một số lớp ánh xạ lồi và lõm trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ĐINH CÔNG MINH MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 201110 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ĐINH CÔNG MINH MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 201110 LỜI CẢM ƠN Tôi gửi cảm ơn sâu sắc đến Thầy TS. Trần Đình Thanh đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi xin chân thành cám ơn quí Thầy, Cô khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh và trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi nhiều kiến thức quí báu trong Toán học cũng như trong cuộc sống. Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 Học viên Đinh Công Minh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 0 MỤC LỤC 0 MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài: 1 2. Nội dung luận văn 1 3. Phương pháp nghiên cứu 2 Chương 1: CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 3 1.1 Không gian banach có thứ tự 3 1.2 Nguyên lí Entropy và Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng. 8 1.2.1 Nguyên lí Entropy 8 1.2.2 Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng. 9 Chương 2: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI, LÕM. 12 2.1 Ánh xạ 0 −u lõm hoặc 0 −u lồi. 12 2.1.2 Sự duy nhất của điểm bất động. 13 2.1.3 Xây dựng dãy lập đơn điệu hội tụ về điểm bất động. 14 2.1.4 Tính chất của vectơ riêng, giá trị riêng. 17 2.2 Một số ánh xạ lồi, lõm. 20 2.2.1 Ánh xạ dưới tuyến tính 20 2.2.2 Ánh xạ 0 u − đơn điệu. 21 2.2.3 Ánh xạ α − lồi, α − lõm. 22 2.3 Ánh xạ o u − lõm tổ hợp 30 2.3.1 Ánh xạ đơn điệu tổ hợp 30 2.3.2 Ánh xạ o u − lõm tổ hợp. 32 2.3.3 Một số ứng dụng 34 Chương 3: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LÕM ĐA TRỊ 37 3.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ − o u lõm đều đơn trị 37 3.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ lõm đều đa trị. 39 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự ra đời từ những năm 1940, được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu các phương trình xuất phát từ khoa học Tự nhiên, Y học, Kinh tế học. Trong lý thuyết về phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình với ánh xạ lồi hoặc lõm đóng vai trò quan trọng. Đối với lớp phương trình với ánh xạ lồi hoặc lõm ta có thể chứng minh sự duy nhất của nghiệm, xây dựng hai dãy lặp Picard là dãy tăng hoặc giảm hội tụ về nghiệm; chứng minh được tập giá trị riêng là khoảng,… Vì sự quan trọng của nó nên lớp phương trình với ánh xạ lồi được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu. Một số lớp ánh xạ lõm hoặc lồi mới được đưa vào nghiên cứu và thu được các định lý mới về điểm bất động, về xây dựng dãy lặp xấp xỉ nghiệm,… Việc hệ thống lại các lớp ánh xạ lồi, lõm đã được nghiên cứu, các tính chất của chúng, so sánh mối liên hệ giữa chúng,… là việc làm cần thiết và có ý nghĩa. Luận văn chỉ trình bày các kết quả lý thuyết. Sau khi thu thập tài liệu từ nhiều nguồn, chúng tôi sẽ phân loại, tổng hợp các tài liệu để trình bày các kết quả theo một hệ thống hoàn chỉnh, chi tiết. 2. Nội dung luận văn Nội dung luận văn gồm có ba chương: Chương 1. Nhắc lại các khái niệm, các kết quả được sử dụng. Trong đó gồm có các khái niệm về không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón; Nguyên lí Entropy; Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng.Các kết quả này được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo. Chương 2. Trình bày một số kết quả của một số lớp ánh xạ lồi, lõm. Tính chất của véctơ riêng, giá trị riêng. Ánh xạ lõm tổ hợp. Chương 3. Khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ lõm đa trị . 3. Phương pháp nghiên cứu 1. Sử dụng các tính chất của thứ tự sinh bởi nón, nguyên lí Entropy, định lí điểm bất động của ánh xạ tăng. 2. Phương pháp lặp liên tiếp. Chương 1: CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 Không gian banach có thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu i) K là tập đóng, khác rỗng và K θ ≠ ii) , 0.KKK KK λλ + ⊂ ⊂ ∀≥ iii) ( ) { } KK θ −= Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian Banach thực X với nón K , ta xét quan hệ ""≤ sau: , , xy X x y y x K∀ ∈ ≤ ⇔ −∈ Khi đó quan hệ ""≤ có các tính chất: 1) Phản xạ: , xx K xX xX θ − = ∈ ⇒ ≤ ∀∈ . 2) Phản xứng: ,xy X∀∈ , nếu xy≤ và yx≤ thì yxK−∈ và xyK−∈ Do iii) ta có: yx θ −= nên xy= 3) Bắc cầu: ,,xyz X∀∈ nếu xy≤ và yz≤ thì yxK−∈ và zyK−∈ Do ii) ta có: ( ) ( ) zx yx zy K−= − + − ∈ . Do đó xz≤ . Vậy ""≤ là một quan hệ thứ tự trên X . Mỗi { } \xK θ ∈ gọi là dương. Mệnh đề 1.1.1 Cho X là không gian Banach thực sinh bởi nón K . Khi đó: 1) , , , 0; xzyz xyz X x y xy λ λλ +≤+  ∀ ∈ ∀≥ ≤⇒  ≤  2) Nếu ( ) * (n ), lim , lim nn n n xy xx yy≤∈ = ≤ thì xy≤ . 3) Nếu { } n x là dãy tăng, hội tụ về x thì * n xxn≤ ∀∈ Chứng minh 1) Ta có () .xy yxK y x xy K x y λλλ λλ ≤⇒−∈⇒ − = −∈⇒ ≤ Tương tự: ( )( ) .xy yxK yx yz xz K xzyz≤⇒−∈ ⇒−= + − + ∈ ⇒+≤+ 2) Do n n nn xy yxK≤ ⇒ −∈ Do ( ) lim nn n y x yx →∞ −=− và K đóng nên yxK−∈ . Vì thế xy≤ . 3) Giả sử dãy { } n x là tăng. Với mỗi n ta có: n nm xx + ≤ . Cho m → +∞ , ta có: , n xxn≤∀ . Định nghĩa 1.1.3 i) Nón K trong X được gọi là nón miniheral mạnh nếu mọi tập M bị chặn trên trong X đều tồn tại supM . ii) Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón chuẩn nếu 0N∃> sao cho , , xy X x y∀∈ ≤ thì x Ny≤ ( số N được gọi là hằng số chuẩn cuả K ) iii) Nón K trong X được gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng bị chặn trên trong X đều hội tụ. iv) Nón K trong X được gọi là nón sinh nếu , , : x X uv K x u v∀∈ ∃ ∈ = − Mệnh đề 1.1.2 Cho K là nón chuẩn trong X . Khi đó: 1) , ; uv X u v∀∈ ≤ thì { } , : uv x X u x v= ∈ ≤≤ là tập đóng và bị chặn. 2) Nếu , ( 1,2, ) nnn xyzn≤≤ = và lim lim nn nn x zx →∞ →∞ = = thì lim n n yx →∞ = 3) Nếu dãy đơn điệu ( ) n n x có dãy con ( ) k n k x hội tụ về x thì ( ) n n x hội tụ về x Chứng minh 1) ,uv là tập đóng. Giả sử , , n x uv n∈∀ và lim n n xx →∞ = . Ta có: , , n ux v n uxv x uv≤ ≤ ∀⇒≤≤⇒∈ . ,uv bị chặn: ,x uv∀∈ thì , uxv xuKvuK≤≤⇒−∈ −∈ và xuvu−≤− Do K là nón chuẩn nên xu Nvu x u Nvu−≤−⇒−≤− Vì vậy x Nv u u M≤ −+ = 2) Giả sử , nnn nnnn xyz n yxzv θ ≤ ≤ ∀⇒ ≤ − ≤ − Do K là nón chuẩn nên (*) nn nn y x Nz x−≤ − Mà lim lim nn nn x zx →∞ →∞ = = nên nn zx θ −→ từ (*) cho n →∞ thì nn yx θ −→ Do đó () () n nn n yyxxxn= − + → →∞ . 3) Giả sử ( ) n n x là dãy tăng có dãy con ( ) k n k x hội tụ về x Ta có: 0 0, : kk n on x x k xx N ε ε → ⇒∀ > ∃ − < . Ta lại có: , k n x xk≤∀ và k nn xx≤ nên , n xxn≤∀ Khi đó: 0 k nn∀≥ thì 00 kk nn n n x x x xx xx θ ≤ ≤⇒≤− ≤− Do đó: 0 k nn xx Nxx ε −≤ − < Vậy lim n n xx →∞ = . Định lí 1.1.1 Trong không gian Banach X với nón chuẩn K tồn tại chuẩn * . tương đương với chuẩn ban đầu . sao cho ** , , xy X x y x y θ ∀ ∈ ≤≤⇒ ≤ Chứng minh Đặt [ ] [ ] (0,1) (0,1)AB K B K=+− Ta chứng minh: (0,1) (0, )B ABr⊂⊂ , với 0r > đủ lớn. + Do ( ) KK θ ∈− nên (0,1)BA⊂ + Chứng minh (0; ), 0.ABrr⊂> Thật vậy, nếu trái lại ta có thể xây dựng dãy ( ) n n xA⊂ với n xn≥ và , (0,1); , nn nn yz B uv K∈∈ sao cho n nnnn xyuzv=+=− Vì nn nn uvzv+=− nên 2 nn uv+≤ mà K là nón chuẩn nên 2. n nn u Nu v N≤ +≤ Do đó 1 2 , nnn nx y u N n≤ ≤ + ≤+ ∀ ( điều này vô lí ) * Xét phiếm hàm Minkovski của tập A : * inf 0: x x A xA λ λ  = >∈ ∈   * , 0x Xx∀∈ ≠ , gọi * 0 x λ = thì (0,1) 2 x B x ∈ và 0 x A λ ∈ . Theo trên ta có: 2 x A x ∈ và 0 (0, ) x Br λ ∈ Do đó: * 2xx< và * x r x < Suy ra ** 1 2 x x rx<< Khi 0x = thì đẳng thức xảy ra. Do đó chuẩn * . tương đương với chuẩn ban đầu . * Giả sử 0 xy≤≤ , ta có: 0: 0: yx λλ λλ  > ⊂>   Thật vậy, xét λ sao cho y A λ ∈ Do 0x ≥ nên 0 (0,1) xx K BK λλ ∈ ⇒+ ∈ + Do xy≤ nên xy yx K λλ λλ ≤⇒−∈ Mà y A λ ∈ nên theo định nghĩa A ta có y uv λ = − với (0,1)uB K∈− Do đó x A λ ∈ Vì vậy ** xy ≤ . Định lí 1.1.2 i) K là nón chính qui khi và chỉ khi mọi dãy đơn điệu giảm bị chặn dưới đều hội tụ. ii) K là nón chính qui thì K là nón chuẩn. [...]... lí trên thì F có điểm bất động trong u , v Chương 2: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI, LÕM Trong chương này ta xét X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K 2.1 Ánh xạ u0 − lõm hoặc u0 − lồi Định nghĩa 2.1.1 Ánh xạ A : K → K và u0 > θ Giả sử: i) Với mỗi x > θ , ∃α ( x) > 0, β ( x) > 0 sao cho α u0 ≤ Ax ≤ β u0 (2.1.1) ii) Với mỗi x ∈ K thoả α1u0 ≤ x ≤ β1u0 (α1 ( x) > 0, β1 ( x) > 0) và số η mỗi 0 < t... động trong đoạn x1 , x2 ( b) Do K là nón chuẩn, A compact suy ra λ A x1 , x2 ) là tập compact tương đối Kết hợp với (*),(**) ta thấy λ A thỏa các giả thuyết của hệ quả 1 của định lí điểm bất động của ánh xạ tăng nên λ A có điểm bất động trong đoạn x1 , x2 Vậy định lí được chứng minh 2.2 Một số ánh xạ lồi, lõm Nón K trong không gian Banach X gọi là thể nón nếu K có chứa điểm trong 2.2.1 Ánh xạ dưới... ta có 0 < t1 < ∞ Ta chứng minh t1 ≥ 1 ( ) α α Thật vậy, nếu 0 < t1 < 1 thì x = ≥ A t1 x* ≥ t1 Ax* =x* Ax t1 α ( mâu thuẫn định nghĩa t1 vì t1 > t1 ) Do đó t1 ≥ 1 và x ≥ x* Tương tự ta cũng có x ≤ x* Vậy ánh xạ A có điểm bất động duy nhất trong 0 K TH2 Giả sử A là α − lồi và giảm Khi đó ta có A2 : 0 K 0 → K là α 2 − lõm và tăng Thật vậy, Do ánh xạ A giảm nên A2 là tăng 0 Với x ∈ K , t ∈ (0,1) do ánh. .. − ∈ K R Khi đó số R thỏa (2.2.26) Thật vậy, x ∈ K ( x0 ) mà x > R , ta có x−x = *  x x*   x*  x  −  ≥ x  x0 −   θ x x  R   Do đó: Ax ≤ Ax* = x x*  Vậy định lí được chứng minh 2.3 Ánh xạ uo − lõm tổ hợp 2.3.1 Ánh xạ đơn điệu tổ hợp Cho X là không gian Banach thực với thứ tự sinh bởi nón chính qui K và các họ ánh xạ Pi : X → X , i ∈ I , Qi = − Pi (với E : X → X là ánh xạ đồng nhất) thỏa... Ax, ∀x ∈ K , 0 < t < 1 (2.2.4) Ánh xạ A gọi là α − lồi nếu A ( tx ) ≤ 0 1 Ax, ∀x ∈ K , 0 < t < 1 tα (2.2.5) Theo định nghĩa trên ta có : 0 A là α − lõm ⇔ A ( sx ) ≤ sα Ax, ∀x ∈ K , s > 1 A là α − lồi ⇔ A ( sx ) ≥ 0 1 Ax, ∀x ∈ K , s > 1 sα (2.2.6) (2.2.7) Định lí 2.2.3 Với K là nón chuẩn, ánh xạ A : 0 K 0 → K là α − lõm và tăng ( hoặc α lồi và giảm ) Khi đó: 0 0 Ánh xạ A có điểm bất động duy nhất x* ∈... Nếu ánh xạ A : K → K là tăng và u0 − lõm thì A có nhiều nhất một điểm bất động dương Chứng minh Giả sử x1 > θ , x2 > θ là hai điểm bất động dương của A Do ánh xạ A là u0 − lõm nên ta có: α1 α α β 2u0 ≥ 1 Ax2 = 1 x2 ( với α1 , β 2 > 0 ) β2 β2 β2 x1 =Ax1 ≥ α1u0 = Đặt t0 = sup {t > 0 : x1 ≥ tx2 } Ta có 0 < t0 < ∞ Ta cần chứng minh t0 ≥ 1 Nếu trái lại 0 < t0 < 1 thì do A là u0 − lõm và tăng nên có số. .. đó: Ánh xạ A được gọi là u0 lõm Nếu ta thay điều kiện ii) bởi ii’) như sau: ii’) Với mỗi x ∈ K thoả α1u0 ≤ x ≤ β1u0 (α1 ( x) > 0, β1 ( x) > 0) và số η mỗi 0 < t < 1 , tồn tại= η ( x, t ) > 0 sao cho A(tx) ≤ (1 − η )tAx (2.1.3) Khi đó ánh xạ A gọi là u0 − lồi 2.1.1 Tính chất Định lí 2.1.1 Ánh xạ A : K → K là tăng và u0 − lõm Giả sử A có điểm bất động dương x* > θ và K là nón chuẩn Khi đó tồn tại cặp số. .. trong không gian Banach thực X và u0 > θ Đặt X u0 = {x ∈ X :∃ λ > 0 để −λu0 ≤ x ≤ λu0 } và x u inf {λ > 0 : − λu0 ≤ x ≤ λu0 } , ∀x ∈ X u0 = 0 Ta có X u0 là không gian định chuẩn với chuẩn u 0 Ta gọi x u0 là u0 − chuẩn của phần tử x ∈ X u0 Định lí 1.5.1 [2] Với K là nón chuẩn thì X u0 là không gian Banach với u0 − chuẩn và tồn tại số M > 0 sao cho x ≤ M x u0 với mỗi x ∈ X u0 Định lí 2.1.3 Với ánh. .. nghĩa Cho thể nón K và ánh xạ A : K → K Khi đó: Ánh xạ A gọi là dưới tuyến tính mạnh nếu A(tx)  tAx, ∀x > θ , 0 < t < 1 (2.2.1) Ánh xạ A gọi là trên tuyến tính mạnh nếu A(tx)  tAx, ∀x > θ , 0 < t < 1 (2.2.2) Định lí 2.2.1 0 Cho thể nón K , u0 ∈ K và ánh xạ A : K → K Khi đó, ta có: i) Nếu A là dưới tuyến tính mạnh thì A là u0 − lõm ii) Nếu A là trên tuyến tính mạnh thì A là u0 − lồi Chứng minh i)... tăng 0 Với x ∈ K , t ∈ (0,1) do ánh xạ A là α − lồi nên ta có 0 K A ( tx ) ≤ 1 Ax tα Suy ra tα A ( tx ) ≤ Ax Do ánh xạ A giảm nên ta có 1 ( ) α tα ( ) A ( A(tx ) ) ≥ A tα A(tx ) ≥ A2 x 2 Suy ra A2 (tx ) ≥ tα A2 x Do đó: Ánh xạ A2 là α 2 − lõm và tăng 0 Theo chứng minh trên thì A2 có điểm bất động duy nhất x* ∈ K 0 Với phần tử z0 ∈ K ban đầu, ta có zn A2 n z0 → x* = ( và zn − x* = 0 1 − γ α ( ) ( 2n ) . 17 2.2 Một số ánh xạ lồi, lõm. 20 2.2.1 Ánh xạ dưới tuyến tính 20 2.2.2 Ánh xạ 0 u − đơn điệu. 21 2.2.3 Ánh xạ α − lồi, α − lõm. 22 2.3 Ánh xạ o u − lõm tổ hợp 30 2.3.1 Ánh xạ đơn điệu. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ĐINH CÔNG MINH MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ĐINH CÔNG MINH MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN