Nếu {fn} là một dãy hàm đo được của tập Borel trên một tập mở
Ω ⊂ CN. Ta nĩi nĩ hội tụ theo dung lượng tới một hàm đo được Borel f
trên Ω nếu fn hội tụ tới f theo dung lượng trên mọi tập con compact của
Ω.
Từ (2.11) thấy rằng hội tụ theo dung lượng là hội tụ theo độ đo. Như vậy, ta cĩ:
(2.18) lim
n→∞λ({z ∈ K| |fn(z)−f(z)| > a}) = 0.
Hội tụ theo độ đo khơng bao gồm hội tụ theo dung lượng. Ví dụ, các tập hợp cĩ độ đo Lebesgue 0 nhưng cĩ dung lượng dương.
Một hàm hữu tỷ trên CN được định nghĩa là phép chia của những đa thức. Chúng ta nĩi hàm hữu tỷ cĩ bậc ≤n và kí hiệu là rn(z) nếu nĩ biểu thị dưới dạng rn(z) = pn(z)
qn(z).
Với pn và qn là các đa thức cĩ bậc ≤ n( ta giả thiết qn 6= 0).
Giả sử f(z) giải tích trên một tập mở Ω ⊂ CN. Theo Goncar [G3], chúng ta cĩ dãy các hàm hữu tỷ {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f
trên Ω. Khi đĩ, rn hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên tập compact
K ⊂ Ω nếu với mọi a > 0 và với mọi tập siêu lồi mở Ω1 ⊃ K:
(2.19) lim n→∞Cap( n z ∈ K||f(z)−rn(z)|1/n > a o ,Ω1) = 0
Ta nĩi dãy {rn} hội tụ nhanh tới f trên Ω nếu dãy n
|fn−rn(z)|1/no
hội tụ tới 0 trên Ω (resp.,hội tụ tới 0 trên K). Khi đĩ {rn} hội tụ nhanh tới f trên tập compact K ⊂ Ω nếu, mọi a > 0, ta cĩ:
(2.20) lim n→∞λ n z ∈ K||f(z)−rn(z)|1/n > a o = 0.
Chương 2
Hội tụ nhanh theo dung lượng của dãy hàm hữu tỷ
Trong mục này trước hết chúng ta sẽ đưa ra các đánh giá về xấp xỉ của hàm chỉnh hình bằng các hàm hữu tỷ. Những đánh giá này sẽ chứng minh các định lý chính của luận văn.
Giả sử K là một tập compact, khơng đa cực của B(0, R) và u(z) :=
u∗K,B(0,10R)(z)theo quy tắc là hàm cực trị tương đối của K trongB(0,10R). Bổ đề 2.1 đánh giá u(z) trên mặt cầu |z| = 2R. Đánh giá chỉ phụ thuộc vào Cap(K, B(0,10R))
Bổ đề 2.1.
Tồn tại một hằng số c > 0 sao cho nếu |z|= 2R thì:
u(z) ≤ −cCap(K, B(0,10R)).
Chứng minh
Gọi z0 là điểm cố định trên mặt cầu |z| = 2R. Xét các tập mở:
ω = z ∈ CN| |z −z0| < 4R và Ω = z ∈ CN| |z −z0| < 5R . Do 4R <
3.3 của [A-T], cĩ hằng số c0 > 0 bất kỳ sao cho: (3.1) R ω (ddcu)N ≤ c0(−u(z0))Sup z∈Ω |u(z)|N−1 Khi đĩ, từ (2.5) ta cĩ: (3.2) R ω (ddcu)N = Cap(K, B(0,10R)). Hơn nữa theo định nghĩa về hàm cực trị tương đối (xem 2.3): (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
supz∈Ω|u(z)| ≤ 1. Từ đây ta cĩ:
(3.3) Cap(K, B(0,10R)) ≤ −c0u(z0)
đúng với Bổ đề 3.3 của [A-T], theo (3.1) đúng với v ∈ P SH(Ω) thỏa mãn v < 0 và hằng số c0 được chọn độc lập với v. Ta xét (3.1) cho các hàm uT(z) := u(T z) với T là một khơng gian unita của CN. Khi đĩ
(ddcuT)N = (ddcu)N . Khi đĩ vế trái của (3.1) khơng đổi.
Ta cĩ Cap(K, B(0,10R)) ≤ −c0u(T z0) với mọi khơng gian unita T. Với
c = 1
c0 trong nội dung của Bổ đề 2.1(đpcm).
Bổ đề tiếp theo cho thấy nếu một hàm hữu tỷ là một xấp xỉ đồng nhất đến một hàm giải tích trên một tập cĩ dung lượng dương trong một hình cầu, khi đĩ nĩ cĩ mẫu khơng quá nhỏ. Đặc biệt, giả sử K là một tập con compact của B(0, R) với K khơng đa cực. Giả sử f chỉnh hình trên một lân cận củaB(0,10R) và với M > 0 là một hằng số thỏa mãn |f(z)| ≤M
với z ∈ B(0,10R). Đặt rn(z) = pn(z)
qn(z) là một hàm hữu tỷ cĩ bậc ≤ nđược chuẩn hĩa:
(3.4) kqn(z)kK = 1. Bổ đề 2.2. Cho a thỏa mãn điều kiện 0 < a < 1:
|f(z)−rn(z)| 1
n ≤ a với z ∈ K.
Khi đĩ với |z| ≤ 2R ta cĩ, với c ở Bổ đề 2.1:
|f(z)−rn(z)| ≤ (2M + 1)a
ncCap(K,B(0,10R))
(T10R(K))n|qn(z)| .
Chứng minh
Từ (3.4) và giả thiết của Bổ đề 2.2 ta cĩ:
(3.5) |qn(z)f(z)−pn(z)| ≤ an với z ∈ K
Từ a < 1, với điều kiện:
(3.6) kpnkK ≤M + 1 Từ đĩ, sử dụng (2.15) ta cĩ: (3.7) kqnkB(0,10R) ≤ (T10 1 R(K))n và kpnkB(0,10R) ≤ (T10M+1 R(K))n. Khi đĩ, ta cĩ, cho |z| ≤10R: (3.8) |qn(z)f(z)−pn(z)| ≤ 2M + 1 (T10R(K))n.
Bây giờ ta áp dụng hai định lý khơng đổi [K,Prop 4.5.6] cho hàm đa điều hịa dưới log|qn(z)f(z)−pn(z)| sử dụng kết quả (3.5) và (3.8) ta được, với |z|< 10R:
(3.9) |qn(z)f(z)−pn(z)| ≤[−nlogT10R(K) + log(2M + 1)] (1 + u(z))
- n(loga)(u(z)). Ở đây u(z) := u∗K,B(0,10R)(z) như Bổ đề 2.1. Từ M > 0
vàlogT10R(K) < 0(xem (2.12)) số hạng bên phải của (3.9) sẽ khơng giảm đi nếu ta thay (1 + u(z)) bởi 1. Hơn nữa, số hạng thứ hai ở vế phải của (3.9) ta sử dụng đánh giá của Bổ đề 2.1 (đúng với |z| = 2R).
Khi đĩ, từ loga < 0 ta cĩ, với |z|= 2R:
(3.10) log|qn(z)f(z)−pn(z)| ≤ −nlogT10R(K) + log(2M + 1)
đun cực đại ta cĩ, với |z| ≤ 2R :
(3.11) |qn(z)f(z)−pn(z)| ≤ 2M + 1 (T10R(K))na (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ncCap(K,B(0,10R))
sinh ra kết quả trên. Từ sự đạt được kết quả trên sự hội tụ theo dung lượng, từ kết quả của Bổ đề 2.2 ta đánh giá dung lượng được xác lập bởi |qn(z)|
là nhỏ, ngồi ra xem [C-D-L]. Ta đặt, với 0 < α < 1
(3.12) Wn(α) := nz ∈ B(0,2R)||qn(z)| < αno với qn(z)
là đa thức cĩ bậc ≤ n và được chuẩn hĩa bởi (3.4).
Bổ đề tiếp theo sẽ thấy dung lượng củaWn(α) phụ thuộc vào nvàqn chỉ phụ thuộc vào α và dung lượng của K. Hơn nữa, dung lượng của Wn(α)
tiến tới 0. Đặc biệt, ta cĩ (với 4R <1): Bổ đề 2.3. Cĩ một hằng số β > 0 sao cho:
Cap(Wn(α), B(0,1 +R)) ≤ β
1 + logα/logT1+R(K).
Chứng minh
Lưu ý rằng T1+R(K) < 1 và biểu thức logα/log(T1+R(K)) > 0. Khi đĩ, từ (2.5) và (3.4) ta cĩ:
(3.13) |qn(z)| ≤ 1
(T1+R(K))n với |z| ≤ 1 +R. Cho z0 là một điểm thuộc K sao cho:
(3.14) |qn(z0)| = 1. Đặt
(3.15) u1(z) := (1/n) log|qn(z)|+ logT1+R(K) −logT1+R(K) .
Từ z0 ∈ K,|z0| ≤ R và
(3.16) B(z0,1) ⊂ B(0,1 +R). Ta đặt:
(3.17) A:= 1 + logα
logT1+R(K).
Khi đĩ A > 1 và u1(z) < −A nếu và chỉ nếu (1/n) log|qn(z)| < logα. Như vậy:
(3.18) Wn(α) ⊂
z ∈ CN||z−z0| < 4R, u1 < −A .
Từ 4R < 1, hình cầu B(z0,4R) chứa trong hình cầu B(z0,1) và như vậy ta cĩ thể áp dụng đẳng thức (4.1) của [A-T] cho trường hợp này, ta được, với mọi β > 0:
(3.19) Cap(Wn(α), B(z0,1)) ≤ β
1 + logα/logT1+R(K).
Theo kết quả của Bổ đề 3.3 sinh ra từ (3.16) và tính đơn điệu của Cap (xem(2.9)).
Bổ đề 2.4. Cho f giải tích trên một tập mở Ω ⊃ B(0,10R) (với 4R < 1)
và cho {rn}n=1,2,3,... là một dãy các hàm hữu tỷ cĩ bậc ≤ n hội tụ nhanh
đến f theo dung lượng trên một tập compact, khơng đa cực K ⊂ B(0, R).
Khi đĩ {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng đến f trên B(0,2R) . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh
Cho athỏa mãn0 < a <1vàKn(a) := z ∈ K||f(z)−rn(z)|1/n ≤ a . Khi đĩ Kn(a) là compact và theo giả thiết:
lim
n→∞Cap(K\Kn(a), B(0,10R)) = 0.
Theo Bổ đề 2.1 cĩ một hằng số δ > 0 sao cho T1+R(Kn(a)) ≥ δ và
Hơn nữa, δ được chọn khơng phụ thuộc vào a. Đặt:
(3.20) α := a
cδ
2 với c là hằng số trong Bổ đề 2.1.
Giả sử rn(z) = pn(z)/qn(z) và qn được chuẩn hĩa như (3.4) và Wn(α)
được định nghĩa bởi (3.12) với α cho bởi (3.20). Khi đĩ với z /∈ Wn(α) ta cĩ:
(3.21) 1
|qn(z)| ≤ 1
αn = a−ncδ/2. Kết hợp (3.21) với kết quả của Bổ đề 2.2, với n ≥Na: (3.22) |f(z)−rn(z)|1/n ≤ (2M + 1) 1/n acδ/2 δ , z ∈ B(0,2R)\Wn(α). Cho b, ε >0 ta chọn a đủ nhỏ. Khi đĩ: (3.23) (2M + 1)acδ/2 δ < b và β 1 + (loga)cδ/2 logδ < ε. Từ đĩ, suy ra với n ≥ Na: Cap( z ∈ B(0,2R)||f(z)−rn(z)| 1 n > b , B(0,1 +R)) < ε, nhờ sử dụng đánh giá củaCap(Wn(α), B(0,1 +R)) của Bổ đề 2.3 và chú ý rằng:
n
z ∈ B(0,2R)||f(z)−rn(z)|1/n > b
o
⊂Wn(α).
Định lý 2.1. Giả sử f là giải tích trên một tập mở liên thơng Ω ⊂ CN.
Cho {rn} là một dãy hàm hữu tỷ cĩ bậc ≤ n hội tụ nhanh theo dung lượng
đến f trên một tập compact khơng đa cực K ⊂ CN. Khi đĩ {rn} hội tụ
nhanh tới f theo dung lượng trên Ω.
Chứng minh
Ta cĩ thể giả sử 0 ∈ Ω, K ⊂ B(0, R) với 4R < 1 và B(0,10R) ⊂ Ω. Áp dụng Bổ đề 3.4 ta kết luận rằng {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng đến f trên B(0,2R).
Lấy tùy ý điểm ω ∈ Ω, luơn tồn tại một hình cầu B tâm tại ω
với {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên B, sự hội tụ nhanh theo dung lượng của {rn} tới f trên một tập con compact của Ω theo (2.7). Khi đĩ, cĩ một tập hợp những hình cầu B1, B2, ..., Bm với B1 =
B(0, R), ..., Bm = B(ω, Rm) thỏa mãn Bs ∩Bs+1 6= φ với s=1,...,m-1 và
Bj = B(ωj, Rj),4Rj < 1 và B(ωj,10Rj) ⊂ Ω Từ B1 ∩ B2 6= φ và {rn}
hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên B1, dãy hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên một tập con compact khơng đa cực của B2. Lặp lại quá trình trên ta kết luận {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Bm và ta cĩ kết quả sau:
Hệ quả 2.1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho f giải tích trên hình cầu B và giả sử tồn tại một dãy hàm hữu tỷ
{rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên một tập compact khơng đa
cực của B. Khi đĩ, hiển nhiên tồn tại một lân cận của f, ký hiệu Wf là
tập con của CN và {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Wf.
Chứng minh
Lấy bất kì điểm ω ∈ Wf, tồn tại một dãy hình cầu B = B1, ..., Bm với
Bm cĩ tâm tại ω được chứng minh ở Định lý 2.1 và {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Bm. Vậy f là đơn trị trên Wf.
Định lý 2.2
Cho f giải tích trên một tập mở liên thơng Ω ⊂ CN. Giả sử{rn}n=1,2,3,...
là một dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh đo được tới f trên một hình cầu đĩng
Chứng minh
Sử dụng định lý 2.1, dễ thấy rằng {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên B . Cho a > 0, từ giả thiết cĩ:
(3.24) limλz ∈ B||f(z)−rn(z)|1/n > a = 0
Đặt
(3.25) Bn(a) := z ∈ B||f(z)−rn(z)|1/n ≤ a . Khi đĩ lim
n→∞λ(Bn(a)) = λ(B) > 0. Sử dụng Bổ đề 2.2 cĩ một hằng số δ>0 sao cho với mọi n đủ lớn Cap(Bn(a), B0) ≥ δ với B0 là một hình cầu chứa
B. Theo kết quả của Bổ đề 2.4 cĩ thể áp dụng trong trường hợp này và ta cĩ kết quả sau:
Hệ quả 2.2. (Xem [G, Định lý 5]) Cho f giải tích trên một hình cầu B
và giả sử cĩ một dãy hàm hữu tỷ {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f
trên hình cầu B. Khi đĩ hiển nhiên tồn tại lân cận Wf của f là một tập
con của CN và {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Wf.
Hệ quả 2.3. Cho f giải tích trên một lân cận của 0 ∈ CN . Giả sử f ∈ <. Khi đĩ, tồn tại một dãy hàm hữu tỷ {rn} hội tụ nhanh theo dung
lượng tới f trên hình cầu tâm O. Khi đĩ, bất kỳ dãy xấp xỉ Taylor-Pade’
{πn(z, f, λ)} nào cũng hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Wf.
Chứng minh: Đĩ là một kết quả của Goncar[G, Định lý 6] cho dãy
{πn(z, f, λ)} hội tụ nhanh theo dung lượng tới trên Wf. Hệ quả 2.3 suy ra từ Hệ quả 2.2.
Hệ quả 2.4. Cho f phân hình trên CN và giải tích trên một lân cận của
Kết luận
Luận văn đã trình bày vấn đề sau đây:
Goncar[G3] nĩi rằng nếu f ∈ < thì tồn tại Wf của f là đơn trị và dãy (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
{rn} sẽ hội tụ nhanh về f theo độ đo trên Wf . Bloom nĩi rằng khẳng định trên của Goncar vẫn cịn đúng nếu dãy {rn} chỉ hội tụ nhanh theo dung lượng trên một tập con khơng đa cực.
Tài liệu tham khảo
TIẾNG VIỆT
[DIEU-HAI] Nguyễn Quang Diệu -Lê Mậu Hải , Cơ sở lý thuyết Đa thế vị, Nhà xuất bản Trường Đại học Sư phạm, 2009.
TIẾNG ANH
[A-T] H. J. ALEXANDER, B.A.TAYLOR(1984): Comparison of two ca-
pacities in CN. Math.Z.,186:407-417.
[C-D-L] A. CUYT, K. DRIVER, D. S. LUBINSKY (1996): On the size
of lemiscates in one and several variables. Proc.Amer.Math.Soc.,124:2123-
2136.
[G] A.A.GONCAR (1974): A local condition of single-valuedness of ana-
lytic functions of several variables.Math.USSR-Sb.,22:305-322.
[K] M. KLIMEK (1991): Pluripotential Theory. Oxford: Oxford University Press.
[Ko] S.KOLODZIEJ (1998): The complex Monge-Ampere equation. Acta Math.,180:69-117.
[Si] N. Sibony:Quelques problemes de prolongement de courants en analyse
[Bl] T. Bloom:On the Convergence in Capacity of Rational Approximants. Constr. Approx. (2001) 17: 91–102.