phương trình diophantine đối với đa thức và hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐỐI VỚI ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ VÂN

PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐỐI VỚI ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỶ

TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ,

ĐẶC TRƯNG KHÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, Năm 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ VÂN

PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐỐI VỚI ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỶ

TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ,

ĐẶC TRƯNG KHÔNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên, Năm 2014

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Khoa sau đại học, Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Vũ Hoài An.Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫngiúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Nhân dịp này, tôi xin trântrọng cảm ơn ban lãnh đại khoa Toán trường Đại học Khoa học, Khoa sau đạihọc - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo đã trang bị kiến thức, tạo điềukiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập Cảm ơn GS TSKH Hà HuyKhoái, GS TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, GPS

TS Đàm Văn Nhỉ PGS TS Trịnh Thanh Hải đã có nhiều ý kiến quý báu đểtác giả hoàn chỉnh luận văn

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành viên lớp Caohọc Toán K6B đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thểhoàn thành luận văn

Tuy đã nỗ lực học tập, nghiên cứu và đã hết sức cố gắng song do thời gian

và năng lực bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôirất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014

Học viênNguyễn Thị Vân

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 3Bảng ký hiệu 6

1 Phương trình Diophantine đối với hàm phân hình p-adic 71.1 Tương tự giữa phương trình Diophantine đối với số nguyên vàphương trình Diophantine đối với đa thức trên trường số phức 81.1.1 Phương trình Diophantine đối với số nguyên trong toán

học trung học cơ sở, trung học phổ thông 81.1.2 Phương trình Diophantine đối với đa thức trên trường số

phức 211.2 Phương trình Diophantine đối với hàm phân hình p-adic 221.2.1 Phương trình Fermat - Waring đối với hàm phân hình

p-adic 221.2.2 Phương trình P(f) = Q(g) đối với hàm phân hình p-adic 221.3 Hàm độ cao của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưngkhông 231.3.1 Hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên trường đóng

đại số, đặc trưng không 231.3.2 Các định lý nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường

đóng đại số, đặc trưng không 24

2 Phương trình Diophantine đối với đa thức và hàm hữu tỷ trên

2.1 Phương trình kiểu Fermat - Waring đối với đa thức và hàm hữu

tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 262.2 Phương trình P(f) = Q(g) đối với đa thức và hàm hữu tỷ trêntrường đóng đại số, đặc trưng không 302.2.1 Phương trình hàm P(f) = Q(g) cho hàm hữu tỷ trên K 302.2.2 Đa thức duy nhất cho các hàm hữu tỷ 36Kết luận 41Tài liệu tham khảo 42

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Sự phát triển của số học, đặc biệt là trong những thập kỷ gần đây, chịuảnh hưởng rất lớn của sự tương tự giữa số nguyên và đa thức Nói cách khác,khi có giả thiết nào đó chưa chứng minh được đối với số nguyên, người ta cốgắng chứng minh sự kiện tương tự cho đa thức Điều đó thường dễ làm hơn, có

lẽ nguyên nhân chủ yếu là vì, đối với đa thức, ta có phép tính đạo hàm, trongkhi một khái niệm tương tự chưa có đối với số nguyên Ngoài ra, còn có hướngnghiên cứu theo tình huống ngược lại: Từ các kết quả đối với đa thức, người

ta cố gắng chứng minh sự kiện tương tự cho các số nguyên

Phương trình Diophantine là vấn đề kinh điển và rất khó của số học Trongtoán học phổ thông, phương trình Diophantine đối với số nguyên là chuyên đềbồi dưỡng học sinh giỏi toán, cũng thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinhgiỏi toán, báo Toán học và tuổi trẻ, các tài liệu toán học nâng cao dành chohọc sinh phổ thông, giáo viên phổ thông

Trong toán học cao cấp, ở [3], [7], [8], [9] đã có sự tương tự giữa phươngtrình Diophantine đối với các số nguyên cho hàm phân hình phức và p-adic.Công cụ sử dụng ở đó là lý thuyết phân bố giá trị phức và p-adic Theo hướngnghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề:

Phương trình Diophantine đối với đa thức và hàm hữu tỷ trêntrường đóng đại số, đặc trưng không

2 Mục tiêu nghiên cứu

Vấn đề 1: Tổng hợp và trình bày kiến thức về phương trình Diophantineđối với số nguyên, đối với đa thức trên trường số phức

Vấn đề 2: Trình bày tổng quan về phương trình Diophantine đối với hàmphân hình p-adic

Vấn đề 3: Tổng hợp, xem xét và trình bày áp dụng của hai Định lý chínhđối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không vào phương

trình Diophantine đối với đa thức và hàm hữu tỷ trên trường đóngđại số, đặc trưng không Cụ thể là:

Xét các phương trình Diophantine sau đây cho đa thức và hàm hữu tỷtrên trường đóng đại số, đặc trưng không:

xn+ yn = 1; xn+ yn+ zn = 0; xn+ ym= 1; xn+ ym+ zp = 0;

P(f) = Q(g),với P, Q là các đa thức và f, g là hàm hữu tỷ

3 Kết quả nghiên cứu

Luận văn tổng hợp trình bày về phương trình Diophantine đối với sốnguyên, đối với đa thức trên trường số phức Trình bày tổng quan về phươngtrình Diophantine đối với hàm phân hình p-adic Tổng hợp, xem xét và trìnhbày áp dụng của hai Định lý chính đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại

số, đặc trưng không vào phương trình Diophantine đối với đa thức và hàm hữu

tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không

Luận văn là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên toán trung học phổthông, học viên cao học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp

Luận văn tương tự các kết quả về phương trình hàm trong [8] và trìnhbày các kết quả trong [1] Cụ thể là:

Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.4 là tương tự các Định lý 2.30,Định lý 2.32 và Định lý 2.33 ở trong [8]

Trình bày các kết quả trong [1] qua các Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, 2.2.4,2.2.7 đã được đưa ra trong [1]

nguyên và đa thức trên trường số phức, nhắc lại các kết quả về vấn đề nhậngiá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không.

Chương 2 Tổng hợp, xem xét và trình bày áp dụng của hai định lý chínhđối với hàm hữu tỷ, trên trường đóng đại số, đặc trưng không vào phương trìnhDiophantine đối với đa thức và hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưngkhông

Học viênNguyễn Thị Vân

Chương 1

Phương trình Diophantine đối với hàm phân hình p-adic

Trong [3], Hà Huy Khoái - Phạm Huy Điển đã đề cập đến vấn đề: sự tương

tự giữa số nguyên và đa thức

Trước hết, ta thấy rõ, giữa tập hợp các số nguyên và tập các đa thức cónhững tính chất giống nhau sau đây:

ˆ Các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hoàn toàn như nhau cho cả hai tập hợp

ˆ Nếu đối với số nguyên ta có các số nguyên tố, thì đối với đa thức ta có

đa thức bất khả quy

ˆ Đối với 2 số nguyên cũng như đối với 2 đa thức thì có thể định nghĩaƯCLN Hơn nữa, trong cả 2 trường hợp, ƯCLN này tìm được bằng thuậttoán Euclide

ˆ Mỗi số nguyên có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố, mỗi đa thức

có thể phân tích thành tích các đa thức bất khả quy

ˆ Mỗi số nguyên tố có giá trị tuyệt đối của nó, cũng như mỗi đa thức kháckhông đều có bậc

Chúng ta có thể kéo dài bản danh sách này Ở đây chúng tôi đi vào một vài sựkiện tương tự khó thấy hơn Ta để ý đến sự tương tự giữa phân tích ra thừa

só nguyên tố và phân tích bất khả quy Nếu giả thiết K là trường đóng đại số

thì mỗi đa thức f(x) ∈ K[x] có thể phân tích được dưới dạng

Như vậy, có thể thấy rằng, trong sự phân tích bất khả quy và phân tích

ra thừa số nguyên tố, các nghiệm của đa thức tương ứng với các ước nguyên

tố của số nguyên

Theo ý tưởng này, trong Chương 1, chúng tôi xét hai vấn đề

Vấn đề 1 Tương tự giữa phương trình Diophantine đối với số nguyên vàphương trình Diophantine đối với đa thức

Vấn đề 2 Phương trình Diophantine đối với hàm phân hình p-adic.Các ví dụ xét đối với Vấn đề 1, chúng tôi sử dụng trong [3], [5] Các ví dụxét đối với Vấn đề 2, chúng tôi sử dụng trong [1]

1.1 Tương tự giữa phương trình Diophantine đối

với số nguyên và phương trình Diophantine đối với đa thức trên trường số phức

1.1.1 Phương trình Diophantine đối với số nguyên trong toán học

trung học cơ sở, trung học phổ thông

Ví dụ 1.1.1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 = 2ky2 (1), k nguyêndương

Giải Rõ ràng x= y = 0 là nghiệm của (1) Nếu x0, y0≠ 0 và (x0, y0) là nghiệmcủa (1) Gọi d= (x0, y0), suy ra (x0

Ví dụ 1.1.2 Giải phương trình x2− y2 = k, với k là số nguyên dương.

Giải Giả sử phương trình x2− y2= k có nghiệm nguyên

ˆ Nếu x, y≡ 0 hoặc x, y ≡ 1 (mod 2) thì k = x2− y2⋮ 4

ˆ Nếu x≡ 0 (mod 2), y ≡ 1 (mod 2) thì k = x2− y2≡ −1 (mod 4)

ˆ Nếu x≡ 1 (mod 2), y ≡ 0 thì k = x2− y2≡ 1 (mod 4)

Vậy k≢ 2 (mod 4)

Ngược lại, giả sử k≢ 2 (mod 4)

ˆ k chẵn thì k = 4m, khi đó x = m + 1, y = m − 1 là nghiệm nguyên củaphương trình

ˆ k lẻ thì k = 2n + 1, khi đó x = n + 1, y = n là nghiệm nguyên của phươngtrình

Vậy x2− y2 = k có nghiệm nguyên ⇔ k ≢ 2 (mod 4)

Ví dụ 1.1.3 Chứng minh rằng phương trình x2 − 3y2 = 7 không có nghiệmnguyên

Giải Giả sử x2− 3y2 = 7 có nghiệm nguyên Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1 x≡ 0 (mod 7) Khi đó x2−7 ≡ 0 (mod 7) Do đó 3y2= 0 (mod 7)

Từ đây suy ra y≡ 0 (mod 7) Vậy x2− 3y2≡ 0 (mod 49) và 7 ≡ 0 (mod 49), vôlý

Trường hợp 2 Nếu x≡ ±1 (mod 7) thì x2≡ 1 (mod 7) Khi đó y ≡ ±1 (mod 7)hoặc y ≡ ±2 (mod 7) hoặc y ≡ ±3 (mod 7) Từ đây ta có

y2≡ 1 (mod 7), hoặc y2≡ 4 (mod 7), hoặc y2≡ 2 (mod 7)

Do đó

−3y2≡ −3 (mod 7), hoặc − 3y2 ≡ −5 (mod 7), hoặc − 3y2≡ 1 (mod 7)

Từ đây suy ra

x2−3y2≡ −2 (mod 7), hoặc x2−3y2 ≡ −4 (mod 7), hoặc x2−3y2≡ 2 (mod 7).Nếu x≡ ±2 (mod 7) thì x2≡ 4 (mod 7) Khi đó

y ≡ ±1 (mod 7), hoặc y ≡ ±2 (mod 7), hoặc y ≡ ±3 (mod 7)

Tương tự như trên ta có

−3y2≡ −3 (mod 7), hoặc − 3y2 ≡ −5 (mod 7), hoặc − 3y2≡ 1 (mod 7).Vậy

x2−3y2≡ 1 (mod 7), hoặc x2−3y2≡ −1 (mod 7), hoặc x2−3y2 ≡ 5 (mod 7).Nếu x ≡ ±3 (mod 7) thì x2 ≡ 2 (mod 7) Lý luận tương tự như trên ta có

x2− 3y2 ≡ −1 (mod 7) hoặc x2− 3y2≡ −3 (mod 7) hoặc x2− 3y2≡ 3 (mod 7)

Từ 3 trường hợp trên ta có phương trình x2−3y2 = 7 không có nghiệm nguyên

Ví dụ 1.1.4 Chứng minh rằng phương trình 4x2+ 25y2+ 144z2 = 2007 không

có nghiệm nguyên

Giải Giả sử x2 + y2 + z2 ≡ 7 (mod 8) mà x ≡ 0, ±1, ±2, ±3, 4 (mod 8) nên

x2≡ 0, 1, 4 (mod 8) Suy ra y2+ z2 ≡ 7, 6, 3 (mod 8)

Nhưng y2+z2 ≡ 0, 1, 2, 4, 5 (mod 8), vô lý Vậy x2+y2+z2≢ 7 (mod 8), phươngtrình đã cho có thể viết

(2x)2+ (5y)2+ (12z)2= 8 × 125 + 7

Từ đó suy ra phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 1.1.5 Giải phương trình sau trên tập số nguyên

ˆ Nếu x= 2k + 1 thì x4− 1 = (x − 1)(x + 1)(x2+ 1) ⋮ 16 vì (x − 1)(x + 1) ⋮ 8 và(x2+ 1) ⋮ 2 Vậy x4 ≡ 0, 1 mod (16).

Do đó khi chia tổng x4

1+x4

2+ .+x4

7 cho 16 có số dư không vượt quá 7 trong khi

2014≡ 14 (mod 15) Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Ví dụ 1.1.6 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Ví dụ 1.1.7 Giải phương trình nghiệm nguyên

Suy ra u2 ≤ 20

13 và v

2 ≤ 20

7 Vì u, v ∈ Z nên ∣u∣ ≤ 1 và ∣v∣ ≤ 1 Thử lại chỉ

có ∣u∣ = ∣v∣ = 1 là thỏa mãn (1) Vậy (1) có 4 nghiệm (u, v) là (1, 1); (−1, 1),(1, −1); (−1, −1) Từ đó phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên (x, y) là(13, 7); (−13, 7); (13, −7); (−13, −7)

Ví dụ 1.1.8 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Thử lại, x= 0, y = 4 là nghiệm nguyên của phương trình

Ví dụ 1.1.9 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau

y = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (0, 0) và (2, 2).

Ví dụ 1.1.11 Một tam giác có số đo độ dài của đường cao là những số nguyêndương và đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính bằng 1 Chứng minh rằngtam giác đó là tam giác đều

Giải Đặt a = BC, b = CA, c = AB Gọi x, y, z là độ dài các đường cao tươngứng với các cạnh a, b, c của tam giác Bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 nên

x, y, z> 2 Giả sử x ≥ y ≥ z > 2 Diện tích ∆ABC:

S = 1

2ax= 1

2by= 1

y = 3Vậy x= y = z = 3 Khi đó a = b = c tức ∆ABC đều.

Ví dụ 1.1.12 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

1!+ 2! + + x! = y2

Giải Với x≥ 5 thì x! có chữ số tận cùng là 0 nên

1!+ 2! + 3! + 4! + 5! + + x! = 33 + 5! + + x!

có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là một số chính phương Vậy với x≥ 5thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương Với 1 ≤ x < 5, bằngcách thử trực tiếp x= 1, 2, 3, 4 thì phương trình có nghiệm (1, 1) và (3, 3)

Ví dụ 1.1.13 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

1+ x + x2= y2

.Giải Ta có

Giải Khi triển và rút gọn hai vế ta được

x(x + 1) = y4+ 2y3+ 3y2+ 2y ⇔ x2+ x = y2(y + 1)2+ 2y(y + 1)

⇔ x2+ x + 1 = (y2+ y + 1)2 (1)Nếu x > 0 thì từ x2 < 1 + x + x2 < (x + 1)2 suy ra 1+ x + x2 không là sốchính phương nên (1) không có nghiệm nguyên

Nếu x< −1 thì từ (x+1)2< x2+x+1 < x2 cũng suy ra (1) không có nghiệmnguyên

Nếu x= 0 hoặc x = −1 thì từ (1) suy ra y2+ y + 1 = ±1 ⇔⎡⎢

⎢⎢

⎢⎣

y = 0

y = −1

Phương trình có 4 nghiệm nguyên (0, 0), (0, -1), (-1, 0), (-1, -1)

Ví dụ 1.1.15 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+ 3x3+ 1 = y4

Giải Rõ ràng x= 0, y = ±1 là nghiệm nguyên của phương trình

ˆ Với x> 0, ta có

(x3+ 1)2 = x6+ 2x3+ 1 < x6+ 3x3+ 1 = y4< (x3+ 2)2⇒ x3+ 1 < y2< x3+ 2, vô lý

ˆ Với x≤ −2 thì (x3+ 2)2 < y4 < (x3+ 1)2⇒ ∣x3+ 2∣ < y2< ∣x3+ 1∣, vô lý

ˆ Với x= −1 thì y4= −1, vô lý

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên (0, 1) và (0, −1)

Ví dụ 1.1.16 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Giải Giả sử (x0, y0, z0) là nghiệm nguyên của phương trình Khi đó x0⋮ 3, đặt

x0= 3x1 Thay x0= 3x1 vào (1) ta được

3) cũng là nghiệm của phương trình.

Quá trình này tiếp tục thì được (x0

3k,y0

3k,z0

3k) là các nghiệm nguyên của(1) với mọi k, điều này chỉ xảy ra khi x0 = y0 = z0 = 0 Vậy (0, 0, 0) là nghiệmnguyên duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 1.1.17 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2+ y2+ z2+ t2 = 2xyzt (1)Giải Giả sử (x0, y0, z0, t0) là nghiệm nguyên của (1), khi đó

là số nguyên với mọi n, suy ra x0= y0 = z0= t0= 0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (0, 0, 0, 0)

Ví dụ 1.1.18 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2+ y2+ z2= x2y2 (1)

Giải Nếu x, y đều lẻ thì x2 ≡ 1 (mod 4) và y2 ≡ 1 (mod 4) Khi đó x2y2 ≡ 1(mod 4) Từ (1) ta cũng có z lẻ nên z2≡ 1 (mod 4) ⇒ x2+ y2+ z2≡ 3 (mod 4),

vô lý

Giả sử x chẵn (y chẵn lý luận vẫn tương tự), khi đó y2+ z2⋮ 4 suy ra y và

z đều chẵn Đặt x= 2x1, y= 2y1, z = 2z1, thay vào phương trình ta được

2n là số nguyên với mọi n Vậy x= y = z = 0

Ví dụ 1.1.19 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

l≤ 1 ⇒ k = l = 1.

Vậy x= ±2, y = 0 Phương trình có hai nhiệm nguyên (2, 0) và (-2, 0)

Ví dụ 1.1.20 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2− 4xy + 5y2= 16

Ví dụ 1.1.21 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: z2= x ⋅ y.

Giải Gọi d= (z, x) thì x = d ⋅ u, z = d ⋅ v với u, v > 0 và (u, v) = 1 Từ xy = z2

suy ra d⋅ u ⋅ y = (dv)2 ⇒ u ⋅ y = dv2⋮ dl ⇒ d ⋮ u (vì (u, v) = 1) Đặt d = t ⋅ u, từ đó

ta có x= tu2, z = tuv và y = z2

x = tv2.Ngược lại, x = tu2, y = tv2, z = tuv với (u, v) = 1, t ∈ N∗ là nghiệm nguyêndương của phương trình đã cho

Ví dụ 1.1.22 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: z2= x2+ y2.Giải Nếu x, y cùng lẻ thì z2 = x2+ y2 ≡ 2 (mod 4), vô lý Giả sử x chẵn, khiđó

i) Nếu u, v lẻ, vì x chẵn nên t phải chẵn

ii) Nếu u, v có tính chẵn lẻ khác nhau thì u2− v2 lẻ Để y nguyên thì t phảichẵn Tóm lại t= 2d (d ∈ Z) Thay t = 2d vào (1) và đơn giản ta được

Đổi vai trò x, y cho nhau ta được thêm nghiệm

∆= (3y − 1)2− 12(3y2− 8y) ≥ 0 ⇔ −27y2+ 90y + 1 ≥ 0

Do y nguyên nên 0≤ y ≤ 3 ⇔ y ∈ {0, 1, 2, 3}

ˆ Với y= 0 ta có x = 0

ˆ Với y= 1 ta có x = 1

ˆ Với y= 2, y = 3 ta không tìm được x nguyên

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là (0,0) và (1, 1)

Ví dụ 1.1.24 Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình

x2+ y2+ z2 < xy + 3y + 2z − 3 (1)Giải Ta có