Phương pháp xấp xỉ trơn cho bài toán tối ưu không trơn

Phương pháp xấp xỉ trơn cho bài toán tối ưu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRƠN CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRƠN CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mở đầu 1 Nội dung 4 1 XẤP XỈ TỐI ƯU KHÔNG TRƠN BẰNG DÃY CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU TRƠN 4 1.1 Xấp xỉ bài toán không trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Điều kiện cần Lagrange không trơn . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Đối ngẫu Wolfe suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Bài toán quy hoạch liên tục không trơn . . . . . . . . . . . 15 1.6 Bài toán điều khiển tối ưu không trơn . . . . . . . . . . . . 22 2 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRƠN CHO BÀI TOÁN MIN- IMAX VECTƠ KHÔNG TRƠN 28 2.1 Các kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Bài toán minimax đã làm trơn . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Làm trơn hàm lồi bất biến địa phương . . . . . . . . 32 2.2 Điều kiện cần cho minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Điều kiện đủ cho minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Lí thuyết các bài toán tối ưu không trơn là một bộ phận quan trọng của lí thuyết các bài toán cực trị và có nhiều ứng dụng trong kinh tế, kĩ thuật. Lí thuyết gradient và jacobian suy rộng Clarke ra đời (xem [4]) đã trở thành công cụ hữu hiệu để xử lí các bài toán tối ưu không trơn với các hàm Lipschitz địa phương. Định lý Rademacher chỉ ra rằng một hàm Lipschitz xác định trong không gian hữu hạn chiều thì khả vi hầu khắp nơi trong miền xác định của nó. Sử dụng tích chất này và kĩ thuật của lí thuyết hàm suy rộng, Craven [5] đã đưa ra phương pháp xấp xỉ trơn cho bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương trong không gian hữu hạn chiều. Bằng phương pháp xấp xỉ trơn, Craven [5] đã thiết lập cho các điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu không trơn với ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức, bài toán quy hoạch liên tục không trơn và bài toán điều khiển tối ưu không trơn và một vài kết quả về đối ngẫu. Bằng phương pháp xấp xỉ trơn trong [5], B.D.Craven và D.V.Lưu [9] đã chứng minh các điều kiện Lagrange cần và đủ cho bài toán minimax vectơ không trơn với các ràng buộc nón. Luận văn đã trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương, có ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức, bài toán quy hoạch liên tục không trơn, bài toán điều khiển tối ưu không trơn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 và bài toán minimax vectơ không trơn được thiết lập bằng phương pháp xấp xỉ trơn của B.D.Craven. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu của B.D.Craven [5] cho bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương, có ràng buộc đẳng thức và ràng buộc nón, bài toán quy hoạch liên tục không trơn và bài toán điều khiển tối ưu không trơn với thời gian cố định và ràng buộc trạng thái được thiết lập bằng phương pháp xấp xỉ trơn của B.D.Craven. Một số kết quả đối ngẫu cũng được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày các điều kiện Lagrange của B.D.Craven và D.V.Lưu [9] cho bài toán minimax vectơ với các hàm Lipschitz địa phương và ràng buộc nón. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán- Tin, Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học. Tôi xin chân thành cảm ơn trường Hữu Nghị 80, Tổ Toán trường Hữu Nghị 80 đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học này. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K3b đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian, trình độ và điều kiện Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011. Tác giả Nguyễn Thị Trang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 XẤP XỈ TỐI ƯU KHÔNG TRƠN BẰNG DÃY CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU TRƠN Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương bao gồm các ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức, bài toán quy hoạch liên tục không trơn và bài toán điều khiển tối ưu không trơn với thời gian cố định và có ràng buộc trạng thái được thiết lập bằng phương pháp xấp xỉ trơn. Các kết quả trong chương này là của B.D.Craven [5]. 1.1 Xấp xỉ bài toán không trơn Xét bài toán cực tiểu có ràng buộc: Minimize x∈X 0 f(x), − g(x) ∈ S, h(x) = 0, (1.1) trong đó X 0 là một tập con của R n , f : X 0 → R, g : X 0 → R m , h : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 X 0 → R r là các hàm Lipschitz địa phương, không nhất thiết khả vi Fréchet, S là một nón lồi đóng trong R m có phần trong khác rỗng. Chú ý rằng tập chấp nhận được: Γ := {x ∈ X 0 | − g(x) ∈ S, h(x) = 0} của bài toán (1.1) là đóng, và X 0 là một lân cận mở của Γ. Như vậy f, g được xác định lân cận của tập chấp nhận được Γ. Gọi k x là hằng số Lipschitz của g tại x. Giả sử bài toán (1.1) có cực tiểu địa phương tại x ∈ Γ, với f, g không cùng khả vi tại x. Nếu S là orthant không âm R m + trong R m thì ràng buộc (1.1) có dạng g j (x) ≤ 0 (j = 1, 2, , m). Khi đó, lí thuyết gradient suy rộng Clarke có thể áp dụng để nhận được điều kiện cần F.John hoặc Kuhn- Tucker. Ta sẽ xấp xỉ bài toán (1.1) bằng các bài toán trơn, và áp dụng lý thuyết Lagrangian thông thường. Khi đó ta sẽ nhận được các điều kiện tối ưu cho bài toán không trơn (1.1) với các ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức. Phương pháp xấp xỉ ở đây dựa trên kĩ thuật trong lý thuyết hàm suy rộng. Với tham số η dương đủ nhỏ, ta đặt f(x : η) =  X f(x − s)ϕ(s)ds; g(x : η) =  X g(x − s)ϕ(s)ds; h(x : η) =  X h(x − s)ϕ(s)ds; (1.2) trong đó X = R n , f, g, h bằng 0 ở ngoài X 0 , ds là độ đo Lebesgue trong R n , ϕ(s) = Φ(η −1 ||s||)η −1 , trong đó ||.|| là chuẩn Euclide và Φ : R → R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 là một hàm có đạo hàm các cấp và thỏa mãn 0  Φ(.), Φ(.) = 0 ở ngoài (-1,1) sao cho  X ϕ(s)ds = 1 (xem [5]). Kí hiệu f  (x : η), g  (x : η), h  (x : η) là đạo hàm của f(. : η), g(. : η), h(. : η). Theo Định lý Rademacher f, g, h khả vi Fréchet trừ ra tập N có độ đo Lebesgue bằng 0. Bởi vì tập này không ảnh hưởng đến việc lấy tích phân, với mọi η đủ nhỏ, ||g  (x − s)ϕ(s)||  k x ϕ(s) và g  (x : η) =  X g  (x − s)ϕ(s)ds ∈ C(η) := co{g  (s)|||s − x|| < η, s ∈ N}, (1.3) trong đó co kí hiệu bao lồi, và co kí hiệu bao lồi đóng. Chú ý rằng 0 < η  < η kéo theo C(η  ) ⊂ C(η). Với η đủ nhỏ, C(η) nằm trong hình cầu đóng có bán kính k x trong không gian R m×n các m × n- ma trận. Vì thế C(η) là compact, và  ∂g(x) :=  η>0 C(η) = ∅. (1.4) Vì vậy ˜ ∂g(x) là bao lồi đóng các điểm giới hạn của các dãy {g  (x k )}, với {x k } → x, x k là điểm khả vi của g. Dưới vi phân suy rộng Clarke ∂g(x) bằng bao lồi của các điểm giới hạn này. Tập đó đóng vì vậy, ˜ ∂g(x) = ∂g(x). Tương tự ta có ˜ ∂f(x) = ∂f(x) và ˜ ∂h(x) = ∂h(x). Từ (1.3) và (1.4), nếu λ ∈ R m thì ˜ ∂(λg)(x) = λ ˜ ∂g(x) := {λω|ω ∈ ˜ ∂g(x)}. (1.5) Nhắc lại ma trận M cấp m × n với m < n, có hạng đầy nếu M chứa ma trận con M 0 cấp m × m không suy biến. Kí hiệu (M) là chuẩn ma trận ||M −1 0 ||, trong đó M 0 là m × m- ma trận con không suy biến của M, nếu M có hạng đầy. Nếu M không có hạng đầy ta đặt (M) = ∞. ˜ ∂h(x) có hạng đầy nếu ( ˜ ∂h(x)) := {(M)|M ∈ ˜ ∂h(x)} là bị chặn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... [8] cho các hàm khả vi và khả vi theo phương Cách tiếp cận này cho ta một lí thuyết đối ngẫu cho các bài toán không trơn bao gồm các đạo hàm suy rộng Clarke, không đòi hỏi tính lồi và quy về được bài toán với dưới vi phân lồi hoặc đạo hàm theo phương thông thường Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 1.5 Bài toán quy hoạch liên tục không trơn Bây giờ ta xét bài. .. Xét bài toán (1.1) không có ràng buộc h(x) = 0 Ta xét bài toán sau: Maximize f (u) + vg(u), u∈X0 ,v 0 ∈ ∂(f + vg)(u), (1.13) v ∈ S ∗ Nhắc lại: Bài toán (1.13) là đối ngẫu yếu của bài toán (1.1) nếu với mọi x chấp nhận được của (1.1), mọi (u,v) chấp nhận được của (1.13), ta có: f (u) + vg(u) ≤ f (x) Bài toán (1.13) là đối ngẫu mạnh của bài toán (1.1) nếu: (i) tính đối ngẫu yếu đúng, và (ii) nếu bài toán. .. × U ; Π(t) là nón lồi đóng x ¯ trong R Các điều kiện cần phải tìm để bài toán (1.27) có cực tiểu địa phương (¯, u) Chứng minh các điều kiện cần cho bài toán (1.27) tương tự x ¯ Định lý 1.2, cho xấp xỉ bài toán (1.27) bằng bài toán trơn thích hợp mà ta có thể áp dụng được lí luận Pontryagin Kết quả sẽ được phát biểu dưới ngôn ngữ phương trình liên hợp: −Dλ(t) ∈ ∂x [f (t, x(t), u(t)) + λ(t)m(t, x(t),... và đủ Lagrange cho bài toán minimax vectơ không trơn với các ràng buộc nón, với các hàm Lipschitz địa phương bằng phương pháp xấp xỉ trơn Các kết quả trong chương này là của B.D.Craven và D.V.Lưu [9] 2.1 Các kiến thức bổ trợ Giả sử f, h và g là hàm Lipschitz địa phương tương ứng từ Rn × Rn , Rm và Rn vào Rr ,Rp và Rn Q ⊂ Rr , T ⊂ Rs và S ⊂ Rp là các nón lồi đóng, với intQ = ∅ Xét bài toán minimax giá... http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 1.6 Bài toán điều khiển tối ưu không trơn Xét bài toán điều khiển tối ưu thời gian cố định I = [a, b] ⊂ R không trơn với ràng buộc trạng thái : Minimize F (x, u) := x∈X,u∈U f (t, x(t), u(t))dt, I Dx(t) =m(t, x(t), u(t)) (t ∈ I), x(a) = x0 , (1.27) u(t) ∈ Γ(t) (t ∈ I); n(t, x(t)) ∈ Π(t) (t ∈ I) Ở đây X là không gian của các hàm trạng thái trơn từng khúc x : I → R với chuẩn... F.John của bài toán (1.27) có thể viết dưới dạng: β ∈ ∂(τ F + λR)(¯), β ∈ NK (¯), z z (1.44) với τ và β không đồng thời bằng 0 Nếu τ = 0 thì β = 0 và β = λ với nào đó ∈ ∂K(¯) Khi giả thiết điều kiện chính quy (1.34) đúng thì ta z nhận được τ = 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRƠN CHO BÀI TOÁN MINIMAX VECTƠ KHÔNG TRƠN Chương... Định lí 1.4 (Điều kiện Pontryagin không trơn) Giả sử bài toán điều khiển không trơn (1.27) đạt cực tiểu địa phương tại (x, u) = (¯, u) ∈ X × U Hàm F (., ) là Lipschitz địa phương Khi đó, x ¯ tồn tại τ 0 và hàm khả tích λ : I → Rn và v : I → Rp , không đồng thời bằng 0, sao cho phương trình liên hợp (1.29) (với τ f thay cho f ) và nguyên lý cực đại (1.30) (với τ f thay cho f ) đúng, với hầu hết t ∈ I... x(t), u(t)) ¯ ¯ Ở đây ∂x [f (t, x, u) nghĩa là ∂x [f (t, , u) tại x Bài toán được xây dựng ¯ ¯ ¯ ¯ tương tự bài toán (1.17) với f (t, ξ − α, ζ − β)ϕ(α)ϕ(β)dαdβ, f (t, ξ, ζ : σ) := Rn ×Rn ϕ(.) := Φ(σ −1 ||.||)σ −1 , (1.31) với σ > 0 đủ nhỏ, và Φ có trong (1.2); và tương tự cho m và n Khi đó, bài toán trơn tương ứng với (1.28) sẽ là bài toán: f (t, x(t), u(t) : q(t : η))dt, MinimizeF (x, u :: η) := x∈X,u∈U... http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Với mỗi j = 1, 2, , tồn tại hàm dương qj (.) sao cho tồn tại lân cận W của x trong Q sao cho Q ∩ ∆1/j ⊂ lân cận W đã cho trong Q khi q = qj ¯ và j là đủ lớn Nếu F là Lipschitz địa phương và bài toán (1.15) đạt được cực tiểu địa phương chặt, thì bài toán (1.17) với η = 1/j, q(t) = qi (t), có cận dưới đúng địa phương, nằm trong lận cận Wj của x với Wj → {¯} khi ¯ x j → ∞ Chứng minh... Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Khi đó, bài toán (WMM1) được xấp xỉ bởi bài toán minimax trơn: W M INx {W M AXy f (x, y : α, β) : −h(y : β) ∈ S}, (WMM2) −g(x : α) ∈ T Theo cách xây dựng của g và h, điểm (¯, y ) là chấp nhận được của x ¯ (WMM2) Kí hiệu (IP(α, β )) là bài toán trong của (WMM2) Mệnh đề 2.1 Giả sử f và g là các hàm Lipschitz địa phương, thỏa mãn điều kiện ổn định: (∀ξ ∈ ∂h(¯)) . ra phương pháp xấp xỉ trơn cho bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương trong không gian hữu hạn chiều. Bằng phương pháp xấp xỉ trơn, Craven [5] đã thiết lập cho các điều kiện cần tối ưu. http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 XẤP XỈ TỐI ƯU KHÔNG TRƠN BẰNG DÃY CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU TRƠN Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương bao gồm các ràng. điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương, có ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức, bài toán quy hoạch liên tục không trơn, bài toán điều khiển tối ưu không trơn Số