Xấp Xỉ Hàm Theo Dung Lượng Của Hàm Chỉnh Hình Bởi Các Hàm Hữu Tỉ

Header Page of 126 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CƠNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2013 Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CƠNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ Chun nghành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU THÁI NGUN - 2013 Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 i Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo Giáo sư Nguyễn Quang Diệu, Đại học sư phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn - Đại học sư phạm, Đại học Thái Ngun tạo điều kiện thuận lợi suốt q trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K19 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi suốt thời gian học tập q trình làm Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng năm 2013 Tác giả Đinh Cơng Sơn Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Đinh Cơng Sơn Xác nhận cán hướng dẫn Xác nhận trưởng khoa chun mơn GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Hàm đa điều hòa 1.1.1 Hàm điều hòa 1.1.2 Hàm đa điều hòa 10 Khái niệm dung lượng tương đối 17 1.2.1 Các định nghĩa 17 1.2.2 Các tính chất dung lượng tương đối 20 Khái niệm hội tụ theo dung lượng 25 Hội tụ nhanh theo dung lượng dãy hàm hữu tỷ 27 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Mở đầu Ký hiệu tập hợp hàm giải tích f xác định lân cận ∈ Cn cho tồn dãy hàm hữu tỷ {rn } ,deg rn n cho:|f − rn | n → lân cận U ∈ Cn Một ví dụ tập g hàm phân hình f = , g h hàm ngun Trong trường hợp h Tn (g) ta chọn: rn = Tn (g), Tn (h) đa thức Taylor Tn (h) bậc n g h Một kết quan trọng Goncar[G3] nói f ∈ tồn Wf f đơn trị dãy {rn } hội tụ nhanh f theo độ đo Wf Nội dung luận văn trình bày lại kết Bloom nói khẳng định Goncar dãy {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tập khơng đa cực Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trước hết mục 1.1 trình bày khái qt hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa Trong mục giới thiệu dung lượng tương đối C(K, D), hội tụ theo dung lượng Chương 2: Chứng minh khẳng định Goncar dãy hội tụ nhanh theo dung lượng tập khơng đa cực Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm đa điều hòa 1.1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X khơng gian tơpơ Hàm u: X → [−∞; +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập Xα = {x ∈ X : u(x) < α} mở X Hàm v: X → (−∞; +∞] gọi nửa liên tục X -v nửa liên tục trên X Định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X → [−∞; +∞) Ta nói hàm u nửa liên tục x ∈ X ∀ε > tồn lân cận Ux0 x0 X cho ∀x ∈ Ux0 ta có: u(x) < u(x0 ) + ε, u(x0 ) = −∞, u(x) < − , u(x0 ) = −∞ ε Hàm u gọi nửa liên tục trên X u nửa liên tục x0 ∈ X Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Mặt khác ta định nghĩa: giả sử E ⊂ X u: E → [ − ∞; +∞) hàm E Giả sử x0 ∈ E Ta định nghĩa: lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }}, (1.1) x→x0 x∈E inf lấy V chạy qua lân cận x0 Khi thấy hàm u: X → [ − ∞; +∞) nửa liên tục x0 ∈ X lim sup u(x) x→x0 u(x0 ) Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω tập mở C Hàm u: Ω → [ − ∞; +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn τ > cho với r < τ ta có: 2π u(ω + reit )dt 2π Chú ý: Với định nghĩa hàm đồng −∞ Ω xem u(ω) hàm điều hòa Ω Ta kí hiệu tập hàm điều hòa Ω SH (Ω) Sau ví dụ đáng ý hàm điều hòa Bổ đề 1.1.3 Nếu f: Ω → C hàm chỉnh hình Ω log |f | hàm điều hòa Ω Chứng minh: Trường hợp f ≡ Ω kết rõ ràng Giả sử f = Ω Giả sử ω ∈ Ω, f (ω) = chọn τ > cho f = B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ } Khi log |f | hàm điều hòa B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ } nên (1.1) thỏa mãn với dấu đẳng thức Trường hợp f (ω) = 0, log |f (ω)| = −∞ (1.1) Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 ln Bổ đề 1.1.4 Giả sử u,v hàm điều hòa tập mở Ω C Khi đó: (i) max(u,v) hàm điều hòa Ω (ii) Tập hàm điều hòa Ω nón, nghĩa u, v ∈ SH(Ω); α, β > αu + βv ∈ SH(Ω) Định lý 1.1.5 Giả sử u hàm điều hòa miền bị chặn Ω C Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại tồn thể điểm Ω u số Ω (ii) Nếu lim sup u(z) z→ς ς ∈ ∂Ω u Ω Chứng minh (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M điểm z0 ∈ Ω Đặt A = {z ∈ Ω : u(z) < M } ; B = {z ∈ Ω : u(z) = M } Khi A tập mở u hàm nửa liên tục Từ bất đẳng thức trung bình ta thấy B tập mở Ta có Ω = A ∪ B, A ∩ B = φ Do A = Ω B = Ω Nhưng theo giả thiết B = φ nên B = Ω (i) chứng minh (ii) Mở rộng u lên Ω nhờ đặt u(ς) = lim sup u(z), (ς ∈ ∂Ω) Do Ω z→ς tập compact nên u đạt cực đại ω ∈ Ω Nếu ω ∈ ∂Ω giả thiết u(ω) Do u Ω Trường hợp ω ∈ Ω theo (i) u số Ω Do số Ω, u Footer Page of 126 Ω Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 10 of 126 Sau tiêu chuẩn nhận biết hàm nửa liên tục hàm điều hòa Định lý 1.1.6 Giả sử Ω tập mở C Khi phát biểu sau tương đương: (i) u hàm điều hòa Ω (ii) Với ω ∈ Ω, tồn τ > cho ∆(ω, τ > 0) ⊂ Ω với r < τ, t < 2π ta có: 2π τ − r2 it u(ω + re ) u(ω + τ eiθ )dθ., 2π τ − 2τ r cos(θ − t) + r2 ∆(ω, τ > 0) = { z ∈ Ω : |z − ω| τ } đĩa đóng tâm ω bán kính τ (iii) Với miền D compact tương đối Ω h hàm điều hòa D, liên tục D thỏa mãn: lim sup(u − h)(z) z→ς 0(ς ∈ ∂D) ta có u h D Hệ 1.1.7 Nếu u hàm điều hòa tập mở Ω ∆(ω, τ ) ⊂ Ω thì: 2π u(ω) u(ω + τ eiθ )dθ 2π Định lý 1.1.8 Giả sử u ∈ C2 (Ω), u hàm điều hòa Ω ∂ 2u ∂ 2u ∆u ≥ 0, ∆u = + Laplace u ∂x2 ∂y Chứng minh Giả sử ∆u Ω Lấy D miền compact tương đối Ω h điều hòa D, liên tục D cho: lim sup(u − h)(z) z→ς 0(ς ∈ ∂D) Với ε > xác định Footer Page 10 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 28 of 126 23 B = B(0, R) hình cầu chứa K Giả sử K khơng đa cực {Kn } dãy tập compact K cho lim Cap(K\Kn , Ω) = Khi n→∞ có số δ khơng phụ thuộc vào dãy {Kn } cho với n đủ lớn, Cap(Kn , B) ≥ δ TR (Kn ) ≥ δ Chứng minh: Từ (2.8) có lim Cap(Kn , Ω) = Cap(K, Ω) n→∞ Vì K khơng đa cực, Cap(K, Ω) > [Định lý K,4.7.5] Như vậy, với n đủ lớn Cap(Kn , Ω) ≥ c2 > với c2 Kết suy từ (2.10) (2.16) Tính chất Giả sử K ⊂ CN tập compact với độ đo Lesbesgue dương 2N B = B(0, R) hình cầu chứa K Gọi {Kn } dãy tập compact K cho lim λ(K\Kn ) = Giả sử có n→∞ số δ > khơng phụ thuộc vào dãy {Kn } cho với n đủ lớn Cap(Kn , B) ≥ δ TR (Kn ) ≥ δ Chứng minh: Từ giả thiết, λ(K) > lim λ(Kn ) = λ(K) Do có số n→∞ c3 > cho, với n đủ lớn ta có λ(Kn ) ≥ c3 Một kết suy từ (1.11) (1.16) Giả sử {fn } dãy hàm đo tập Borel tập compact K ⊂ CN giả sử f hàm đo tập Borel K Dãy {fn } hội tụ theo dung lượng tới f tập K với a > siêu lồi Ω ⊃ K có: (2.17) Footer Page 28 of 126 lim Cap ({z ∈ K| |fn (z) − f (z)| > a} , Ω) = n→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 29 of 126 24 Do (2.10), (2.17) cho siêu lồi Ω ⊃ K cho tập siêu lồi mở Footer Page 29 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 30 of 126 25 1.3 Khái niệm hội tụ theo dung lượng Nếu {fn } dãy hàm đo tập Borel tập mở Ω ⊂ CN Ta nói hội tụ theo dung lượng tới hàm đo Borel f Ω fn hội tụ tới f theo dung lượng tập compact Ω Từ (2.11) thấy hội tụ theo dung lượng hội tụ theo độ đo Như vậy, ta có: lim λ({z ∈ K| |fn (z) − f (z)| > a}) = (2.18) n→∞ Hội tụ theo độ đo khơng bao gồm hội tụ theo dung lượng Ví dụ, tập hợp có độ đo Lebesgue có dung lượng dương Một hàm hữu tỷ CN định nghĩa phép chia đa thức Chúng ta nói hàm hữu tỷ có bậc ≤ n kí hiệu rn (z) biểu pn (z) thị dạng rn (z) = qn (z) Với pn qn đa thức có bậc ≤ n( ta giả thiết qn = 0) Giả sử f (z) giải tích tập mở Ω ⊂ CN Theo Goncar [G3 ], có dãy hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Ω Khi đó, rn hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập compact K ⊂ Ω với a > với tập siêu lồi mở Ω1 ⊃ K : (2.19) lim Cap( z ∈ K||f (z) − rn (z)|1/n > a , Ω1 ) = n→∞ Ta nói dãy {rn } hội tụ nhanh tới f Ω dãy |fn − rn (z)|1/n hội tụ tới Ω (resp.,hội tụ tới K ) Khi {rn } hội tụ nhanh tới f tập compact K ⊂ Ω nếu, a > 0, ta có: (2.20) Footer Page 30 of 126 lim λ n→∞ z ∈ K||f (z) − rn (z)|1/n > a Số hóa Trung tâm Học liệu = http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 31 of 126 26 Chương Hội tụ nhanh theo dung lượng dãy hàm hữu tỷ Trong mục trước hết đưa đánh giá xấp xỉ hàm chỉnh hình hàm hữu tỷ Những đánh giá chứng minh định lý luận văn Giả sử K tập compact, khơng đa cực B(0, R) u(z) := u∗K,B(0,10R) (z) theo quy tắc hàm cực trị tương đối K B(0, 10R) Bổ đề 2.1 đánh giá u(z) mặt cầu |z| = 2R Đánh giá phụ thuộc vào Cap(K, B(0, 10R)) Bổ đề 2.1 Tồn số c > cho |z| = 2R thì: u(z) ≤ −cCap(K, B(0, 10R)) Chứng minh Gọi z0 điểm cố định mặt cầu |z| = 2R Xét tập mở: ω = z ∈ CN | |z − z0 | < 4R Ω = z ∈ CN | |z − z0 | < 5R Do 4R < nên B(z0 , 4R) nằm B(z0 , 1) ta áp dụng Bổ đề Footer Page 31 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 32 of 126 27 3.3 [A-T], có số c > cho: (ddc u)N ≤ c (−u(z0 )) Sup |u(z)|N −1 (3.1) z∈Ω ω Khi đó, từ (2.5) ta có: (ddc u)N = Cap(K, B(0, 10R)) (3.2) ω Hơn theo định nghĩa hàm cực trị tương đối (xem 2.3): supz∈Ω |u(z)| ≤ Từ ta có: (3.3) Cap(K, B(0, 10R)) ≤ −c u(z0 ) với Bổ đề 3.3 [A-T], theo (3.1) với v ∈ P SH(Ω) thỏa mãn v < số c chọn độc lập với v Ta xét (3.1) cho hàm uT (z) := u(T z) với T khơng gian unita CN Khi (ddc uT )N = (ddc u)N Khi vế trái (3.1) khơng đổi Ta có Cap(K, B(0, 10R)) ≤ −c u(T z0 ) với khơng gian unita T Với c = nội dung Bổ đề 2.1(đpcm) c Bổ đề cho thấy hàm hữu tỷ xấp xỉ đồng đến hàm giải tích tập có dung lượng dương hình cầu, có mẫu khơng q nhỏ Đặc biệt, giả sử K tập compact B(0, R) với K khơng đa cực Giả sử f chỉnh hình lân cận B(0, 10R) với M > số thỏa mãn |f (z)| ≤ M pn (z) với z ∈ B(0, 10R) Đặt rn (z) = hàm hữu tỷ có bậc ≤ n qn (z) chuẩn hóa: (3.4) qn (z) K = Bổ đề 2.2 Cho a thỏa mãn điều kiện < a < 1: Footer Page 32 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 33 of 126 28 |f (z) − rn (z)| n ≤ a với z ∈ K Khi với |z| ≤ 2R ta có, với c Bổ đề 2.1: (2M + 1)ancCap(K,B(0,10R)) |f (z) − rn (z)| ≤ (T10R (K))n |qn (z)| Chứng minh Từ (3.4) giả thiết Bổ đề 2.2 ta có: |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ an với z ∈ K (3.5) Từ a < 1, với điều kiện: pn (3.6) K ≤M +1 Từ đó, sử dụng (2.15) ta có: qn (3.7) B(0,10R) ≤ n (T10R (K)) pn B(0,10R) ≤ M +1 n (T10R (K)) Khi đó, ta có, cho |z| ≤ 10R: 2M + (T10R (K))n Bây ta áp dụng hai định lý khơng đổi [K,Prop 4.5.6] cho hàm đa điều |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ (3.8) hòa log |qn (z)f (z) − pn (z)| sử dụng kết (3.5) (3.8) ta được, với |z| < 10R: (3.9) |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ [−n log T10R (K) + log(2M + 1)] (1 + u(z)) - n(log a)(u(z)) Ở u(z) := u∗K,B(0,10R) (z) Bổ đề 2.1 Từ M > log T10R (K) < (xem (2.12)) số hạng bên phải (3.9) khơng giảm ta thay (1 + u(z)) Hơn nữa, số hạng thứ hai vế phải (3.9) ta sử dụng đánh giá Bổ đề 2.1 (đúng với |z| = 2R) Khi đó, từ log a < ta có, với |z| = 2R: (3.10) log |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ −n log T10R (K) + log(2M + 1) + n(log a)cCap(K, B(0, 10R)) Theo luật số mũ sử dụng ngun lý mơ Footer Page 33 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 34 of 126 29 đun cực đại ta có, với |z| ≤ 2R : 2M + ncCap(K,B(0,10R)) a (T10R (K))n sinh kết Từ đạt kết hội tụ theo dung lượng, |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ (3.11) từ kết Bổ đề 2.2 ta đánh giá dung lượng xác lập |qn (z)| nhỏ, ngồi xem [C-D-L] Ta đặt, với < α < Wn (α) := z ∈ B(0, 2R)||qn (z)| < αn (3.12) với qn (z) đa thức có bậc ≤ n chuẩn hóa (3.4) Bổ đề thấy dung lượng Wn (α) phụ thuộc vào n qn phụ thuộc vào α dung lượng K Hơn nữa, dung lượng Wn (α) tiến tới Đặc biệt, ta có (với 4R < 1): Bổ đề 2.3 Có số β > cho: Cap(Wn (α), B(0, + R)) ≤ β + log α/ log T1+R (K) Chứng minh Lưu ý T1+R (K) < biểu thức log α/ log(T1+R (K)) > Khi đó, từ (2.5) (3.4) ta có: với |z| ≤ + R (T1+R (K))n Cho z0 điểm thuộc K cho: (3.13) |qn (z)| ≤ |qn (z0 )| = (3.14) Đặt (1/n) log |qn (z)| + log T1+R (K) − log T1+R (K) Khi u1 ∈ P SH(B(0, + R), u1 < u1 (z0 ) = −1 (3.15) Footer Page 34 of 126 u1 (z) := Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 35 of 126 30 Từ z0 ∈ K, |z0 | ≤ R B(z0 , 1) ⊂ B(0, + R) (3.16) Ta đặt: log α log T1+R (K) Khi A > u1 (z) < −A (1/n) log |qn (z)| < log α A := + (3.17) Như vậy: (3.18) Wn (α) ⊂ z ∈ C N ||z − z0 | < 4R, u1 < −A Từ 4R < 1, hình cầu B(z0 , 4R) chứa hình cầu B(z0 , 1) ta áp dụng đẳng thức (4.1) [A-T] cho trường hợp này, ta được, với β > 0: β + log α/ log T1+R (K) Theo kết Bổ đề 3.3 sinh từ (3.16) tính đơn điệu Cap (3.19) Cap(Wn (α), B(z0 , 1)) ≤ (xem(2.9)) Bổ đề 2.4 Cho f giải tích tập mở Ω ⊃ B(0, 10R) (với 4R < 1) cho {rn }n=1,2,3, dãy hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh đến f theo dung lượng tập compact, khơng đa cực K ⊂ B(0, R) Khi {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng đến f B(0, 2R) Chứng minh Cho a thỏa mãn < a < Kn (a) := z ∈ K||f (z) − rn (z)|1/n ≤ a Khi Kn (a) compact theo giả thiết: lim Cap(K\Kn (a), B(0, 10R)) = n→∞ Theo Bổ đề 2.1 có số δ > cho T1+R (Kn (a)) ≥ δ T10R (Kn (a)) ≥ δ ,Cap(Kn (a), B(0, + R)) ≥ δ với n đủ lớn, lấy n ≥ Na Footer Page 35 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 36 of 126 31 Hơn nữa, δ chọn khơng phụ thuộc vào a Đặt: cδ α := a với c số Bổ đề 2.1 (3.20) Giả sử rn (z) = pn (z)/qn (z) qn chuẩn hóa (3.4) Wn (α) định nghĩa (3.12) với α cho (3.20) Khi với z ∈ / Wn (α) ta có: 1 ≤ n = a−ncδ/2 |qn (z)| α Kết hợp (3.21) với kết Bổ đề 2.2, với n ≥ Na : (2M + 1)1/n acδ/2 1/n (3.22) |f (z) − rn (z)| ≤ , z ∈ B(0, 2R)\Wn (α) δ Cho b, ε >0 ta chọn a đủ nhỏ Khi đó: (2M + 1)acδ/2 β (3.23) < b < ε δ + (log a)cδ/2 log δ Từ đó, suy  với n ≥ Na :    Cap( z ∈ B(0, 2R)||f (z) − rn (z)| n > b , B(0, + R)) < ε,   (3.21) nhờ sử dụng đánh giá Cap(Wn (α), B(0, 1+R)) Bổ đề 2.3 ý rằng: z ∈ B(0, 2R)||f (z) − rn (z)|1/n > b ⊂ Wn (α) Định lý 2.1 Giả sử f giải tích tập mở liên thơng Ω ⊂ CN Cho {rn } dãy hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh theo dung lượng đến f tập compact khơng đa cực K ⊂ CN Khi {rn } hội tụ nhanh tới f theo dung lượng Ω Chứng minh Ta giả sử ∈ Ω, K ⊂ B(0, R) với 4R < B(0, 10R) ⊂ Ω Áp dụng Bổ đề 3.4 ta kết luận {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng đến f B(0, 2R) Footer Page 36 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 37 of 126 32 Lấy tùy ý điểm ω ∈ Ω, ln tồn hình cầu B tâm ω với {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f B , hội tụ nhanh theo dung lượng {rn } tới f tập compact Ω theo (2.7) Khi đó, có tập hợp hình cầu B1 , B2 , , Bm với B1 = B(0, R), , Bm = B(ω, Rm ) thỏa mãn Bs ∩ Bs+1 = φ với s=1, ,m-1 Bj = B(ωj , Rj ), 4Rj < B(ωj , 10Rj ) ⊂ Ω Từ B1 ∩ B2 = φ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f B1 , dãy hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập compact khơng đa cực B2 Lặp lại q trình ta kết luận {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Bm ta có kết sau: Hệ 2.1 Cho f giải tích hình cầu B giả sử tồn dãy hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập compact khơng đa cực B Khi đó, hiển nhiên tồn lân cận f , ký hiệu Wf tập CN {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Wf Chứng minh Lấy điểm ω ∈ Wf , tồn dãy hình cầu B = B1 , , Bm với Bm có tâm ω chứng minh Định lý 2.1 {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Bm Vậy f đơn trị Wf Định lý 2.2 Cho f giải tích tập mở liên thơng Ω ⊂ CN Giả sử {rn }n=1,2,3, dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh đo tới f hình cầu đóng B ⊂ Ω Khi {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Ω Footer Page 37 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 38 of 126 33 Chứng minh Sử dụng định lý 2.1, dễ thấy {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f B Cho a > 0, từ giả thiết có: lim λ z ∈ B||f (z) − rn (z)|1/n > a = (3.24) Đặt Bn (a) := z ∈ B||f (z) − rn (z)|1/n ≤ a (3.25) Khi lim λ(Bn (a)) = λ(B) > Sử dụng Bổ đề 2.2 có số δ >0 n→∞ cho với n đủ lớn Cap(Bn (a), B ) ≥ δ với B hình cầu chứa B Theo kết Bổ đề 2.4 áp dụng trường hợp ta có kết sau: Hệ 2.2 (Xem [G, Định lý 5]) Cho f giải tích hình cầu B giả sử có dãy hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f hình cầu B Khi hiển nhiên tồn lân cận Wf f tập CN {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Wf Hệ 2.3 Cho f giải tích lân cận ∈ CN Giả sử f ∈ Khi đó, tồn dãy hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f hình cầu tâm O Khi đó, dãy xấp xỉ Taylor-Pade’ {πn (z, f, λ)} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Wf Chứng minh: Đó kết Goncar[G, Định lý 6] cho dãy {πn (z, f, λ)} hội tụ nhanh theo dung lượng tới Wf Hệ 2.3 suy từ Hệ 2.2 Hệ 2.4 Cho f phân hình CN giải tích lân cận ∈ CN Với dãy xấp xỉ Taylor-Pade’{πn (z, f, λ)} hội tụ Footer Page 38 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 39 of 126 34 nhanh theo dung lượng tới f CN Footer Page 39 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 40 of 126 35 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Goncar[G3] nói f ∈ tồn Wf f đơn trị dãy {rn } hội tụ nhanh f theo độ đo Wf Bloom nói khẳng định Goncar dãy {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tập khơng đa cực Footer Page 40 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 41 of 126 36 Tài liệu tham khảo TIẾNG VIỆT [DIEU-HAI] Nguyễn Quang Diệu -Lê Mậu Hải , Cơ sở lý thuyết Đa vị, Nhà xuất Trường Đại học Sư phạm, 2009 TIẾNG ANH [A-T] H J ALEXANDER, B.A.TAYLOR(1984): Comparison of two capacities in CN Math.Z.,186:407-417 [C-D-L] A CUYT, K DRIVER, D S LUBINSKY (1996): On the size of lemiscates in one and several variables Proc.Amer.Math.Soc.,124:21232136 [G] A.A.GONCAR (1974): A local condition of single-valuedness of analytic functions of several variables.Math.USSR-Sb.,22:305-322 [K] M KLIMEK (1991): Pluripotential Theory Oxford: Oxford University Press [Ko] S.KOLODZIEJ (1998): The complex Monge-Ampere equation Acta Math.,180:69-117 [Si] N Sibony: Quelques problemes de prolongement de courants en analyse complexe, Duke Math ,52(1985), 157 - 197 Footer Page 41 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 42 of 126 37 [Bl] T Bloom: On the Convergence in Capacity of Rational Approximants Constr Approx (2001) 17: 91–102 Footer Page 42 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ...Header Page of 126 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CƠNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ Chun nghành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ... tụ theo dung lượng Nếu {fn } dãy hàm đo tập Borel tập mở Ω ⊂ CN Ta nói hội tụ theo dung lượng tới hàm đo Borel f Ω fn hội tụ tới f theo dung lượng tập compact Ω Từ (2.11) thấy hội tụ theo dung. .. http://lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 31 of 126 26 Chương Hội tụ nhanh theo dung lượng dãy hàm hữu tỷ Trong mục trước hết đưa đánh giá xấp xỉ hàm chỉnh hình hàm hữu tỷ Những đánh giá chứng minh định lý luận văn Giả