Jacobian xấp xỉ và ứng dụng cho bài toán tối ưu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THU JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THU JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 HÀM KHẢ VI 1.1 Hàm khả vi từ R → R 1.2 Hàm khả vi từ Rn → R 1.2.1 Các định nghĩa tính chất 1.2.2 Các phép tính đạo hàm 1.3 Hàm khả vi từ Rn đến Rm 1.4 Ứng dụng 1.4.1 Bài toán trơn ràng buộc 1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức JACOBIAN XẤP XỈ 2.1 Jacobian xấp xỉ hàm vô hướng 2.1.1 Định nghĩa tính chất 2.1.2 Các phép tính Jacobian xấp xỉ 2.2 Jacobian xấp xỉ hàm vectơ 2.3 Hessian xấp xỉ 2.3.1 Hessian xấp xỉ hàm vô hướng 2.3.2 Hessian xấp xỉ hàm vectơ ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ 3.1 Bài toán tối ưu tổng quát 3.2 Các loại toán tối ưu 3.3 Bài toán tối ưu không ràng buộc 3.4 Bài toán tối ưu có ràng buộc 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 4 10 10 11 12 12 12 20 28 39 39 42 44 44 46 47 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.5 Điều kiện tối ưu cấp hai toán tối ưu vectơ 52 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vào nửa sau kỉ XVII, nhà toán học người Đức Leibniz đồng thời nhà toán học người Anh Newton phát minh phép tính vi phân, công cụ đắc lực để giải nhiều toán vật lý, học, hóa học, kỹ thuật, Nhưng phép tính vi phân mà Leibniz Newton phát minh áp dụng cho lớp hàm có tính chất tốt Một vấn đề đặt là cách giải hàm không khả vi Đây vấn đề nghiên cứu nhiều nhà khoa học vào nửa cuối kỉ XX Từ môn giải tích không trơn đời Môn học giải toán lớp hàm đạo hàm theo nghĩa thông thường cách đưa khái niệm vi phân khác để thay khái niệm đạo hàm, điểm cho trước hàm xấp xỉ họ hàm tuyến tính Nhờ mà giải tích không trơn đem lại nhiều kết sâu sắc lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, học lý thuyết điều khiển Trong năm gần nhiều nhà nghiên cứu giải tích không trơn cách tập trung phát triển vi phân suy rộng đảm bảo tính chất tốt điều kiện cần đủ tối ưu hàm không trơn như: F.H Clarke, R.T Rockafellar, D.Ralph V.F.Demyanov V.Jeyakumar, Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar D.T.Luc đưa khái niệm vi phân gọi Jacobian xấp xỉ Các khái niệm cho ta công cụ hữu ích để nghiên cứu toán hàm liên tục có Jacobian xấp xỉ có phép tính tốt, tương 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ứng với phép tính đạo hàm thông thường phép lấy tích, tổng, hợp, định lý giá trị trung bình, Đặc biệt, nhiều vi phân Jacobian xấp xỉ, ví vi phân hàm lồi, hàm Lipschitz nhiều vi phân khác Morduchovich, Michel-Penot, Treiman, Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ mở rộng, thống làm sâu sắc nhiều kết giải tích không trơn tối ưu hóa Lý thuyết Jacobian xấp xỉ đề tài nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu kỹ lý thuyết Jacobian xấp xỉ với giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, xin giới thiệu đề tài: " JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN " Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tập trung trình bày có hệ thống số kết Jacobian xấp xỉ hàm liên tục không gian hữu hạn chiều, trước hết hàm vô hướng, sau hàm vectơ dựa sở kết V.Jeyakumar, D.T.Luc cộng nghiên cứu Lý thuyết tối ưu vô hướng, vectơ phát triển mạnh thập niên cuối kỉ 20 đầu kỉ 21; đến lý thuyết đề tài nghiên cứu hấp dẫn nhiều nhà toán học nước Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết Jacobian xấp xỉ ứng dụng - Sử dụng kết công bố để hệ thống lại theo cách hiểu vận dụng vào toán không trơn thực tế - Luôn gắn toán vào ứng dụng lý thuyết tối ưu, điều khiển tối ưu tới hàm không trơn để tìm kết lĩnh vực Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Trước hết tìm hiểu thật kỹ kiến thức thuộc lĩnh vực giải tích đại liên quan tới hàm vectơ giải tích đa trị, đặc biệt tính chất hàm có Jacobian xấp xỉ - Sử dụng tính chất khác Jacobian xấp xỉ để tìm điều 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn kiện cần đủ cho việc tồn nghiệm toán tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ đưa ứng dụng toán thực tế - Phân tích đặc thù riêng toán để tìm phương pháp khác cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu toán học, tài liệu chuyên khảo lý thuyết tối ưu không trơn - Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục vụ cho mục đích nghiên cứu Những đóng góp đề tài - Hoàn thành luận văn đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ ứng dụng, dày 64 trang - Tìm ứng dụng có ý nghĩa lý thuyết tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ - Làm rõ, hệ thống kiến thức hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng dụng Jacobian xấp xỉ 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương HÀM KHẢ VI 1.1 Hàm khả vi từ R → R Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R Ta nói hàm f khả vi điểm x ∈ (a, b), tồn giới hạn f (x + h) − f (x) h→0 h f (x) = lim Giới hạn f (x) gọi đạo hàm f x Định nghĩa 1.1.2 Nếu hàm f có đạo hàm điểm x ∈ (a, b) ta nói f khả vi (a, b) Định lý 1.1.3 Nếu f khả vi x f liên tục x 1.2 1.2.1 Hàm khả vi từ Rn → R Các định nghĩa tính chất Cho U tập mở Rn , hàm f : U → R, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ U Ta kí hiệu L(Rn , R) không gian hàm tuyến tính liên tục từ Rn vào R Định nghĩa 1.2.1 Hàm f gọi khả vi x tồn hàm tuyến tính liên tục L ∈ L(Rn , R) cho f (x + h) − f (x) = L(h) + (h)||h||, 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn h = (h1 , h2 , , hn ) ∈ Rn , (h) → h → Hàm tuyến tính L gọi đạo hàm f x, kí hiệu f (x) hay Df(x) Hàm f gọi khả vi U khả vi điểm x ∈ U Từ định nghĩa ta chứng minh định lý sau Định lý 1.2.2 Nếu f khả vi x đạo hàm tương ứng xác định Định nghĩa 1.2.3 Ta nói f khả vi theo hướng u ∈ Rn x tồn giới hạn f (x + hu) − f (x) lim h→0 h Khi giới hạn gọi đạo hàm hàm f theo hướng u x, kí hiệu f (x, u) Định nghĩa 1.2.4 Cho u vectơ sở tắc {e1 , e2 , , en } Rn Nếu f (x, ei ) tồn gọi đạo hàm riêng thứ i hàm f x, hay đạo hàm riêng theo biến xi hàm f x kí hiệu ∂f ∂xi (x) hay Di f (x) fxi (x) Ta có mối quan hệ đạo hàm, đạo hàm riêng đạo hàm theo hướng sau Định lý 1.2.5 Nếu hàm f khả vi x có đạo hàm riêng theo biến x n f (x)(h) = i=1 ∂f (x)hi , h = (h1 , h2 , , hn ) ∈ Rn ∂xi Từ định lý ta suy f (x) hàm tuyến tính xác định ∂f ∂f ∂f ma trận ∂x (x), (x), , (x) xem f (x) ∂x ∂x n vectơ không gian Rn gọi vectơ gradient f x, thường kí hiệu ∇f (x) ∂f ∂f Định lý 1.2.6 Nếu hàm f có đạo hàm riêng ∂x (x), ∂x (x), , ∂f ∂xn (x) lân cận điểm x chúng hàm số liên 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tục x hàm f khả vi liên tục x n f (x)(h) = i=1 ∂f (x)hi , h = (h1 , h2 , , hn ) ∈ Rn ∂xi Định lý 1.2.7 Nếu hàm f khả vi x có đạo hàm theo hướng x f (x, u) = f (x)(u) = ∇f (x), u , u = (u1 , u2 , , un ) ∈ Rn Cho U tập mở Rn , hàm f : U → R, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ U Giả sử Di f (x) tồn với x ∈ U , ta có ánh xạ: Di f : U → R, x → Di f (x) Định nghĩa 1.2.8 Nếu hàm Di f có đạo hàm riêng theo biến thứ j x đạo hàm gọi đạo hàm riêng cấp hai f x theo biến f (x) thứ i thứ j hay theo biến xi xj , kí hiệu Dij f (x) hay ∂x∂i ∂x j Định lý 1.2.9 (Định lý Schwarz) Cho U tập mở Rn , hàm f : U → R, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ U f ∂2f (x) , Nếu ∂x∂i ∂x ∂xj ∂xi (x) tồn U liên tục x ta có j ∂ 2f ∂ 2f (x) = (x) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Áp dụng định lý Schwarz, ta suy f có đạo hàm riêng p liên tiếp đến cấp k U đạo hàm riêng ∂xi ∂x∂ i f ∂xi (x) (p ≤ k ) p không phụ thuộc vào thứ tự biến lấy đạo hàm Chúng viết ∂ |α| f dạng tắc: ∂xα1 ∂x α2 n (x), với α = (α1 , α2 , , αn ) n số ∂xα n nguyên không âm, |α| = α1 + α2 + · · · + αn = p Giả sử f khả vi U, ta có ánh xạ f : U → L(Rn , R), x → f (x) Định nghĩa 1.2.10 (i) Hàm f gọi khả vi liên tục hay thuộc lớp C U f’ liên tục, kí hiệu f ∈ C (U ) 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... tối ưu Jacobian xấp xỉ ứng dụng, dày 64 trang - Tìm ứng dụng có ý nghĩa lý thuyết tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ - Làm rõ, hệ thống kiến thức hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng dụng Jacobian. .. tính Jacobian xấp xỉ 2.2 Jacobian xấp xỉ hàm vectơ 2.3 Hessian xấp xỉ 2.3.1 Hessian xấp xỉ hàm vô hướng 2.3.2 Hessian xấp xỉ hàm vectơ ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ 3.1 Bài. .. tìm hiểu kỹ lý thuyết Jacobian xấp xỉ với giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, xin giới thiệu đề tài: " JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN " Mục đích nghiên