toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ PHƯƠNG LOAN TOÁN TỬ SAI PHÂN CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ PHƯƠNG LOAN TOÁN TỬ SAI PHÂN CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ HOÀI AN THÁI NGUYÊN, NĂM 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng” là của tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ. Tác giả Ngô Thị Phương Loan i Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu và Viện Toán học đã trang bị kiến thức cơ bản, tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn cùng PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, PGS.TS Trịnh Thanh Hải đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn chỉnh luận văn. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Vũ Hoài An, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong và xin được cảm ơn ý kiến đóng góp của các nhà toán học và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014 Tác giả Ngô Thị Phương Loan ii Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic 5 1.1 Sai phân của hàm số trong toán học Trung học phổ thông và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Khái niệm về phép sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Sai phân liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Sai phân của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic 9 1.2.1 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đối với vấn đề nhận giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . 13 1.3.2 Mối quan hệ giữa hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . 15 iii 2 Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 18 2.1 Vấn đề nhận giá trị của toán tử sai phân, đơn thức sai phân đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . 19 2.2 Vấn đề xác định duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . 25 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 iv Bảng ký hiệu f Hàm hữu tỷ n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a T (f) Hàm đặc trưng của f E f (S) Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f E f (S) Ảnh ngược không tính bội của S đối với f K Trường đóng đại số, đặc trưng không R Trường số thực v Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Sai phân của hàm số đã được đề cập đến trong toán học phổ thông. Vấn đề duy nhất đối với sai phân đa thức đã được giải quyết nhờ công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange. Còn vấn đề nhận giá trị đối với sai phân của đa thức được kiểm tra thông qua các định lý về hàm số thực liên tục. Đối với sai phân của hàm phân hình p-adic, vấn đề nhận giá trị và duy nhất đã nhận được kết quả ban đầu. Cho hàm f là hàm phân hình p-adic. Toán tử sai phân của f được xác định nhhư sau: ∆ c f = f (z + c) − f(z), ∆ 1 c f = ∆ c f, , ∆ n+1 c = ∆ c (∆ n c ), n = 1, 2, ở đó c ∈ C p là một hằng số khác 0. Đa thức sai phân của f được xác định như sau: uA (z, f ) =  λ∈ I a λ f λ 0 f λ 1 g (z + c 1 ) f λ n (z + c n ), c 1 , c n ∈ C p , c 1 = 0, , c k = 0, a λ ∈ C p . Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An [7] đã đưa ra các kết quả cho vấn đề nhận giá trị và duy nhất cho Toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic. Họ đã nhận được các kết quả sau: Cho P là đa thức bậc n trên C p . Viết P = a 0 (z − a 1 ) m 1 . . . (z − a s ) m s . Định lý A. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C p , n, k i , s, q, i = 1, , q là các số nguyên, s  1, q  1, k i  1, n  q  i=1 (2k i + 1)2 i + q + s + 1 − 3 q  i=1 k 1 , ∆ q c f không đồng nhất không. Khi đó P (f )(∆ 1 c f) k 1 (∆ q c f) k q − a có không điểm, ở đó a ∈ C p , a = 0. 1 Định lý B. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C p , n, q i , s, k, i = 1, . . . , k là các số nguyên, s  1, q i  1, k  1, n  q i  i=1 +2k + s = 1. Khi đó P(f)(f(z + c)) q 1 (f(z + kc)) q k −a có không điểm, ở đó a ∈ C p , a = 0. Định lý C. Giả sử f, g là hàm phân hình khác hằng trên C p . 1. Nếu E f n f(z+c) f(z+kc) (1) = E g n g(z+c) g(z+kc) (1) với k  1, n  5k + 8 là các số nguyên, thì f = hg với h n+k = 1 hoặc fg = l với l n+k = 1. 2. Nếu E f n (f(z+c)) q 1 (f(z+kc)) q k (1) = E g n (g(z+c)) q 1 (g(z+kc)) q k (1) với k  1, q i > 1, i = 1, . . . , k, n  k  i=1 q i +8k+8 là các số nguyên, thì f = hg với h n+q 1 + +q k = 1 hoặc fg = l với l n+q 1 + +q k = 1; 3. Nếu E f n f(z+e 1 c) f(z+e m c)(f(z+t 1 c)) q 1 (f(z+t k c)) q k (1) = E g n g(z+e 1 c) g(z+e m c)(g(z+t 1 c)) q 1 (g(z+t k c)) q k (1), với e j  1, j = 1, . . . , m, t i  1, q i > 1, k  1i = 1, . . . k, n  5m + k  i=1 q i + 8k + 8, là các số nguyên, thì f = hg với h n+m+q 1 + q k = 1 hoặc fg = l với l n+m+q 1 + +q k = 1. Để ý rằng, C p là trường đóng đại số, đặc trưng không và đầy đủ. Câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Đối với K là trường đóng đại số, đặc trưng không, không cần giả thiết K là trường đầy đủ thì các định lý nêu trên còn đúng hay không? Nhằm trả lời câu hỏi này, đề tài nghiên cứu vấn đề: Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng. 2. Mục tiêu nghiên cứu Trình bày lại tương tự các Định lý A, B, C cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đã đưa ra trong [1]. 3. Nội dung nghiên cứu • Luận văn tổng hợp và trình bày về sai phân của hàm số trong toán học trung học phổ thông và ứng dụng. 2 • Luận văn trình bày tổng quan về vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic. • Luận văn tổng hợp, trình bày các kết quả về vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không trong [1]. 4. Kết quả nghiên cứu • Luận văn trình bày lại các định lý về nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Cụ thể là: Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý A. Định lý 2.1.4 là tương tự của Định lý B. Định lý 2.2.3 là tương tự của Định lý C. • Luận văn là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên Toán trung học phổ thông, học viên Cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp. 5. Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày về sai phân của hàm số trong toán học trung học phổ thông và ứng dụng của nó và ứng dụng của nó vào chứng minh Định lý Wilson. Ngoài ra, chúng tôi trình bày tổng quan về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic làm cơ sở cho việc tương tự đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Chúng tôi cũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Các kết quả này ở trong [1] và được trình bày ở [2]. Chương 2: Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày lại các kết quả trong [1]. Các định lý 3 [...]... trị đối với toán tử sai phân, đơn thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Định lý 2.2.3 là kết quả về vấn đề duy nhất đối với sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 4 Chương 1 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic 1.1 Sai phân của hàm số trong toán học Trung học phổ thông và ứng dụng 1.1.1 Khái niệm về phép sai phân Cho c... C cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không (xem [1] và [7]) 2.1 Vấn đề nhận giá trị của toán tử sai phân, đơn thức sai phân đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Bổ đề 2.1.1 Cho f là hàm hữu tỷ trên K và ∆f không đồng nhất không, k, q là các số nguyên dương Khi đó 19 1 T (f (z + c)) = T (f (z)) ∆c f 2 T 2T (f ) f Chứng minh Để ý rằng do ∆f không đồng nhất không. .. ước lượng 12 1.3 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đối với vấn đề nhận giá trị 1.3.1 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Định nghĩa 1.3.1 Một trường K được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức một ẩn có bậc khác không, với hệ số trong K, có nghiệm trong K Trường R không là đóng đại số vì đa thức P (x) = x2 + 1 không có nghiệm thực mặc dù các hệ số của đa thức là (1, 0,... nghĩa sai phân đối với hàm số thực và hàm phân hình p-adic là tương tự Xét vấn đề nhận giá trị đối với toán tử sai phân, đa thức sai phân gồm các bước sau: Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa hàm đặc trưng của f và hàm đặc trưng của ∆c f, f (z + c) Bước 2: Dùng các kiểu Định lý chính thứ 2 đối với toán tử sai phân, đa thức sai phân Sau đó chuyển T (∆c f, r), T (f (z + c), r) về T (f, r) và ước lượng 12 1.3 Hàm. .. có không điểm Vấn đề xác định duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Trước tiên ta cần những khái niệm sau Cho f và g là hai hàm hữu tỷ khác hằng trên K sao cho E f (1) = E g (1), a là không điểm của f − 1 với bội µ1 (a), f và của g − 1 với bội µ1 (a) Ta kí hiệu n1 (f, r) > µ1 (a)) là hàm đếm không điểm g g của f − 1 ở đó µ1 (a) > µ1 (a) và mỗi không. .. c) f qk (z + kc); a, ck ∈ K, a = 0, c = 0, k ∈ N∗ 17 Chương 2 Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Cho hàm f là hàm phân hình p-adic Toán tử sai phân của f được xác định như sau: ∆c f = f (z + c) − f (z), ∆1 f = ∆c f, , ∆n+1 = ∆c (∆n ), n = 1, 2, c c c ở đó c ∈ Cp là một hằng số khác 0 Đa thức sai phân của f được xác định như sau: aλ f λ0 f λ1 (z + c1 ) f λn (z +... và duy nhất được xem xét đối với toán tử sai phân cho f hàm phân hình p−adic Ta định nghĩa Toán tử sai phân của hàm f như sau: ∆c f = f (z + c) − f (z), ở đó c ∈ Cp là hằng số khác không Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã xem xét vấn đề nhận giá trị và duy nhất cho Toán tử sai phân Bổ đề 1.2.1 Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn ∆c f (z) = 0 với mọi z ∈ Cp thì f là hằng Bổ đề 1.2.2 Cho f là hàm. .. bội (tương ứng không kể bội) 1.3.2 Mối quan hệ giữa hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Định lý 1.3.4 Đường cong hữu tỷ f : K → Pn (K) là một lớp tương đương của các bộ (n + 1) đa thức (f1 , , fn+1 ) sao cho f1 , , fn+1 không có không điểm chung trên K Hai bộ (n + 1) đa thức (f1 , , fn+1 ) và (g1 , , gn+1 ) là tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn... 1(mod p) Ở trên ta đã chỉ ra rằng fp−1 (1) = 0(mod p), tức là (p − 1)! + c = 0(mod p) Kết hợp với c = 1(mod p), ta có: (p − 1)! + 1 = 0(mod p) Vậy ta đã chứng minh được Định lý Wilson nhờ phép sai phân và tính chất của đa thức 1.2 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic Các kết quả sau đây có trong [1] 9 1.2.1 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân của hàm phân hình... thức sai phân của hàm phân hình p-adic Kí hiệu Cp là trường đóng đại số, đặc trưng không Cho f là hàm hữu tỷ khác hằng trên Cp và a ∈ Cp ∪ {∞} Kí hiệu: Ef (a) = {(µa (z), z) : z ∈ Cp } f E f (a) = f −1 (a) = {z ∈ Cp : µa > 0} f ≤k Cho k là số: E f (a) = {z ∈ Cp , µ≤k } Nếu một cặp hàm hữu tỷ f và g khác f −a hằng trên Cp thoả mãn Ef (a) = Eg (a) (tương ứng E f (a) = E g (a)) thì ta nói f và g chung . quan hệ giữa hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . 15 iii 2 Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 18 2.1. toán tử sai phân, đơn thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Định lý 2.2.3 là kết quả về vấn đề duy nhất đối với sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,. trị của toán tử sai phân, đơn thức sai phân đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . 19 2.2 Vấn đề xác định duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường