Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng ( Luận văn thạc sĩ)

Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng ( Luận văn thạc sĩ)Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng ( Luận văn thạc sĩ)Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng ( Luận văn thạc sĩ)Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng ( Luận văn thạc sĩ)Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng ( Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI QUANG THIỆN

VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI QUANG THIỆN

VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - Năm 2014

Mục lục

Lời cam đoan iii

Lời cảm ơn iv

Mở đầu v

Bảng ký hiệu viii

1 Tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic 1 1.1 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông 1

1.1.1 Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange 1 1.1.2 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông 6

1.2 Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic 7

1.2.1 Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ 7 1.2.2 Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập 8

1.3 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 10

1.3.1 Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 10

1.3.2 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 12

2 Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh của tập hợp điểm và áp

2.1 Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị 15

2.2 Đa thức duy nhất của hàm hữu tỷ 19

2.2.1 Đa thức duy nhất kiểu Yn,m 19

2.2.2 Đa thức duy nhất kiểu Fn,b 23

2.3 Hàm hữu tỷ chung nhau tập hợp 25

2.3.1 Tập duy nhất cho hàm hữu tỷ 25

2.3.2 Tập duy nhất kiểu Fn,b0 28

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơcấp với đề tài “Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng” là củatôi Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ

Tác giả

Bùi Quang Thiện

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Vũ Hoài An Thầy đã dành nhiềuthời gian hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn Sau quá trình nhận đề tài vànghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy, luận văn “Vấn đề xác địnhđối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnhngược của tập hợp điểm và áp dụng” của tôi đã được hoàn thành Tôi xin gửilời cảm ơn tới GS TSKH Hà Huy Khoái, GS TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS

TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS TS Đàm Văn Nhỉ, PGS TS Trịnh Thanh Hải

đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đàotạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốtquá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành đề tài này Sựgiúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo vàKhoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sứctốt đẹp

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớpcao học Toán K6B (Khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên

cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Vấn đề nội suy cho đa thức là vấn đề kinh điển của Toán học sơ cấp.Newton, Lagrange đã giải quyết vấn đề này đối với đa thức với hệ số thực Haiông đã đưa ra công thức nội suy mà ngày nay được gọi là Công thức nội suyNewton, Công thức nội suy Lagrange Đây là các công thức nội suy với hữuhạn mốc nội suy Trong trường hợp vô hạn mốc nội suy, vấn đề nội suy cho hàmnguyên đã là bài toán mở trong một thời gian dài Năm 1979, Hà Huy Khoái làngười đầu tiên mở rộng vấn đề nội suy cho đa thức cho các hàm nguyên p-adic[4] Ông đã tìm được điều kiện cần và đủ để xác định hàm nguyên p-adic từ

vô hạn mốc nội suy Trong trường hợp hàm nguyên phức, vấn đề này vẫn chưađược giải quyết Điều thú vị ở đây là, xuất phát từ vấn đề nội suy cho các hàmnguyên p-adic, Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng lý thuyết phân bốgiá trị cho các hàm phân hình p-adic (xem [5]) Một trong những ứng dụng sâusắc của lý thuyết phân bố giá trị (p-adic) là vấn đề xác định duy nhất cho cáchàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tậphợp điểm Kết quả kinh điển đầu tiên của vấn đề này là Định lý 4 điểm củaNevalinna Có hai hướng mở rộng định lý 4 điểm:

1 Xét nghịch ảnh riêng rẽ của điểm

2 Xét nghịch ảnh của tập hợp điểm

Mặt khác, từ Công thức nội suy Newton, Công thức nội suy Lagrange,vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ

số thực được giải quyết qua n + 1 mốc nội suy

Nhận xét rằng, có sự tương tự giữa vấn đề xác định duy nhất đối với đathức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số thực được giải quyết qua n + 1 mốcnội suy với vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng p-adic

qua điều kiện ảnh ngược của tập điểm Điều này gợi ý cho chúng tôi xem xétvấn đề nội suy cho đa thức dưới góc độ của lý thuyết phân bố trị Theo hướngtiếp cận này, luận văn nghiên cứu Vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷtrên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngượccủa tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương tự các định lýduy nhất đối với hàm phân hình p-adic trong [6] cho Hàm hữu tỷ trên trườngđóng đại số, đặc trưng không

3 Nội dung nghiên cứu và Phương pháp nghiên cứu

3.1 Tổng hợp và trình bày về vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toánhọc phổ thông

3.2 Trình bày tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hìnhp-adic

3.3 Tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương

tự các định lý duy nhất đối với hàm phân hình p-adic cho Hàm hữu tỷ trêntrường đóng đại số, đặc trưng không

4 Kết quả nghiên cứu

Luận văn tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1] Cụ thể là:

• Định lý 2.1.1 là tương tự của Định lý 4 điểm trong [6]

• Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý 3.9 trong [6]

• Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6]

• Định lý 2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6]

5 Bố cục luận văn

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận vàtài liệu tham khảo

Chương 1 Trong Chương 1, chúng tôi tổng hợp và trình bày về vấn đềxác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông, trình bàytổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic Chúng tôicũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhận giá trị củahàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đã được đưa ra trong [1]

và đã được trình bày lại ở [2]

Chương 2 Trong Chương 2 chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đề xácđịnh đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điềukiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức đãđưa ra trong [1]

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014

Học viên

Bùi Quang Thiện

Bảng ký hiệu

f Hàm hữu tỷ

n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a

Tf Hàm đặc trưng của f

Ef(S) Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f

E f (S) Ảnh ngược không tính bội của S đối với f

K Trường đóng đại số, đặc trưng không

Chương 1

Tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic

toán học trung học phổ thông

1.1.1 Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange

Công thức nội suy Newton

Ví dụ 1.1.1 Xác định đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện

Ta có B(x) = 2 + 3(x − 1)

Vậy tương tự như trên ta tìm đa thức P (x) sao cho P (1) = 2, P (2) = 5,

P (x1) = y1, P (x2) = y2, , P (xn) = yn, P (xn+1) = yn+1.

Theo như ví dụ mà chúng ta đã giải ở trên, thì đa thức P (x) có dạng

P (x) = α1+α2(x−x1)+α3(x−x1)(x−x2)+ .+αn+1(x−x1)(x−x2) (x−xn+1).Công thức này gọi là công thức nội suy Newton Nếu chúng ta thay x = x1vào công thức nội suy Newton thì chúng ta sẽ xác định được giá trị của hệ số

α1 Tiếp đó, nếu chúng ta thay x = x2 vào công thức nội suy thì chúng ta sẽxác định được giá trị của hệ số α2 Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng αn+1 sẽđược xác định nếu chúng ta thay x = xn+1

Ví dụ 1.1.2 Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho

P (1) = 1, P (2) = 1, P (3) = 2, P (4) = 3, P (5) = 5

Chúng ta dùng công thức nội suy Newton

P (x) = α1+ α2(x − 1) + α3(x − 1)(x − 2) + α4(x − 1)(x − 2)(x − 3)

P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) = x2.Qua đây chúng ta thấy rằng đa thức P (x) xác định bởi điều kiện

P (x1) = y1, P (x2) = y2, , P (xn) = yn, P (xn+1) = yn+1

có thể có bậc bằng n, nhưng cũng có thể có bậc bé hơn n

Công thức nội suy Lagrange

Nếu x1, x2, , xn, xn+1 là n + 1 số thực khác nhau, và y1, y2, , yn, yn+1

là n + 1 số thực bất kỳ Chúng ta sẽ tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng

n thỏa mãn điều kiện

P (x) = y1

(x − x2)(x − x3) (x − xn)(x − xn+1)(x1− x2)(x1− x3) (x1− xn)(x1− xn+1)+ y2 (x − x1)(x − x3) (x − xn)(x − xn+1)(x2− x1)(x2− x3) (x2− xn)(x2− xn+1)+ + yn

(x − x1)(x − x2)(x − x3) (x − xn−1)(x − xn+1)(xn− x1)(xn− x2) (xn− xn−1)(xn− xn+1)+ yn+1

(x − x1)(x − x2) (x − xn−1)(x − xn)(xn+1 − x1)(xn+1− x2) (xn+1− xn−1)(xn+1− xn).Hay viết gọn lại

Ví dụ 1.1.4 Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho

(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5) + 3

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)

(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5) + 16

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)+ 25(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)

(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4).1.1.2 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung

học phổ thông

Định lý 1.1.1 Nếu x1, x2, , xn, xn+1 là n + 1 số thực khác nhau, và y1, y2, , yn, yn+1 là n + 1 số thực bất kỳ thì sẽ tồn tại duy nhất một đa thức P (x)

có bậc bé hơn hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện

Khi đó f (x) = α2(x − 1) + α3(x − 1)(x − 2)

Thay x = 2 vào đa thức

f (2) = α2 = 0Khi đó f (x) = α3(x − 1)(x − 2)

Ký hiệu Cp là trường số phức p-adic, Cp là trường đóng đại số, đặc trưng

0 và đầy đủ với chuẩn không acsimét

1.2.1 Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽĐịnh lý 1.2.1 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp và

a1, a2, a3, a4 là bốn giá trị phân biệt trong Cp∪ {∞}

Khi đó nếu

Ef(aj) = Eg(aj), j = 1, 2, 3, 4thì f ≡ g

Định lý 1.2.2 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp, a1, , aq

là q giá trị khác nhau trên Cp∪ {∞} và lấy kj ∈ Z+∪ {∞}, (j = 1, , q) với

1.2.2 Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập

Định lý 1.2.3 Cho n > 10 là một số nguyên, khi đó tập F0

n,b là tập xác địnhduy nhất cho các hàm phân hình khác hằng

Tiếp theo ta xét vấn đề chung nhất tính với bội chặn

Cho m0 là số nguyên dương hoặc ∞, F là một họ nào đó các hàm xácđịnh trên Cp lấy giá trị trên Cp ∪ {∞} Với f ∈ F và S là một tập con của

P (f ) = cP (g) thì f = g