BÀI TOÁN CÂN BẰNG NASH TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH - Phm Duy Khỏnh BI TON CN BNG NASH TRONG KHễNG GIAN Cể TH T Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC PGS.TS NGUYN BCH HUY Thnh ph H Chớ Minh 2008 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Bích Huy, ng-ời thầy nhiệt tình giảng dạy h-ớng dẫn hoàn thành luận văn Xin trân trọng biết ơn thầy cô thuộc khoa Toán tr-ờng Đại học S- phạm Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM nhiệt tình giảng dạy chuyên đề giúp làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp thuộc môn Toán khoa KHCB tr-ờng Đại học S- phạm Kỹ thuật Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho tham gia khóa học Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn thầy cô phòng KHCN-SĐH tr-ờng Đại học S- phạm Tp.HCM giúp đỡ hoàn tất thủ tục bảo vệ luận văn TP.Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 09 năm 2008 Ng-ời thực Phạm Duy Khánh Mục lục Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Ch-ơng Bài toán cân Nash nửa dàn 1.1 Định lý Knaster-Kuratowski-Mazurkiewiez định lý tách Ky Fan 1.2 Bổ đề Ky Fan định lý điểm bất động Fan-Browder 10 1.3 Định lý điểm yên ngựa 12 1.4 Định lý tồn điểm cân Nash 16 Ch-ơng Bài toán cân Nash không gian có thứ tự 19 2.1 Định lý điểm bất động ánh xạ đơn trị 19 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ đa trị 23 2.3 Định lý điểm bất động không gian tích 25 2.4 Bài toán cân Nash không gian có thứ tự 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết ph-ơng trình toán tử không gian có thứ tự đời từ năm 1950 đ-ợc hoàn thiện ngày Chúng tìm đ-ợc ứng dụng rộng rãi việc giải toán xuất phát từ Vật lý, Sinh học, Kinh tế Trong lý thuyết việc chứng minh tồn nghiệm ph-ơng trình dựa chủ yếu vào ph-ơng pháp điểm bất động Việc sử dụng định lý điểm bất động không gian có thứ tự vào toán kinh tế đ-ợc nghiên cứu gần Đây h-ớng nghiên cứu mới, có ý nghĩa Mục đích luận văn trình bày ứng dụng định lý điểm bất động ánh xạ đa trị không gian có thứ tự vào toán cân Nash xuất phát từ lĩnh vực kinh tế Mục đích nghiên cứu Cân Nash (Nash Equilibrium) khái niệm lý thuyết trò chơi (Game Theory) đ-ợc John Nash đ-a với mô hình trò chơi n đối thủ Cân Nash xác định chiến l-ợc tối -u cho trò chơi ch-a có điều kiện tối -u đ-ợc xác định tr-ớc Định nghĩa cân Nash là: Nếu tồn tập hợp chiến l-ợc cho trò chơi với đặc tính không đối thủ h-ởng lợi cách thay đổi chiến l-ợc đối thủ khác không thay đổi, tập hợp chiến l-ợc phần thu nhận t-ơng ứng tạo nên cân Nash Mô hình toán học đ-ợc định nghĩa nh- sau: Xét không gian tích X = iI Xi họ hàm fi : X (, +)(i I) Điểm x = (xi , x i ) X đ-ợc gọi điểm cân Nash họ hàm fi (xi , x i ) = max fi (ui , x i ) ui Xi xi Xi xi X i = jI\i Xj Để tiếp cận toán có nhiều ph-ơng pháp khác Trong luận văn tiếp cận cách sử dụng định lý điểm bất động ánh xạ đa trị không gian có thứ tự để chứng minh tồn điểm cân Nash Đối t-ợng nội dung nghiên cứu Sử dụng kết tôpô, giải tích hàm, không gian có thứ tự định lý điểm bất động không gian có thứ tự vào toán cân Nash không gian có thứ tự ý nghĩa khoa học thực tiễn Cân Nash khái niệm quan trọng toán kinh tế Việc mô hình hóa thành toán lý thuyết để giải đòi hỏi nhà toán học tìm ph-ơng pháp nghiên cứu kết tổng quát, có ý nghĩa khoa học áp dụng cho nhiều toán khác Cấu trúc luận văn Luận văn đ-ợc phân làm hai ch-ơng Ch-ơng Bài toán cân Nash nửa dàn Ch-ơng trình bày kết mở rộng định lý KKM, định lý tách Ky Fan, bổ đề Ky Fan, định lý điểm bất động Fan-Browder định lý điểm yên ngựa không gian có thứ tự Sử dụng kết thu đ-ợc vào việc chứng minh tồn điểm cân Nash nửa dàn Ch-ơng Bài toán cân Nash không gian có thứ tự Ch-ơng trình bày ph-ơng pháp lặp đơn điệu không gian có thứ tự Từ kết ta thu đ-ợc kết định lý điểm bất động ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Các kết lý thuyết thu đ-ợc đ-ợc sử dụng vào việc khảo sát toán cân Nash không gian có thứ tự Ch-ơng Bài toán cân Nash nửa dàn 1.1 Định lý Knaster-Kuratowski-Mazurkiewiez định lý tách Ky Fan Định lý KKM cổ điển đ-ợc ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học lý thuyết ứng dụng Trong phần trình bày mở rộng cho định lý KKM không gian có thứ tự Kết thu đ-ợc dựa vào định lý 1.1 [4](C.D Horvath and J.V.Llinares Ciscar) Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, ) không gian có thứ tự X gọi semilattice với cặp (x, x ) X ì X có chặn nhỏ nhất, kí hiệu x x Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, ) không gian có thứ tự semilattice A X tập hợp hữu hạn khác rỗng Tập (A) = aA [a, supA] gọi bao lồi thứ tự A Trong đó, supA chặn nhỏ A Định nghĩa 1.1.3 Tập E X gọi lồi với A E hữu hạn khác rỗng ta có (A) E Ví dụ 1.1.1 Đặt X = {(x, 1) : x 1} {(x, y) : y 1, x 1, y x 1} Trên R2 ta xét quan hệ thứ tự (a, b); (c, d) R2 : (a, b) (c, d) d b c a Khi X -lồi Chứng minh Ta thấy R2 với thứ tự đ-ợc định nghĩa semilattice Để chứng minh X -lồi ta cần chứng minh + a1, a2 X a1 a2 X + a1, a2 X, a1 a2 [a1, a2] X Giả sử a1 = (x1, y1) a2 = (x2 , y2) hai phần tử thuộc X Tr-ờng hợp Hai phần tử a1 , a2 so sánh đ-ợc Không tính tổng quát ta giả sử a1 a2 Khi a1 a2 = a2 X Ta kiểm tra [a1, a2] X Thật vậy, lấy a = (x, y) phần tử thuộc [a1, a2] Khi y1 y y2 x1 x x2 y2 x2 y x y1 x1 + Nếu x < x1 < Do a1 = (x1, y1) X nên y1 = Khi y = a X + Nếu x a X (Do y x + y2 x2 + y 1) Tr-ờng hợp Hai phần tử a1 , a2 không so sánh đ-ợc Đặt a = a1 a2 Ta kiểm tra a X + Nếu y2 x2 y1 x1 y2 y1 a = (x1 y1 + y2 , y2) + Nếu y2 x2 y1 x1 y1 y2 a = (x2 y2 + y1 , y1) Trong hai tr-ờng hợp ta kiểm tra đ-ợc a X Định nghĩa 1.1.4 Cho X, Y hai tập hợp Trên X ì Y ta xét quan hệ hai R Với x X y Y ta định nghĩa R(x) = {y Y : (x, y) R} R1 (y) = {x X : (x, y) R} Định lý 1.1.1 Cho X không gian tôpô semilattice liên thông đ-ờng, X0 X tập khác rỗng X R X0 ì X quan hệ hai thỏa (i) Với x X0 tập hợp R(x) khác rỗng đóng R(X0 ) = zX0 R(z) (ii) Tồn x0 X0 cho R(x0 ) compact (iii) Với tập hữu hạn khác rỗng A X0 [x, supA] xA R(x) xA Khi tập hợp xX0 R(x) khác rỗng Chứng minh Tham khảo [4] Định nghĩa 1.1.5 Cho X, Y không gian tôpô, ánh xạ đa trị G : X 2Y đ-ợc gọi transfer closed với x X y / G(x) tồn x X lân cận mở N (y) / G(x ) với y N (y) y Y cho y Nhận xét 1.1.1 G : X 2Y transfer closed xX Chứng minh Giả sử G transfer closed, ta chứng minh G(x) = xX G(x) = xX xX clG(x) clG(x) Thật / G(x ) theo vậy, tồn y X x X cho y clG(x) với x X y / clG(x ) Điều mâu thuẫn tính transfer closed G tồn x X cho y Giả sử y / xX xX G(x) = G(x) hay y / xX clG(x) Lấy y Y x X cho y / G(x) Khi xX clG(x) Nghĩa tồn x X cho y / clG(x ) Định lý 1.1.2 Cho X không gian tôpô semilattice liên thông đ-ờng, X0 X tập khác rỗng X R X0 ì X quan hệ hai thỏa (i) G : X0 2X transfer closed, G(x) = {y X : (x, y) R} với x X0 (ii) Tồn x0 X0 cho clG(x0 ) compact (iii) Với tập hữu hạn khác rỗng A X0 [x, supA] xA G(x) xA Khi tập hợp xX0 G(x) khác rỗng Chứng minh Do clG(x) thỏa điều kiện định lý 1.1.1 nên rỗng Mặt khác, G transfer closed nên xX0 G(x) = xX0 xX0 clG(x) khác clG(x) Từ ta suy điều phải chứng minh Định lý 1.1.3 Cho X tập khác rỗng, -lồi không gian tôpô semilattice liên thông đ-ờng M C X ì X (1) Với y X tập hợp {x X : (x, y) / C} -lồi rỗng (2) Hàm x {y X : (x, y) C} transfer closed (3) Với x X, (x, x) C (4) Tồn x0 X cho tập cl{y X : (x0 , y) C} compact Khi tồn y X cho X ì {y } C Chứng minh Xét G : X 2X cho G(x) = {y X : (x, y) C} với x X Khi đó, clG(x0) compact Giả sử tồn tập hữu hạn A0 = {x1, x2 , , xn} cho n (A0) G(xi ) i=1 nghĩa tồn z (A0) z / n i=1 G(xi ) Khi với i = 1, 2, , n, z / G(xi ), (xi, z) / C Suy A0 {x X : (x, z) / C}, theo (1) (A0) {x X : (x, z) / 25 (c) Giả sử t S t (x), x X t at tăng Lấy t, t T cho t t Khi S t (xt ) S t (xt) = xt [at) [at) Điều nghĩa xt {y [at) : F t(y) y} hay xt xt Vậy t xt ánh xạ tăng Ta phát biểu kết đối ngẫu định lý Định lý 2.2.3 Cho T tập hợp khác rỗng ánh xạ F t : X 2X \ , t T thỏa (H2) Với t T tồn bt X cho F t(bt ) (bt ] (H3) Với t T xích khác rỗng F t[(bt]] có chặn d-ới lớn X Khi đó, (a) Nếu F t có selection tăng S t : X X ánh xạ S t có điểm bất động lớn xt (bt ] với t T xt điểm bất động F t (bt] (b) Nếu F t có selection tăng lớn với t T , F t có điểm bất động lớn xt (bt ] xt = max{y (bt] : y max F t(y)} (c) Nếu T tập hợp có thứ tự ánh xạ t S t (x), x X t bt tăng ánh xạ t xt tăng 2.3 Định lý điểm bất động không gian tích Trong toàn phần ta xét T tập hợp có thự tự khác rỗng, X không gian tích có thứ tự, nghĩa X = iI Xi với I tập số Xi = (Xi , i) tập hợp có thứ tự Trên X ta xét quan hệ thứ tự nh- sau: {xi}iI {yi }iI xi i yi với i I 26 Xét W tập khác rỗng Xi Ta định nghĩa số khái niệm sau: Định nghĩa 2.3.1 Tập W đ-ợc gọi xích subcomplete downwards xích khác rỗng W có chặn d-ới lớn Xi thuộc W Nếu xích khác rỗng W có chặn nhỏ Xi thuộc W W đ-ợc gọi xích subcomplete upwards Nếu W xích subcomplete downwards upwards W đ-ợc gọi xích subcomplete Định nghĩa 2.3.2 Tập W đ-ợc gọi meet sublattice inf{x, y} tồn Xi thuộc W với x, y W Nếu sup{x, y} tồn Xi thuộc W với x, y W W đ-ợc gọi join sublattice Nếu W meet join sublattice W đ-ợc gọi sublattice Định nghĩa 2.3.3 Tập W đ-ợc gọi upwards directed với x, y W tồn z W cho x i z y i z Nếu tồn z W cho x i z y i z W đ-ợc gọi downwards directed Nếu W upwards downwards directed W đ-ợc gọi directed Định nghĩa 2.3.4 Hàm Fi : X 2Xi \ đ-ợc gọi increasing upwards với x, x X cho x x z Fi(x) tồn z Fi ( x) cho z i z Fi đ-ợc gọi x) tồn z Fi (x) increasing downwards với x, x X cho x x z Fi ( cho z i z Nếu Fi increasing upwards downwards Fi đ-ợc gọi increasing x) Định nghĩa 2.3.5 Hàm Fi : X 2Xi \ đ-ợc gọi weakly ascending sup{z, z} Fi( X, x x , z Fi(x) z Fi( x) hay inf{z, z} Fi (x) với x, x Sử dụng kết điểm bất động ánh xạ đa trị khái niệm đ-ợc định nghĩa ta thu đ-ợc định lý điểm bất động không gian tích Định lý 2.3.1 Giả sử ánh xạ Fit : X 2Xi \ , i I, t T thỏa giả thiết: (h0) (x, t) Fit(x) weakly ascending có giá trị xích subcomplete với i I (h1) Với t T tồn at = {ati }iI X cho Fit (at) [ati) t ati tăng với i I 27 (h2) Mỗi xích khác rỗng Fit[[at)] có chặn nhỏ Xi với i I t T Khi đó, với t T , F t = {Fit}iI có điểm bất động xt t xt tăng Chứng minh Ta chứng minh giả thiết (H0) (H1) định lý 2.2.2 đ-ợc thỏa Giả thiết (h1) quan hệ thứ tự X kéo theo giả thiết (H0) thỏa Nghĩa với t T tồn at X cho F t(at ) [at) Để chứng minh giả thiết (H1) đ-ợc thỏa ta chứng minh xích tốt, khác rỗng F t[[at)] có chặn nhỏ X với t T Lấy t T cố định W = {Wi }iI xích tốt, khác rỗng F t[[at)], ta chứng minh W có chặn nhỏ X Do W khác rỗng nên Wi , i I tập khác rỗng Fit[[at)] Lấy Ai tập khác rỗng Wi đặt Bi = {x = (xi )iI W : xi Ai } Khi đó, Bi tập khác rỗng W y = (yi )iI = B tồn Sử dụng quan hệ thứ tự X ta suy yi = Ai Vậy Wi xích tốt Sử dụng giả thiết (h2) ta suy xi = sup Wi tồn Xi Kết với i I, x = (xi )iI chặn nhỏ W Giả thiết (h0) kéo theo tồn Sit : X Xi selection ánh xạ Fit thỏa x) với i I, x x X t t T Với tính chất với Sit (x) i Sit( t T ta xây dựng ánh xạ S t : X X định S t (x) = {Sit(x)}iI , x X S t selection tăng F t t S t(x) tăng với x X Theo định lý 2.2.2 (a) ta suy S t có điểm bất động nhỏ xt [at) điểm bất động F t với t T Hơn nữa, t at tăng theo (h1) nên t xt tăng theo định lý 2.2.2 (c) Sử dụng kết đối ngẫu điểm bất động ánh xạ đa trị ta thu đ-ợc kết đối ngẫu định lý Định lý 2.3.2 Giả sử ánh xạ Fit : X 2Xi \ , i I, t T thỏa giả thiết: (h0) (x, t) Fit(x) weakly ascending có giá trị xích subcomplete với i I (h3) Với t T tồn bt = {bti }iI X cho Fit(bt) (bti ] t bti tăng với i I 28 (h4) Mỗi xích khác rỗng Fit[(bt]] có chặn nhỏ Xi với i I t T Khi đó, với t T , F t = {Fit}iI có điểm bất động xt t xt tăng Giả thiết (h0) giúp tồn selection tăng S t F t Ta thay giả thiết (h0) giả thiết khác cho đảm bảo tồn ánh xạ selection S t từ ta thu đ-ợc kết định lý điểm bất động không gian tích Kết hệ định lý 2.2.2 (b) (c) Định lý 2.3.3 Giả sử ánh xạ Fit : X 2Xi \ , i I, t T thỏa giả thiết (h1) (h2) định lý 2.3.1 thỏa: (h5) Các ánh xạ Fit increasing downwards, Fit(x) downwards directed chứa chặn d-ới xích khác rỗng Khi với t T , F t = {Fit}iI có điểm bất động nhỏ xt [at) xt = min{y [at) : F t(y) y} Nếu t Fit(x), i I, x X increasing downwards ánh xạ t xt tăng Kết ta thay giả thiết (h5) giả thiết sau: (h6) Các ánh xạ Fit weakly ascending có giá trị xích subcomplete meet sublattices với i I t T Chứng minh Lấy x X, t T i I cố định Giả thiết (h5) xích tốt đảo Fit (x) có chặn d-ới Xi thuộc Fit(x) Theo bổ đề Zorn Fit(x) có phần tử tối tiểu zi Do Fit(x) downwards directed nên zi = Fit(x) Điều với x X Do ta có xây dựng đ-ợc ánh xạ S t = {Sit}iI , Sit (x) = Fit(x), i I, x X.S t selection nhỏ F t Hơn nữa, Fit incresing downwards theo (h5) nên Sit tăng Sử dụng quan hệ thứ tự X ta suy S t selection tăng nhỏ F t Giả thiết (h1) (h2) kéo theo giả thiết (H0) (H1) định lý 2.2.2 thỏa Do dựa vào kết định lý 2.2.2 (b) (c) ta suy kết định lý 29 Giả sử giả thiết (h6) đ-ợc thỏa Giả thiết Fit có selection tăng Sit với i I T-ơng tự trên, S t = {Sit }iI selection tăng nhỏ F t Ta phát biểu kết đối ngẫu định lý Định lý 2.3.4 Giả sử ánh xạ Fit : X 2Xi \ , i I, t T thỏa giả thiết (h3) (h4) định lý 2.3.2 thỏa: (h7) Các ánh xạ Fit increasing upwards, Fit(x) upwards directed chứa chặn xích khác rỗng Khi với t T , F t = {Fit}iI có điểm bất động lớn xt (bt] xt = max{y (bt ] : y max F t(y)} Nếu t Fit (x), i I, x X increasing upwards ánh xạ t xt tăng Kết ta thay giả thiết (h7) giả thiết sau: (h8) Các ánh xạ Fit weakly ascending có giá trị xích subcomplete join sublattices với i I t T Ta thay giả thiết (h1) định lý 2.3.1 (h3) định lý 2.3.2 số tính chất tập có thứ tự đ-ợc định nghĩa nh- sau Định nghĩa 2.3.6 Cho Y tập hợp có thứ tự Phần tử c Y gọi sup-center Y sup{c, x} tồn Y với x Y Nếu inf{c, x} tồn Y c đ-ợc gọi inf-center Y Nếu c sup-center inf-center c đ-ợc gọi order center Y Định nghĩa 2.3.7 Cho Y tập hợp có thứ tự Tập Z Y đ-ợc gọi closed upwards Z chứa tất chặn nhỏ xích tốt Z Nếu Z chứa tất chặn d-ới lớn xích tốt đảo Z Z đ-ợc gọi closed downwards.Z đ-ợc gọi order-closed Z closed upwards downwards Tiếp theo ta trình bày định lý điểm bất động không gian tích cách sử dụng tính chất tập hợp có thứ tự đ-ợc định nghĩa Trong phần tiếp theo, ta giả sử T = (T, ) tập hợp có thứ tự, X = iI Xi tích tập hợp có thứ tự Xi = (Xi , i ) Trên X trang bị quan hệ thứ tự giống nh- 30 Định lý 2.3.5 Giả sử ánh xạ Fit : X 2Xi \ , i I, t T thỏa giả thiết (ha) Các xích khác rỗng Fit[X] có chặn nhỏ chặn d-ới lớn Xi (hb) Các ánh xạ (x, t) Fit(x) weakly ascending có giá trị tập order-closed (a) Nếu Xi có inf-center với t T , F t = {Fit}iI có điểm bất động xt ánh xạ t xt tăng (b) Nếu Xi có sup-center với t T , F t = {Fit}iI có điểm bất động xt ánh xạ t xt tăng Chứng minh (a) Các giả thiết (ha) (hb) kéo theo giả thiết (h0) định lý 2.3.1 thỏa Do F t có selection tăng S t : X X Giả sử Xi có inf-center ci , c = {ci }iI inf-center X Lấy t T cố định Xét ánh xạ G : X X cho G(x) = inf{c, S t(x)}, x X, dễ thấy G(c) c Gọi D xích tốt đảo phép lặp G phần tử c Do S t tăng nên S t[D] tập tốt đảo Hơn S t[D] F t[X], y = inf S t[D] tồn X theo giả thiết (ha) Từ ta suy inf{c, y} = inf G[D] Sử dụng định lý điểm bất động cho ánh xạ G ta suy at := D điểm bất động lớn G (c] Hơn at = max{y (c] : y inf{c, S t (y)}} Đặc biệt, at S t (at) Gọi C xích tốt phép lặp S t phần tử at Do S t [C] tốt S t [C] F t[X] nên theo giả thiết (ha) sup S t[C] tồn T-ơng tự nh- ta suy S t nhận xt = max C làm điểm bất động nhỏ [at) Do S t selection F t nên xt = S t (xt ) F t(xt) Vậy xt điểm bất động F t xt = min{y [at) : S t(y) y} với t T Mặt khác, t S t (x) tăng theo chứng minh định lý 2.3.1 với x X nên ta suy t at t xt tăng (b) Giả sử c sup-center X Lấy t T , ta định nghĩa G(x) = sup{c, S t(x)}, x X 31 lấy C xích tốt phép lặp G phần tử c Ta dễ dàng kiểm tra đ-ợc bt = sup G[C] tồn Sử dụng định lý điểm bất động cho ánh xạ G ta suy bt = max C bt điểm bất động ánh xạ G [c) thỏa bt = min{y [c) : sup{,S t (y)} y} Đặc biệt, S t (bt ) bt Gọi D xích tốt đảo phép lặp S t phần tử bt Khi đó, S t có điểm bất động lớn xt (bt] với xt = D thỏa xt = max{y (bt ] : y S t(y)} với t T Do xt = S t (xt ) F t (xt) nên xt điểm bất động F t Mặt khác, t S t(x), x X tăng nên t bt t xt tăng Bằng cách thay giả thiết (h1) định lý 2.3.3 giả thiết tồn inf-center Xi ta thu đ-ợc định lý 2.3.6 Định lý 2.3.6 Giả sử ánh xạ Fit : X 2Xi \ , i I, t T thỏa giả thiết (ha) định lý 2.3.5 giả thiết sau (hc) Mỗi Fit increasing downwards Fit(x) tập downwards direted chứa chặn d-ới xích khác rỗng Nếu Xi có inf-center ci với t T , F t = {Fit}iI có điểm bất động nhỏ xt [at), at = max{y (c] : y inf{c, F t(y)}}, c = {ci }iI Nếu ánh xạ t Fit(x) increasing downwards với i I x X ánh xạ t at t xt tăng Chứng minh Từ giả thiết (hc) chứng minh định lý 2.3.3 ta suy Fit(x) tồn với i I, t T x X ánh xạ t Fit(x) tăng Dựa vào kết ta suy F t(x) = {min Fit (x)}iI tồn với t T x X ánh xạ t F t(x) tăng với t T Chọn S t := F t chứng minh định lý 2.3.5 (a) ta thấy 32 Xi có inf-center ci F t có điểm bất động nhỏ xt [at), với [at) xác định định lý 2.3.5 Theo chứng minh định lý 2.3.3 ta suy xt điểm bất động nhỏ F t [at) Giả sử t Fit(x) increaing downwards với i I x X Từ giả thiết ta suy t F t(x), x X ánh xạ tăng Hơn nữa, xt = min{y [at) : F t (y) y} với t T Sử dụng kết này, định nghĩa at tính đơn điệu ánh xạ t F t(x), x X ta suy đ-ợc t at t xt tăng Kết định lý đối ngẫu định lý 2.3.6 đ-ợc chứng minh t-ơng tự Định lý 2.3.7 Giả sử ánh xạ Fit : X 2Xi \ , i I, t T thỏa giả thiết (ha) định lý 2.3.5 giả thiết sau (hd) Mỗi Fit increasing downwards Fit(x) tập upwards direted chứa chặn xích khác rỗng Nếu Xi có sup-center ci với t T , F t = {Fit}iI có điểm bất động lớn xt (bt], bt = min{y [c) : sup{c, max F t(y)} y}, c = {ci }iI Nếu ánh xạ t F t(x) increasing upwards với x X ánh xạ t bt t xt tăng Ta trình bày hệ định lý 2.3.6 định lý 2.3.7 Định lý 2.3.8 Cho T tập hợp có thứ tự X = iI Xi tích không gian lattices Xi Giả sử ánh xạ Fit : X 2Xi \ , i I, t T thỏa giả thiết (ha), (hc) (hd) Khi với cách chọn ci Xi t T ánh xạ F t = {Fit}iI có điểm bất động nhỏ lớn xt xt [at, bt], at, bt đ-ợc cho định lý 2.3.6 2.3.7 Hơn nữa, ánh xạ t F t(x) tăng với x X ánh xạ t at , t bt , t xt t xt tăng 33 Chứng minh Do phần tử không gian lattices order center nên kết định lý hệ định lý 2.3.6 định lý 2.3.7 2.4 Bài toán cân Nash không gian có thứ tự Các kết lý thuyết đ-ợc trình bày đ-ợc sử dụng nh- công cụ để nghiên cứu toán cân Nash lý thuyết trò chơi Gọi I tập hợp ng-ời chơi T tập hợp tham số, đặc tr-ng cho thay đổi môi tr-ờng mà ng-ời chơi tham gia.Ta kí hiệu X = iI Xi tập hợp ph-ơng án (chiến l-ợc) ng-ời chơi Với x = {xi }iI i I ta kí hiệu x = (xi , xi ), xi ph-ơng án (chiến l-ợc) ng-ời chơi thứ i xi ph-ơng án ng-ời chơi lại Với x X t T cố định, gọi Xix,t Xi tập hợp ph-ơng án phản hồi ng-ời chơi thứ i lựa chọn đ-a tác động (x, t) (bộ ph-ơng án x tham số tác động t) Ta gọi uti(x) Wi = (Wi , i) lợi nhuận ng-ời chơi thứ i thu đ-ợc Ta nói ph-ơng án phản hồi yi ng-ời chơi thứ i tác động (x, t) tối -u uti(xi , yi ) = max{uti(xi , yi ) : yi Xix,t } Một ph-ơng án x = {xi}iI đ-ợc gọi điểm cân Nash với t T ph-ơng án phản hồi xi ng-ời chơi thứ i tác động (x, t) ph-ơng án tối -u Ta kí hiệu Fit(x) tập hợp ph-ơng án phản hồi tối -u ng-ời chơi thứ i tác động (x, t) Vậy điểm cân Nash đ-ợc định nghĩa điểm bất động ánh xạ đa trị F t = {Fit}iI Trong mục trình bày điều kiện cho tập ph-ơng án phản hồi Xix,t hàm lợi nhuận uti cho điểm cân Nash tồn Hơn nữa, điểm cân Nash lớn xt tồn làm cho hàm uti (x) đạt giá trị lớn tập hợp điểm cân Nash với t T giả thiết sau đ-ợc thỏa: 34 (1) Các Xi order-bounded tập order-closed không gian định chuẩn có thứ tự Ei với thứ tự sinh nón qui (2) Các Xix,t closed directed upwards (3) Các ánh xạ x Xit,x increasing upwards (4) Các hàm uti increasing x,t Định nghĩa 2.4.1 Tập hợp A Xix,t gọi tập mức ux,t i A = (ui ) (wi ) tập x,t x,t x,t mức ux,t i A = (ui ) [[wi )] với wi ui [Xi ] t t Nhận xét 2.4.1 Các tập mức tập mức ux,t i tập Fi (x) Fi (x) x,t wi = max ux,t i [Xi ] Định lý 2.4.1 Giả sử giả thiết sau đ-ợc thỏa: x,t (Ha) ux,t i [Xi ] chứa chặn xích khác rỗng directed upwards (Hb) Các xích khác rỗng {Xix,t : x X} có chặn nhỏ chặn d-ới lớn Xi với i I t T (Hc) Mỗi tập mức ux,t i closed upwards directed upwards x ,t (Hd) Nếu x < x X, i I t T , tồn tập mức A ux,t i B ui cho với yi Avà zi B tồn zi Xix,t thỏa yi i zi uxi,t ( zi) uxi,t (zi ) Nếu Xi có sup-center ci với t T tồn điểm cân Nash lớn xt khoảng thứ tự (bt] X, bt đ-ợc xác định bởi: bt = min{y [c) : sup{c, max F t(y)} y}, c = {ci }iI Hơn nữa, ánh xạ t bt t xt tăng giả thiết sau đ-ợc thỏa: x, t (He) Nếu t < t T , i I x X, tồn tập mức A ux,t i B ui t t cho với yi Avà zi B tồn zi Xix,t thỏa yi i zi ux, zi) ux, i ( i (zi ) Chứng minh Lấy i I, t T x X cố định Dựa vào bổ đồ Zorn điều kiện (Ha) x,t định lý ta suy tập hợp ux,t i [Xi ] có phần tử tối đại phần tử điểm cực đại x,t t ux,t i [Xi ] Vì tập hợp Fi (x) khác rỗng chứa chặn nhỏ xích 35 khác rỗng theo giả thiết (Hb) (Hc) Hơn nữa, Fit(x) directed upwards nên max Fit (x) tồn Tiếp theo ta chứng minh x Fit(x), i I, t T increasing upwards Thật vậy, giả sử x[...]... xt và t xt là tăng 33 Chứng minh Do mỗi phần tử của không gian lattices đều là order center của nó nên các kết quả của định lý chính là hệ quả của định lý 2.3.6 và định lý 2.3.7 2.4 Bài toán cân bằng Nash trong không gian có thứ tự Các kết quả về lý thuyết đ-ợc trình bày trên đ-ợc sử dụng nh- một công cụ để nghiên cứu bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi Gọi I là tập hợp các ng-ời chơi... (., y) là -tựa lõm, với mỗi x [0, 1], f2 (x, ) là -tựa lõm Khi đó bộ hàm f1 , f2 thỏa các điều kiện của định lý 1.4.1 Điểm x = (1, 1) X chính là điểm yên ngựa của bộ hàm f1 , f2 19 Ch-ơng 2 Bài toán cân bằng Nash trong không gian có thứ tự 2.1 Định lý điểm bất động của ánh xạ đơn trị Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ đơn trị trong tập hợp có thứ tự Định... t xt là tăng 2.3 Định lý điểm bất động trong không gian tích Trong toàn bộ phần này ta xét T là tập hợp có thự tự và khác rỗng, X là không gian tích có thứ tự, nghĩa là X = iI Xi với I là tập chỉ số và Xi = (Xi , i) là các tập hợp có thứ tự Trên X ta xét quan hệ thứ tự nh- sau: {xi}iI {yi }iI khi và chỉ khi xi i yi với mỗi i I 26 Xét W là tập con khác rỗng trong Xi Ta định nghĩa một số khái niệm... Xix,t và hàm lợi nhuận uti sao cho điểm cân bằng Nash tồn tại Hơn nữa, chúng ta còn chỉ ra rằng điểm cân bằng Nash lớn nhất xt là tồn tại và làm cho hàm uti (x) đạt giá trị lớn nhất trên tập hợp các điểm cân bằng Nash với mỗi t T nếu các giả thiết sau đ-ợc thỏa: 34 (1) Các Xi là order-bounded và là tập con order-closed của không gian định chuẩn có thứ tự Ei với thứ tự sinh bởi nón chính qui (2) Các Xix,t... của định lý 2.3.7 đ-ợc suy ra từ giả thiết (Hb) của định lý Do đó, nếu các Xi có một sup-center ci thì F t = {Fit }iI có điểm bất động lớn nhất xt trong khoảng thứ tự (bt ] của X, trong đó (bt ] đ-ợc chỉ ra trong định lý Theo định nghĩa ban đầu, xt chính là điểm cân bằng Nash trong (bt] Bằng kỹ thuật chứng minh t-ơng tự trong chứng minh Fit là increasing upwards ta chứng minh đ-ợc t Fit(x) là increasing... sắp tốt trong Z Nếu Z chứa tất cả các chặn d-ới lớn nhất của các xích sắp tốt đảo trong Z thì Z đ-ợc gọi là closed downwards.Z đ-ợc gọi là order-closed nếu Z là closed upwards và downwards Tiếp theo ta trình bày các định lý điểm bất động trong không gian tích bằng cách sử dụng các tính chất của tập hợp có thứ tự đ-ợc định nghĩa trên Trong phần tiếp theo, ta giả sử T = (T, ) là tập hợp có thứ tự, X =... điểm cân bằng Nash Xét (Xi , i ), i I là họ các không gian tôpô semilattice, X và Xi là các không gian tôpô tích, nghĩa là X= Xi , Xi = iI Xj jI\i Với mỗi x, x X ta định nghĩa x x khi và chỉ khi xi i xi với mỗi i I Khi đó, (X, ) là không gian tôpô semilattice với (x x )i = xi i xi , (i I) Với bất kỳ x X ta đặt x = (xi, xi ) trong đó xi Xi , xi Xi Điểm x X đ-ợc gọi là điểm cân bằng Nash. .. t[[at)] đều có chặn trên nhỏ nhất trong X Khi đó, (a) Nếu mỗi F t đều có một selection tăng S t : X X thì các ánh xạ S t có điểm bất động nhỏ nhất xt trong [at) với mỗi t T và xt chính là điểm bất động của F t trong [at) (b) Nếu mỗi F t đều có một selection tăng nhỏ nhất thì với mỗi t T , F t có điểm bất động nhỏ nhất xt trong [at) và xt = min{y [at) : min F t(y) y} (c) Nếu T là tập hợp có thứ tự và... của định lý 2.3.2 bằng một số tính chất của tập có thứ tự đ-ợc định nghĩa nh- sau Định nghĩa 2.3.6 Cho Y là tập hợp có thứ tự Phần tử c Y gọi là sup-center của Y nếu sup{c, x} tồn tại trong Y với mọi x Y Nếu inf{c, x} tồn tại trong Y thì c đ-ợc gọi là inf-center của Y Nếu c là sup-center và inf-center thì c đ-ợc gọi là order center của Y Định nghĩa 2.3.7 Cho Y là tập hợp có thứ tự Tập Z Y đ-ợc... đều có chặn d-ới lớn nhất trong X Khi đó, (a) Nếu mỗi F t đều có một selection tăng S t : X X thì các ánh xạ S t có điểm bất động lớn nhất xt trong (bt ] với mỗi t T và xt chính là điểm bất động của F t trong (bt] (b) Nếu mỗi F t đều có một selection tăng lớn nhất thì với mỗi t T , F t có điểm bất động lớn nhất xt trong (bt ] và xt = max{y (bt] : y max F t(y)} (c) Nếu T là tập hợp có thứ tự và