Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGÔ TRỌNG THIẾT ĐỊNH LÝ MASON SUY RỘNG ĐỐI VỚI ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2015... 1 1 Đị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGÔ TRỌNG THIẾT

ĐỊNH LÝ MASON SUY RỘNG

ĐỐI VỚI ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - Năm 2015

Mục lục

Mục lục i

Lời cảm ơn ii

Bảng ký hiệu iii

Mở đầu 1

1 Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không 4 1.1 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không 5

1.2 Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không 8

2 Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng 11 2.1 Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không 11

2.2 Sự tương tự của Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không với số nguyên 18

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Vũ Hoài

An Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong KhoaToán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã trực tiếpgiảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình họctập

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm,tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giảNgô Trọng Thiết

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong [5], "Hà Huy Khoái - Phạm Huy Điển, Số học Thuật toán Cơ

sở lý thuyết và Tính toán thực hành, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia HàNội, 2003", đã đề cập đến Định lý Mason đối với đa thức trên trường sốphức:

Định lí A Giả sử a (t), b (t), c (t) là các đa thức với hệ số phức,nguyên tố cùng nhau từng cặp và thỏa mãn hệ thức a (t) + b (t) = c (t).Khi đó, nếu ký hiệu n0(f ) số nghiệm phân biệt của một đa thức f thì tacó

max {dega, degb, degc} ≤ n0(abc) − 1

Dưới góc độ của lý thuyết phân bố giá trị p-adic, là hệ quả của haiĐịnh lý nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ với đa thức trên trường đóng đại

số, đặc số không Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại

số, đặc số không đã đưa ra trong [1] "Vũ Hoài An, Tương tự của định lýMason suy rộng cho đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không, bảnthảo", và được trình bày trong [3] "Vũ Thị Thùy Dung, Vấn đề nhận giátrị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không và áp dụng, Luậnvăn thạc sỹ toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,2014" Năm 2002 trong [8] "Hu, P.C and Yang, C.C, A Generalized abc -Conjeture over Function Fields, Journal of Number Theory 94, 268 - 298,2002" đã đưa ra một tổng quát của Định lý Mason đối với hàm nguyênp-adic sau đây:

Định lý B Cho K là trường đóng đại số, đặc số không, đầy đủđối với chuẩn không Archimedean Cho fj (j = 1, , k + 1) là các hàmnguyên trên K sao cho fj, f1 không có không điểm chung, j = 2, , k + 1;

fj (j = 1, , k + 1) là độc lập tuyến tính trên K và f2 + + fk+1 = f1.Khi đó

của Wronskian và f2 fk+1 Đánh giá môđun của hàm g, sử dụng Bổ đềđạo hàm loga của lý thuyết phân bố giá trị p-adic.

Dưới góc độ của lý thuyết phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hìnhp-adic, công việc xét Định lý B và tương tự của nó đối với đa thức trêntrường đóng đại số, đặc số không đã được đề cập trong [1] "Vũ Hoài An,Tương tự của định lý Mason suy rộng cho đa thức trên trường đóng đại

số, đặc số không, bản thảo" Mặt khác, Định lý Mason đối với đa thứctrên trường đóng đại số, đặc số không sẽ có ứng dụng trong toán học phổthông Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề:

Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóngđại số, đặc số không và ứng dụng

2 Mục đích, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, trình bày lại các bài giảng trong [1] về Định lý Mason suyrộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không Các kết quảcủa công việc này có tựa đề là Định lý Mason suy rộng đối với đa thứctrên trường đóng đại số, đặc số không

Đưa ra các ví dụ trong toán học phổ thông thể hiện sự tương tự củaĐịnh lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không với

số nguyên

3 Nội dung nghiên cứu

Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số khôngđược trình bày ở Chương 1 Kết quả chính là Định lý 1.2.2, Định lý 1.2.3.Định lý 1.2.2 là Định lý Mason trên C, Định lý 1.2.3 là Định lý Masontrên K Chúng tôi trình bày lại hai cách chứng minh: Một cách được giớithiệu trong [5], một cách được đề cập trong [1] và trình bày lại trong [3].Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường K, K là trườngđóng đại số, đặc số không và ứng dụng được trình bày ở Chương 2 Haikết quả chính ở đây là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 Đây là hai dạng củaĐịnh lý Mason suy rộng Ngoài ra, luận văn đưa ra các ví dụ thể hiện ứngdụng của Định lý Mason với số nguyên Ý tưởng của sự ứng dụng này lànhư sau:

Phương trình Fermat đối với đa thức trên K là một ứng dụng thú vịcủa Định lý Mason Từ đây dẫn đến việc xét phương trình Fermat trêntrường có đặc số khác không Từ đó tạo ra được nhiều bài toán về chiahết đối với số nguyên

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn này gồm các phần như sau

Chương 1: Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc sốkhông

Kết quả chính được trình bày lại ở Chương 1 là Định lý 1.2.2 (Định

lý Mason trên C) và Định lý 1.2.3 (Định lý Mason trên K, K là trườngđóng đại số, đặc số không)

Chương 2: Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại

số, đặc số không và ứng dụng

Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 là hai dạng của Định lý Mason suy rộngđối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không Ngoài ra, chúng tôicũng trình bày các ví dụ là ứng dụng của Định lý Mason trong toán họcphổ thông

Mục tiêu thứ hai của Chương 1 là: Xác định cách tiếp cận thứ haitrên đây, cho phép mở rộng Định lý Mason cho n đa thức thỏa mãn điềukiện nào đó.

Để thực hiện hai mục tiêu này, trước tiên chúng ta trình bày vấn

đề nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không

Trường Q không là trường đóng đại số vì đa thức P (x) = x10 + 2

không có nghiệm trong Q mặc dù các hệ số của đa thức đều thuộc Q.Trường R không là trường đóng đại số vì đa thức P (x) = √

Ví dụ, trường R có đặc số 0, trường Z13 có đặc số 13 vì 13 ≡ 0

và 13 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này

Nếu char(K) = n > 0 thì nx = 0 với mọi x ∈ K vì nx = n(1x) =(n1)x = 0x

Từ đây trở đi, ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc số không

Giả sử f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểmcủa f Khi đó viết

f = (z − a)mp (z)

với p (a) 6= 0 Ta gọi m là bội của không điểm a của f Giả sử d ∈ K và l

là số nguyên dương, ta ký hiệu:

n (f ) là số các không điểm của f tính của bội;

Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc

số không đưa ra trong [1] và trình bày ở [3] như sau:

Cho f là hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số K, đặc số không,

Ví dụ 1 Xét đa thức f (x) = (x − 1) (x − 2)2 ∈ R[x], R là trường

số thực Khi đó bậc của f là d (f ) = 3 và số các không điểm của f là

n (f ) = 3 Ta có d (f ) = n (f )

Ví dụ 2 Xét g (x) = f (x) f1(x) ∈ R[x], f1(x) = x2k+1+ 1 ∈ R[x],

k là số nguyên dương Chú ý rằng f1(x) không có nghiệm trong R Khi

đó bậc của g (x) là d (g) = 2k + 3 và số không điểm của f1 trong R là

n (g) = 2 Ta có d (g) > n (g)

Ví dụ 3 Xét f1(x) = x2k + 1 ∈ R[x], k là số nguyên dương Khi

đó bậc của f1(x) là d (f1) = 2k và số không điểm của f1 trong R là

n (f ) = 0 Ta có d (f1) > 0

Để ý rằng R là trường không đóng đại số Vì vậy, ở Ví dụ 1 và Ví dụ

2, mối quan hệ giữa bậc và không điểm của đa thức là tầm thường Ngoài

ra, giả thiết K là trường đóng đại số còn cần thiết để định nghĩa khái niệm

độ cao của đường cong hữu tỷ từ K vào Pn(K)

Định nghĩa 1.1.3 Đường cong hữu tỷ f : K → Pn(K) là một lớp tươngđương của các bộ (n + 1) đa thức (f1, , fn+1) sao cho f1, , f(n+1) không

có không điểm chung trên K Hai bộ (n + 1) đa thức (f1, , fn+1) và

(g1, , gn+1) là tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tạic ∈ K∗ sao cho

Từ Định lý 1.1.4 ta thấy rằng nếu f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K

và q > 1 thì f luôn nhận ít nhất một trong số các giá trị ai, i = 1, , q.Định lý 1.1.5 (Định lý chính thứ hai)

Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a1, , aq ∈ K∪ {∞}.Khi đó:

1.2 Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng



f +



g0g

Như vậy

b

f0f

b

N0f0/f

N0g0/g.

Vì a, b nguyên tố cùng nhau nên từ đẳng thức này suy ra bậc của a

và bậc của b đều không vượt quá n0(abc) − 1 Điều này tương tự cũngđúng đối vớic do vai trò đối xứng của a, b, ctrong phương trình xuất phát.Định lý được chứng minh

Quan sát chứng minh trên, ta thấy rằng cách ước lượng số nghiệm vàbậc của đa thức qua việc xét thương của đạo hàm và hàm số khó mở rộngcho n đa thức

Nhằm mở rộng Định lý Mason cho n đa thức, chúng ta xét chứngminh sau đây đã trình bày trong [3]

Theo giả thiết, ta có ac,bc là các hàm hữu tỷ khác hằng Áp dụng Định

lý 1.1.5 cho hàm ac với các giá trị 0, ∞, 1 và chú ý rằng

Theo định nghĩa

T ac
= max {dega, degc}

T bc
= max {degb, degc}

Chương 2

Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc

số không và ứng dụng

2.1 Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên

trường đóng đại số, đặc số không

Trong mục này, chúng tôi trình bày lại sự mở rộng của Định lý Masonđối với ba đa thức sang trường hợp n đa thức thỏa mãn điều kiện nào đó[1] Kết quả của sự mở rộng này là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 và chúngtôi gọi đó là Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại

số, đặc số không

Định lý Mason đã được chứng minh bằng hai cách ở Mục 1.2 Trongtrường hợp n đa thức, chúng tôi phát biểu, trình bày chứng minh cho haikiểu Định lý Mason suy rộng, cách chứng minh dùng đạo hàm dường nhưkhông mở rộng cho trường hợp tổng quát

Trước tiên ta phát biểu và chứng minh dạng thứ nhất của Định lýMason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không.Định lý 2.1.1 (Định lý Mason suy rộng, dạng thứ nhất)

Cho f1, f2, , fn+2 là các đa thức nguyên tố cùng nhau từng cặp với

f1, f2, , fn+1 độc lập tuyến tính trên K và thỏa mãn hệ thức

Chứng minh Cho{α1, α2, , αn+1}là một tập con củaI = {1, 2, , n + 2}.Khi đó, từ f1 + f2 + + fn+1 = fn+2 suy ra

Khi đó, R là một tổng của các hàm số sau:

P =

.Tiếp theo, ta phát biểu và chứng minh dạng thứ hai của Định lý Masonsuy rộng.

Định lý 2.1.2 (Định lý Mason suy rộng, dạng thứ hai)

Cho f1, f2, , fn+2 là các đa thức với f1, f2, , fn+1 độc lập tuyếntính, không có điểm chung trên K và thỏa mãn hệ thức

fn+2 nên fi(1 ≤ i ≤ n + 2) không đồng nhất không

Từ đây suy ra tồn tại αn+2 ∈ {1, 2, , n + 2} sao cho

Chứng minh

Dofn+2, fi, (1 ≤ i ≤ n+1)không có điểm chung trên K nên f1, f2, , fn+2

không có điểm chung

Áp dụng Định lý 2.1.2 và nn(fi) ≤ nn0(fi) , i = 1, 2, , n + 2 ta nhậnđược hệ quả

2.2 Sự tương tự của Định lý Mason đối với đa thức

trên trường đóng đại số, đặc số không với số nguyên.

Định lý Mason (Định lý A, [5]), Định lý của Hu.Yang (Định lý B, [8])

là kết quả của toán học cao cấp Trong Mục 2.1, Định lý B đã được sơ cấphóa một bước là các Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2

Trong mục này, chúng tôi sẽ tìm sự tương tự của Định lý Mason vớiphương trình nghiệm nguyên, phép chia hết trong tập hợp số nguyên Z.Trước tiên, chúng tôi nhắc lại ứng dụng của Định lý Mason cho đathức trên K

Trường hợp 1 a khác hằng Khi đó b khác hằng Từ Ví dụ 2.2.1 ta cómâu thuẫn.

Trường hợp 2 a là hằng Khi đó b là hằng và b là nghiệm của phươngtrình z2 = 1 − a2

Vậy nghiệm của phương trình x2 + y2 = 1 trên K[x] là các đa thứcbậc không a, b thỏa mãn a2 + b2 = 1

Lấy x = a, y = b ta có z = a + b, ở đó a, b ∈ K[x] Vậy (a, b, a + b)

là một nghiệm của phương trình x + y = z, ở đó a, b ∈ K[x]

Từ định nghĩa Z/nZ ta thấy Z/nZ liên hệ mật thiết với phép chia hết

và chia có dư Như vậy, nếu ta xét Định lý Mason đối với các đa thức trên

Z/nZthì ta có hy vọng tìm được ứng dụng của Định lý Mason đối với phépchia hết và chia có dư trên Z Thực hiện ý tưởng này, trước tiên ta xét các

ví dụ sau:

Ví dụ 2.2.5 Chứng minh

1.(x + y)n = xn+ yn; x, y ∈ Z/nZ, n là số nguyên tố

2.(x + y)nk = xnk+ynk; x, y ∈ Z/nZ,nlà số nguyên tố,k là số nguyêndương

Từ đây suy ra Cnk = nnk Hơn nữa ta có

Áp dụng giả thiết quy nạp

Từ đây suy ra n0(abc) − 1 = 2 − 1 = 1 và max {dega, degb, degc} =

Năm 1993, A.Wiles đã chứng minh kết quả này

Ví dụ 2.2.8.Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + y2 = 1

Giải

Ta thấy nếu (x, y) là nghiệm nguyên của phương trình x2+ y2 = 1 thì

(−x, −y) cũng là nghiệm nguyên của nó Vì vậy, trước tiên ta tìm nghiệmnguyên không âm của phương trình trên

Ta có x2 ≤ 1 và y2 ≤ 1 nên 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 Từ đây ta có

(1, 0), (0, 1) là nghiệm nguyên không âm của phương trình x2 + y2 = 1.Vậy (1, 0), (0, 1),(−1, 0),(0, −1) là nghiệm nguyên của phương trình

đã cho

Ví dụ 2.2.9.Bộ ba số(x, y, z) thỏa mãnx2+y2 = z2 được gọi là một

bộ số Pitago Bộ số Pitago (x, y, z) gọi là nguyên thủy nếu (x, y, z) = 1

Các số nguyên dương x, y, z lập thành một bộ số Pitago nguyên thủy,với y chẵn nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên tố cùng nhau m, n với

m > n, m lẻ, n chẵn hoặc m chẵn, n lẻ sao cho

x = m2 − n2, y = 2mn, z = m2 + n2.Giải

Trước hết, ta chứng minh được nếu (x, y, z) là một bộ số Pitagonguyên thủy thì (x, y) = (y, z) = (z, x) = 1 Thật vậy, giả sử (x, y, z) là

bộ số Pitago nguyên thủy và (x, y) > 1 Khi đó tồn tại số nguyên tố p saocho p| (x, y) Vì p|x và p|y nên p| x2 + y2
= z2 Do p nguyên tố mà p|z2

nên p|z, mâu thuẫn với giả thiết (x, y, z) = 1 Vậy (x, y) = 1

1, nên x, y không thể cùng chẵn Nếu x và y cùng lẻ thì ta có x2 ≡ y2 ≡

1 (mod4) nên z2 = x2+ y2 ≡ 2 (mod4) Điều này vô lý Vì vậy x, y khôngthể cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Bây giờ, vì (x, y, z) là một bộ số Pitago nguyên thủy nên x chẵn thì

y lẻ hoặc ngược lại Vì ta giả thiết y chẵn nên x, z đều lẻ Do x + z, z − x

đều là số chẵn nên các số r = x+z2 , s = z−x2 đều là các số nguyên

Vì x2 + y2 = z2 nên y2 = z2 − x2 = (z − x) (z + x) Vậy

y2

2

=



z + x2

 

z − x2



= rs

Để ý rằng (r, s) = 1 Thật vậy, nếu (r, s) = d thì do d|r, d|s nên

d| (r + s) = z và d| (r − s) = x Điều đó có nghĩa là d| (z, x) = 1 nên

d = 1

Mặt khác, ta lại chứng minh được: Nếu r, s, t là các số nguyên dươngsao cho(r, s) = 1và rs = t2 thì tồn tại các số nguyên h và l sao chor = l2

và s = h2 Thật vậy:

Nếu r = 1 hoặc s = 1 thì kết luận trên hiển nhiên đúng

Ta giả sử r > 1 và s > 1, giả sử cách phân tích r, s, t ra thừa sốnguyên tố có dạng

Ta chứng minhx, y, znguyên tố cùng nhau Giả sử ngược lại(x, y, z) =

d > 1 Khi đó tồn tại số nguyên tố p sao cho p |(x, y, z) Ta thấy rằng p

không là ước của2vì xlẻ (dox = m2−n2 trong đóm2, n2 không cùng tínhchẵn lẻ) Lại do p |x vàp |z nênp (z + x) = 2m2 và p ... data-page="23">

2.2 Sự tương tự Định lý Mason đa thức< /h3>

trên trường đóng đại số, đặc số không với số nguyên.

Định lý Mason (Định lý A, [5]), Định lý Hu.Yang (Định lý B, [8])

là... phát biểu chứng minh dạng thứ hai Định lý Masonsuy rộng.

Định lý 2.1.2 (Định lý Mason suy rộng, dạng thứ hai)

Cho f1, f2, , fn+2 đa thức với f1,... Trong Mục 2.1, Định lý B sơ cấphóa bước Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2

Trong mục này, chúng tơi tìm tương tự Định lý Mason vớiphương trình nghiệm nguyên, phép chia hết tập hợp số nguyên Z.Trước