đại số, đặc trưng không
1.3.1 Hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không
Định nghĩa đặc trưng không của trường
Số 0 được gọi là đặc trưng của trường K nếu n1≠0 với mọi số tự nhiên n. Nếu có một số tự nhiên n sao cho n1=0thì số nnhỏ nhất với tính chất này gọi là đặc trưng của K, ký hiệu là char(K).
Ví dụ trường Q,R có đặc trưng 0, trường Zp có đặc số p.
Tiếp theo tôi trình bày các kết quả ở trong [1] và đã được trình bày lại ở [2].
Ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng không. Giả sử f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểm của f. Khi đó viết
f = (z−a)m p(z)
với p(a) ≠0. Ta gọi m là bội của không điểm a của f. Giả sử d∈ K và l là số nguyên dương. Ký hiệu n(f) là số các không điểm của f tính cả bội;
n(f, d) =n(f−d), nl(f) =∑q i=1 min{mi, l}, nl(f, d) =nl(f −d), n0(f) =q, n0(f, d) =n0(f −d) ở đó f =a(z−a1)m1 . . .(z−aq)mq. Giả sử f = f1 f2
là hàm hữu tỷ trên K, ở đó f1, f2 ∈K[x]và không có không điểm chung, d∈K, ta ký hiệu
n(f) =n(f1), n(f, d) =n(f1−df2),
nl(f) =nl(f1), nl(f, d) =nl(f1−df2),
n0(f, d) =n0(f1−df2), n(f,∞) =n(f2),
nl(f,∞) =nl(f2), n0(f,∞) =n0(f2),
degf =degf1−degf2, Tf =max{degf1,degf2}.
1.3.2 Các định lý nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không
Định lý 1.3.1. (Định lý chính thứ nhất)
Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a∈K∪ {∞}. Khi đó n(f, a) ⩽Tf.
Định lý 1.3.2. (Định lý chính thứ hai)
Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a1, . . . , aq ∈K∪ {∞}. Khi đó
(q−2)Tf ⩽∑q
i=1
Ví dụ sau đây chứng tỏ tính đóng đại số của trường K là cần thiết. Ví dụ 1.3.3. Xét hai hàm hữu tỷ sau đây trên R
f(x) = x6+x4+x2+1
x8+1
g(x) = (x6+(x4+x2+1)(x10+1)
x8+1)(x10+1) .
Ta có f(x) =g(x).
Mặt khác, nếu định nghĩa hàm độ cao của hàm hữu tỷ như trên thì Tf =8, Tg =18. Ta có Tf <Tg mặc dù f =g.
Tiếp theo chúng tôi đưa ra một số ví dụ sau đây. Ví dụ 1.3.4. Xét đa thức f(x) = (x+1)4(x−2)7(x−3)9 ∈K[x]. Ta có Tf =20, n(f,0) =20. Lấy l=1 ta có n1(f,0) =3=n0(f,0). Lấy l=5 ta có n5(f,0) =4 Lấy l=8 ta có n8(f,0) =11 Lấy l⩾9 ta có nl(f,0) =20. Ví dụ 1.3.5. Xét hàm hữu tỷ f(x) = f1(x) f2(x) trên K trong đó f1(x) = (x−1)3(x+2)8(x+4)13 f2(x) = (x−3)2(x+1)5(x+3)7. Ta có f1(x) và f2(x) không có không điểm chung trên K
d(f) =10, Tf =24, n(f) =24, n(f,∞) =14⩽24
Lấy l=1 ta có n1(f) =3, n1(f,∞) =3
Chương 2