Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC H TH THU HUYN PHNG TRèNH EULER - WARING CHO A THC TRấN TRNG ểNG I S C S KHễNG V NG DNG LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn - 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC H TH THU HUYN PHNG TRèNH EULER - WARING CHO A THC TRấN TRNG ểNG I S C S KHễNG V NG DNG Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC TS V HOI AN Thỏi Nguyờn - 2015 i Mc lc Mc lc i Li cam oan ii Li cm n iii M u Phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc tuyn tớnh v a thc Laurent trờn trng úng i s c s khụng 1.1 Phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc tuyn tớnh 1.2 Phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc Laurent 21 Phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc trờn trng úng i s c s khụng v ng dng 2.1 Phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc trờn trng úng i s c s khụng 2.2 24 24 ng dng phng trỡnh Euler - Waring toỏn hc ph thụng 46 Kt lun 58 Ti liu tham kho 59 ii Li cam oan Tụi xin cam oan cỏc kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan mi thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Thỏi Nguyờn, ngy 20 thỏng 11 nm 2015 H v tờn H Th Thu Huyn iii Li cm n Lun ny c hon thnh ti trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc vi TS V Hoi An, ó trc tip hng dn tỏc gi sut thi gian nghiờn cu va qua Xin chõn thnh cm n ti cỏc thy, cụ giỏo Khoa Toỏn - Tin, Phũng o to Khoa hc, cỏc bn hc viờn lp Cao hc Toỏn K7D trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn v cỏc bn ng nghip ó to iu kin thun li, ng viờn tỏc gi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ti trng Tỏc gi cng xin by t lũng bit n sõu sc ti gia ỡnh v ngi thõn luụn khuyn khớch, ng viờn tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v lm lun Mc dự cú nhiu c gng nhng lun khú trỏnh nhng thiu sút v hn ch Tỏc gi mong nhn c nhng ý kin úng gúp quý bỏu ca cỏc thy cụ v bn c lun c hon thin hn Thỏi Nguyờn, 2015 H Th Thu Huyn Hc viờn Cao hc Toỏn K7D, Trng H Khoa hc - H Thỏi Nguyờn M u Lý chn ti Bi toỏn chia ko ca Euler [1]: Cú n chic ko ging chia cho m em Hi cú bao nhiờu cỏch chia ko? Hay chớnh l bi toỏn sau õy: Bi toỏn A (Bi toỏn Euler [1]): Tỡm s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xm = n, m, n N S tng t ca Bi toỏn Euler ó c cp [4] ú, Dong - IL Kim ó xột phng trỡnh Waring sau: f1k (z) + ã ã ã + fnk (z) = z, (1) ú f1 (z), , fn (z) l cỏc a thc vi h s phc, k l s nguyờn dng Trong [2], Nguyn Hoi Nam ó xột phng trỡnh sau õy i vi a thc trờn trng úng i s c s khụng: f1k (z) + ã ã ã + fnk (z) = Mt khỏc, s tng t gia a thc v s nguyờn cho ta ng dng ca cỏc kiu phng trỡnh trờn toỏn hc ph thụng (xem [2]) Theo hng nghiờn cu ny, chỳng tụi xem xột : Phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc trờn trng úng i s c s khụng v ng dng C th, chỳng tụi xột hai phng trỡnh sau: f1k (z) + ã ã ã + fnk (z) = p(z), (2) f1k1 (z) + ã ã ã + fnkn (z) p(z), (3) ú f1 (z), , fn (z), p(z) l cỏc a thc trờn trng úng i s c s khụng, k, k1 , , kn l cỏc s nguyờn dng no ú Mc ớch, nhim v v phng phỏp nghiờn cu Tng hp v trỡnh by cỏc kt qu [4] v tng t ca nú v cỏc phng trỡnh (1), (2) v (3) Chỳ ý rng cụng c chỳng tụi dựng õy cú khỏc so vi Dong-Il.Kim v Nguyn Hoi Nam Trong [4], Dong-Il.Kim dựng cụng thc Nh Thc Newton v bt ng thc gia bc v s khụng im Trong [2], Nguyn Hoi Nam dựng cỏc nh lý chớnh i vi ng cong hu t õy chỳng tụi dựng nh lý Mason suy rng [3, nh lý 2.1.2 ] ng dng cỏc kt qu v phng trỡnh (2) v (3) toỏn hc ph thụng ý rng C l trng úng i s c s khụng Do ú cỏc kt qu xột i vi K l trng úng i s c s khụng ỳng thay K bng C Ngoi ra, chỳng tụi cng xột tng t ca Dong-Il.Kim v m rng ca nú cho Bi toỏn chia ko ca Euler v phng trỡnh nghim nguyờn Ni dung nghiờn cu Lun tng hp, trỡnh by cỏc kt qu v phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc trờn trng úng i s c s khụng v ng dng ca nú Cỏc kt qu ny ó c cp [4] v tng t ca nú, trng hp c bit ó c cp [2] Cỏc vớ d ng dng ó c cp [1] C th: - Trỡnh by cỏc nh lý 1.1.7, 1.1.9, 1.2.1, 1.2.3, 2.1.7, 2.1.8 nh lý 1.1.9 l kt qu ca Dong - Il Kim [4, nh lý 2.1.2] nh lý 1.2.1, 1.2.3 l trng hp riờng ca nh lý 3.2.1 [4] - Trỡnh by vớ d v Bi toỏn chia ko ca Euler - Trỡnh by vớ d v ng dng ca Dong - Il Kim [4] i vi phng trỡnh nghim nguyờn Cu trỳc lun Lun c chia thnh hai chng vi ni dung chớnh nh sau: Chng trỡnh by phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc tuyn tớnh v a thc Laurent trờn trng úng i s c s khụng C th: trỡnh by cỏc nh lý 1.1.7, 1.1.9, 1.2.1, 1.2.3 nh lý 1.1.9 l kt qu ca Dong Il Kim ([4] nh lý 2.1.2) nh lý 1.2.1, 1.2.2 l trng hp riờng ca nh lý 3.2.1 [4] Chng trỡnh by phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc trờn trng úng i s c s khụng v ng dng toỏn hc ph thụng Cỏc nh lý 2.1.7, 2.1.8 l tng t ca nh lý 2.1.2, nh lý 3.2.1 [4] cho phng trỡnh P (f ) = Q(g), ú P, Q l a thc, f, g l hm hu t trờn trng úng i s c s khụng V phn ng dng toỏn hc ph thụng, chng ny trỡnh by vớ d v Bi toỏn Euler, vớ d v ng dng nghiờn cu ca Dong - Il.Kim [4] i vi phng trỡnh nghim nguyờn Thỏi Nguyờn, ngy 20 thỏng 11 nm 2015 H Th Thu Huyn Email: hothuhuyen75@gmail.com Chng Phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc tuyn tớnh v a thc Laurent trờn trng úng i s c s khụng Dong - IL Kim [4] ó phỏt biu v chng minh nh lý sau nh lý B ([4], nh lý 2.1.2) Gi s k 2, n Cho f1 , , fn l cỏc a thc tuyn tớnh khỏc hng tha f1k (z) + ã ã ã + fnk (z) = z (1) Gi s rng p l s n nh nht tha (2) Khi ú p = k T nh lý B chng ny chỳng tụi xột phng trỡnh (1) v phng trỡnh sau i vi a thc Laurent: 1.1 f1k (z) + f2k (z) = a (1.1) f1k (z) + f2k (z) = z (1.2) Phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc tuyn tớnh Trc tiờn chỳng ta nhc li cỏc kt qu ca nhn giỏ tr i vi cỏc hm hu t trờn trng úng i s c s khụng nh ngha 1.1.1 Mt trng K c gi l úng i s nu mi a thc mt n cú bc khỏc khụng vi h s K, cú nghim K Vớ d 1.1.1 Trng hu t Q khụng l trng úng i s vỡ a thc P (x) = x10 + khụng cú nghim Q mc dự cỏc h s ca a thc ny u thuc Q Trng s thc R khụng l trng úng i s vỡ a thc P (x) = 3x2 +1 khụng cú nghim R mc dự cỏc h s ca a thc ny u thuc R nh ngha 1.1.2 Cho K l mt trng 1) S t nhiờn n nh nht khỏc khụng cho n.1 = thỡ s n c gi l c s khụng ca trng K Kớ hiu char(K) 2) Vi mi s t nhiờn n = m n.1 = thỡ ú ta núi trng K cú c s l Vớ d 1.1.2 Trng s thc R cú c s Trng Z13 cú c s 13 vỡ 13 v 13 l s nguyờn dng nh nht tha iu kin ny Kớ hiu K l trng úng i s, c s khụng Gi f l a thc khỏc hng cú bc n trờn K v a l khụng im ca f Khi ú f = (z a)m p(z), vi p(a) = v m l bi ca khụng im a ca f t à0 f (a) = m Kớ hiu n(f ) l s cỏc khụng im ca f k c bi, d K v l l s nguyờn dng Ta nh ngha n(f, d) = n(f d), q nl (f ) = min{mi , l} ú f = a(f z1 )m1 (f zq )mq , i=1 nl (f, d) = nl (f d), n0 (f ) = q, n0 (f, d) = n0 (f d) 45 Ta cú deg F1 = d deg f1 , deg F2 = d deg f2 , n1 (F1 ) = n1 (f1 ), n1 (F2 ) = n1 (f2 ), n1 (p) k T õy v (2.30) ta nhn c d max{deg f1 , deg f2 } n1 (f1 ) + n1 (f2 ) + k max{deg f1 , deg f2 } + k 1, d k 1, d k + Mõu thun vi gi thit Bõy gi xột F1 , F2 ph thuc tuyn tớnh: F2 = cF1 Thay vo (2.30) ta cú (2.31) (1 + c)a1 f1d + p = Do deg p = k nờn + c = Khi ú deg(1 + c)a1 f1d d > k T õy ta suy fi , p khụng tha (2.26) Gi s (2.26) xy t Fi = fid , i = 1, , N + Khi ú (2.32) F1 + ã ã ã + FN +1 = p Gi s F1 , , FN +1 c lp tuyn tớnh p dng B 2.1.1 cho (2.32) ta cú N +1 max {deg Fi } 1iN +1 nN (Fi ) + nN (p) i=1 N (N 1) Ta cú deg Fi = deg fid = d deg fi , nN (Fi ) = nN (fid ) = N n1 (fi ), (2.33) i = bc, N + 1, nN (p) k T õy v (2.33) ta cú d max deg1iN +1 fi N (N + 1) max deg1iN +1 fi + k 1, d N (N + 1) k Mõu thun vi gi thit d > N (N + 1) + k Vy F1 , , FN +1 ph thuc tuyn tớnh Khi ú ta cú h thc bi1 Fi1 + ã ã ã + bij Fij = 46 p dng trng hp ta a phng trỡnh (2.32) v phng trỡnh ci1 Fi1 + ã ã ã + cit Fit = p, t < N + (2.34) Theo gi thit quy np thỡ (2.34) khụng xy Trong trng hp F1 , , FN +1 ph thuc tuyn tớnh thỡ lý lun tng t nh trờn Vy (2.26) khụng xy deg p = k 2.2 ng dng phng trỡnh Euler - Waring toỏn hc ph thụng Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by ng dng ca phng trỡnh f1k (z) + ã ã ã + fnk (z) = p(z), (2) toỏn hc ph thụng theo hai cỏch: Mt l ng dng ca (2) cho a thc v hm hu t trờn C Hai l ng dng ca (2) cho phng trỡnh nghim nguyờn Chỳ ý rng phng trỡnh (2) cú cỏc trng hp riờng l phng trỡnh c xột bi Dong-Il.Kim v Nguyn Hoi Nam Ta nhc li bi toỏn chia ko ca Euler [1]: Cú m chic ko ging cho n em Hi cú bao nhiờu cỏch chia ko? Hay chớnh l bi toỏn sau õy Bi toỏn A (Bi toỏn Euler [1]) Tỡm s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xn = m T ú xột n cỏc ng dng ca phng trỡnh (1) Trc tiờn ta xột ng dng ca (2) i vi k = qua cỏc vớ d sau 47 Vớ d 2.2.1 Gii phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xn = m, (2.35) trờn hp cỏc a thc trờn R, ú m R Gii Ly xi = Pi (z) R[z], i = 1, , n Khi ú xn = (P1 (z) + ã ã ã + Pn1 (z)) Vớ d 2.2.2 Tỡm s nghim khụng õm ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xn = m (n, m N ) Gii Vi mi b x1 , x2 , , xn tha x1 + x2 + ã ã ã + xn = m tng ng 1-1 vi b 11 11 11 gm m s v n s cú x1 x2 xn mt b s chỳng ta cn chn n v trớ m + n v trớ t ch s n1 v cũn li t ch s Suy s cỏch chia ko l d = Cm+n1 Vớ d 2.2.3 Tỡm s nghim nguyờn dng ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xn = m (n, m N ) Gii t yi = xi 1, (i = 1, n) Ta cú y1 + y2 + ã ã ã + yn = x1 + x2 + ã ã ã + xn n = m n Nu m < n phng trỡnh vụ nghim Nu m n quay tr li bi toỏn ban u, s nghim ca phng trỡnh trờn n1 chớnh l s nghim ca phng trỡnh d = Cm1 Vớ d 2.2.4 Cho n s t nhiờn a1 , a2 , , an Tỡm s nghim nguyờn dng ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xn = m, tha xi vi mi i = 1, , n 48 Gii t yi = xi (i = 1, n) v S = a1 + a2 + ã ã ã + an nờn y1 + y2 + ã ã ã + yn = x1 + x2 + ã ã ã + xn (a1 + a2 + ã ã ã + an ) = m S Nu m < S phng trỡnh vụ nghim Nu m = S phng trỡnh cú mt nghim n1 Nu m > S phng trỡnh cú Cm+nS1 nghim Vớ d 2.2.5 Tỡm s nghim nguyờn khụng õm ca a) phng trỡnh x1 + x2 + x3 + x4 = 20, vi xi 0, i = 1, 2, 3, b) phng trỡnh x1 + x2 + x3 + x4 = 20, vi x1 6, x2 3, x3 9, x4 c) bt phng trỡnh x1 + x2 + x3 11, vi xi 0, i = 1, 2, d) phng trỡnh x1 + x2 + x3 + x4 = 20, vi x1 3, x2 2, x3 > Gii 1) Ta nhn thy mi nghim ca phng trỡnh ng vi mt cỏch chn 20 phn t t mt cú loi, cho x1 phn t loi 1, x2 phn t loi 2, x3 phn t loi 3, x4 phn t loi c chn Vy s nghim bng s t hp lp chp 20 t cú phn t l n1 41 Cn+k1 = C4+201 = C23 = 23! 3!.(23 3)! = 1771 b) Vỡ x1 6, x2 3, x3 9, x4 nờn x1 0, x2 0, x3 0, x4 + t a = x1 6, b = x2 3, c = x3 9, d = x4 + 2, suy x1 = a + 6, x2 = b + 3, x3 = c + 9, x4 = d Ta cú x1 + x2 + x3 + x4 = 20 a + + b + + c + + d = 20 a + b + c + d = (a 0, b 0, c 0, d 0) 49 Vy cú 8! = 56 nghim 3!.(8 3)! c) Thờm n ph x4 vi iu kin x4 Bt phng trỡnh ó cho tng n1 Cn+k1 = 41 C4+51 = C83 = ng vi x1 + x2 + x3 + x4 = 11 vi xi 0, i = 1, 2, 3, n1 41 Cn+k1 = C4+111 = C14 = 14! 3!.(14 3)! = 264 d) Vỡ cỏc bin nhn giỏ tr nguyờn nờn iu kin x1 3, x2 2, x3 > c vit li l x1 3, x2 2, x3 (2.36) x2 2, x3 (2.37) x1 4, x2 2, x3 (2.38) Xột cỏc iu kin sau Ta gi p, q, r ln lt l cỏc nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh tha (2.36), (2.37), (2.38) Ta cú p = q r Trc ht, ta tỡm q nh sau: t x1 = x1 , x2 = x2 2, x3 = x3 5, x4 = x4 Khi ú phng trỡnh x1 + x2 + x3 + x4 = 20 tr thnh (2.39) x1 + x2 + x3 + x4 = 13 S nghim nguyờn khụng õm ca (2.39) chớnh bng s nghim ca phng trỡnh ban u tha (2.37) M s nghim ca (2.39) l n1 41 Cn+k1 = C4+131 = C14 = 14! 3!.(14 3)! = 264 Ta tỡm r nh sau: t x1 = x1 4, x2 = x2 2, x3 = x3 5, x4 = x4 Khi ú phng trỡnh x1 + x2 + x3 + x4 = 20 tr thnh x1 + x2 + x3 + x4 = (2.40) 50 S nghim nguyờn khụng õm ca (2.40) chớnh bng s nghim ca phng trỡnh ban u tha (2.38) M s nghim ca (2.40) l n1 Cn+k1 = 41 C4+91 = C12 12! = 3!.(12 3)! = 220 Suy p = q r = 560 220 = 340 Vy s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh ó cho v tha iu kin (2.36) l 340 Vớ d 2.2.6 Cho phng trỡnh x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21 a) Tỡm s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh b) Phng trỡnh cú bao nhiờu nghim nguyờn khụng õm tha x1 > 2, x5 < Gii a) Ta thy rng mi nghim ca phng trỡnh ng vi mt cỏch chn 21 phn t t cú loi, cho cú x1 phn t loi 1, cú x2 phn t loi 2, cú x3 phn t loi 3, cú x4 phn t loi 4, cú x5 phn t loi c chn Vy s nghim khụng õm ca phng trỡnh chớnh bng t hp lp chp 21 phn t t cú phn t l n1 51 Cn+k1 = C5+211 = C25 = 25! 4!.(25 4)! = 12650 b) Vỡ cỏc nghim l nguyờn khụng õm nờn iu kin x1 > 2, x5 < c vit li nh sau: x1 3, x5 (2.41) x1 3, (2.42) x1 3, x5 (2.43) Ta xột cỏc iu kin sau: Gi p, q v r ln lt l s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh ó cho tha cỏc iu kin (2.41), (2.42), (2.43) Vy ta cú p = q r 51 Tớnh q: Tỡm s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh ban u tha iu kin (2.41): x1 3, x2 0, x3 0, x4 0, x5 Ta cú x1 3, suy x1 0, t a = x1 suy x1 = a + v t b = x2 , c = x3 , d = x4 , e = x5 Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh a + + b + c + d + e = 21 a + b + c + d + e = 18, a 0, b 0, c 0, d 0, e S nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh ny chớnh bng s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh ban u tha iu kin x1 Suy n1 51 q = Cn+k1 = C5+181 = C22 = 22! 4!.(22 4)! = 7315 Tớnh r: Tỡm s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh ban u tha iu kin (2.43): x1 3, x2 0, x3 0, x4 0, x5 Ta cú x1 3, suy x1 0, t a = x1 suy x1 = a + Ta cú x5 4, suy x5 0, t e = x5 suy x5 = e + t b = x2 , c = x3 , d = x4 Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh a + + b + c + d + e + = 21 a + b + c + d + e = 14, a 0, b 0, c 0, d 0, e S nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh ny chớnh bng s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh ban u tha iu kin x1 3, x5 Suy n1 51 r = Cn+k1 = C5+141 = C18 = 18! 4!.(18 4)! = 3060 Vy p = q r = 7315 3060 = 4255 Vớ d 2.2.7 Ngi ta chia 10 viờn ko (hon ton ging nhau) cho em 52 a) Hi cú bao nhiờu cỏch chia ko b) Cú bao nhiờu cỏch chia ko cho em no cng cú ớt nht mt viờn Gii a) Gi x1 , x2 , x3 ln lt l s ko c chia cho mi em Ta cú x1 + x2 + x3 = 10 vi x1 0, x2 0, x3 Ta thy rng mi nghim ca phng trỡnh ng vi mt cỏch nhn 10 phn t t cú loi, cho cú x1 phn t loi 1, cú x2 phn t loi 2, cú x3 phn t loi c chn Vy s nghim nguyờn dng ca phng trỡnh chớnh bng t hp lp chp 10 phn t t cú phn t n1 31 Cn+k1 = C3+101 = C12 = 12! 2!.(12 2)! = 66 Vy cú 66 cỏch chia 10 viờn ko cho em b) Gi x1 , x2 , x3 ln lt l s ko c chia cho mi em Vỡ mi em phi cú ớt nht cỏi ko nờn ta cú x1 + x2 + x3 = 10 vi x1 1, x2 1, x3 t x1 = x1 0, x2 = x2 0, x3 = x3 0, suy x1 = x1 + 1, x2 = x2 + 1, x3 = x3 + Khi ú ta cú x1 + x2 + x3 = 7, x1 0, x2 0, x3 S nghim nguyờn dng ca phng trỡnh ny bng s nghim nguyờn dng ca phng trỡnh ó cho tha iu kin bi v bng n1 31 Cn+k1 = C3+71 = C92 = 9! 2!.(9 2)! = 36 Vy cú 36 cỏch chia 10 viờn ko cho em m mi em cú ớt nht mt viờn Tip theo ta xột tng t ca phng trỡnh (1) i vi phng trỡnh nghim nguyờn nh lớ 2.2.1 (nh lý v s tn ti nghim nghim nguyờn) Phng trỡnh ax + by = c, a = 0, b = 0; a, b, c Z (2.44) 53 cú nghim nguyờn v ch (a, b) | c Chng minh Gi s (x0 , y0 ) l nghim ca phng trỡnh (2.44), ú ax0 + by0 = c Nu d = (a, b) thỡ d | ax0 + by0 = c Ngc li, gi s d = (a, b) | c thỡ c = dc1 v ta cú hai s nguyờn x1 , y1 cho d = ax1 + by1 , suy dc1 = a(a1 c1 )+b | y1 c1 = c Vy phng trỡnh (2.44) cú nghim nguyờn Cỏch tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh ax + by = c Gi s d = (a, b) | c, chia hai v ca phng trỡnh trờn cho d ta c b a d x+ d c y= d vi a b , d d = tỡm nghim nguyờn ca (2.44) ta cú th gi s (a, b) = nh lớ 2.2.2 Nu (x0 , y0 ) l mt nghim nguyờn ca phng trỡnh ax+by = c vi (a, b) = thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim nguyờn v nghim tng quỏt cho bi cụng thc x = x + bt y = y0 at vi t Z, (x0 , y0 ) gi l nghim nguyờn ca phng trỡnh (2.44) Chng minh Mi cp s (x0 + bt, y0 = at) vi t Z u l nghim nguyờn ca (2.44) Tht vy, ta cú a(x0 + bt) + b(y0 at) = ax0 + by0 = c Mi nghim (x1 , y1 ) ca (2.44) u cú dng x1 = x0 + bt, y1 = y0 at Tht vy t hai ng thc ax0 + by0 = c v ax1 + by1 = c suy a(x1 x0 ) + b(y1 y0 ) = 0, suy x1 x0 b (vỡ (a, b) = 1), suy x1 x0 = bt, suy x1 = x0 + bt 54 Khi ú abt + b(y1 y0 ) = 0, suy y1 = y0 at Vy nghim nguyờn tng quỏt ca (2.44) cú dng x = x0 + bt, y = y0 at hay x = x0 bt, y = y0 + at Vớ d 2.2.8 Tỡm nghim nguyờn ca cỏc phng trỡnh sau: a) x 3y = 5, b) 2x 5y = 10, c) 11x 20y = 49 Gii a) Cỏch 1: t y = t ta cú x = + 3t Vy nghim nguyờn tng quỏt ca phng trỡnh ó cho l x = + 3t , y=t t Z Cỏch 2: Ta cú x = 5, y = l mt nghim riờng ca phng trỡnh nờn nghim nguyờn tng quỏt ca phng trỡnh ó cho l x = + 3t , t Z y =6+t b) Cỏch 1: Ta cú 2x 5y = 10, suy x = Vỡ 5y + 10 y , suy x = 2y + + y Z nờn t y = 2t, t Z Khi ú x = 5t + Vy nghim nguyờn tng quỏt ca phng trỡnh ó cho l x = + 5t , t Z y = + 2t c) Cỏch 1: Ta cú 11x20y = 49, suy x = 2y 11 2y 20y + 49 11 = 2y+4+ 11 t = t Z, suy t = 12m, suy y = 25(12m)+m = 11m3 55 Khi ú x = + 2(11m 3) + 2(11m 3) = 20m Vy nghim 11 nguyờn tng quỏt ca phng trỡnh ó cho l x = 20m , m Z y = 11m Cỏch 2: Ta cú (1, 3) l nghim riờng ca phng trỡnh nờn nghim nguyờn tng quỏt ca phng trỡnh ó cho l x = 20m , y = 11m m Z Vớ d 2.2.9 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh x2 = 2y Gii Rừ rng x = y = l mt nghim ca phng trỡnh Nu (x0 , y0 ), x y0 x0 , y0 = l nghim ca phng trỡnh v gi d = (x0 , y0 ) thỡ , d d v x20 = 2y02 , suy hay y0 d (0, 0) x0 d =2 y0 d , suy x0 d chn, suy y0 d =1 .4 chn Vụ lý Vy phng trỡnh ch cú mt nghim nguyờn nht l Vớ d 2.2.10 Gii phng trỡnh nghim nguyờn 7x2 + 13y = 1820 Gii Ta cú 1820 = 7.13.20 T 7x2 + 13y = 1820, suy x 13 v y t x = 13u, y = 7v (u, v Z) Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh 13u2 + 7v = 20 20 20 Vỡ u, v Z nờn |u| v |v| Th li, 13 ch cú |u| = |v| = l tha Vy phng trỡnh cú nghim (u, v) l Suy u2 v v (1, 1); (1, 1); (1, 1); (1, 1) T ú phng trỡnh ó cho cú nghim nguyờn (x, y) l (13, 7); (13, 7); (13, 7); (13, 7) 56 Vớ d 2.2.11 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105 Gii Vỡ 105 l s l nờn 2x + 5y + l, suy y chn M x2 + x = x(x + 1) chn nờn 2|x| l, suy x = Khi thnh (5y+1)(y+1) = ú phng trỡnh tr 5y + = 21 5y + = 21 , suy hoc 21.5 Do (5y + 1, 5) = nờn y + = y+1=5 y = Th li x = 0, y = l nghim nguyờn ca phng trỡnh Vớ d 2.2.12 Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh x + y + z = xyz Gii Vỡ x, y, z cú vai trũ nh nờn ta gi s x y z Phng trỡnh tr thnh = 1 , suy x2 3, suy x = Vi x = y1=1 ta cú + y + z = yz , suy (y 1)(z 1) = 2, suy hay z1=2 y=2 Vy phng trỡnh cú nghim nguyờn dng (x, y, z) l (1, 2, 3) v z=3 xy + yz + zx x2 cỏc hoỏn v ca nú Vớ d 2.2.13 Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh x6 + 3x3 + = y Gii Rừ rng x = 0, y = l nghim nguyờn ca phng trỡnh Vớ d 2.2.14 Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh x2 + y + z + t2 = 2xyzt 57 Gii Gi s (x0 , y0 , z0 , t0 ) l nghim nguyờn ca phng trỡnh Khi ú phng trỡnh tr thnh x20 + y02 + z02 + t20 = 2x0 y0 z0 t0 l s chn nờn cỏc s x0 , y0 , z0 , t0 phi cú chn cỏc s l (0, hoc 4) i) Nu x0 , y0 , z0 , t0 u l thỡ x2 +y +z +t2 4, ú 2x0 y0 z0 t0 0 0 ii) Nu cỏc s x0 , y0 , z0 , t0 l cỏc s chn thỡ t x0 = 2x1 , y0 = 2y1 , z0 = 2z1 , t0 = 2t1 Khi ú phng trỡnh tr thnh x21 + y12 + z12 + t21 = 8x1 y1 z1 t1 Lớ lun tng t, ta cú x22 + y22 + z22 + t22 = 32x2 y2 z2 t2 , vi x2 = y0 x1 z0 , y2 = y1 , z2 = z1 , t2 = t1 Tip tc ta cú xn = x0 2n , yn = t0 l s nguyờn vi mi n Suy x0 = y0 = z0 = t0 = 2 2n Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht (0, 0, 0, 0) , zn = n , tn = n Chỳ ý rng, cỏc kt qu chng ỳng vi a thc trờn trng úng i s c s khụng trờn K Vỡ C l trng úng i s c s khụng nờn cỏc kt qu chng s ỳng i vi a thc trờn C Ta minh bi nh lý 2.1.9 ca chng nh lớ 2.2.3 (Trng hp c bit ca nh lý 2.1.9 ) Cho n, m l cỏc s nguyờn dng, n 2m+3, , bi (i = 1, 2), c l cỏc s phc khỏc khụng Gi s tn ti hai hm hu t khỏc hng trờn C tha f n + a1 f nm + b1 = c(g n + a2 g nm + b2 ) Khi ú b1 = cb2 , f = hg, hn = c v hn = a1 a2 58 Kt lun Lun tng hp, trỡnh by cỏc kt qu v phng trỡnh Euler - Waring i vi a thc trờn trng úng i s c s khụng v ng dng ca nú Cỏc kt quỏ ny ó c cp [4] v trng hp c bit ó c cp [2] Cỏc vớ d ng dng ó c cp [1] C th - Trỡnh by cỏc nh lý 1.1.7, 1.1.9, 1.2.1, 1.2.3, 2.1.7, 2.1.8 nh lý 1.1.9 l kt qu ca Dong - Il Kim [4, nh lý 2.1.2] nh lý 1.2.1, 1.2.3 l trng hp riờng ca nh lý 3.2.1 [4] - Trỡnh by vớ d v Bi toỏn chia ko ca Euler - Trỡnh by vớ d v ng dng ca Dong - Il Kim [4] i vi phng trỡnh nghim nguyờn 59 Ti liu tham kho Ting Vit [1] Nguyn Th Ngc nh, Xung quanh bi toỏn chia ko ca Euler, Toỏn hc & Tui tr, s 424, thỏng 10 nm 2012 [2] Nguyn Hoi Nam, Phng trỡnh Borel i vi a thc trờn trng úng i s c s khụng v ng dng, Lun thc s toỏn hc, Trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn, 2014 [3] Ngụ Trng Thit, nh lý Mason suy rng i vi a thc trờn trng úng i s, c s khụng v ng dng, Lun thc s toỏn hc, Trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn, 2014 Ting Anh [4] Kim D L (2005), "Warings problem for linear polynomails and Laurent polynomails", Rocky Mountain journal of Mathematics Volume 35, Number 5, 21 Pages ... minh cho cỏc khỏi nim trờn i vi hm hu t Vớ d 1.1.6 Cho a thc f (x) = x3 3x2 + 3x K[x], k = Tớnh n(f, 0) Gii f (x) = x(x2 3x + 3) cú nghim phõn bit x1 , x2 , x3 K Vy n(f, 0) = 7 Vớ d 1.1.7 Cho. .. 3x2 +1 khụng cú nghim R mc dự cỏc h s ca a thc ny u thuc R nh ngha 1.1.2 Cho K l mt trng 1) S t nhiờn n nh nht khỏc khụng cho n.1 = thỡ s n c gi l c s khụng ca trng K Kớ hiu char(K) 2) Vi mi s... n5 (f, 1) = n5 (f3 , 0) = nh ngha 1.1.3 Cho Vn+1 l mt khụng gian vector trờn trng K(n 0) Khi ú ta kớ hiu V n+1 l hp tt c cỏc khụng gian mt chiu ca Vn+1 Cho mt X v mt khụng gian vector n + chiu