Xấp xỉ hàm theo dung lượng của hàm chỉnh hình bởi các hàm hữ tỉ

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CƠNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CƠNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ Chun nghành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN QUANG DIỆU THÁI NGUN - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i Lời cảm ơn Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo của Giáo sư Nguyễn Quang Diệu, Đại học sư phạm Hà Nội. Em xin được bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn - Đại học sư phạm, Đại học Thái Ngun đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt q trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học tốn K19 đã ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi trong suốt thời gian học tập và q trình làm Luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ cùng tồn thể bạn đọc. Thái Ngun, tháng 8 năm 2013 Tác giả Đinh Cơng Sơn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các số liệu trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố ở bất kỳ cơng trình nào khác. Tác giả luận văn Đinh Cơng Sơn Xác nhận của cán bộ hướng dẫn Xác nhận của trưởng khoa chun mơn GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Khái niệm dung lượng tương đối . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Các tính chất của dung lượng tương đối. . . . . . . . 20 1.3 Khái niệm hội tụ theo dung lượng . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Hội tụ nhanh theo dung lượng của dãy hàm hữu tỷ 27 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mở đầu Ký hiệu  là tập hợp các hàm giải tích f xác định trên một lân cận của 0 ∈ C n sao cho tồn tại dãy các hàm hữu tỷ {r n } ,deg r n  n sao cho:|f − r n | 1 n → 0 trên một lân cận U của 0 ∈ C n . Một ví dụ về tập  là các hàm phân hình f = g h , g và h là các hàm ngun. Trong trường hợp này ta có thể chọn: r n = T n (g) T n (h) ở đây T n (g), T n (h) là các đa thức Taylor bậc n của g và h. Một kết quả quan trọng của Goncar[G3] nói rằng nếu f ∈  thì tồn tại W f của f là đơn trị và dãy {r n } sẽ hội tụ nhanh về f theo độ đo trên W f . Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một kết quả của Bloom nói rằng khẳng định trên của Goncar vẫn còn đúng nếu dãy {r n } chỉ hội tụ nhanh theo dung lượng trên một tập con khơng đa cực. Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trước hết trong mục 1.1 trình bày khái qt về hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới. Trong các mục tiếp theo giới thiệu dung lượng tương đối C(K, D), hội tụ theo dung lượng. Chương 2: Chứng minh rằng khẳng định của Goncar vẫn còn đúng nếu dãy chỉ hội tụ nhanh theo dung lượng trên một tập con khơng đa cực. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm đa điều hòa dưới 1.1.1 Hàm điều hòa dưới Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là khơng gian tơpơ. Hàm u: X → [−∞; +∞) gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi α ∈ R tập X α = {x ∈ X : u(x) < α} là mở trong X. Hàm v: X → (−∞; +∞] gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu -v là nửa liên tục trên trên X. Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X → [−∞; +∞). Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu ∀ε > 0 tồn tại lân cận U x 0 của x 0 trong X sao cho ∀x ∈ U x 0 ta có: u(x) < u(x 0 ) + ε, nếu u(x 0 ) = −∞, u(x) < − 1 ε , nếu u(x 0 ) = −∞. Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u nửa liên tục trên tại mọi x 0 ∈ X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3 Mặt khác nếu ta định nghĩa: giả sử E ⊂ X và u: E → [−∞; +∞) là hàm trên E. Giả sử x 0 ∈ E. Ta định nghĩa: (1.1) lim x→x 0 sup x∈E u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }}, ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x 0 . Khi đó có thể thấy rằng hàm u: X → [ − ∞; +∞) là nửa liên tục trên tại x 0 ∈ X nếu lim x→x 0 sup u(x)  u(x 0 ). Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u: Ω → [ − ∞; +∞) gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại τ > 0 sao cho với mọi 0  r < τ ta có: u(ω)  1 2π 2π  0 u(ω + re it )dt Chú ý: Với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất −∞ trên Ω được xem là hàm điều hòa dưới trên Ω. Ta kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH(Ω). Sau đây là các ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới. Bổ đề 1.1.3. Nếu f: Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f| là hàm điều hòa dưới trên Ω. Chứng minh: Trường hợp f ≡ 0 trên Ω thì kết quả là rõ ràng. Giả sử f = 0 trên Ω. Giả sử ω ∈ Ω, nếu f(ω) = 0 thì chọn τ > 0 sao cho f = 0 trên B(ω, τ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ} . Khi đó log |f| là hàm điều hòa trên B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ} nên (1.1) được thỏa mãn với dấu đẳng thức. Trường hợp f(ω) = 0, khi đó log |f(ω)| = −∞ và do đó (1.1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 ln đúng. Bổ đề 1.1.4. Giả sử u,v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω trong C. Khi đó: (i) max(u,v) là hàm điều hòa dưới trên Ω. (ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón, nghĩa là nếu u, v ∈ SH(Ω); α, β > 0 thì αu + βv ∈ SH(Ω). Định lý 1.1.5. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn Ω trên C. Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại tồn thể tại một điểm trên Ω thì u là hằng số trên Ω. (ii) Nếu lim z→ς sup u(z)  0 đối với mọi ς ∈ ∂Ω thì u  0 trên Ω Chứng minh (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M tại điểm z 0 ∈ Ω. Đặt A = {z ∈ Ω : u(z) < M} ; B = {z ∈ Ω : u(z) = M}. Khi đó A là tập mở vì u là hàm nửa liên tục trên. Từ bất đẳng thức dưới trung bình ta thấy B cũng là tập mở. Ta có Ω = A ∪ B, A ∩ B = φ. Do đó hoặc A = Ω và B = Ω. Nhưng theo giả thiết B = φ nên B = Ω và (i) được chứng minh. (ii) Mở rộng u lên Ω nhờ đặt u(ς) = lim z→ς sup u(z), (ς ∈ ∂Ω). Do Ω là tập compact nên u đạt cực đại tại ω ∈ Ω. Nếu ω ∈ ∂Ω thì do giả thiết u(ω)  0. Do đó u  0 trên Ω. Trường hợp ω ∈ Ω thì theo (i) u là hằng số trên Ω. Do đó nó là hằng số trên Ω, vậy thì u  0 trên Ω. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 5 Sau đây là tiêu chuẩn nhận biết khi nào một hàm nửa liên tục trên là hàm điều hòa dưới. Định lý 1.1.6. Giả sử Ω là tập mở trong C. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) u là hàm điều hòa dưới trên Ω. (ii) Với mọi ω ∈ Ω, tồn tại τ > 0 sao cho ∆(ω, τ > 0) ⊂ Ω và với mọi 0  r < τ, 0  t < 2π ta có: u(ω + re it )  1 2π 2π  0 τ 2 − r 2 τ 2 − 2τr cos(θ − t) + r 2 u(ω + τ e iθ )dθ., ở đó ∆(ω, τ > 0) = { z ∈ Ω : |z − ω|  τ } là đĩa đóng tâm ω bán kính τ. (iii) Với mọi miền D compact tương đối trong Ω và h là hàm điều hòa trên D, liên tục trên D thỏa mãn: lim z→ς sup(u − h)(z)  0(ς ∈ ∂D) ta có u  h trên D. Hệ quả 1.1.7. Nếu u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω và nếu ∆(ω, τ) ⊂ Ω thì: u(ω)  1 2π 2π  0 u(ω + τ e iθ )dθ . Định lý 1.1.8. Giả sử u ∈ C 2 (Ω), khi đó u là hàm điều hòa dưới trên Ω khi và chỉ khi ∆u ≥ 0, ở đó ∆u = ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 là Laplace của u. Chứng minh. Giả sử ∆u  0 trên Ω. Lấy D là miền compact tương đối trong Ω và h điều hòa trên D, liên tục trên D sao cho: lim z→ς sup(u − h)(z)  0(ς ∈ ∂D) . Với ε > 0 xác định Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... bởi Trung tâm Học liệu = 0 http://lrc.tnu.edu.vn/ 26 Chương 2 Hội tụ nhanh theo dung lượng của dãy hàm hữu tỷ Trong mục này trước hết chúng ta sẽ đưa ra các đánh giá về xấp xỉ của hàm chỉnh hình bằng các hàm hữu tỷ Những đánh giá này sẽ chứng minh các định lý chính của luận văn Giả sử K là một tập compact, khơng đa cực của B(0, R) và u(z) := u∗ K,B(0,10R) (z) theo quy tắc là hàm cực trị tương đối của. .. tập siêu lồi mở bất kỳ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 25 1.3 Khái niệm hội tụ theo dung lượng Nếu {fn } là một dãy hàm đo được của tập Borel trên một tập mở Ω ⊂ CN Ta nói nó hội tụ theo dung lượng tới một hàm đo được Borel f trên Ω nếu fn hội tụ tới f theo dung lượng trên mọi tập con compact của Ω Từ (2.11) thấy rằng hội tụ theo dung lượng là hội tụ theo độ đo Như vậy, ta có: lim... tụ theo dung lượng, |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ (3.11) từ kết quả của Bổ đề 2.2 ta đánh giá dung lượng được xác lập bởi |qn (z)| là nhỏ, ngồi ra xem [C-D-L] Ta đặt, với 0 < α < 1 Wn (α) := z ∈ B(0, 2R)||qn (z)| < αn (3.12) với qn (z) là đa thức có bậc ≤ n và được chuẩn hóa bởi (3.4) Bổ đề tiếp theo sẽ thấy dung lượng của Wn (α) phụ thuộc vào n và qn chỉ phụ thuộc vào α và dung lượng của K Hơn nữa, dung. .. tụ theo độ đo khơng bao gồm hội tụ theo dung lượng Ví dụ, các tập hợp có độ đo Lebesgue 0 nhưng có dung lượng dương Một hàm hữu tỷ trên CN được định nghĩa là phép chia của những đa thức Chúng ta nói hàm hữu tỷ có bậc ≤ n và kí hiệu là rn (z) nếu nó biểu pn (z) thị dưới dạng rn (z) = qn (z) Với pn và qn là các đa thức có bậc ≤ n( ta giả thiết qn = 0) Giả sử f (z) giải tích trên một tập mở Ω ⊂ CN Theo. .. tục trên của VK (z) := M ax(0, sup log |p(z)| | p deg(p) 1 và p là đa thức chỉnh hình K có bậc ≥ 1 Bao lồi của K , kí hiệu K , được định nghĩa bởi ˆ K := {z ∈ CN |p(z) K} p (với p là đa thức chỉnh hình) Khi đó cho z nằm ngồi bao lồi đa thức của ∗ K , VK (z) > 0 nên VK (z) > 0, khi đó TR (K) < 1 Theo một kết quả của Siciak [Si, Chương 9], chúng ta có mối liên hệ giữa dung lượng TR (K) và độ lớn của đa... thấy nếu một hàm hữu tỷ là một xấp xỉ đồng nhất đến một hàm giải tích trên một tập có dung lượng dương trong một hình cầu, khi đó nó có mẫu khơng q nhỏ Đặc biệt, giả sử K là một tập con compact của B(0, R) với K khơng đa cực Giả sử f chỉnh hình trên một lân cận của B(0, 10R) và với M > 0 là một hằng số thỏa mãn |f (z)| ≤ M pn (z) với z ∈ B(0, 10R) Đặt rn (z) = là một hàm hữu tỷ có bậc ≤ n được qn (z)... + log α/ log T1+R (K) Theo kết quả của Bổ đề 3.3 sinh ra từ (3.16) và tính đơn điệu của Cap (3.19) Cap(Wn (α), B(z0 , 1)) ≤ (xem(2.9)) Bổ đề 2.4 Cho f giải tích trên một tập mở Ω ⊃ B(0, 10R) (với 4R < 1) và cho {rn }n=1,2,3, là một dãy các hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh đến f theo dung lượng trên một tập compact, khơng đa cực K ⊂ B(0, R) Khi đó {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng đến f trên B(0,... đề 3.3 của [A-T], theo (3.1) đúng với v ∈ P SH(Ω) thỏa mãn v < 0 và hằng số c được chọn độc lập với v Ta xét (3.1) cho các hàm uT (z) := u(T z) với T là một khơng gian unita của CN Khi đó (ddc uT )N = (ddc u)N Khi đó vế trái của (3.1) khơng đổi Ta có Cap(K, B(0, 10R)) ≤ −c u(T z0 ) với mọi khơng gian unita T Với 1 c = trong nội dung của Bổ đề 2.1(đpcm) c Bổ đề tiếp theo cho thấy nếu một hàm hữu tỷ... ước lượng: pd K (2.15) pd B(0,R) ≤ (TR (K))d Ngồi hai hàm có dung lượng trên, có thể so sánh với kết quả của Alexan- Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 20 der và Taylor [A-T](xem [Ko]) Giả sử K là một tập con của B(0, p) Đặt B := B(0, R) với p < R Khi đó có hằng số A(p) > 0 sao cho: 1 − ≤ TR (K) ≤ exp −2πCap(K, B) N   exp −A(p)Cap(K, B)−1 (2.16) 1.2.2 Các tính chất của dung lượng. .. ε,   (3.21) nhờ sử dụng đánh giá của Cap(Wn (α), B(0, 1+R)) của Bổ đề 2.3 và chú ý rằng: z ∈ B(0, 2R)||f (z) − rn (z)|1/n > b ⊂ Wn (α) Định lý 2.1 Giả sử f là giải tích trên một tập mở liên thơng Ω ⊂ CN Cho {rn } là một dãy hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh theo dung lượng đến f trên một tập compact khơng đa cực K ⊂ CN Khi đó {rn } hội tụ nhanh tới f theo dung lượng trên Ω Chứng minh Ta có thể . CƠNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu. THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CƠNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ Chun nghành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN. . 20 1.3 Khái niệm hội tụ theo dung lượng . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Hội tụ nhanh theo dung lượng của dãy hàm hữu tỷ 27 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mở