NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - NGUYỄN THỊ HÕA NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HÕA NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Lê Văn Chóng THÁI NGUYÊN-2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mở đầu Chương NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM 1.1 Bổ đề KKM ……………………………………………………… 1.2 Nguyên lí ánh xạ KKM ……………………………………………7 1.3 Bất đẳng thức Ky Fan ……………………………………………10 Chương BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ 2.1 Nón quan hệ thứ tự theo nón ………………………………… 13 2.2 Bài toán cân vô hướng …………………………………… 16 2.3 Bài toán cân vectơ giả thiết đơn điệu ………… 23 2.4 Bài toán cân vectơ giả đơn điệu ………………………… 28 2.5 Bài toán cân vectơ tựa đơn điệu …………………………… 34 2.6 Một số mở rộng ………………………………………………… 39 Chương BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ 3.1.Bài toán cân vectơ đa trị giả thiết đơn điệu …… 51 3.2 Bài toán cân vectơ đa trị đơn điệu ………………………… 56 Kết luận …………………………………………………………… 63 Tài liệu tham khảo ……………………… 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Để đưa chứng minh đơn giản chứng minh ban đầu phức tạp Định lí điểm bất động Brouwer (1912), ba nhà toán học Balan Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz chứng minh kết quan trọng giao khác rỗng hữu hạn tập đóng không gian hữu hạn chiều (1929), kết sau gọi Bổ đề KKM Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề không gian vô hạn chiều, kết sau gọi Nguyên lí ánh xạ KKM Năm 1972, dùng Nguyên lí ánh xạ KKM Ky Fan chứng minh bất đẳng thức quan trọng, sau gọi Bất đẳng thức Ky Fan Sau công bố, Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu hút quan tâm nhiều nghiên cứu lĩnh vực giải tích hàm phi tuyến Phương pháp tiếp cận xây dựng bất đẳng thức từ Nguyên lí ánh xạ KKM ý tưởng khởi nguồn nhiều nghiên cứu tồn nghiệm toán cân không gian khác (như không gian vectơ tôpô, không gian G -lồi, không gian siêu lồi…) Trong không gian vectơ tôpô , cách tiếp cận nghiên cứu mở rộng toán cân vô hướng với kết Brezis- NirenbergStampacchia [4](1972), Mosco [13](1976), Blum- Oettli [3](1993)…và mở rộng toán cân vectơ (đơn trị, đa trị) với kết quan trọng Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Oettli [3](1997), Tấn-Tĩnh [16](1998), Fu [10](2000), Ansari- Konnov- Yao [1](2001), Tấn- Minh [17](2006)… Bài toán cân vectơ đơn trị xét luận văn toán sau: Tìm x  K cho f ( x , y)  với y  K , K tập lồi, đóng, khác rỗng không gian vectơ tôpô X , f : K  K  Y , Y không gian vectơ tôpô với nón thứ tự C  Y nhọn, lồi, đóng, int C   Bài toán cân vectơ đa trị xét toán sau: Tìm x  K cho F ( x , y)    int C với y  C , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tìm x  K cho F ( x , y)  C với y  C , hàm đa trị F : K  K  2Y (các tập K , C không gian Y trên) Mục đích luận văn trình bày số kết nghiên cứu tồn nghiệm toán cân vectơ không gian vectơ tôpô với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương trình bày số điểm xuất xứ Nguyên lí ánh xạ KKM liên quan với số thành tựu quan trọng giải tích hàm phi tuyến (Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan) Chương trình bày số kết tồn nghiệm toán cân vectơ đơn trị hai hướng nghiên cứu: sử dụng không sử dụng giả thiết đơn điệu Trước trình bày kết này, đưa số kết đặc thù toán cân vô hướng để dễ thấy phần kết phương pháp toán cân vectơ mở rộng từ toán vô hướng Một số kiến thức chuẩn bị nón quan hệ thứ tự theo nón cần cho nghiên cứu toán vectơ đưa vào chương Chương đề cập đến số kết nghiên cứu tồn nghiệm toán cân vectơ đa trị có giả thiết đơn điệu giả thiết đơn điệu Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Văn Chóng- Viện toán học Việt Nam, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nghiêm khắc khoa học Xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo thuộc Viện toán học thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Xin cảm ơn quan, gia đình bạn bè động viên nhiều giúp hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2008 Nguyễn Thị Hòa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM Như ta biết, Bổ đề KKM (1929) không gian hữu hạn chiều ba nhà toán học Balan thiết lập chứng minh đơn giản chứng minh ban đầu phức tạp Định lí điểm bất động Brouwer (1912) sau bổ đề mở rộng không gian vô hạn chiều thành Nguyên lí ánh xạ KKM (1961) Bất đẳng thức Ky Fan (1972) chứng minh cách sử dụng nguyên lí Ở chương đề cập tới số điểm Nguyên lí ánh xạ KKM liên quan với thành tựu giải tích hàm phi tuyến (Định lí Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan) 1.1 BỔ ĐỀ KKM Trước hết ta nhắc đến số khái niệm sau: Cho X không gian vectơ, tập hợp S X gọi nđơn hình S  co  u0 , u1 , , un  với u0 , u1, , un  X vectơ u1  u0 , , un  u0 độc lập tuyến tính (ở co( A) kí hiệu bao lồi tập A ) Các điểm ui gọi đỉnh Bao lồi (k  1) đỉnh gọi k -diện S Mỗi x  S biểu diễn dạng: n n i 0 i 0 x   xi ui , với xi  0,  xi  Ta viết x  ( x0 , x1, , xn ) gọi xi , (i  0,1, , n) tọa độ trọng tâm x , chúng biến đổi liên tục theo x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dùng Bổ đề Sperner phép gán số phép tam giác phân đơn hình Sperner đưa từ 1928, Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz n chứng minh bổ đề quan trọng sau không gian R Bổ đề KKM (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz[11], 1929) Cho n-đơn hình S  co  u0 , u1 , , un  R tập hợp đóng F0 , F1, , Fn S thỏa mãn điều kiện: với tập hợp I  0,1, , n ta có n co ui : i  I    Fi (KKM) iI n Khi  Fi   i 0 Chứng minh đầy đủ Bổ đề KKM cách dùng Bổ đề Sperner giới thiệu Tân-Hà [18], khuôn khổ luận văn không nêu Định lí điểm bất động Brouwer (Brouwer [5], 1912) n Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng R vào có điểm bất động Để chứng minh định lí cách dùng Bổ đề KKM ta sử dụng kết sau Mệnh đề 1.1 Giả sử M tập hợp không gian tôpô có tính chất: ánh xạ liên tục T : M  M có điểm bất động Khi M  đồng phôi với M M  có tính chất Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho  phép đồng phôi từ M lên M  T  : M   M  ánh xạ liên tục Ta cần chứng minh T  có điểm bất động 1 Thật vậy, đặt T   T  ta T : M  M ánh xạ liên tục, nên theo giả thiết tồn x0  M với Tx0  x0 Khi  ( x0 ) điểm bất động T   Chứng minh Định lí điểm bất động Brouwer Cho đơn hình n- đơn hình S , hình cầu đơn vị đóng R n đồng phôi với S nên ta cần chứng minh ánh xạ liên tục T : S  S có S điểm bất động Với x  S ta có x  ( x0 , x1, , xn ), xi với i  0,1, , n tọa độ trọng tâm x y  Tx  ( y0 , y1, , yn ) Ta đặt Fi   x  S : xi  yi  , i  1, , n Do T liên tục nên Fi đóng Ta chứng minh Fi thỏa mãn điều kiện (KKM) sau co ui : i  I    Fi , iI I tập tập 0,1, , n Lấy x  co ui : i  I  ta có x  ( x0 , x1, , xn ) với xi  i   I , xi  i  I y  ( y0 , y1, , yn ) với yi  0, n  yi  Để i 0 x   Fi iI ta cần tồn i0  I để x  Fi0 , tức xi0  yi0 Giả sử ngược lại xi  yi với i  I Khi ta gặp mâu thuẫn: 1 n n  xi   xi   yi   yi  i 0 iI Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iI i 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn Vậy điều kiện KKM thỏa mãn Do theo bổ đề KKM tồn n x   Fi Khi ta có xi  yi với i  0,1, , n , yi tọa độ trọng i 0 tâm y  Tx Vì n n i 0 i 0  xi   yi  nên bất đẳng thức phải đẳng thức Vậy ta có xi  yi , i  0, , n hay x  y  Tx định lí chứng minh  Định lí điểm bất động Brouwer ta thay hình cầu đơn vị n đóng R tập lồi đóng bị chặn không gian tuyến tính hữu hạn chiều (điều kiện hữu hạn chiều bắt buộc) Dùng định lí ta nhận Bổ đề KKM chứng minh Chứng minh Bổ đề KKM Giả sử S  u0 , u1 , , un  đơn hình F0 , F1, , Fn tập đóng n S thỏa mãn điều kiện (KKM)  Fi   Khi với i 0 x  S i  0, , n ta đặt i ( x)  d ( x, Fi ) khoảng cách từ x đến Fi n Vì  Fi   nên với i 0 x  S tồn i cho x   Fi , tức i ( x)  Fi đóng Vậy ta định nghĩa hàm  ( x) i ( x)  n i , x  S , i  0,1, , n   j ( x) j 0 Các hàm i có tính chất: liên tục,  i ( x)  1, n  i ( x)  với i 0 n x  S Với x  S ta đặt Tx   i ( x) ui Do S lồi nên ta có i 0 Tx  S , T liên tục i liên tục Theo Định lí điểm bất động Brouwer, tồn x  S mà x  Tx Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Đặt I  i : i ( x )  0 Khi ta có n Tx   i ( x ) ui   i ( x ) ui i 0 iI Nhưng i ( x )  x   Fi với i  I , nên x   Fi iI Điều mâu thuẫn với x  Tx   i ( x ) ui  co ui : i  I    Fi , iI iI (do điều kiện KKM) Vậy Bổ đề KKM chứng minh  Nhận xét 1.1 Theo chứng minh từ Bổ đề KKM ta nhận Định lí Brouwer ngược lại, Bổ đề KKM tương đương với Định lí Brouwer 1.2 NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM Nguyên lí ánh xạ KKM mở rộng Bổ đề KKM không gian vô hạn chiều trung tâm Lý thuyết KKM, phận sâu sắc giải tích phi tuyến Trước phát biểu chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM, định nghĩa ánh xạ KKM Cho C tập hợp không gian vectơ tôpô X , ánh xạ (đa trị) X F từ C vào gọi ánh xạ KKM với tập hợp hữu hạn  x1 , x2 , , xn  C ta có : n co  x1 , x2 , , xn    F ( xi ) i 1 Nguyên lí ánh xạ KKM (Ky Fan [8], 1961) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Cho X , Y không gian vectơ, Z không gian vectơ tôpô, K  X , D  Y tập khác rỗng P  Z nón nhọn lồi, đóng, xác định thứ tự phần Z Z Cho hàm đa trị F : K  D  Xét toán cân vectơ đa trị: Tìm y  D cho F ( x, y )  P với x  K (3.1) Trước thiết lập điều kiện tồn nghiệm cho toán cần khái niệm tựa lồi thường ánh xạ đa trị khái niệm ánh xạ T  KKM Z Cho K  X tập lồi ánh xạ đa trị G : K  Khi G gọi tựa lồi thường với x, y  K , u  G( x), v  G( y) t  [0,1] tồn z  G(tx  (1  t ) y) cho z  u hay z  v Nhận xét 3.1 Khái niệm tựa lồi mở rộng đa trị khái niệm tựa lồi thường hàm đơn trị: Một ánh xạ đơn trị g : K  Z gọi tựa lồi thường với x, y  K t  [0,1] có f (tx  (1  t ) y)  f ( x) hay f (tx  (1  t ) y)  f ( y) Dễ thấy trường hợp Z  R, P  [0;+) khái niệm tựa lồi thường khái niệm tựa lồi tương đương Bổ đề 3.1 Z Cho G : K  ánh xạ đa trị Khi G tựa lồi thường với tập hữu hạn  x1 , x2 , , xn   K , zi  G ( xi ), ti  , i  1, 2, , n, n  ti i 1 n  1, tồn z  G ( ti xi ) i  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 1, 2, , n cho z  zi Chứng minh Ta tiến hành chứng minh điều kiện cần quy nạp (chiều ngược lại hiển nhiên) Với n  kết luận hiển nhiên theo định nghĩa Giả sử kết luận với n  m , ta phải chứng minh kết luận với n  m  Nếu x1 , , xm 1  K , ti  0, 1, , m  , ta viết m 1  ti i 1  1, zi  G ( xi ), i  tm tm 1 y xm  xm 1 x  tm  tm 1 tm  tm 1 m 1  ti xi i 1 Khi x  t1x1   tm 1xm 1  (tm  tm 1 ) y Theo định nghĩa tồn z  G( y) cho: z  zm z  zm 1 (3.2) Theo giả thiết quy nạp tồn z  G( x) cho z  zi với i đó, hay z  z Nếu z  z , (3.2) ta có z  zm z  zm 1 Bổ đề chứng minh  Y Cho K  X tập lồi khác rỗng ánh xạ đa trị G , T : K  Khi ấy, G gọi ánh xạ T-KKM với tập hữu hạn x1 , x2 , , xn   K có n T (co  x1 , x2 , , xn )   G ( xi ) i 1 Bổ đề 3.2 (Shioji [15], 1991) Cho X , Y hai không gian vectơ tôpô, K  X tập lồi compắc Y ánh xạ đa trị G, T : K  thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 1) T nửa liên tục G T  KKM ; 2) Với x  K ; T ( x) khác rỗng, lồi, compắc G ( x) tập đóng Khi ấy:  G ( x)   xK Điều kiện tồn nghiệm toán (3.1) thiết lập định lí sau Định lí 3.1 (Fu [10], 2000) Cho X , Y , Z không gian vectơ tôpô, K  X tập lồi compắc, khác rỗng, D  Y tập lồi, đóng, khác rỗng P  Z nón nhọn lồi đóng, xác định thứ tự phần Z Cho T :K 2 D ánh xạ đa trị nửa liên tục với T ( x) tập lồi, Z compắc, khác rỗng với x  K F : K  D  ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện sau: 1) Với x  K y  T ( x) có F ( x, y)  P ; 2) Với x  K , tập  y  D : F ( x, y )  P đóng; 3) Với y  D , ánh xạ F (., y) tựa lồi thường Khi tồn y  D cho F ( x, y )  P , với x  K Chứng minh D Ta xét ánh xạ G : K  xác định : G ( x)   y  D : F ( x, y )  P x  K Theo giả thiết 2), G ( x) đóng, nên ta cần thể G ánh xạ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 T  KKM Giả sử trái lại tồn x1 , x2 , , xn  K x  n co  x1 , x2 , , xn  thỏa mãn T ( x )   G ( xi ) Khi tồn y  T ( x ) i 1 n cho y    G ( xi ) , nghĩa F ( xi , y )   P , với i  1, 2, , n i 1 Vậy với i tồn zi  F ( xi , y ) cho zi   P, i  1, , n (3.3) Do F (., y ) tựa lồi thường nên theo Bổ đề 3.1 tồn z  F ( x , y )  P i  1, , n cho  z  zi (3.4) Kết hợp (3.3) (3.4) ta nhận mâu thuẫn, nghĩa G T-KKM, theo Bổ đề 3.2 ta có  G ( x)   , tức tồn y  D cho xK F ( x, y )  P , với x  K Định lí chứng minh  Từ Định lí 3.1 ta có hệ sau dạng đa trị Bất đẳng thức Ky Fan Hệ 3.1 Cho X , Z , K , P thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1 ánh xạ đa trị F : Z K  K  cho : 1) Với x  K , có F ( x, x)  P ; 2) Với x  K , tập  y  K : F ( x, y )  P đóng; 3) Với y  K , ánh xạ F (., y) tựa lồi thường Khi tồn y  K cho F ( x, y )  P , với x  K Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Trong Định lí 3.1, lấy X  Y , D  K , T  I (ánh xạ đồng nhất) ta có điều cần chứng minh  Hơn nữa, F ánh xạ đơn trị từ Hệ 3.1 ta có dạng vectơ sau Bất đẳng thức Ky Fan Hệ 3.2 Cho X , Z , K , P thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1, ánh xạ đơn trị f : K  K  Z cho: 1) Với x  K , có f ( x, x)  ; 2) Với x  K , tập  y  K : f ( x, y )  0 đóng; 3) Với y  K , ánh xạ f (., y) tựa lồi thường Khi tồn y  K cho f ( x, y )  , với x  K Nhận xét 3.2 Trong trường hợp Z  R, P  (, 0], f   g , g : K  K  R cho: 1) Với x  K , có g ( x, x)  ; 2) Với x  K , hàm g ( x,.) nửa liên tục dưới; 3) Với y  K , hàm g (., y) tựa lõm; theo Hệ 3.2 ta có y  K với g ( x, y )  với x  K , nghĩa có Bất đẳng thức Ky Fan (vô hướng) 3.2 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Cho X , Y hai không gian vectơ tôpô , tập lồi đóng D  X , nón lồi đóng C  Y với int C   hàm đa trị F : D  D  2Y , F ( x, y)   với x, y  D Bài toán cân vectơ đa trị xét toán sau: Tìm x  D cho F ( x , y)    int C với y  D , (3.5) F hàm đơn điệu Để đưa kết tồn nghiệm Bài toán (3.5) ta cần số khái niệm Hàm G : D  D  2Y gọi đơn điệu G( x, y)  G( y, x)  C x, y  D Hàm T : D  2Y gọi C - lồi ( C - lồi dưới) T ( x)  (1   )T ( y)  T ( x  (1   ) y)  C ( T ( x  (1   ) y)  T ( x)  (1   )T ( y)  C , tương ứng) Hàm T gọi C - liên tục ( C - liên tục dưới) x0  D với lân cận V Y tồn lân cận U x0 X cho với x U  domT ta có T ( x)  T ( x0 )  V  C ( T ( x0 )  T ( x)  V  C , tương ứng) T gọi C - liên tục x0 T vừa C - liên tục vừa C - liên tục x0 T gọi C - liên tục ( C - liên tục dưới, C - liên tục) D T C - liên tục ( C - liên tục dưới, C - liên tục, tương ứng ) điểm thuộc D Nhận xét 3.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 a) Nếu G đơn trị khái niệm đơn điệu khái niệm đơn điệu ( theo nón C ) hàm vectơ đơn trị (ở chương 2) b) Nếu T đơn trị khái niệm C - lồi C - lồi trùng T gọi C - lồi (hay lồi theo C ) c) Nếu T đơn trị tính C - liên tục C - liên tục T gọi C - liên tục ( hay liên tục theo C ) Về tồn nghiệm Bài toán (3.5) với F  G  H , G hàm vectơ đa trị H hàm vectơ đơn trị ta có kết sau phát biểu chứng minh Tan-Minh [17] (2006) Định lí 3.2 Cho X , Y hai không gian lồi địa phương Hausdorff, D  X tập lồi, đóng, khác rỗng, C  Y nón nhọn, lồi, đóng với int C   G : D  D  2Y , H : D  D  Y hàm thỏa mãn điều kiện sau: 1)  G( x, x) với x  D ; 2) G đơn điệu G( x, y) compắc với x, y  D ; 3) Với x, y  D cố định, hàm g : 0,1  2Y xác định g (t )  G(ty  (1  t ) x, y) (C ) -liên tục t  ; 4) Với x  D cố định, hàm G( x,.) : D  2Y C - liên tục C - lồi dưới; 5) H ( x, x)  với x  D ; 6) Với y  D cố định, hàm H (., y) : D  Y (C ) - liên tục trên; 7) Với x  D cố định, hàm H ( x,.) : D  Y C - lồi; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 8) Tồn tập lồi, compắc, khác rỗng K  D cho với x  K \ coreD K có a  coreD K thỏa mãn G( x, a)  H ( x, a)  C Khi tồn x  K cho G( x , y )  H ( x , y )    int C với y  D Nếu ra, C thỏa mãn điều kiện (  ) tồn x  K cho G( x , y)  H ( x , y)   (C \ 0) y  D Định lí 3.2 mở rộng đa trị Định lí 2.6 (Chương 2) chứng minh dựa vào ý tưởng kỹ thuật chứng minh Định lí 2.6 Chứng minh đầy đủ Định lí 3.2 trình bày [17] Do khuôn khổ luận văn, trình bày ý chứng minh định lí Tương tự chứng minh Định lí 2.6, Định lí 3.2 chứng minh qua ba bổ đề Trong bổ đề ta giả thiết điều kiện từ 1) đến 8) Định lí 3.2 thỏa mãn Bổ đề 3.3 Tồn x  K cho (G ( y, x )  H ( x , y ))  int C   y  K Chứng minh Với y  K , đặt S ( y )   x  K : (G ( y, x)  H ( x, y ))  int C   Từ giả thiết 2) 5) suy y  S ( y ) , nghĩa S ( y)  với y  K Do giả thiết 4) 6) ta có S ( y) đóng X Lấy  yi : i  I  tập hữu hạn K ( I tập hữu hạn tập số tự Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 nhiên) Bằng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.5 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có co  yi : i  I    S ( yi ) , nghĩa ánh xạ S : K  2K ánh iI xạ KKM Do K tập compắc nên theo Nguyên lí ánh xạ KKM suy  S ( y)   , nghĩa có kết luận Bổ đề 3.3  yK Bổ đề 3.4 Nếu x  K thỏa mãn (G ( y, x )  H ( x , y ))  int C  , G( x , y )  H ( x , y )    int C , y  K , y  K (3.6a) (3.6b) Chứng minh Lấy x  K cho (G ( y, x )  H ( x , y ))  int C  , y  K Với y  K bất kì, cố định, đặt xt  ty  (1  t ) x , t  [0,1] Do xt  K với t  [0,1] nên (G( xt , x )  H ( x , xt ))  int C   Bằng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có (1  t ) H ( x , y)  G( xt , y)    int C với t  (3.7) Do tính liên tục hàm G( xt , y) theo t t  (Giả thiết 3)), từ (3.7) ta H ( x , y )  G( x , y )    int C Vì y  K nên có khẳng định bổ đề Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 Lưu ý Bổ đề 3.4 khẳng định Điều kiện (3.6a) suy Điều kiện (3.6b), trường hợp đơn trị, Bổ đề 2.6 tương đương hai điều kiện tương ứng (Điều kiện 1) 2) bổ đề này) Bằng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.7, ta có kết sau Bổ đề 3.5 Nếu  : D  2Y C - lồi có tính chất: 1) Tồn x0  coreD K với  ( x0 )  C ; 2)  ( y)    int C y  K ,  ( y)   int C y  D Chứng minh Định lí 3.2 Theo Bổ đề 3.3 tồn x  K cho (G ( y, x )  H ( x , y ))  int C   y  K Theo Bổ đề 3.4 G( x , y )  H ( x , y )    int C, y  K Đặt  ( y)  G( x , y)  H ( x , y), y  D Áp dụng Bổ đề 3.5 hàm  : D  2Y sử dụng lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có kết luận Định lí 3.2  Trong trường hợp H  , Định lí 3.2 cho ta điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân vectơ đa trị đơn điệu Kết phát biểu thành định lí Định lí 3.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 Cho không gian X , Y , tập D , nón C hàm G Định lí 3.2 cho điều kiện sau thỏa mãn: 1)  G( x, x) với x  D ; 2) G đơn điệu G( x, y) compắc với x, y  D ; 3) Với x, y  D bất kì, cố định, hàm g :[0,1]  2Y định nghĩa g (t )  G(ty  (1  t ) x, y) (C ) - liên tục t  ; 4) Với x  D cố định, hàm G( x,.) : D  2Y C - lồi C liên tục dưới; 5) Điều kiện bức: Tồn tập lồi, compắc, khác rỗng K  D cho với x  K \ coreD K có a  coreD K thỏa mãn G( x, a)  (C ) Khi tồn x  K cho G( x , y )    int C, y  D Nếu ra, nón C thỏa mãn Điều kiện (  ) tồn x  K cho G ( x , y )  (C \ 0), y  D Nhận xét 3.3 1) Nếu G hàm đơn trị từ Định lí 3.2 ta nhận điều kiện đủ tồn nghiệm Bài toán cân vectơ đơn trị (2.17) với F có dạng (2.18) Trong trường hợp Y  R, C  R , điều kiện đủ kết Blum- Oettli [3] cho toán cân vô hướng 2) Nếu G đơn trị từ Định lí 3.3 ta nhận kết tồn nghiệm Bài toán cân vectơ đơn trị đơn điệu (được xét Chương 2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 Để nghiên cứu tồn nghiệm toán cân vectơ đơn điệu cách dùng Nguyên lí ánh xạ KKM, cách tiếp cận trực tiếp số kết nghiên cứu trình bày chương chương trước, muốn lưu ý đến cách tiếp cận gián tiếp chuyển toán vectơ toán vô hướng Cách tiếp cận Oettli [14] đưa năm 1997 với số kết toán vectơ đơn trị với số gợi ý nghiên cứu toán vectơ đa trị Ở đây, không sâu vào cách tiếp cận KẾT LUẬN  Luận văn trình bày số điểm Nguyên lí ánh xạ KKM không gian vectơ tôpô liên quan với số thành tựu quan trọng giải tích phi tuyến Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM Bất đẳng thức Ky Fan (Chương 1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66  Luận văn trình bày số kết nghiên cứu tồn nghiệm toán cân vectơ đơn trị với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM trường hợp có giả thiết đơn điệu giả thiết đơn điệu (Chương 2)  Một số kết nghiên cứu tồn nghiệm toán cân vectơ đa trị trường hợp đơn điệu giả thiết đơn điệu đề cập luận văn (Chương 3)  Các kết nghiên cứu trình bày luận văn toán cân vectơ tập hợp từ số báo công bố khoảng mười năm gần Các kết lựa chọn trình bày theo cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM dựa vào ý tưởng kĩ thuật toán cân vô hướng Luận văn bổ xung vào tài liệu tồn nghiệm toán cân vectơ với cách tiếp cận Mặc dù cố gắng, thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong thày, cô giáo bạn đọc giáo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Q H Ansari- I V Konov- J C Yao, Existence of a Solution and Variattional Principles for vector Equilibrium Problems, J Optim Theory Appl, Vol 110 (2001), 481- 492 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 [2] M Bianchi, N Hadjisavvas and S Schaible, Vector Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, J Optim Theory Appl, Vol 92 (1997), 527- 542 [3] E Blum and W Oettli, From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems, Mathematics Student, Vol 63(1993), 1-23 [4] H Brezis, L Nirenberg and G Stampacchia, A Remark on Ky Fa ns Minimax Principle Boll Un Mat Ital Vol 6(1972) 293-300  [5] L E J Brouwer, Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math Ann 71 (1912), 97-115 [6] O.Chali, Z Chbani and H.Riahi, Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions and Applications to Variational Inequalities, J Optim Theory Appl Vol 105(2000), 299-323 [7] X.P Ding and K.K.Tan, A Minimax Inequality with Applications to Existence of Equilibrium Point and Fixed Point Theorems, Colloquium Mathematicum, Vol 63 (1992), 233-247 [8] K Fan A Generalization of Tychonoff s Fixed Point Theorem, Math Ann 142 (1961), 305-310 [9] K Fan, A Minimax Inequality and Applications In: Inequalities III, ed by O Shisha, A cademic, Press, New York- Lon don (1972), 103-113 [10] Sun-Yi Fu, Generalized Vector Quasi-Equilibrium Problems, Math Meth Oper Res Vol 52(2000), 57- 64 [11] B Knaster, K Kuratowski and S Mazurkiewicz, Ein Beweis des  n-Dimensionale Simplexe, Fund Math 14 (1929), 132Fixpunktsatzes f ur 137 [12] G Minty, Monotone (Nonlinear) Operators in Hilbert space, Duke Math Journal, Vol 29 (1962), 341-346 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 [13] U Mosco, Implicit Variational Problems and Quasi- Variational Inequalities, Lecture Notes in Mathematics, Spriger- Verlag, Vol 543 (1976), 83- 156 [14] W Oettli, A Remark on Vector-Valued Equilibria and Generalized Monotonicity, Acta Mathematica Vietnama, Vol 22(1997), 213-221 [15] N Shioji, A Further Generalization of the Knaster- KuratowskiMarurkiewicz Theorem, Proc Amer Math Soc 111, (1991), 187- 195 [16] N X Tấn and P N Tĩnh, On the Exitstence of Equilibrium Points of Vector Functions, Numer Funct Anl Optim Vol 19 (1998), 141- 156 [17] N.X.Tấn N.B.Minh, Một số vấn đề lí thuyết tối ưu vectơ đa trị, NXB Giáo dục, 2006 [18] Đ.H.Tân N.T.T.Hà, Các định lí điểm bất động, NXB Đại học Sư phạm, 2003 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn