Tài liệu luận văn:bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm pot

Đề tài: “bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm.”... Giải tích số hay còn gọi là phương phá

Đề tài: “bài toán dùng phương pháp xấp xỉ

trung bình phương (hay còn gọi là phương

pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm

trong thực nghiệm.”

MỤC LỤC

Trang

Chương I

Phương pháp bình phương tối thiểu lập công thức từ thực nghiệm:

1.1 Giới thiệu chung… ……… 1

1.1.1 Đặt vấn đề……… 1

1.1.2 Bài toán đặt ra………2

1.2 Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm……… 3

1.2.1 Sai số trung bình phương……… 3

1.2.2 Định nghĩa……….3

1.2.3 ý nghĩa của sai số trung bình phương……… 3

1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương………5

Chương II Các phương pháp xấp xỉ: 2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng………… …7

2.1.1 Định nghĩa……….……….7

2.1.2 Nội dung……….7

2.1.3 Sai số của phương pháp……… 9

2.1.4 Mở rộng trên hệ trực giao để đơn giản hóa kết quả……….… 11

2.1.4.1 Định nghĩa……… 11

2.1.4.2 Tiếp cận lời giải……… 11

-

-

- 3 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 2.1.4.3 Sai số của phương pháp……… 12

2.1.4.4 Chú ý ……… 12

2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số……… 14

2.2.1 Đặt vấn đề……….14

2.2.2 Tiếp cận lời giải……… 14

2.2.3 Sai số trung bình……… 14

2.2.4 Trường hợp các mốc cách đều……… 15

2.3 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức trực giao………… 20

2.3.1 Định nghĩa hệ hàm trực giao……… ……… 20

2.3.2 Đặt vấn đề……….20

2.3.3 Nội dung của phương pháp……….……… 21

2.3.4 Sai số của phương pháp……… ……… 30

2.4 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức lượng giác…………32

2.4.1 Định nghĩa đa thức lượng giác……… 32

2.4.2 Thuật toán……… 32

Chương III Các ví dụ minh họa: 3.1 Đa thức đại số……… 39

3.1.1 Ví dụ 1……… 39

3.1.2 Ví dụ 2……… 40

3.2 Đa thức trực giao……… 43

3.2.1 Ví dụ 1……… 43

3.2.1 Ví dụ 2……… 48

3.3 Đa thức lượng giác……… 52

Chương IV

SƠ ĐỒ KHỐI BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH

VIẾT BẰNG NGÔN NGỮ C:

4.1 Sơ đồ khối biểu diễn thuật toán………54

4.1.1 Trường hợp dạng đa thức đại số……… 54

4.1.2 Trường hợp dạng đa thức trực giao……… 55

4.1.3 Trường hợp dạng đa thức lượng giác……… 56

4.2 Kết quả chạy chương trình……… 57

4.2.1 Trường hợp đa thức đại số……… …57

4.2.2 Trường hợp đa thức trực giao……… 57

4.2.3 Trường hợp đa thức lượng giác……… 58

Kết luận……… ……59

Tài liệu tham khảo……… 60

-

-

- 5 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu

trong cuộc sống con nguời

Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác,

toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng

Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh

vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài

toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu

Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số

dưới dạng phức tạp như dạng biểu thức hoặc một hàm số dưới dạng bảng

bằng những hàm số đơn giản hơn Trong lý thuyết xấp xỉ hàm người ta

thường nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp

xỉ trung bình phương

Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung

bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ

hàm trong thực nghiệm

Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong

khoa Toán tin ứng dụng- Trường đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm

giúp đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án Đặc

biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS LÊ TRỌNG VINH,

người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu

trong suốt quá trình em làm đồ án tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2008

Bùi Văn Bằng

CHƯƠNG I

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LẬP CÔNG THỨC TỪ THỰC NGHIỆM 1.1 Giới thiệu chung

1.1.1 Đặt vấn đề

Có rất nhiều phương pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực

nghiệm mà ta đã biết đến như phép nội suy để lập đa thức cấp n: ϕ( )x (đại

số hoặc lượng giác) xấp xỉ hàm số y= f x( ) mà ta đã biết các giá trị của hàm

này là y= y i tại các điểm x= x i Phương pháp nội suy nói trên khi sử dụng

trong thực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là:

1 Trong các đa thức nội suy ϕ( )x ta đòi hỏi ) = y i Tuy nhiên sự đòi

hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế Bởi vì các số y ilà giá trị

của hàm y= f x( ) tại các điểm x= x i, trong thực tế chúng ta cho dưới

dạng bảng và thường thu được từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán

trong thực hành Những số y này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị

đúng ( )f xi của hàm y = f x( )tại x= x i Sai số mắc phải

( )

i y i f x i

ε = − nói chung khác không Nếu buộc ( )ϕ xi =yi thì thực

chất đã đem vào bài toán các sai số của các số liệu ban đầu nói trên

(chứ không phải là làm cho giá trị của hàm nội suy và hàm f x( )

trùng nhau tại các điểm x= x i)

2 Để cho đa thức nội suy biểu diễn xấp xỉ hàm f x( ) một cách sát

thực đương nhiên cần tăng số mốc nội suy xi (nghĩa là làm giảm sai số

của công thức nội suy) Nhưng điều này lại kéo theo cấp của đa thức

nội suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu được khá cồng kềnh

i x

Chính vì những lý trên nên phương pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát

thực hơn thông qua hai bài toán:

Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ)

Giả sử đã biết giá trị y i (i=1,2, , )n của hàm y= f x( ) tại các điểm

tương ứng x= x i Tìm hàm ( )φm x xấp xỉ với hàm f(x) trong đó

1.2 Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu

tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm

1.2.1 Sai số trung bình phương

Những hàm trong thực nghiệm thu được thường mắc phải những sai số

có tính chất ngẫu nhiên Những sai số này xuất hiện do sự tác động của

những yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu được các giá trị

của hàm

Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực

nghiệm ta cần đưa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó

chấp nhận được trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên

(nghĩa là gạt bỏ được những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của

thực nghiệm) Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta

đưa ra phải khá bé trên miền đang xét

Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả

có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên được gọi là sai số trung bình

phương

1.2.2 Định nghĩa

Theo định nghĩa ta sẽ gọi là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phương

của hai hàm ( )f x và ( )ϕ x trên tập X =( , , , )x x1 2 x n , nếu

i

i x x

ϕ

-

-

- 9 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48

Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phương ta giả thiết ( )f x , (x) là

những hàm liên tục trên đoạn [a b, ] và X =( , , , )x x1 2 x n là tập hợp các điểm

f

b a

dx x x

i

i

dx x x

Tóm lại: với đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn [a b, ] (trừ tại những điểm

của những đoạn [a b i, i] mà có tổng độ dài ω bé tùy ý), ta có

( )f x −ϕ( )x <α

Nếu sai số trung bình phương của hai hàm f(x) và trên tập hợp n

điểm [a b, ]⊂ X (n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên

[a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và khá bé

1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương

Từ ý nghĩa của sai số trung bình phương nói trên

Ta nhận thấy nếu các giá trị y i (i=1,2, , )n của hàm ( )f x tại các điểm x i

và nếu sai số trung bình phương

=

khá bé thì hàm sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm ( )f x

Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phương làm tiêu chuẩn đánh

giá như trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương

Rõ ràng: Nếu hàm ( )f x thu được bằng thực nghiệm (nghĩa là y i ≈ f x( )i )

thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do

những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm) Đó là lý do giải thích lý do vì sao

phương pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phương được sử dụng rộng rãi

i

i x y

n 1

2

)]

( [

là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phương với hàm ( )f x nếu sai số

trung bình phương ϕ( )x với ( )f x là bé nhất Cụ thể là

trong đó

εi = y i −ϕ( ; , , , )x a a0 1 a m

Để quá trình tính toán được đơn giản ta xét đa thức suy rộng φm( )x với

giá trị a i từ n phương trình: y i =φm( )x i (i=1,2, , )n (vì số phương trình

thường nhiều hơn sốẩn)

≥

i x a

0

) (

m i m i

i

i x a x a x a y

1

2 1

1 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 , , , ,

, , , ,

, , , ,

m m m m m m m a a y a a y a a y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ  + + + =  + + + =     + + + =  (3 - 5) Ta nhận thấy (3 – 5) là hệ (m + 1) phương trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + 1 hệ số: a a0, , ,1 a m trong đa thức xấp xỉ Ma trận của hệ phương trình tuyến tính (3 – 5) có các phần tử là , do đó là một ma trận đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hướng) Ta sẽ gọi hệ phương trình (3 – 5) là hệ phương trình chuẩn Định thức của hệ phương trình chuẩn có dạng G( = (3 – 6) Ta gọi định thức G =( , , ,ϕ ϕ0 1 ϕm) là định thức Gram của hệ véc tơ trên tập điểm X ={x x1, , ,2 x n} Mà ta đã biết: Nếu hàm cơ sở là hệ hàm độc lập tuyến tính trên X ={x x1, , ,2 x n}⊂[a b, ] thì trong số những đa thức suy rộng cấp m có dạng (3 – 1) luôn tồn tại một đa thức suy rộng (3 – 1’) Là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phương đối với hàm f x( )

Ngoài ra còn có thể chứng minh khi hệ cơ sở là những độc lập tuyến tính trên {x x1, , ,2 x n}⊂[a b, ] thì G=( , , ,ϕ ϕ0 1 ϕm) 0> Nghĩa là trong trường hợp này hệ phương trình chuẩn (3 – 5) có và duy nhất ) (x m φ ] , [ ϕi ϕj ) , ,

, 1 0 ϕ ϕm ϕ ] , ] [

, ][ , [

] , ] [

, ][ , [ ] , ] [

, ][ , [ 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 m m m m m m ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ m ϕ ϕ ϕ0, 1,

) ( ), ,

( ), ( 1 0 x ϕ x ϕm x ϕ ) ( ) ( 0 x a x i m i i m ϕ φ ∑ = = ) ( ), , ( ),

0 x ϕ x ϕm x

ϕ

2.1.3 Sai số của phương pháp

Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ cho hàm ( )f x ta cần đánh giá sai số

hoặc độ lệch của nó đối với hàm ( )f x Sai số ở đây hiểu theo nghĩa trung

bình phương Cụ thể là ta đi tìm đại lượng

)]

( [

1

x y

n

n i

m i

i m

i x y

m j

i j j

i a x y

1

2 0

) (

ϕ

] ,

m j

j j j

j y a a

m j

m j j j j j j

a y

] ,

[ ] ,

m j

j j j j

m j

m j

j j j

a y

j i j i

m i

a

0 0

, ,ϕ ϕ ϕ

[ , ] [ , ] 0

0 0

j i j i

m i

Thay kết quả trên vào (3 – 8) ta có:

Để đơn giản hóa kết quả trên thì ta định nghĩa về hệ hàm trực giao như sau:

Hệ hàm ϕ0( ), ( ), ,x ϕ1 x ϕm( )x gọi là hệ trực giao trên tập

Trong trường hợp hệ hàm ϕ0( ), ( ), ,x ϕ1 x ϕm( )x trực giao mà

(r =0,1, , )m thì hệ hàm được gọi là hệ trực chuẩn trên tập hợp X

2.1.4.2 Tiếp cận lời giải

j j n

i

i m

y

0 1

j j

1

ϕσ

0)(,

).(

0)()(,

1 2

1

m r

x

s r x

x

n

i

i r s

r

n

i

i s i r s

r

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

i r r

r

1

2 2

)(

-

-

- 17 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48

Từ một hệ cơ sở bất kỳ ϕ0( ), ( ), ,x ϕ1 x ϕm( )x bao giờ cũng lập được một

hệ trực chuẩn tương ứng ϕ0( ), ( ), ,x ϕ1 x ϕm( )x sao cho mỗi hàm của hệ trực

chuẩn là một tổ hợp tuyến tính của các hàm trong hệ cơ sở đã cho:

2.1.4.3 Sai số của phương pháp

Dựa trên (3 – 11) ta suy ra sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ

là:

(3 – 15)

m Do đó từ (3 – 15) ta suy ra sai số trung bình phương σn sẽ giảm khi m

∑

=

=

m s

s r s

0

) ( ( ) )

ϕ

[ ϕi, ϕi] ai = [ y , ϕi]

[ ] [ ]

[ ]

2

,,

,

i

i i

i

i i

y y

a

ϕ

ϕϕ

i

i i

y y

a

2 0

,,

ϕ

ϕϕ

y y

y

2

,,

1

ϕ

ϕσ

tăng Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) (với hệ cơ sở

0( ), ( ), ,1 ( )

ϕ x ϕ x ϕm x là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ ( )f x càng tốt

2.1.4.4 Chú ý

Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trường hợp chung khi cần thay đổi

cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) thì hệ phương trình chuẩn (3 – 5) dùng để

xác định các hệ số a a0, , ,1 a m của đa thức hoàn toàn thay đổi Do đó quá

trình tình toán (giải hệ phương trình chuẩn) cần làm lại từ đầu Tuy nhiên

khi hệ hàm cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ

(3 – 1’) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ cần thêm số a m+ 1 từ công thức

(3 – 14) Còn các hệ số a a0, , ,1 a m đã thu được cho đa thức φm( )x vẫn

dùng được cho đa thức

1 1

0

+ +

hàm cơ sở ϕ0( ), ( ), ,x ϕ1 x ϕm( ), x là một hệ trực giao thì khi xuất phát ta có

(3 – 14))

Giả sử biết n giá trị thực nghiệm y i (i=1,2, , )n của hàm ( )f x tại các

điểm x i tương ứng Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm ( )f x bởi một đa thức cấp m

có dạng

( ) 0 1 m

2.2.2 Tiếp cận lời giải

r i i n

i

i r i

y

1 1

) (

s r i n

i

i s i r s

1 1

) ( ) ( ,ϕ ϕ ϕϕ

Dựa vào (3 – 5) ta suy ra các hệ số a i của đa thức xấp xỉ (4 – 1) là nghiệm

của hệ phương trình chuẩn có dạng sau

2.2.3 Sai số trung bình

Từ (3 – 7) và (3 – 11) ta suy ra sai số trung bình của đa thức xấp xỉ có

dạng (4 – 4) là:

Về mặt thực hành, để tìm các hệ số của phương trình chuẩn (4 – 4) ta làm

theo lược đồ trong bảng 1 Các hệ số vế trái của phương trình đầu tiên cho

bởi các tổng ô lần lượt từ cột (1) đến cột (m), của phương trình thứ 2 cho bởi

các tổng lần lượt từ cột 2 đến cột (m+1), … còn các vế phải của (4 – 4) cho

bởi các tổng ở lần lượt từ cột (2m+2) đến cột cuối cùng (3m+2)

0 x x1 x2 … x 2m y xy 2

x y … m x y (1) (2) (3) (2m+1) (2m+2) (2m+3) (2m+4) (3m+2) 1 1 … 1 1 x 2 x … x n 2 1 x 2 2 x … 2 n x … … … … 2 1 m x 2

2 m x … 2m n x y1 y2 …

y n x y1 1 2 2 x y … n n x y 2 1 1 x y 2 2 2 x y … 2 n n x y … … … … 1 1 m x y 2 2 m x y … m n n x y           = + + + + = + + + + = + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = + = + = = = + = = = = = = = n i i m i n i m i m n i m i n i m i n i m i n i i i n i m i m n i i n i i n i i n i i n i m i m n i i n i i y x x a x a x a x a y x x a x a x a x a y x a x a x a n a 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0











−

=

−

= =

=

=

m j n i

j i i j n

i i n

i

i m i

n x

P y

2 1

) ( 1

σ

-

-

- 21 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 n … …

Bảng 1 2.2.4 Trường hợp các mốc cách đều Đối với trường hợp các điểm x i cách đều nhau: x i+1−x i =h

(i=0,1, ,n−1) thì quá trình tính toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều Dưới đây ta sẽ trình bày kết quả trong trường hợp này Trường hợp 1: Nếu n là số lẻ ( n=2k +1) Đặt − + 1 = x x k u h hay x=x k+1+u h

Do đó khi x nhận các giá trị x x1, , ,2 x k+1, ,x2k+1 thì u nhận các giá trị nguyên sau: − − +k, k 1, , 1,0,1, ,− k−1,k Sau phép đổi biến (4 – 8) thì đa thức (4 – 1) cũng có bậc m và có dạng ( )= 0 + 1 + + m m m Q u b b u b u (4 – 9) Tương tự như (4 – 4) các hệ số b của (4 – 9) thu được từ hệ phương trình (4 – 10) Hệ phương trình (4 – 10) so với hệ (4 – 4) đơn giản hơn rất nhiều vì các tổng những lũy thừa lẻ của u bằng 0 (4 – 11) Trường hợp 2: n chẵn (n=2k) ∑ = n i i x 1 ∑ = n i i x 1 2 ∑ = n i m i x 1 2 ∑ = n i i y 1 ∑ = n i i i y x 1 ∑ = n i i i y x 1 2 ∑ = n i i m i y x 1 i           = + + + + = + + + + = + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = + = + = = = + = = = = = = = n i i m i n i m i m n i m i n i m i n i m i n i i i n i m i m n i i n i i n i i n i i n i m i m n i i n i i y u u b u b u b u b y u u b u b u b u b y u b u b u b n b 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0

0

1

3 1

=

=

∑

=

=

n i i n

i

i u u

3 1

i

u u

y n

b

2 1 0

01

i

i i i

u

y u b

y n b

=

=+

i

i i i

i i

y u u

b u b

y u u

b

y u

b b n

2 4

2

2 0

2 1

2 2 0

2 2

2

2 1

2 2 4

2 2

4 0

i i

i i i

i

i

i i

i i

i i i i

i

u u

n

u y y

u n b

u

y u b

u u

n

u y u u

y b

2 2 4

5 2 2 4

2 4

2 2 4

4 3

2 2

1

i i

i i

i

i i

i i

u u

n

n u

u n

u

u u

n

u u

n

α α

α α

α

Khi đó các kết quả (4 – 14) và (4 – 15) có thể tóm tắt trong bảng 2 Ngoài ra

− 7

− 8

− 8

− 9

− 9

− 9

−

− 9

− 9

− 10

− 10

− 10

− 11

− 11

− 11

−

) ( 0 ) ( ) ( ,

1 2 1

m r

x R R

R

s r x

R x R R

R

n i

i r s

r

n i

i s i r s

r

f x tại các điểm x (i = 1, 2, …, n) ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm ( )f x bởi một

đa thức suy rộng cấp m (với hệ cơ sở (5 – 1)) có dạng

( ),

y R x

y R a

phải làm lại từ đầu quá trình tính toán Đó chính là ưu điểm của phương

2.3.3 Nội dung của phương pháp

j j n

i i m

j

j j

n R

y a y

y

2 0

,

1 ,

, 1

σ

Nội dung chủ yếu của việc tìm đa thức xấp xỉ (5 – 4) thực chất là tìm hệ

thức trực giao (5 – 1) Để làm được điều này ta tìm công thức truy hồi để xác

định lần lượt các đa thức trực giao của hệ (5 – 1)

Trước hết ta đi tìm những hàm đầu tiên: R x R x0( ), ( )1 của hệ (5 – 1)

1 1

1 0

R R

R

n i i n

i i n

= +

)125()

(

)()(

)115()

(

)(

1

2 1

1

1 1

1

2 1

2 1

n

i

i r

n

i

i r i r i r

n

i

i r

n

i

i r i r

x R

x R x R x

x R

x R x

−

n i

i r i r r

r R R x R x R

=

− + +

− +

n

i

i r r i r r i i r r

R

1

1 1 1

1 1

=

− +

=

n i

i r i r r n

i

i r i r r n

i

i r i r

i R x R x R x R x R x R x x

1

1 1

1 1

1 1 1

1 ( ) ( ) β ( ) ( ) γ ( ) ( )

2 1

1 1

1 1 1

=

− +

=

n i

i r r

n i

i r i r r

n

i

i r i r

i R x R x R x R x R x

[ , ] 0 )

( )

r x R x R R R

=

− +

=

− +

n i

i r r

n i

i r i r i r

R

1

2 1 1

1

1 1

[ ( )] 0 )

( ) (

1

2 1 1

=

−

n i

i r r

n i

i r i r

i R x R x R x

i r

n i

i r i r i r

x R

x R x R x

1

2 1

1

1 1

) (

) ( ) (

n i

i r i r r

r R R x R x R

=

− + +

n i

i r r i r r i i r r

R

1

1 1 1

=

+

=

+ +

n i

i r i r r n

i

i r i r r n

i

i r i r

i R x R x R x R x R x R x x

1

1 1

1

1 1

) ( ) ( )

( ) ( )

( )

=

+

=

+ +

n i

i r i r r

n i

i r r

n i

i r

x

1

1 1

1

2 1

( )

r x R x R R R

n

i

i r i r

R

1

2 1

([

1

2 1

n

i

i r

i

i r

n i

i r i r

x R

x R x

1

2 1

2

1

) (

)]

( [

β

r i i

+ +

n i

r i r r n

i

r i r

r n

i

r i r

n i

1 )

1 ( 1

1 2 ) 1 ( 1

r i n

i

i r i r

x

1 1

=

= +

=

+ +

+ +

=

n i

i r r i r n

i

r i r r n

i

r i r n

i

r i n

i

i r

i R x x x x x R x x

1

) 1 ( 1

1 )

( 1

2 ) 1 ( 1

1 2 1

(

r

α αr(2) αr (r)

+ +

=

+ +

+ +

=

+ +

) 1 (

) ( ) 1 ( 1

) 1 (

) 2 ( 2 )

1 ( 2

2 2

1 1

0

) (

.

) (

1 ) (

r r r

r r

r r r

k k k

k k

k k k

x x

x x R

x x

x x R

x x

x R

x x R

x R

α α

α

α α

α

α α

++

=

++

++

=

++

(

)()

(

(

)()

()

(

)()

(

0 ) ( 0 1

) ( 1 1

) ( 1

0 ) ( 0 1

) ( 1 1

) ( 1

0 ) 2 ( 0 1

) 2 ( 1 2

2

0 ) 1 ( 0 1

x R a x R a x

R a x R x

x R a x R a x

R a x R x

x R a x R a x R x

x R a x R

x

r r

r

r r r

r

k k

k

k k k

k

x R x R

x

1

)(,

k i

k i

k

k k i

k x a R x a R x a R x R x R

1

0 ) ( 0 1

) ( 1 1

) (

)(

n

i r i k k k n

i r i

k x R x a R x R x a R x R x

R ( ) ( ) ( )1 1( ) ( ) 0( ) 0( ) ( )

n i

i r i k

n i

i r i k k

k n

i

i r i

k x R x a R x R x a R x R x R

1 0 ) ( 0 1

1 )

( 1 1

) ( ) (

) ( ) ( )

( ) (

[R k,R r]+ ( )

1

k k

r

k i r

k

x R x R

x

1

)(,

) ( 1

k k

i r i s r

s R x R x

1

) ( ) (

i r s

k

k i

k x R x a

1 0

)(

n i

i r

k i

k x R x a

)(

[ ]

∑

=

s k

r k

k x R a

R

s

k k r

++

=

n

i

r r

r r

r r

r i r n

1 ( 1

) 1 ( 1

)

+ +

n i

i r r r n

i

i r i r r n

i

i r r i r n

i

i r r

x

1

) ( 1

) 1 ( 1

1 ) 1 ( 1

) ( )

(

) ( )

+ +

n i

i r r r n

i

i r i r

r n

i

i r r i r

n

i

i r r

x

1

) ( 1

) 1 ( 1

1 )

1 ( 1

) ( )

(

) ( )

r r r r

r r

r r n

i

i r r

x ( ) ( 1 ) 1 , ( 1 ) 1 , ( ) 0 ,

1

αα

r

r r r

n

i

i r

r i n

++

=

n

i

r r i

r r

r i r

r i

r i n

i

i r

1 ( 1

) 1 ( 1

++

n i

r i

r r n

i

i

r i

r r n

i

r i

r i r n

i

r

i x x x x x x

1

) ( 1

) 1 ( 1

1 )

1 ( 1

++

n i

r i

r r n

i

i

r i

r r n

i

r i

r i r

) 1 ( 1

1 )

1 ( 1

1

2 )

+ +

n i

r i r r n

i

r i r

r n

i

r i r n

1 )

1 ( 1

1 2 ) 1 ( 1