vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THÙY DUNG VẤN ĐỀ NHẬN GIÁ TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THÙY DUNG VẤN ĐỀ NHẬN GIÁ TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ HOÀI AN Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic 1 1.1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Các định lý xác định tập giá trị của hàm số liên tục . . . 1 1.1.2 Các phương pháp tìm tập giá trị . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic . . . . . . 18 1.2.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . 18 1.2.2 Một số kết quả của lý thuyết Nevanlinna p-adic . . . . . 21 2 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng 25 2.1 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Một số áp dụng của các Định lý nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Vấn đề nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng” là của tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ. Tác giả Vũ Thị Thùy Dung iii Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Vũ Hoài An. Sau quá trình nhận đề tài và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy, luận văn “Vấn đề nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng” của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin cảm ơn GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. TS Đàm Văn Nhỉ, PGS.TS Trịnh Thanh Hải đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sức tốt đẹp. Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng và Trường trung học phổ thông Hồng Bàng nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K6B (khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Tác giả Vũ Thị Thùy Dung iv Bảng ký hiệu f Hàm hữu tỷ n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a T (f) Hàm đặc trưng của f K Trường đóng đại số, đặc trưng không. v Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Năm 1983, R. C. Mason chứng minh định lý rất đẹp sau đây cho đa thức (xem [2]): Định lý A. Giả sử a(t), b(t), c(t) là các đa thức với hệ số phức, nguyên tố cùng nhau từng cặp và thỏa mãn hệ thức a(t)+b(t) = c(t). Khi đó, nếu ký hiệu n 0 (f) số nghiệm phân biệt của một đa thức f, thì ta có max{dega, degb, degc}  n 0 (abc) −1. Mặt khác, trong [5], Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư đã chứng minh kết quả sau đây: Định lý B. Giả sử f là hàm phân hình trên C p , a 1 , . . . , a q ∈ C p ∪ {∞}. Khi đó (q − 2)T f (r)  q  i=1 N 1,f (a i , r) − log r + O(1). Xét đa thức f(x) ∈ C p [x], degf = d. Viết f(x) = (x − z 1 ) m 1 . . . (x − z k ) m k . Ta có T f (r) = d log r, N 1,f (0, r) = k log r. Từ đây và quan sát hai định lý trên, chúng ta thấy có sự tương tự giữa bậc của đa thức f: degf với Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic: T f (r); Số nghiệm của đa thức f : n 0 (f) với Hàm đếm không điểm của f tính với bội 1: N 1,f (0, r). Nhận xét này gợi ý cho việc tương tự Định lý B đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Từ đó nhận lại Định lý A và các hệ quả của nó. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét Vấn đề nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng. vi 2. Mục tiêu nghiên cứu. 2.1. Tổng hợp, trình bày các kết quả trong [1]. Các kết quả này là tương tự các Định lý B cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không (Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12). 2.2. Trình bày lại áp dụng của Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12, trong đó có cách chứng minh khác cho Định lý Mason(xem [1]). 3. Nội dung nghiên cứu Vấn đề 1. Xét vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông. Xét vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic. Vấn đề 2. Xét vấn đề nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. 4. Kết quả nghiên cứu 4.1. Tổng hợp và trình bày các ví dụ về vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông.Tổng hợp và trình bày tổng quan một số kết quả chính có liên quan của Lý thuyết Nevanlinna p-adic. 4.2. Tổng hợp và trình bày lại các định lý nhận giá trị ở trong [1] và áp dụng của nó. Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày các kết quả trong [1], các kết quả này tương tự hai định lý chính của Lý thuyết Nevalinna cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Từ đó trình bày lại hai áp dụng, trong đó có một chứng minh khác Định lý Mason. Cụ thể là: • Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12. • Từ Định lý 2.1.11 nhận được Định lý 2.2.1. Định lý 2.2.1 là một điều kiện đủ để xác định khi nào một hữu tỷ là hàm hằng. • Từ Định lý 2.1.12 nhận được Định lý 2.2.2 - Định lý Mason. vii Luận văn là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên Toán trung học phổ thông, học viên Cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp. 5. Bố cục luận văn Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1. Trong chương này chúng tôi tổng hợp và trình bày các nội dung về vấn đề nhận giá trị đối hàm số thực trong toán học trung học phổ thông và vấn đề nhận giá trị đối hàm phân hình p-adic. Chương 2. Trong chương này chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đề nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng (xem [1]). 1 Chương 1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic Trong chương 1, chúng tôi trình bày vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học phổ thông và hàm phân hình p-adic[5-6]. 1.1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông Vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông là như sau: Cho f là hàm số thực sơ cấp với tập xác định là D, a ∈ R ∪ {∞}. Hãy xét f có nhận a ? Công cụ chính để giải quyết vấn đề này là các định lý về hàm liên tục và khả vi [3], điều kiện có nghiệm của một số kiểu phương trình trong toán học trung học phổ thông. 1.1.1 Các định lý xác định tập giá trị của hàm số liên tục Ở đây chúng tôi trình bày lại các kiến thức trong [3]. Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f : A → R; x 0 ∈ A. Nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho ∀x ∈ A : |x − x 0 | < δ, |f (x) − f(x 0 )| < ε thì ta nói f liên tục tại điểm x 0 . • Nếu f liên tục tại mọi điểm x 0 ∈ A thì ta nói f liên tục trên A. [...]... giữa hàm đặc trưng và hàm đếm Bước 3 Xét ảnh hưởng của đạo hàm đến không điểm của hàm Phương pháp chứng minh của các Định lý trên được tương tự cho Hàm hữu tỷ trên K (xem [1].) 25 Chương 2 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không là như sau: Cho f là hàm hữu tỷ trên trường đóng đại. .. trường đóng đại số còn cần thiết để định nghĩa khái niệm độ cao của đường cong hữu tỷ từ K vào Pn (K) mà chúng tôi sẽ trình bày sau 2.1 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Cho K là một trường, K là trường đóng đại số nếu mọi đa thức một ẩn, có bậc khác không, với hệ số trong K đều có nghiệm trong K Định nghĩa đặc trưng của trường: Số 0 được gọi là đặc trưng của. .. f là hàm phân hình p-adic , a1 , , aq ∈ Cp ∪ {∞} Hãy xét : 1 Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng với hàm đếm của f khi q=1 2 Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm đếm của f trong trường hợp không tính đến yếu tố rẽ nhánh 3 Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm đếm của f trong trường hợp tính đến yếu tố rẽ nhánh Chúng tôi cần hiểu được khái niệm Hàm đặc trưng, Hàm đếm, cách phát biểu và phương pháp chứng... 1.1.2 Các phương pháp tìm tập giá trị Các ví dụ sau đây là quen thuộc đối với giáo viên toán trung học phổ thông 3 Phương pháp 1: Dùng định nghĩa và điều kiện có nghiệm của phương trình để tìm tập giá trị của hàm số thực trong toán học trung học phổ thông Vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông liên quan đến tập giá trị của hàm số thực và ứng dụng của nó Trong mục... :[3; 26] + Trên tập A3 = [−1; 1] Tập giá trị là :[−6; −1] * Xét hàm f3 (x) = x3 − 3x + 2 + Trên tập A1 = [0; 1] Tập giá trị là :[0; 2] + Trên tập A2 = [2; 3] Tập giá trị là :[4; 20] + Trên tập A3 = [−1; 1] Tập giá trị là :[0; 4] 2x − 1 * Xét hàm f4 (x) = x+1 + Trên tập A1 = [0; 1] Tập giá trị là :[−1; 1 ] 2 + Trên tập A2 = [2; 3] Tập giá trị là :[1; 5 ] 4 + Trên tập A3 = [−1; 1] Tập giá trị là :(−∞;... số K, đặc trưng không, a1 , , aq ∈ K ∪ {∞} Hãy xét: 1 Mối quan hệ giữa hàm độ cao với hàm đếm của f khi q = 1 2 Mối quan hệ giữa hàm độ cao và hàm đếm của f trong trường hợp không tính đến yếu tố rẽ nhánh 3 Mối quan hệ gữa hàm độ cao và hàm đếm của f trong trường hợp tính đến yếu tố rẽ nhánh Chúng ý rằng, khái niệm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ f lần lượt sẽ được định nghĩa thông qua bậc, không. .. −1 2 + Trên tập A2 = [2; 3] :max f4 (x) = 5 ; min f4 (x) = 1 4 3 Tìm tập giá trị của hàm số trên Ai , i = 1, 2, 3 * Xét hàm f1 (x) = x4 − 2x2 + 1 + Trên tập A1 = [0; 1] Tập giá trị là :[0; 1] + Trên tập A2 = [2; 3] Tập giá trị là :[9; 64] + Trên tập A3 = [−1; 1] Tập giá trị là :[0; 1] * Xét hàm f2 (x) = 2x3 − 3x2 − 1 + Trên tập A1 = [0; 1] Tập giá trị là :[−2; −1] + Trên tập A2 = [2; 3] Tập giá trị là... Phương pháp 2: Dùng bảng biến thiên để tìm tập giá trị của hàm Ví dụ 1.1.12 Cho các hàm số: f1 (x) = x4 − 2x2 + 1, f2 (x) = 2x3 − 3x2 − 1, f3 (x) = x3 − 3x + 2, 2x − 1 f4 (x) = x+1 Các tập A1 = [0; 1], A2 = [2; 3], A3 = [−1; 1] 1.Khảo sát sự biến thiên của các hàm số trên 2.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số đã cho trên Ai ; i = 1, 2, 3 3.Tìm tập giá trị của các hàm số trên Ai ;... của trường K nếu ∀n ∈ N : n1 = 0 Nếu có số tự nhiên n thỏa mãn n1 = 0 thì số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi là đặc trưng của trường K Từ đây trở đi, ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng không Giả sử f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểm của f Khi 27 đó viết f = (z − a)m p(z) với p(a) = 0 Ta gọi m là bội của không điểm a của f Giả sử d ∈ K và. .. hàm số y = − cos4 x − 2 cos2 x + 3 Tìm tập giá trị của hàm số Lời giải Đặt cos x = t, t ∈ [−1; 1] 18 ⇒ h(t) = −t4 − 2t2 + 3, t ∈ [−1; 1] Ta có: h (t) = −4t3 − 4t = −4t(t2 + 1) h (t) = 0 ⇔ t = 0 Bảng biến thiên: t −∞ -1 h (t) 0 + h(t) −∞ 0 ¨¨ ¨ ¨¨ ¨ +∞ 1 + B ¨¨ 3 rr rr 0 r rr j r −∞ Vậy tập giá trị của y là :[0;3] 1.2 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic Vấn đề nhận giá trị đối với hàm . chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đề nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng (xem [1]). 1 Chương 1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic Trong. và áp dụng 25 2.1 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Một số áp dụng của các Định lý nhận giá. - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THÙY DUNG VẤN ĐỀ NHẬN GIÁ TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ