf lấy V chạy qua lân cận x0 Khi thấy hàm u: X → [ − ∞; +∞) nửa liên tục x0 ∈ X lim sup u(x) x→x0 u(x0 ) Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω tập mở C Hàm u: Ω → [ − ∞; +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn τ > cho với r < τ ta có: 2π u(ω + reit )dt 2π Chú ý: Với định nghĩa hàm đồng −∞ Ω xem u(ω) hàm điều hòa Ω Ta kí hiệu tập hàm điều hòa Ω SH (Ω) Sau ví dụ đáng ý hàm điều hòa Bổ đề 1.1.3 Nếu f: Ω → C hàm chỉnh hình Ω log |f | hàm điều hòa Ω Chứng minh: Trường hợp f ≡ Ω kết rõ ràng Giả sử f = Ω Giả sử ω ∈ Ω, f (ω) = chọn τ > cho f = B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ } Khi log |f | hàm điều hòa B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ } nên (1.1) thỏa mãn với dấu đẳng thức Trường hợp f (ω) = 0, log |f (ω)| = −∞ (1.1) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ln Bổ đề 1.1.4 Giả sử u,v hàm điều hòa tập mở Ω C Khi đó: (i) max(u,v) hàm điều hòa Ω (ii) Tập hàm điều hòa Ω nón, nghĩa u, v ∈ SH(Ω); α, β > αu + βv ∈ SH(Ω) Định lý 1.1.5 Giả sử u hàm điều hòa miền bị chặn Ω C Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại tồn thể điểm Ω u số Ω (ii) Nếu lim sup u(z) z→ς ς ∈ ∂Ω u Ω Chứng minh (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M điểm z0 ∈ Ω Đặt A = {z ∈ Ω : u(z) < M } ; B = {z ∈ Ω : u(z) = M } Khi A tập mở u hàm nửa liên tục Từ bất đẳng thức trung bình ta thấy B tập mở Ta có Ω = A ∪ B, A ∩ B = φ Do A = Ω B = Ω Nhưng theo giả thiết B = φ nên B = Ω (i) chứng minh (ii) Mở rộng u lên Ω nhờ đặt u(ς) = lim sup u(z), (ς ∈ ∂Ω) Do Ω z→ς tập compact nên u đạt cực đại ω ∈ Ω Nếu ω ∈ ∂Ω giả thiết u(ω) Do u Ω Trường hợp ω ∈ Ω theo (i) u số Ω Do số Ω, u Ω Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Sau tiêu chuẩn nhận biết hàm nửa liên tục hàm điều hòa Định lý 1.1.6 Giả sử Ω tập mở C Khi phát biểu sau tương đương: (i) u hàm điều hòa Ω (ii) Với ω ∈ Ω, tồn τ > cho ∆(ω, τ > 0) ⊂ Ω với r < τ, t < 2π ta có: 2π τ − r2 it u(ω + re ) u(ω + τ eiθ )dθ., 2π τ − 2τ r cos(θ − t) + r2 ∆(ω, τ > 0) = { z ∈ Ω : |z − ω| τ } đĩa đóng tâm ω bán kính τ (iii) Với miền D compact tương đối Ω h hàm điều hòa D, liên tục D thỏa mãn: lim sup(u − h)(z) z→ς 0(ς ∈ ∂D) ta có u h D Hệ 1.1.7 Nếu u hàm điều hòa tập mở Ω ∆(ω, τ ) ⊂ Ω thì: 2π u(ω) u(ω + τ eiθ )dθ 2π Định lý 1.1.8 Giả sử u ∈ C2 (Ω), u hàm điều hòa Ω ∂ 2u ∂ 2u ∆u ≥ 0, ∆u = + Laplace u ∂x2 ∂y Chứng minh Giả sử ∆u Ω Lấy D miền compact tương đối Ω h điều hòa D, liên tục D cho: lim sup(u − h)(z) z→ς 0(ς ∈ ∂D) Với ε > xác định Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 23 B = B(0, R) hình cầu chứa K Giả sử K khơng đa cực {Kn } dãy tập compact K cho lim Cap(K\Kn , Ω) = Khi n→∞ có số δ khơng phụ thuộc vào dãy {Kn } cho với n đủ lớn, Cap(Kn , B) ≥ δ TR (Kn ) ≥ δ Chứng minh: Từ (2.8) có lim Cap(Kn , Ω) = Cap(K, Ω) n→∞ Vì K khơng đa cực, Cap(K, Ω) > [Định lý K,4.7.5] Như vậy, với n đủ lớn Cap(Kn , Ω) ≥ c2 > với c2 Kết suy từ (2.10) (2.16) Tính chất Giả sử K ⊂ CN tập compact với độ đo Lesbesgue dương 2N B = B(0, R) hình cầu chứa K Gọi {Kn } dãy tập compact K cho lim λ(K\Kn ) = Giả sử có n→∞ số δ > khơng phụ thuộc vào dãy {Kn } cho với n đủ lớn Cap(Kn , B) ≥ δ TR (Kn ) ≥ δ Chứng minh: Từ giả thiết, λ(K) > lim λ(Kn ) = λ(K) Do có số n→∞ c3 > cho, với n đủ lớn ta có λ(Kn ) ≥ c3 Một kết suy từ (1.11) (1.16) Giả sử {fn } dãy hàm đo tập Borel tập compact K ⊂ CN giả sử f hàm đo tập Borel K Dãy {fn } hội tụ theo dung lượng tới f tập K với a > siêu lồi Ω ⊃ K có: (2.17) lim Cap ({z ∈ K| |fn (z) − f (z)| > a} , Ω) = n→∞ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 24 Do (2.10), (2.17) cho siêu lồi Ω ⊃ K cho tập siêu lồi mở Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 25 1.3 Khái niệm hội tụ theo dung lượng Nếu {fn } dãy hàm đo tập Borel tập mở Ω ⊂ CN Ta nói hội tụ theo dung lượng tới hàm đo Borel f Ω fn hội tụ tới f theo dung lượng tập compact Ω Từ (2.11) thấy hội tụ theo dung lượng hội tụ theo độ đo Như vậy, ta có: lim λ({z ∈ K| |fn (z) − f (z)| > a}) = (2.18) n→∞ Hội tụ theo độ đo khơng bao gồm hội tụ theo dung lượng Ví dụ, tập hợp có độ đo Lebesgue có dung lượng dương Một hàm hữu tỷ CN định nghĩa phép chia đa thức Chúng ta nói hàm hữu tỷ có bậc ≤ n kí hiệu rn (z) biểu pn (z) thị dạng rn (z) = qn (z) Với pn qn đa thức có bậc ≤ n( ta giả thiết qn = 0) Giả sử f (z) giải tích tập mở Ω ⊂ CN Theo Goncar [G3 ], có dãy hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Ω Khi đó, rn hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập compact K ⊂ Ω với a > với tập siêu lồi mở Ω1 ⊃ K : (2.19) lim Cap( z ∈ K||f (z) − rn (z)|1/n > a , Ω1 ) = n→∞ Ta nói dãy {rn } hội tụ nhanh tới f Ω dãy |fn − rn (z)|1/n hội tụ tới Ω (resp.,hội tụ tới K ) Khi {rn } hội tụ nhanh tới f tập compact K ⊂ Ω nếu, a > 0, ta có: (2.20) lim λ n→∞ Số hóa trung tâm học liệu z ∈ K||f (z) − rn (z)|1/n > a http://www.lrc-tnu.edu.vn/ = 26 Chương Hội tụ nhanh theo dung lượng dãy hàm hữu tỷ Trong mục trước hết đưa đánh giá xấp xỉ hàm chỉnh hình hàm hữu tỷ Những đánh giá chứng minh định lý luận văn Giả sử K tập compact, khơng đa cực B(0, R) u(z) := u∗K,B(0,10R) (z) theo quy tắc hàm cực trị tương đối K B(0, 10R) Bổ đề 2.1 đánh giá u(z) mặt cầu |z| = 2R Đánh giá phụ thuộc vào Cap(K, B(0, 10R)) Bổ đề 2.1 Tồn số c > cho |z| = 2R thì: u(z) ≤ −cCap(K, B(0, 10R)) Chứng minh Gọi z0 điểm cố định mặt cầu |z| = 2R Xét tập mở: ω = z ∈ CN | |z − z0 | < 4R Ω = z ∈ CN | |z − z0 | < 5R Do 4R < nên B(z0 , 4R) nằm B(z0 , 1) ta áp dụng Bổ đề Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 27 3.3 [A-T], có số c > cho: (ddc u)N ≤ c (−u(z0 )) Sup |u(z)|N −1 (3.1) z∈Ω ω Khi đó, từ (2.5) ta có: (ddc u)N = Cap(K, B(0, 10R)) (3.2) ω Hơn theo định nghĩa hàm cực trị tương đối (xem 2.3): supz∈Ω |u(z)| ≤ Từ ta có: (3.3) Cap(K, B(0, 10R)) ≤ −c u(z0 ) với Bổ đề 3.3 [A-T], theo (3.1) với v ∈ P SH(Ω) thỏa mãn v < số c chọn độc lập với v Ta xét (3.1) cho hàm uT (z) := u(T z) với T khơng gian unita CN Khi (ddc uT )N = (ddc u)N Khi vế trái (3.1) khơng đổi Ta có Cap(K, B(0, 10R)) ≤ −c u(T z0 ) với khơng gian unita T Với c = nội dung Bổ đề 2.1(đpcm) c Bổ đề cho thấy hàm hữu tỷ xấp xỉ đồng đến hàm giải tích tập có dung lượng dương hình cầu, có mẫu khơng q nhỏ Đặc biệt, giả sử K tập compact B(0, R) với K khơng đa cực Giả sử f chỉnh hình lân cận B(0, 10R) với M > số thỏa mãn |f (z)| ≤ M pn (z) với z ∈ B(0, 10R) Đặt rn (z) = hàm hữu tỷ có bậc ≤ n qn (z) chuẩn hóa: qn (z) (3.4) K = Bổ đề 2.2 Cho a thỏa mãn điều kiện < a < 1: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 28 |f (z) − rn (z)| n ≤ a với z ∈ K Khi với |z| ≤ 2R ta có, với c Bổ đề 2.1: (2M + 1)ancCap(K,B(0,10R)) |f (z) − rn (z)| ≤ (T10R (K))n |qn (z)| Chứng minh Từ (3.4) giả thiết Bổ đề 2.2 ta có: |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ an với z ∈ K (3.5) Từ a < 1, với điều kiện: pn (3.6) K ≤M +1 Từ đó, sử dụng (2.15) ta có: qn (3.7) B(0,10R) ≤ n (T10R (K)) pn B(0,10R) ≤ M +1 n (T10R (K)) Khi đó, ta có, cho |z| ≤ 10R: 2M + (T10R (K))n Bây ta áp dụng hai định lý khơng đổi [K,Prop 4.5.6] cho hàm đa điều |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ (3.8) hòa log |qn (z)f (z) − pn (z)| sử dụng kết (3.5) (3.8) ta được, với |z| < 10R: (3.9) |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ [−n log T10R (K) + log(2M + 1)] (1 + u(z)) - n(log a)(u(z)) Ở u(z) := u∗K,B(0,10R) (z) Bổ đề 2.1 Từ M > log T10R (K) < (xem (2.12)) số hạng bên phải (3.9) khơng giảm ta thay (1 + u(z)) Hơn nữa, số hạng thứ hai vế phải (3.9) ta sử dụng đánh giá Bổ đề 2.1 (đúng với |z| = 2R) Khi đó, từ log a < ta có, với |z| = 2R: (3.10) log |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ −n log T10R (K) + log(2M + 1) + n(log a)cCap(K, B(0, 10R)) Theo luật số mũ sử dụng ngun lý mơ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 đun cực đại ta có, với |z| ≤ 2R : 2M + ncCap(K,B(0,10R)) a (T10R (K))n sinh kết Từ đạt kết hội tụ theo dung lượng, |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ (3.11) từ kết Bổ đề 2.2 ta đánh giá dung lượng xác lập |qn (z)| nhỏ, ngồi xem [C-D-L] Ta đặt, với < α < Wn (α) := z ∈ B(0, 2R)||qn (z)| < αn (3.12) với qn (z) đa thức có bậc ≤ n chuẩn hóa (3.4) Bổ đề thấy dung lượng Wn (α) phụ thuộc vào n qn phụ thuộc vào α dung lượng K Hơn nữa, dung lượng Wn (α) tiến tới Đặc biệt, ta có (với 4R < 1): Bổ đề 2.3 Có số β > cho: Cap(Wn (α), B(0, + R)) ≤ β + log α/ log T1+R (K) Chứng minh Lưu ý T1+R (K) < biểu thức log α/ log(T1+R (K)) > Khi đó, từ (2.5) (3.4) ta có: với |z| ≤ + R (T1+R (K))n Cho z0 điểm thuộc K cho: (3.13) |qn (z)| ≤ |qn (z0 )| = (3.14) Đặt (1/n) log |qn (z)| + log T1+R (K) − log T1+R (K) Khi u1 ∈ P SH(B(0, + R), u1 < u1 (z0 ) = −1 (3.15) u1 (z) := Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30 Từ z0 ∈ K, |z0 | ≤ R B(z0 , 1) ⊂ B(0, + R) (3.16) Ta đặt: log α log T1+R (K) Khi A > u1 (z) < −A (1/n) log |qn (z)| < log α A := + (3.17) Như vậy: Wn (α) ⊂ z ∈ C N ||z − z0 | < 4R, u1 < −A (3.18) Từ 4R < 1, hình cầu B(z0 , 4R) chứa hình cầu B(z0 , 1) ta áp dụng đẳng thức (4.1) [A-T] cho trường hợp này, ta được, với β > 0: β + log α/ log T1+R (K) Theo kết Bổ đề 3.3 sinh từ (3.16) tính đơn điệu Cap Cap(Wn (α), B(z0 , 1)) ≤ (3.19) (xem(2.9)) Bổ đề 2.4 Cho f giải tích tập mở Ω ⊃ B(0, 10R) (với 4R < 1) cho {rn }n=1,2,3, dãy hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh đến f theo dung lượng tập compact, khơng đa cực K ⊂ B(0, R) Khi {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng đến f B(0, 2R) Chứng minh Cho a thỏa mãn < a < Kn (a) := z ∈ K||f (z) − rn (z)|1/n ≤ a Khi Kn (a) compact theo giả thiết: lim Cap(K\Kn (a), B(0, 10R)) = n→∞ Theo Bổ đề 2.1 có số δ > cho T1+R (Kn (a)) ≥ δ T10R (Kn (a)) ≥ δ ,Cap(Kn (a), B(0, + R)) ≥ δ với n đủ lớn, lấy n ≥ Na Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 Hơn nữa, δ chọn khơng phụ thuộc vào a Đặt: cδ α := a với c số Bổ đề 2.1 (3.20) Giả sử rn (z) = pn (z)/qn (z) qn chuẩn hóa (3.4) Wn (α) định nghĩa (3.12) với α cho (3.20) Khi với z ∈ / Wn (α) ta có: 1 ≤ n = a−ncδ/2 |qn (z)| α Kết hợp (3.21) với kết Bổ đề 2.2, với n ≥ Na : (2M + 1)1/n acδ/2 1/n (3.22) |f (z) − rn (z)| ≤ , z ∈ B(0, 2R)\Wn (α) δ Cho b, ε >0 ta chọn a đủ nhỏ Khi đó: (2M + 1)acδ/2 β (3.23) < b < ε δ + (log a)cδ/2 log δ Từ đó, suy  với n ≥ Na :    Cap( z ∈ B(0, 2R)||f (z) − rn (z)| n > b , B(0, + R)) < ε,   (3.21) nhờ sử dụng đánh giá Cap(Wn (α), B(0, 1+R)) Bổ đề 2.3 ý z ∈ B(0, 2R)||f (z) − rn (z)|1/n > b ⊂ Wn (α) rằng: Định lý 2.1 Giả sử f giải tích tập mở liên thơng Ω ⊂ CN Cho {rn } dãy hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh theo dung lượng đến f tập compact khơng đa cực K ⊂ CN Khi {rn } hội tụ nhanh tới f theo dung lượng Ω Chứng minh Ta giả sử ∈ Ω, K ⊂ B(0, R) với 4R < B(0, 10R) ⊂ Ω Áp dụng Bổ đề 3.4 ta kết luận {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng đến f B(0, 2R) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 Lấy tùy ý điểm ω ∈ Ω, ln tồn hình cầu B tâm ω với {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f B , hội tụ nhanh theo dung lượng {rn } tới f tập compact Ω theo (2.7) Khi đó, có tập hợp hình cầu B1 , B2 , , Bm với B1 = B(0, R), , Bm = B(ω, Rm ) thỏa mãn Bs ∩ Bs+1 = φ với s=1, ,m-1 Bj = B(ωj , Rj ), 4Rj < B(ωj , 10Rj ) ⊂ Ω Từ B1 ∩ B2 = φ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f B1 , dãy hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập compact khơng đa cực B2 Lặp lại q trình ta kết luận {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Bm ta có kết sau: Hệ 2.1 Cho f giải tích hình cầu B giả sử tồn dãy hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập compact khơng đa cực B Khi đó, hiển nhiên tồn lân cận f , ký hiệu Wf tập CN {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Wf Chứng minh Lấy điểm ω ∈ Wf , tồn dãy hình cầu B = B1 , , Bm với Bm có tâm ω chứng minh Định lý 2.1 {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Bm Vậy f đơn trị Wf Định lý 2.2 Cho f giải tích tập mở liên thơng Ω ⊂ CN Giả sử {rn }n=1,2,3, dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh đo tới f hình cầu đóng B ⊂ Ω Khi {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Ω Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 Chứng minh Sử dụng định lý 2.1, dễ thấy {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f B Cho a > 0, từ giả thiết có: lim λ z ∈ B||f (z) − rn (z)|1/n > a = (3.24) Đặt Bn (a) := z ∈ B||f (z) − rn (z)|1/n ≤ a (3.25) Khi lim λ(Bn (a)) = λ(B) > Sử dụng Bổ đề 2.2 có số δ >0 n→∞ cho với n đủ lớn Cap(Bn (a), B ) ≥ δ với B hình cầu chứa B Theo kết Bổ đề 2.4 áp dụng trường hợp ta có kết sau: Hệ 2.2 (Xem [G, Định lý 5]) Cho f giải tích hình cầu B giả sử có dãy hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f hình cầu B Khi hiển nhiên tồn lân cận Wf f tập CN {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Wf Hệ 2.3 Cho f giải tích lân cận ∈ CN Giả sử f ∈ Khi đó, tồn dãy hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f hình cầu tâm O Khi đó, dãy xấp xỉ Taylor-Pade’ {πn (z, f, λ)} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Wf Chứng minh: Đó kết Goncar[G, Định lý 6] cho dãy {πn (z, f, λ)} hội tụ nhanh theo dung lượng tới Wf Hệ 2.3 suy từ Hệ 2.2 Hệ 2.4 Cho f phân hình CN giải tích lân cận ∈ CN Với dãy xấp xỉ Taylor-Pade’{πn (z, f, λ)} hội tụ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 34 nhanh theo dung lượng tới f CN Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 35 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Goncar[G3] nói f ∈ tồn Wf f đơn trị dãy {rn } hội tụ nhanh f theo độ đo Wf Bloom nói khẳng định Goncar dãy {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tập khơng đa cực Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36 Tài liệu tham khảo TIẾNG VIỆT [DIEU-HAI] Nguyễn Quang Diệu -Lê Mậu Hải , Cơ sở lý thuyết Đa vị, Nhà xuất Trường Đại học Sư phạm, 2009 TIẾNG ANH [A-T] H J ALEXANDER, B.A.TAYLOR(1984): Comparison of two capacities in CN Math.Z.,186:407-417 [C-D-L] A CUYT, K DRIVER, D S LUBINSKY (1996): On the size of lemiscates in one and several variables Proc.Amer.Math.Soc.,124:21232136 [G] A.A.GONCAR (1974): A local condition of single-valuedness of analytic functions of several variables.Math.USSR-Sb.,22:305-322 [K] M KLIMEK (1991): Pluripotential Theory Oxford: Oxford University Press [Ko] S.KOLODZIEJ (1998): The complex Monge-Ampere equation Acta Math.,180:69-117 [Si] N Sibony: Quelques problemes de prolongement de courants en analyse complexe, Duke Math ,52(1985), 157 - 197 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 [Bl] T Bloom: On the Convergence in Capacity of Rational Approximants Constr Approx (2001) 17: 91–102 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... hóa bởi trung tâm học liệu z ∈ K||f (z) − rn (z)|1/n > a http://www.lrc-tnu.edu.vn/ = 0 26 Chương 2 Hội tụ nhanh theo dung lượng của dãy hàm hữu tỷ Trong mục này trước hết chúng ta sẽ đưa ra các đánh giá về xấp xỉ của hàm chỉnh hình bằng các hàm hữu tỷ Những đánh giá này sẽ chứng minh các định lý chính của luận văn Giả sử K là một tập compact, khơng đa cực của B(0, R) và u(z) := u∗K,B(0,10R) (z) theo. .. siêu lồi mở bất kỳ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 25 1.3 Khái niệm hội tụ theo dung lượng Nếu {fn } là một dãy hàm đo được của tập Borel trên một tập mở Ω ⊂ CN Ta nói nó hội tụ theo dung lượng tới một hàm đo được Borel f trên Ω nếu fn hội tụ tới f theo dung lượng trên mọi tập con compact của Ω Từ (2.11) thấy rằng hội tụ theo dung lượng là hội tụ theo độ đo Như vậy, ta có:... tụ theo độ đo khơng bao gồm hội tụ theo dung lượng Ví dụ, các tập hợp có độ đo Lebesgue 0 nhưng có dung lượng dương Một hàm hữu tỷ trên CN được định nghĩa là phép chia của những đa thức Chúng ta nói hàm hữu tỷ có bậc ≤ n và kí hiệu là rn (z) nếu nó biểu pn (z) thị dưới dạng rn (z) = qn (z) Với pn và qn là các đa thức có bậc ≤ n( ta giả thiết qn = 0) Giả sử f (z) giải tích trên một tập mở Ω ⊂ CN Theo. .. xét (3.1) cho các hàm uT (z) := u(T z) với T là một khơng gian unita của CN Khi đó (ddc uT )N = (ddc u)N Khi đó vế trái của (3.1) khơng đổi Ta có Cap(K, B(0, 10R)) ≤ −c u(T z0 ) với mọi khơng gian unita T Với 1 c = trong nội dung của Bổ đề 2.1(đpcm) c Bổ đề tiếp theo cho thấy nếu một hàm hữu tỷ là một xấp xỉ đồng nhất đến một hàm giải tích trên một tập có dung lượng dương trong một hình cầu, khi... tụ theo dung lượng, |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ (3.11) từ kết quả của Bổ đề 2.2 ta đánh giá dung lượng được xác lập bởi |qn (z)| là nhỏ, ngồi ra xem [C-D-L] Ta đặt, với 0 < α < 1 Wn (α) := z ∈ B(0, 2R)||qn (z)| < αn (3.12) với qn (z) là đa thức có bậc ≤ n và được chuẩn hóa bởi (3.4) Bổ đề tiếp theo sẽ thấy dung lượng của Wn (α) phụ thuộc vào n và qn chỉ phụ thuộc vào α và dung lượng của K Hơn nữa, dung. .. tục trên của VK (z) := M ax(0, sup log |p(z)| | p deg(p) 1 và p là đa thức chỉnh hình K có bậc ≥ 1 Bao lồi của K , kí hiệu K , được định nghĩa bởi ˆ := {z ∈ CN |p(z) K K} p (với p là đa thức chỉnh hình) Khi đó cho z nằm ngồi bao lồi đa thức của K , VK (z) > 0 nên VK∗ (z) > 0, khi đó TR (K) < 1 Theo một kết quả của Siciak [Si, Chương 9], chúng ta có mối liên hệ giữa dung lượng TR (K) và độ lớn của đa... + log α/ log T1+R (K) Theo kết quả của Bổ đề 3.3 sinh ra từ (3.16) và tính đơn điệu của Cap Cap(Wn (α), B(z0 , 1)) ≤ (3.19) (xem(2.9)) Bổ đề 2.4 Cho f giải tích trên một tập mở Ω ⊃ B(0, 10R) (với 4R < 1) và cho {rn }n=1,2,3, là một dãy các hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh đến f theo dung lượng trên một tập compact, khơng đa cực K ⊂ B(0, R) Khi đó {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng đến f trên B(0,... lượng: pd K (2.15) pd B(0,R) ≤ (TR (K))d Ngồi hai hàm có dung lượng trên, có thể so sánh với kết quả của Alexan- Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 20 der và Taylor [A-T](xem [Ko]) Giả sử K là một tập con của B(0, p) Đặt B := B(0, R) với p < R Khi đó có hằng số A(p) > 0 sao cho: 1 − ≤ TR (K) ≤ exp −2πCap(K, B) N   exp −A(p)Cap(K, B)−1 (2.16) 1.2.2 Các tính chất của dung lượng. .. ε,   (3.21) nhờ sử dụng đánh giá của Cap(Wn (α), B(0, 1+R)) của Bổ đề 2.3 và chú ý z ∈ B(0, 2R)||f (z) − rn (z)|1/n > b ⊂ Wn (α) rằng: Định lý 2.1 Giả sử f là giải tích trên một tập mở liên thơng Ω ⊂ CN Cho {rn } là một dãy hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh theo dung lượng đến f trên một tập compact khơng đa cực K ⊂ CN Khi đó {rn } hội tụ nhanh tới f theo dung lượng trên Ω Chứng minh Ta có thể... = qn (z) Với pn và qn là các đa thức có bậc ≤ n( ta giả thiết qn = 0) Giả sử f (z) giải tích trên một tập mở Ω ⊂ CN Theo Goncar [G3 ], chúng ta có dãy các hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Ω Khi đó, rn hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên tập compact K ⊂ Ω nếu với mọi a > 0 và với mọi tập siêu lồi mở Ω1 ⊃ K : (2.19) lim Cap( z ∈ K||f (z) − rn (z)|1/n > a , Ω1 ) = 0 n→∞ Ta