Điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán tối ưu trong không gian vectơ tôpô

Điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán tối ưu trong không gian vectơ tôpô

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  ĐỖ THANH PHÚC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP MỘT VÀ CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 là một bộ phận quan trọng của lý thuyết các bài toán cực trị. Người ta xây dựng các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 cho hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận được cho ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức (theo một phương d nào đó). Với d = 0, các nón cấp 2 ấy sẽ trở thành các nón cấp 1 tương ứng và như vậy từ các điều kiện tối ưu cấp 2 ta sẽ nhận được các điều kiện tối ưu cấp 1 như một trường hợp riêng. Vì thế nhiều nghiên cứu tập trung vào lý thuyết hợp nhất các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho các bài toán tối ưu. Công trình nổi tiếng của A. Dubovitskii và A.A. Milyutin [5] ra đời, đã cho ta một lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 1 dưới ngôn ngữ giải tích hàm. Phát biểu ý tưởng của Dubovitskii - Milyutin [5], trong [4] A. Ben-Tal và J. Zowe đã xây dựng các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 nón các phương chấp nhận được cấp 2 và nón các phương tiếp xúc cấp 2 (theo một phương d) mà trường hợp riêng của kết quả này (với d = 0) ta sẽ nhận lại được các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Dubovitskii - Milyutin. Luận văn trình bày lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 2 của Ben Tal - Zowe [4] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 với ràng buộc nón và ràng buộc bất đẳng thức dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận được cấp 2 cho ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức. Khi các nón cấp 2 lấy theo phương 0 ta sẽ nhận được các điều kiện tối ưu cấp 1. Luận văn này bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày điều kiện tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu trong không gian vectơ tôpô thực dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận được cấp 2 của ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc cấp 2 của ràng buộc đẳng thức. Các kết quả được trình bày trong chương này là của Ben Tal - Zowe [4]. Chương 2 trình bày cách tiếp cận áp dụng điều kiện cần cấp 2 tổng quát trong chương 1 bao gồm các kết quả tính toán nón các phương giảm cấp 1 và cấp 2, nón các phương chấp nhận được cấp 1 và cấp 2 và nón các phương tiếp xúc cấp 1 và cấp 2, cùng với các điều kiện cần cấp 1 và cấp 2 cho bài toán tổng quát (P) và bài toán với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức (MP). Các kết quả trình bày trong chương này là của Ben Tal - Zowe [4]. Chương 3 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tổng quát (P) trong trường hợp không gian X là hữu hạn chiều của Ben Tal - Zowe [4] và X vô hạn chiều của Maurer - Zowe. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Điều kiện cần tổng quát cho cực tiểu yếu địa phương 1.1 Các khái niệm và định nghĩa Ta xét bài toán tối ưu có dạng Min f (x), (P ) g(x) ∈ K, h(x) = 0, x ∈ X. Ánh xạ f : X → U, g : X → V, h : X → W là các ánh xạ liên tục, Ở đây X, U, V và W là các không gian vectơ tôpô thực, K là nón lồi trong V với phần trong không rỗng (intK = ∅), U được sắp bởi nón nhọn C với intK = ∅. Theo quy ước thông thường ta viết: u 1 ≥ u 2 (hoặc u 2 ≤ u 1 ) nếu u 1 −u 2 ∈ C, và u 1 > u 2 (u 2 < u 1 ) nếu u 1 −u 2 ∈ intC. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Khi đó, ≥ có tính chất bất biến với phép tịnh tiến và phép nhân vô hướng dương. Ta quan tâm tới bài toán tìm cực tiểu yếu địa phương, tức là ta tìm điểm x 0 thuộc tập chấp nhận được F := {x ∈ X : −g(x) ∈ Kvà h(x)=0} mà tồn tại một lân cận N (x 0 ) của điểm x 0 sao cho f(x) ∈ f(x 0 ) − intC, với ∀x ∈ N(x 0 ) ∩ F. (1.1) Ta xét x 0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ). Nếu U là đường thẳng thực R và C là nửa đường thẳng không âm R + = {λ ∈ R : λ không âm}, khi đó (P ) là bài toán cực tiểu địa phương thông thường. Thật vậy, (1.1) tương đương với (≥ là kí hiệu thứ tự thông thường trong R) f(x) ≥ f(x 0 ) vớix 0 ∈ N(x 0 ) ∩ F. (1.2) Trường hợp quan trọng nhất của bài toán (P ) là bài toán quy hoạch toán học hữu hạn chiều: U = R, C = R + vàK = R n + (n ∈ N). Nếu g i , i = 1, 2, . . . , n, là các thành phần của g, thì bài toán (P ) trở thành: min f(x), (MP ) g i (x) ≤ 0, với i = 1, 2, · · · , n, h(x) = 0, x ∈ X. Như là một ví dụ cho bài toán (P ), khi f không phải là hàm thực, ta xét trường hợp U = R n và lấy C là nón sắp thứ tự từ điển trong R n , nghĩa là C là tập tất cả các vectơ trong R n mà thành phần khác không đầu tiên dương, cùng với 0 R n . Ta kí hiệu cl C là bao đóng tôpô của C. Khi đó, R n = (cl C) ∪ (−int C) và(cl C) ∩ (−int C) = ∅. Khi đó, (1.1) tương đương với f(x) ∈ f(x 0 ) + cl C, với x ∈ N(x 0 ) ∩ F. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Định nghĩa 1.1.1. Một phương d ∈ X được gọi là phương tựa giảm tại x của hàm mục tiêu f : X → U tại x nếu với ∀u > 0, u ∈ U , tồn tại số thực T > 0 sao cho f(x + td) ≤ f(x) + tu, 0 < t ≤ T. Định nghĩa 1.1.2. Một phương d được gọi là phương tựa chấp nhận được tại x của hàm g : X → V nếu với ∀v ∈ intK, tồn tại số thực T > 0 sao cho g(x + td) ∈ −K + tv, với 0 < t ≤ T. Nón các phương tựa giảm và phương tựa chấp nhận được tại x được kí hiệu lần lượt là D f (x) và D g (x). Định nghĩa 1.1.3. Ta gọi z ∈ X là phương giảm cấp hai của f tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn tại u > 0, và lân cận N(z) của z và số thực T > 0 sao cho f(x+td+t 2 ¯z) ≤ f(x)−t 2 u, với mọi ¯z ∈ N (z) và 0 < t ≤ T. (1.3) Định nghĩa 1.1.4. Phần tử z ∈ X được gọi là phương chấp nhận được cấp hai của g tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn tại v ∈ intK, và lân cận N(z) của z và số thực T > 0 sao cho g(x+td−t 2 ¯z) ∈ −K −t 2 v, với mọi ¯z ∈ N(z), và 0 < t ≤ T. (1.4) Tập tất cả z thoả mãn (1.3) và (1.4) được kí hiệu lần lượt là Q f (x, d) và Q g (x, d). Hiển nhiên, Q f (x, d) và Q g (x, d) là các tập mở. Ta đặt D < f (x) := Q f (x, 0), D < g (x) := Q g (x, d) (1.5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Định nghĩa 1.1.5. Vectơ z được gọi là phương tiếp xúc cấp hai hàm h : X → W tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn tại một số thực T > 0 và đường cong r(t) ∼ o(t 2 ) sao cho h(x + td + t 2 z + r(t)) = 0, với 0 < t ≤ T 1 . Tập các vectơ z như vậy được kí hiệu là V h (x, d). Ta đặt T h (x) := V h (x, 0). (1.6) Lấy d ∈ X, khi đó ta gọi f là d-chính quy tại x nếu Q f (x, d) là tập không rỗng và lồi. Tương tự, ta nói g là d- chính quy tại x nếu Q g (x, d) là tập không rỗng và lồi. h là d-chính quy tại x nếu V h (x, d) là tập không rỗng và lồi. Nếu f là d-chính quy tại x với ∀d ∈ D f (x), thì f được gọi là chính quy tại x (do (1.6) ta chỉ cần, với d ∈ D ¯ ¯ f (x)). Tương tự, g được gọi là chính quy tại x nếu g là d-chính quy tại x với ∀d ∈ D g (x), h được gọi là chính quy tại x nếu h là d-chính quy tại x với ∀d ∈ T h (x). Với tập con S của X, hàm tựa δ ∗ (.|S) xác đinh trên không gian vectơ topô đối ngẫu X ∗ của X với giá trị trên đường thẳng thực mở rộng R ∪ {∞} được định nghĩa như sau: δ ∗ (x ∗ |S) = sup x∈S x ∗ x với x ∗ ∈ X ∗ . (1.7) (Nếu S = ∅, thì ta quy ước δ ∗ (·|S) = −∞ ). Miền hữu hiệu của δ ∗ (.|S) kí hiệu là Λ(S) Λ(S) = {x ∗ ∈ X ∗ : δ ∗ (x ∗ |S) < ∞}. Kí hiệu S + là tập các cực của S S + = {x ∗ ∈ X ∗ : x ∗ x ≥ 0 (∀x ∈ S)}. Ta có nếu S là nón thì Λ(S) = −S + , δ ∗ (x ∗ |S) =  0, nếu x ∗ ∈ Λ(S), ∞, nếu x ∗ ∈ Λ(S). (1.8) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.2 Điều kiện cần tổng quát cho cực tiểu yếu địa phương Định lý 1.2.1. Giả sử x 0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ). Khi đó, với mọi d ∈ D f (x 0 ) ∩ D g (x 0 ) ∩ T h (x 0 ), (1.9) trong đó f, g và h là d-chính quy, tồn tại các hàm tuyến tính liên tục trên X: l f ∈ Λ(Q f (x 0 , d)), l g ∈ Λ(Q g (x 0 , d)), l h ∈ Λ(V h (x 0 , d)) (1.10) không đồng thời bằng không thoả mãn phương trình Euler - Lagrange l f + l g + l h = 0, (1.11) và bất đẳng thức Legendre δ ∗ (l f | Q f (x 0 , d)) + δ ∗ (l g | Q g (x 0 , d)) + δ ∗ (l h |V h (x 0 , d)) ≤ 0. (1.12) Bổ đề 1.2.2. Giả sử S 1 , · · · , S n là tập con lồi của X và x ∗ ∈ Λ(∩ n n=1 S i ). Nếu (∩ n−1 n=1 intS i ) ∩ S n = ∅, (1.13) thì δ ∗ (x ∗ |∩ n i=1 S i ) = min{ n  i=1 δ ∗ (x ∗ i |S i ) : x ∗ = x ∗ 1 +· · · +x ∗ n ∈ Λ(S i )}. Bổ đề 1.2.3. Giả sử S 1 , · · · , S n+1 là các tập con lồi, không rỗng của X, trong đó S 1 , · · · , S n là các tập mở. Khi đó ∩ n+1 i=1 S i = ∅ (1.14) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 nếu và chỉ nếu tồn tại x ∗ i ∈ Λ(S i ), ß = 1, · · · , n + 1, không đồng thời bằng không, sao cho x ∗ 1 + x ∗ 2 + · · · + x ∗ n+1 = 0, (1.15) δ ∗ (x ∗ 1 |S 1 ) + δ(x ∗ 2 |S 2 ) + · · · + δ(x ∗ n+1 |S n + 1) ≤ 0. (1.16) Chú ý 1.2.4. Nếu ∩ n+1 i=2 S i = ∅ thì x ∗ 1 = 0 trong bổ đề 1.2.3. Hệ quả 1.2.5. Giả sử S 1 , S 2 , · · · , S n là các nón lồi không rỗng trong X và giả sử S 1 , S 2 , · · · , S n là các tập mở. Khi đó, ∩ n+1 i=1 S i = ∅ nếu và chỉ nếu tồn tại x ∗ i ∈ S + i , i = 1, 2, · · · , n + 1, không đồng thời bằng không, sao cho x ∗ 1 + · · · + x ∗ n = 0. Bổ đề 1.2.6. Giả sử A : X −→ U là toán tử tuyến tính với miền giá trị R(A) và S là tập con lồi không rỗng của U. Đặt A −1 S := {x ∈ X : AX ∈ S}, và giả sử x ∗ ∈ Λ(A −1 S). Giả sử một trong các điều kiện sau đúng: (i) R(A) ∩ intS = ∅. (điều kiện Slater), (ii) A là tập mở . Khi đó, δ ∗ (x ∗ |A −1 S) = min{δ ∗ (u ∗ |S) : x ∗ = u ∗ ˙ A, u ∗ ∈ Λ(S)} (Ở đây δ ∗ (·|A −1 S) được xác định trên X ∗ và δ ∗ (·|S) trên U ∗ ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Từ định lý 1.2.1 ta suy ra điều kiện tối ưu cấp 1 như là một trường hợp đặc biệt. Ta phát biểu điều này trong hệ quả sau Hệ quả 1.2.7. Giả sử x 0 là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ) và giả sử f, g, h là 0 - chính quy tại x 0 . Khi đó tồn tại các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X l f ∈ D < f (x 0 ) + , l g ∈ D < g (x 0 ) + , l h ∈ T h (x 0 ) + , (1.17) không đồng thời bằng không thoả mãn l f + l g + l h = 0. (1.18) Chú ý 1.2.8. Sự khác nhau giữa các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai phản ánh sự khác nhau giữa bổ đề 1.2.3 và hệ quả 1.2.5. Chú ý 1.2.9. Giả sử d thoả mãn giả thiết của định lý 1.2.1. Nếu Q g (x 0 , d) ∩ V h (x 0 , d) = ∅ thì l f trong (1.10) và (1.11) khác 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... các phương chấp nhận được và nón các phương tiếp xúc Khi đó, từ điều kiện cần tối ưu cấp 2 ta nhận lại được điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Dubovitskii - Milyutin [5] Khi các hàm mục tiêu và ràng buộc khả vi Fréchet cấp 2 , từ kết quả tổng quát ta nhận lại được các điều kiện tối ưu cấp 2 đã biết trước Điều kiện tối ưu cấp 2 và cấp cao cho bài toán tối ưu đa mục tiêu là đề tài đã và đang được nhiều tác... thuyết các điều kiện tối ưu cấp hai của Ben Tal-Zowe [4] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón trong không gian vectơ tôpô thực Các điều kiện cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận được cấp 2 cho ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức (theo phương d nào đó) Chú ý rằng với d = 0, từ các nón cấp 2... họa cho định lý 1.2.1 và 2.5.1 Xét bài toán không khả vi: min f (x) = (x1 − 1)2 + x2 , 2 1 điều kiện g(x) = |x1 | − x2 ≤ 0, k 2 Trong đó k là tham số dương Với giá trị nào của k thì x0 := (0, 0)T là nghiệm tối ưu? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Chương 3 Điều kiện đủ tối ưu 3.1 Điều kiện đủ tối ưu cho bài toán khả vi Định lý 3.1.1 Xét bài toán (P) trong. .. trong phát biểu trên.Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3.1.2 Lấy X là một không gian l2 thực và I = R Chọn s ∈ X với các thành phần sn > 0 với ∀n Ta xét bài toán: ∞ ∞ x4 s i x2 − min f (x) = i i i=1 3.2 i=1 Điều kiện đủ tối ưu cho trường hợp vô hạn chiều Với X vô hạn chiều, ta có điều kiện đủ cấp hai sau đây: Định lý 3.2.1 Xét bài toán (P) với U = R, các không gian Banach thực X, V, W và các hàm F- khả vi cấp. .. sau đây cho trường hợp dimX < ∞ và dimW < ∞ Hệ quả 2.5.9 Xét bài toán (MP) với các hàm f, gi , h khả vi cấp hai , X và W là các không gian Banach Cho x0 là nghiệm tối ưu địa phương và giả sử một trong hai điều kiện sau đúng (i) (CQ1) (ii) (CQ2), miền giá trị của h (x0 ) là đóng và y0 có thể lấy bằng 1 với mọi d thoả mãn (2.16) Khi đó, tồn tại các nhân tử yi với i ∈ I(x0 ) và w∗ ∈ W ∗ , sao cho yi gi... 2.4.3 Nếu cho vectơ d trong (2.8) thoả mãn điều kiện CQ(d) thì u∗ tương ứng trong (2.9)-(2.11) khác 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 2.5 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán (MP) Ta đặc biệt hoá định lý 1.2.1 cho bài toán (MP) Để làm điều này ta ký hiệu Dgi (x) là tập của các phương tựa chấp nhận được của thành phần gi của g (thay K bằng R+ trong < định... 2.3.3 Cho h là ánh xạ từ không gian Banach X vào không gian Banach W , F - khả vi cấp hai trong một lân cận của điểm x với h(x) = 0 Giả sử với h (x) là toàn ánh Khi đó, Th (x) = {d ∈ X : h (x)d = 0}, (2.5) 1 Vh (x, d) = {z ∈ X : h (x)z+ h (x)(d, d) = 0} với d ∈ Th (x) 2 (2.6) Nói riêng, h chính quy tai x 2.4 Điều kiện cần cho cực tiểu yếu của bài toán khả vi Mệnh đề 2.4.1 Giả sử X, U, V và W là các không. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 (iii) Giả sử X và W là các không gian Banach, h (x) là ánh xạ lên, h(x) = 0 và h (x)d = 0 Khi đó, với lh ∈ Vh (x, d), tồn tại w∗ ∈ W ∗ sao cho lh = w∗ · h (x), δ ∗ (lh |Vh (x, d)) = −1 ∗ w h (x)(d, d) 2 Định lý 2.4.2 Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ); X và W là các không gian Banach, U và V là không gian định chuẩn Giả sử f, g và h là F-khả vi cấp 2 Miền giá trị R(h (x0... (P) trong không gian X hữu hạn chiều, C là nón lồi đóng và f, g, h là các hàm F- khả vi cấp hai Lấy x0 là điểm chấp nhận được của (P) Khi đó, x0 là nghiệm tối ưu địa phương chặt nếu một trong hai điều kiện sau đây thoả mãn: (i) Hệ sau không có nghiệm d f (x0 )d ≤ 0, g (x0 )d ∈ −Kg(x0 ) , h (x0 )d = 0, d = 0; (3.1) (ii) Với mọi nghiệm d của (3.1), tồn tại u∗ ∈ C+ , v ∗ ∈ K + , w∗ ∈ W ∗ sao cho u∗ f (x0... < Th (x0 )+ và lgi ∈ Dgi (x0 )+ với i ∈ I(x0 ), không đồng thời bằng 0, sao cho lf + lgi + lh = 0 i∈I(x0 ) Các trường hợp khả vi của định lý 2.5.1 sau đây dễ dàng được chứng minh bằng cách đặc biệt hoá định lý 2.4.2 Định lý 2.5.3 [4] Lấy x0 là một nghiệm tối ưu địa phương của của bài toán (MP), X, W là các không gian Banach Giả sử f, h và gi với i = 1, 2, · · · , n là F-khả vi cấp hai và miền giá trị . ĐỖ THANH PHÚC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP MỘT VÀ CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46. điều kiện tối ưu cấp 2 ta sẽ nhận được các điều kiện tối ưu cấp 1 như một trường hợp riêng. Vì thế nhiều nghiên cứu tập trung vào lý thuyết hợp nhất các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho các bài. thuyết các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 là một bộ phận quan trọng của lý thuyết các bài toán cực trị. Người ta xây dựng các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 cho hàm