hình p-adic
Nội dung của mục này giúp ích cho chúng tôi xác định vấn đề nghiên cứu và công cụ, phương pháp giải quyết vấn đề. Vì vậy, ở đây chúng tôi chỉ phát biểu các định lý trong [1] và [8], nêu công cụ và cách chứng minh chúng.
1.2.1 Phương trình Fermat - Waring đối với hàm phân hình p-adic Định lý 1.2.1. Cho n⩾3, không tồn tại hai hàm phân hình p-adic khác hằng f, g thỏa mãn fn+gn=1.
Định lý 1.2.2. Không tồn tại hai hàm phân hình p-adic khác hằng thỏa mãn f2+g2 =1.
Định lý 1.2.3. Cho min{m, n} ⩾ 2; max{m, n} ⩾ 3, không tồn tại hai hàm phân hình f, g khác hằng thỏa mãn fm+gn =1.
1.2.2 Phương trình P(f) =Q(g) đối với hàm phân hình p-adic
Định lý 1.2.4. Cho P(z), Q(z)là hai đa thức thuộc Cp[z], với bậc p<q tương ứng và p < q, c1 là nghiệm của P′(z) sao cho phương trình Q(z) −P(c1) = 0
không có nghiệm bội. Khi đó không tồn tại hai hàm phân hình khác hằng trên
Cp f, g thỏa mãn P(f) =Q(g).
Định lý 1.2.5. Cho P(z), Q(z)là hai đa thức thuộc Cp[z], với bậc p<q tương ứng và p≤q. Giả sử P′(z) có hai nghiệm phân biệt c1, c2 sao cho phương trình Q(z) −P(ci) =0, (i=1,2) không có nghiệm bội. Khi đó không tồn tại hai hàm phân hình khác hằng f, g trên Cp thỏa mãn P(f) =Q(g).
Công cụ chứng minh các định lý trên là hai định lý chính của thuyết Nevalinna p-adic sau đây.
Định lý 1.2.6. (Định lý chính thứ nhất)
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên Cp và a∈Cp∪ {∞}. Khi đó Nf(a, r) ⩽Tf(r).
Định lý 1.2.7. (Định lý chính thứ hai)
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên Cp và a1, . . . , aq ∈Cp∪ {∞}. Khi đó
(q−2)Tf(r) ⩽∑q
i=1
N1,f(ai, r) −logr+O(1). Phương pháp chứng minh các định lý trên là:
Bước 1: Áp dụng định lý chính thứ hai đưa ra bất đẳng thức giữa hàm và đặc trưng hàm đếm mức 1.
Bước 2: Xét bội của không điểm và cực điểm của các hàm tham gia vào bất đẳng thức ở bước 1. Từ đó đưa ra bất đẳng thức đối với hàm đặc trưng.
Bước 3: Dùng điều kiện về bậc của các thành phần trong phương trình và cho modun của bán kính của đĩa đang xét trên ra vô hạn.
Từ các định lý trên về phương trình Diophantine đối với hàm phân hình p-adic, công cụ và cách giải quyết chúng, hai định lý chính về vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ được đưa ra trong [1] và trình bày lại ở [2]. Chúng tôi thấy có thể xét phương trình Diophantine đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Để thực hiện công việc này, tiếp theo chúng tôi nhắc lại các khái niệm và kết quả trong [1] và được trình bày lại ở [2].