Tài liệu luận văn:bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm pot

Đồ án tốt nghiệp - 1 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48  ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Đề tài: “bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm.” Đồ án tốt nghiệp - 2 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 MỤC LỤC Trang Chương I Phương pháp bình phương tối thiểu lập công thức từ thực nghiệm: 1.1. Giới thiệu chung… ……………………………………………… 1 1.1.1. Đặt vấn đề………………………………………………… 1 1.1.2. Bài toán đặt ra………………………………………………2 1.2. Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm…………………………………………… 3 1.2.1. Sai số trung bình phương………………………………… 3 1.2.2. Định nghĩa………………………………………………….3 1.2.3. ý nghĩa của sai số trung bình phương…………………… 3 1.2.4. Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương…………………5 Chương II Các phương pháp xấp xỉ: 2.1 . Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng………… …7 2.1.1. Định nghĩa……………….…………………………………….7 2.1.2. Nội dung……………………………………………………….7 2.1.3. Sai số của phương pháp………………………………… 9 2.1.4. Mở rộng trên hệ trực giao để đơn giản hóa kết quả……….… 11 2.1.4.1. Định nghĩa…………………………………………… 11 2.1.4.2. Tiếp cận lời giải……………………………………… 11 Đồ án tốt nghiệp - 3 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 2.1.4.3. Sai số của phương pháp……………………………… 12 2.1.4.4. Chú ý ………………………………………………… 12 2.2. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số……………… 14 2.2.1. Đặt vấn đề…………………………………………………….14 2.2.2. Tiếp cận lời giải……………………………………… 14 2.2.3. Sai số trung bình…………………………………………… 14 2.2.4. Trường hợp các mốc cách đều……………………………… 15 2.3. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức trực giao………… 20 2.3.1. Định nghĩa hệ hàm trực giao……………………… ……… 20 2.3.2. Đặt vấn đề…………………………………………………….20 2.3.3. Nội dung của phương pháp………………………….……… 21 2.3.4. Sai số của phương pháp…………………………… ……… 30 2.4. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức lượng giác…………32 2.4.1. Định nghĩa đa thức lượng giác……………………………… 32 2.4.2. Thuật toán…………………………………………………… 32 Chương III Các ví dụ minh họa: 3.1. Đa thức đại số………………………………………………………… 39 3.1.1. Ví dụ 1……………………………………………………… 39 3.1.2. Ví dụ 2……………………………………………………… 40 3.2. Đa thức trực giao……………………………………………………… 43 3.2.1. Ví dụ 1……………………………………………………… 43 3.2.1. Ví dụ 2……………………………………………………… 48 3.3. Đa thức lượng giác…………………………………………………… 52 Chương IV Đồ án tốt nghiệp - 4 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 SƠ ĐỒ KHỐI BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH VIẾT BẰNG NGÔN NGỮ C: 4.1. Sơ đồ khối biểu diễn thuật toán…………………………………………54 4.1.1. Trường hợp dạng đa thức đại số………………………………. 54 4.1.2. Trường hợp dạng đa thức trực giao…………………………… 55 4.1.3. Trường hợp dạng đa thức lượng giác………………………… .56 4.2. Kết quả chạy chương trình…………………………………………… 57 4.2.1. Trường hợp đa thức đại số………………………………… …57 4.2.2. Trường hợp đa thức trực giao……………………………… 57 4.2.3. Trường hợp đa thức lượng giác……………………………… 58 Kết luận…………………………………………………………… ……59 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 60 Đồ án tốt nghiệp - 5 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 LỜI NÓI ĐẦU Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu trong cuộc sống con nguời. Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng. Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu. Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số dưới dạng phức tạp như dạng biểu thức hoặc một hàm số dưới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm người ta thường nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉ trung bình phương. Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán tin ứng dụng- Trường đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án. Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS LÊ TRỌNG VINH, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu trong suốt quá trình em làm đồ án tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Bùi Văn Bằng Đồ án tốt nghiệp - 6 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LẬP CÔNG THỨC TỪ THỰC NGHIỆM 1.1 Giới thiệu chung 1.1.1 Đặt vấn đề Có rất nhiều phương pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực nghiệm mà ta đã biết đến như phép nội suy để lập đa thức cấp n: ( ) x ϕ (đại số hoặc lượng giác) xấp xỉ hàm số ( ) y f x = mà ta đã biết các giá trị của hàm này là i y y = tại các điểm i x x = . Phương pháp nội suy nói trên khi sử dụng trong thực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là: 1. Trong các đa thức nội suy ( ) x ϕ ta đòi hỏi ) = i y . Tuy nhiên sự đòi hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế. Bởi vì các số i y là giá trị của hàm ( ) y f x = tại các điểm i x x = , trong thực tế chúng ta cho dưới dạng bảng và thường thu được từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán trong thực hành. Những số y này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị đúng ( ) i f x của hàm ( ) y f x = tại i x x = . Sai số mắc phải ( ) i i i y f x ε = − nói chung khác không. Nếu buộc ( ) i i x y ϕ = thì thực chất đã đem vào bài toán các sai số của các số liệu ban đầu nói trên (chứ không phải là làm cho giá trị của hàm nội suy và hàm ( ) f x trùng nhau tại các điểm i x x = ). 2. Để cho đa thức nội suy biểu diễn xấp xỉ hàm ( ) f x một cách sát thực đương nhiên cần tăng số mốc nội suy i x (nghĩa là làm giảm sai số của công thức nội suy). Nhưng điều này lại kéo theo cấp của đa thức nội suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu được khá cồng kềnh i x( ϕ i i ε )(x ϕ )(x ϕ Đồ án tốt nghiệp - 7 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 gây khó khăn cho việc thiết lập cũng như dựa vào đó để tính giá trị gần đúng hoặc khảo sát hàm ( ) f x . 1.1.2 Bài toán đặt ra Chính vì những lý trên nên phương pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát thực hơn thông qua hai bài toán: Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ). Giả sử đã biết giá trị i y ( 1,2, , ) = i n của hàm ( ) = y f x tại các điểm tương ứng i x x = . Tìm hàm ( ) m x φ xấp xỉ với hàm f(x) trong đó 0 ( ) ( ). φ ϕ = = ∑ m m i i i x a x (1 - 1) v ớ i là nh ữ ng hàm đ ã bi ế t, i a là nh ữ ng h ệ s ố h ằ ng s ố . Trong khi gi ả i quy ế t bài toán này c ầ n ch ọ n hàm sao cho quá trình tính toán đơ n gi ả n đồ ng th ờ i nh ư ng sai s ố có tính ch ấ t ng ẫ u nhiên (xu ấ t hi ệ n khi thu đượ c các s ố li ệ u i y ) c ầ n ph ả i đượ c ch ỉ nh lý trong quá trình tính toán. Trong bài toán tìm hàm x ấ p x ỉ trên vi ệ c ch ọ n d ạ ng c ủ a hàm x ấ p x ỉ là tùy thu ộ c ý ngh ĩ a th ự c ti ễ n c ủ a hàm f(x) . Bài toán 2 (tìm các tham s ố c ủ a m ộ t hàm có d ạ ng đ ã bi ế t). Gi ả s ử đ ã bi ế t d ạ ng t ổ ng quát c ủ a hàm 0 1 ( , , , , ) m Y f x a a a = (1 – 2) Trong đ ó: i a ( 1,2, , ) = i m là nh ữ ng h ằ ng s ố . Gi ả s ử qua th ự c nghi ệ m ta thu đượ c n giá tr ị c ủ a hàm = i y y ( 1,2, , ) = i m ứ ng v ớ i các giá tr ị i x x = c ủ a đố i. V ấ n đề là t ừ nh ữ ng s ố li ệ u th ự c nghi ệ m thu đượ c c ầ n xác đị nh các giá tr ị c ủ a tham s ố 0 1 , , , m a a a để tìm đượ c d ạ ng c ụ th ể c ủ a bi ể u th ứ c (1 – 2): ( ) = y f x v ề s ự ph ụ thu ộ c hàm s ố gi ữ a y và x . )(x i ϕ )(x m φ i ε )(x m φ Đồ án tốt nghiệp - 8 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 1.2 Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm 1.2.1 Sai số trung bình phương Những hàm trong thực nghiệm thu được thường mắc phải những sai số có tính chất ngẫu nhiên. Những sai số này xuất hiện do sự tác động của những yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu được các giá trị của hàm. Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực nghiệm ta cần đưa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó chấp nhận được trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên (nghĩa là gạt bỏ được những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thực nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đưa ra phải khá bé trên miền đang xét. Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên được gọi là sai số trung bình phương. 1.2.2 Định nghĩa Theo định nghĩa ta sẽ gọi là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phương của hai hàm ( ) f x và ( ) ϕ x trên tập 1 2 ( , , , ) = n X x x x , nếu = . (2 – 1) 1.2.3 Ý nghĩa của sai số trung bình phương n σ n σ ∑ = − n i ii xxf n 1 2 )]()([ 1 ϕ Đồ án tốt nghiệp - 9 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phương ta giả thiết ( ) f x , (x) là những hàm liên tục trên đoạn [ ] , a b và 1 2 ( , , , ) = n X x x x là t ậ p h ợ p các đ i ể m cách đề u trên [ ] , a b 1 2 = < < < = n a x x x b Theo đị nh ngh ĩ a fích phân xác đị nh ta có lim n n σ σ →∞ = (2 – 2) Trong đ ó: = . (2 – 3) Gi ả s ử ( ) ( ) f x x ϕ − có trên [ ] , a b m ộ t s ố h ữ u h ạ n c ự c tr ị và là m ộ t s ố d ươ ng nào đ ó cho tr ướ c. Khi đ ó trên [ ] , a b s ẽ có k đ o ạ n riêng bi ệ t [ ] , i i a b ( 1,2, , ) = i k sao cho ( ) ( )f x x ϕ α − ≥ (v ớ i [ ] , ∈ i i x a b , ( 1,2, , ) = i k ) G ọ i là t ổ ng các độ dài c ủ a k đ o ạ n nói trên. V ớ i n đủ l ớ n và đủ bé, t ừ (2 – 2) ta suy ra < ( bé tùy ý). T ừ (2 – 3) suy ra > . Do đ ó 2 ( ) ε ω α   < −     b a . Ngh ĩ a là t ổ ng độ dài ω c ủ a các đ o ạ n [ ] , i i a b s ẽ bé tùy ý. ϕ 2 σ a b − 1 dxxxf b a ∫ − 2 )]()([ ϕ α ω n σ σ ε ε )( 2 ab − ε ∫ − b a dxxxf 2 )]()([ ϕ ≥ ∑ ∫ = − k i b a i i dxxxf 1 2 )]()([ ϕ ≥ ωα 2 Đồ án tốt nghiệp - 10 - Sinh viên th ự c hi ệ n: Bùi V ă n B ằ ng L ớ p: To ỏ n Tin_2 – K48 Tóm l ạ i: v ớ i đủ bé (n khá l ớ n) thì trên đ o ạ n [ ] , a b (tr ừ t ạ i nh ữ ng đ i ể m c ủ a nh ữ ng đ o ạ n [ ] , i i a b mà có t ổ ng độ dài ω bé tùy ý), ta có ( ) ( )f x x ϕ α − < . Trong đ ó là m ộ t s ố d ươ ng tùy ý cho tr ướ c. T ừ nh ậ n xét trên ta rút ra nh ữ ng ý ngh ĩ a th ự c ti ễ n c ủ a sai s ố trung bình ph ươ ng nh ư sau: N ế u sai s ố trung bình ph ươ ng c ủ a hai hàm f(x) và trên t ậ p h ợ p n đ i ể m [ ] , a b X ⊂ (n đủ l ớ n) mà khá bé thì v ớ i tuy ệ t đạ i đ a s ố giá tr ị c ủ a x trên [a, b] cho sai s ố tuy ệ t đố i gi ữ a f(x) và khá bé. 1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương Từ ý nghĩa của sai số trung bình phương nói trên Ta nhận thấy nếu các giá trị i y ( 1,2, , ) = i n của hàm ( ) f x tại các điểm i x và nếu sai số trung bình phương = khá bé thì hàm sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm ( ) f x . Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phương làm tiêu chuẩn đánh giá như trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương. Rõ ràng: Nếu hàm ( ) f x thu được bằng thực nghiệm (nghĩa là ( ) ≈ i i y f x ) thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao phương pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phương được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn. Ta xét trường hợp ( ) ϕ x là phụ thuộc các tham số 0 1 , , , m a a a 0 1 ( ) ( ; , , , ) ϕ = m x x a a a . (2 – 4) n σ α n σ )(x ϕ )(x ϕ n σ ∑ = − n i ii xy n 1 2 )]([ 1 ϕ )(x ϕ [...]... đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm dạng (2 – 4) với hàm f ( x) ) sẽ đưa về tìm cực tiểu của tổng bình phương n ∑ε 2 i trong đó i =1 ε i = yi − ϕ ( x; a0 , a1 , , am ) Bởi vậy phương pháp tìm xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm - 11 - Sinh viên thực hiện:... CHƯƠNG II CÁC PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ 2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng 2.1.1 Định nghĩa Giả sử cho hệ hàm: ϕ0 ( x),ϕ1 ( x), ,ϕm ( x), Ta sẽ gọi hàm ϕm ( x) là đa thức suy rộng cấp m nếu φm ( x) có dạng m φm ( x) = ∑ aiϕi ( x) (3 – 1) i =0 Trong đó a0 , a1 , , am là các hệ số hằng số Hệ hàm {ϕm ( x)} đã cho gọi là hệ cơ bản 2.1.2 Nội dung Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã... -nghiệm a 0 , a1 , , a m ứng với các hệ số của đa thức (3 – 1’) xấp xỉ tốt nhất với hàm f ( x) (theo nghĩa trung bình phương) Do vậy ta có thể cho rằng hệ hàm cơ sở nghĩa là hệ hàm độc lập tuyến tính trên đoạn [ a, b ] 2.1.3 Sai số của phương pháp Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ φm (x) cho hàm f ( x) ta cần đánh giá sai số hoặc độ lệch của nó đối với hàm f ( x) Sai số ở đây hiểu theo nghĩa trung bình. .. án tốt nghiệp -Trong số những hàm ϕ ( x) có dạng (2 – 4) ta sẽ gọi hàm (2 – 5) ϕ ( x) = ( x; a 0 , a1 , , a m ) là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phương với hàm f ( x) nếu sai số trung bình phương ϕ ( x ) với f ( x) là bé nhất Cụ thể là σ n ( a 0 , a1 , , a m ) = min σ n ( a0 , a1 , , am ) trong đó 1 n 2 σ n (a0 , a1 , , am ) = ∑ [ yi − ϕ ( x; a0 ,...  Ta nhận thấy (3 – 5) là hệ (m + 1) phương trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + 1 hệ số: a 0 , a1 , , a m trong đa thức xấp xỉ φm (x) Ma trận của hệ phương trình tuyến tính (3 – 5) có các phần tử là [ϕ i , ϕ j ] , do đó là một ma trận đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hướng) Ta sẽ gọi hệ phương trình (3 – 5) là hệ phương trình chuẩn Định thức của hệ phương trình chuẩn có dạng... thức xấp xỉ (3 – 1’) (với hệ cơ sở ϕ0 ( x),ϕ1 ( x), ,ϕm ( x) là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ f ( x) càng tốt 2.1.4.4 Chú ý Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trường hợp chung khi cần thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) thì hệ phương trình chuẩn (3 – 5) dùng để xác định các hệ số a 0 , a1 , , a m của đa thức hoàn toàn thay đổi Do đó quá trình tình toán (giải hệ phương trình chuẩn) cần làm... thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Đồ án tốt nghiệp 2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số 2.2.1 Đặt vấn đề Giả sử biết n giá trị thực nghiệm yi (i = 1,2, , n) của hàm f ( x) tại các điểm xi tương ứng Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm f ( x) bởi một đa thức cấp m có dạng Pm ( x) = a0 + a1 x + + am x m (4 – 1) 2.2.2 Tiếp cận lời giải Để. .. đầu Tuy nhiên khi hệ hàm cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ cần thêm số a m+1 từ công thức (3 – 14) Còn các hệ số a 0 , a1 , , a m đã thu được cho đa thức φ m ( x ) vẫn dùng được cho đa thức m +1 φ m+1 ( x) = ∑ a iϕi ( x) i =0 Nhận xét trên rất bổ ích về mặt thực hành tính toán vì khi muốn xấp xỉ một hàm thực nghiệm bằng một đa... của phương pháp Dựa trên (3 – 11) ta suy ra sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ là: m [ y, ϕ i ] 1  [ y, y ] − ∑ 2 n j =0 ϕi  2 σn = [y , ϕ ] 2 Vì j ϕj 2 m ≥ 0 nên tổng: ∑ j =0 [y, ϕ ]      (3 – 15) 2 j ϕj 2 là một đại lượng đơn điệu tăng theo m Do đó từ (3 – 15) ta suy ra sai số trung bình phương σ n sẽ giảm khi m - 17 - Sinh viên thực. .. đã chỉ ra ở trên Ngoài ra do những đặc điểm của hệ hàm trực giao ta có thể tăng dần cấp của M m ( x) mà không cần phải làm lại từ đầu quá trình tính toán Đó chính là ưu điểm của phương pháp xấp xỉ hàm ở đây so với những kết quả thu được trong phần (2.4) 2.3.3 Nội dung của phương pháp - 27 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Đồ án . bài toán xấp xỉ trung bình phương. Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương. số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm 1.2.1 Sai số trung bình phương Những hàm trong thực nghiệm