Một số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ Trần Lê Nam.

f -ổn định lần lượt để chỉ thể tích, diện tích, độ dài, độ cong của đườngcong phẳng, độ cong trung bình, đường trắc địa, siêu mặt cực tiểu,siêu mặt ổn định theo mật độ.. Một số địnhlý cổ

Công trình được hoàn thành tại: Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học:

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Nguyễn Thúc Hào – Trường Đại học Vinh

2 Thư viện quốc gia Việt Nam

f -ổn định lần lượt để chỉ thể tích, diện tích, độ dài, độ cong của đườngcong phẳng, độ cong trung bình, đường trắc địa, siêu mặt cực tiểu,siêu mặt ổn định theo mật độ Đây là một phạm trù mới, có nhiều ứngdụng trong Toán học, Vật lý Đặc biệt, không gian Gauss, tức là Rnvới mật độ (2π)1n/2e−|x|2/2, được nhiều nhà xác suất quan tâm Do đó,việc tìm hiểu hình học vi phân trên đa tạp với mật độ không chỉ có ýnghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.

Nhận thấy vai trò quan trọng của đa tạp với mật độ, giáo sư F.Morgan đã đề ra một dự án "rất quan trọng" là "tổng quát hóa toàn

bộ hình học vi phân cổ điển lên đa tạp với mật độ" Trong dự án đó,ông và các cộng sự đã đạt được nhiều kết quả về bài toán đẳng chu,tổng quát một số định lý cổ điển của lý thuyết đường lên mặt phẳngvới mật độ Chẳng hạn, C Ivan và các đồng nghiệp đã mở rộng Định

lý Gauss-Bonet (xem [40]); F Morgan đã chứng minh Định lý Myersvới mật độ (xem [50]) Họ cũng chứng minh được nghiệm của bài toánđẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải

có f -độ cong trung bình hằng (xem [40]) Do đó, việc khảo sát tínhchất hình học của siêu mặt có f -độ cong trung bình hằng, đặc biệt cácsiêu mặt f -cực tiểu là cần thiết Bên cạnh đó, các nhà nghiên cứu cũngchỉ ra một số kết quả về lý thuyết đường không còn đúng khi được giathêm mật độ Qua đó, chúng ta thấy rằng có rất nhiều vấn đề về lýthuyết đường trong không gian với mật độ cần được nghiên cứu như:Định lý nào của hình học vi phân đặc trưng cho mặt phẳng Ơclit? Cácđịnh lý nào có thể mở rộng lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại cácđường có f -độ cong hằng trên các mặt phẳng với mật độ, khảo sát cácđường f -trắc địa trên đa tạp với mật độ

Lý thuyết mặt trong không gian với mật độ cũng là một lĩnh vựcnghiên cứu đang rất thời sự Những năm gần đây, I Corwin, C Ivan vàcác cộng sự đã cho một số ví dụ và tính chất về các mặt có f -độ congtrung bình hằng (xem [40]) D T Hieu và N M Hoang đã phân loạicác mặt mặt kẻ trụ f -cực tiểu, mặt tịnh tiến f -cực tiểu trong khônggian với mật độ log-tuyến tính (xem [32]) D T Hieu đã áp dụngphương pháp dạng cỡ cho đa tạp với mật độ vào khảo sát tính f -ổnđịnh của một số lớp siêu mặt đặc biệt (xem [33]) T H Colding, W P.Minicozzi II và S J Kleene đã đưa ra một số tính chất hình học củamặt f -cực tiểu trong không gian Gauss (xem [18], [45]), Một số định

lý cổ điển của hình học vi phân về siêu mặt cực tiểu cũng được chứngminh trong không gian với mật độ cụ thể như: Định lý Bernstein, Định

lý Liouville, bất đẳng thức Simons (xem [8], [36], [57]), Các kết quả

đó cho thấy lý thuyết mặt nói chung, lý thuyết mặt cực tiểu nói riêngbiến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ Do đó, việc khảo sátcác định lý của siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với một số mật

độ quen thuộc là đáng quan tâm và cần thiết

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận

án là "Một số tính chất của đường và mặt trong không gianvới mật độ"

(e) Chứng minh định lý kiểu Bernstein cho mặt f -cực tiểu trongkhông gian G2× Rn−2, với n ≥ 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ.3.2 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:

• Khảo sát tính chất hình học của các đường f -trắc địa cực tiểu;

• Siêu mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss và không gian vớimật độ tích;

• Các định lý kiểu Bernstein trong các không gian với mật độ

cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thựchiện đề tài Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng 4 phương pháp chính Đó

là phương pháp giải phương trình vi phân để xác định tham số hóa củacác đường cong có f -độ cong hằng, các mặt f -cực tiểu; phương phápbiến phân để xác định tham số của các đường f -trắc địa cực tiểu, xácđịnh các biến phân f -diện tích; phương pháp dùng dạng cỡ để chứngminh các tính chất cực tiểu diện tích; phương pháp dùng các ước lượnggradient, ma trận của dạng cơ bản thứ hai và dùng nguyên lý cực đại

để chứng minh các định lý kiểu Bernstein

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Như chúng ta đã thấy, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực nghiêncứu rất mới và hấp dẫn Các kết quả mang tính thời sự, có nhiều ứngdụng trong Toán học và Vật lý Đặc biệt, các tính chất hình học củađường và siêu mặt biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ

Do đó, việc nghiên cứu về lý thuyết đường và lý thuyết mặt trên cáckhông gian với mật độ là đáng quan tâm và cần thiết Những kết quả

đạt được sẽ góp phần làm phong phú thêm sự hiểu biết về hình học viphân của đường và mặt trong không gian với mật độ.

Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên caohọc và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô

6 Tổng quan và cấu trúc của luận án

6.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án

Trên đa tạp với mật độ (Mn, g, e−fdV ), D Barky - M Émery, M.Gromov (xem [3], [30]) đề xuất mở rộng độ cong trung bình và độ congRicci của một siêu mặt lần lượt là

Hf = H + 1

n − 1

df

dN,và

Ricf = Ric + Hessf,

ở đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt Các mở rộng trên đãđược kiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếmhàm diện tích theo mật độ (xem [40], [47], [49], [50]) Hf, Ricf lần lượtđược gọi là độ cong trung bình theo mật độ hay f -độ cong trung bình

và độ cong Ricci theo mật độ hay f -độ cong Ricci

Khái niệm đa tạp với mật độ đã từng xuất hiện trong Toán họcvới các tên gọi khác nhau như: đa tạp với trọng (weighted manifolds),

"không gian của các kiểu thuần nhất " (space of homogeneous type)(xem [15]), "không gian mêtric-độ đo" (metric-measure space) (xem[30]) Năm 2004, V Bayle đã trình bày tổng quan về không gian mêtric-

độ đo và khảo sát biến phân thứ hai của phiếm hàm f -diện tích trongluận án của ông (xem [4]) Một năm sau đó, F Morgan đã gọi tên cáclớp đa tạp này là đa tạp với mật độ (manifolds with density) (xem[49]) Trong bài báo đó, ông trình bày biến phân thứ nhất, thứ hai củaphiếm hàm f -diện tích, các mở rộng của ước lượng thể tích của Heintze

và Karcher, tổng quát bất đẳng thức đẳng chu của Levy và Gromov.Ông cũng trình bày chi tiết hơn về đa tạp với mật độ, vai trò của mật

độ trong chứng minh giả thuyết Poincaré của Perelman ở cuốn sách Lýthuyết độ đo hình học (p 197-201, [51])

Đa tạp với mật độ là một phạm trù tốt để mở rộng các bài toán vềbiến phân trong hình học như: bài toán đẳng chu, siêu mặt f -cực tiểu,

f -ổn định Sau đây là một số kết quả về bài toán đẳng chu trên đa tạpvới mật độ Năm 1975, C Borell đã chứng minh một bất đẳng thứcđẳng chu trong không gian Gauss Ông đã chỉ ra miền đẳng chu trênkhông gian này là nửa không gian (xem [7]) Một kết quả hết sức bấtngờ Tiếp theo, M Gromov chứng minh được hình cầu tâm O là miềnđẳng chu trên không gian Rnvới mật độ ea|x|2, a > 0, (xem [29]) S G.Bobkov và C Houdré tìm ra nghiệm của bài toán đẳng chu trên đườngthẳng với mật độ giảm dần (xem [6]); E A Carlen và C Kerce chứngminh tính duy nhất nghiệm của bài toán đẳng chu trên nửa không gianGauss (xem [10]); C Antonio, F Morgan, A Ros và B Vincent chỉ rađiều kiện cần cho bài toán đẳng chu tồn tại nghiệm, tính chính quycủa miền nghiệm, chứng minh rằng siêu mặt cầu là nghiệm duy nhấtcủa bài toán đẳng chu trong không gian Rn với mật độ ea|x|2, a > 0,(xem [11], [48], [55])

Đối với bài toán đẳng chu trên mặt phẳng với các mật độ cụ thể,một nhóm sinh viên của trường Williams, dưới sự hướng dẫn của giáo

sư F Morgan, đã có một số kết quả ban đầu như: biên của miền đẳngchu trên mặt phẳng với mật độ phải có f -độ cong hằng (xem [12], [40]),tính chất nghiệm của bài toán bong bóng đôi trong không gian Gauss(xem [39], [11]), các kết quả về bài toán đẳng chu trong các hình quạtGauss (xem [11], [26]), không tồn tại nghiệm bài toán đẳng chu trênmặt phẳng với mật độ ex, tính duy nhất nghiệm của bài toán đẳng chutrên mặt phẳng với mật độ rp, p > 0 (xem [12])

Theo hướng mở rộng các định lý cổ điển của hình học vi phân lênkhông gian và đa tạp với mật độ, nhiều kết quả đã được công bố như:Định lý Gauss-Bonnet suy rộng (xem [20], [40]), tính duy nhất củađường trắc địa trên mặt phẳng với mật độ có độ cong Gauss suy rộng

âm (xem [12]), Định lý Myers trên mặt phẳng và không gian với mật

độ (xem [50]), Định lý Liouville trên không gian với mật độ (xem [8],[36]), Tuy nhiên, một số định lý cổ điển không còn đúng khi giathêm mật độ Chẳng hạn, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật

độ cầu là không đúng (xem [31])

Ngoài các hướng nghiên cứu trên, việc nghiên cứu lý thuyết về siêumặt f -cực tiểu, siêu mặt có f -độ cong hằng, f -độ cong Gauss hằng

trong không gian và đa tạp với mật độ cũng nhận được nhiều sự quantâm Các tác giả C Ivan, H Stephanie, Ă Vojislav và Y Xu đã chỉ

ra một số mặt có f -độ cong trung bình hằng trong không gian Gauss,khảo sát một số chính chất hình học của các mặt có f -độ cong trungbình hằng (xem [40]), J M Espinar và H Rosenberg đã khảo sát tínhchất hình học của các mặt đầy đủ và có f -độ cong trung bình hằng(xem [25]), D T Hieu và N M Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ

f -cực tiểu trong không gian R3 với mật độ log-tuyến tính (xem [32]).Tính chất cực tiểu f -diện tích của các siêu mặt f -cực tiểu cũng đượcmột số người làm hình học quan tâm Chẳng hạn, D T Hieu đã ápdụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh một số đa tạpcon là f -cực tiểu diện tích (xem [33]) Bên cạnh đó, các tính chất củasiêu mặt f -cực tiểu ổn định cũng được khảo sát bởi một số tác giả (xem[13], [33], [47])

Chúng ta có thể xem các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ congtrung bình là các trường hợp đặc biệt của các siêu mặt f -cực tiểutrong các không gian với mật độ Cho M là một đa tạp Riemann khả

vi n-chiều trong không gian Rn+1 Một phép nhúng phụ thuộc thời gian

xt= x(., t) : M × [0, T ) −→ Rn+1,

ở đó [0, T ) ⊂ R, là một nghiệm của dòng độ cong trung bình nếu

∂

∂tx(p, t) = −H(p, t)N(p, t), p ∈ M, t ∈ [0, T ), (1)với H(p, t), N(p, t) lần lượt là độ cong trung bình và vectơ pháp đơn

vị của siêu mặt xt(M ) tại xt(p) Trong hệ tọa độ chuẩn tắc, do ∆x =

−HN nên phương trình trên có thể viết lại dạng

∂

Đây là phương trình truyền nhiệt

Trong không gian Rn+1, xét các nghiệm của dòng độ cong trungbình dạng x(u, t) = λ(t)x0(u), ở đó λ(t) > 0 Khi đó, chúng ta có

Từ đó, chúng ta được

H(x0) = a hx0, N(x0)i , (4)với a = λλ0 là một hằng số và λ =pλ2

(ii) Nếu a > 0 thì λ → ∞ khi t → ∞ Ta gọi xt là một tự giãn nở(self-expander )

Mặt khác, chúng ta xét không gian Rn+1 với mật độ ea|x|2/2 Khi

đó, f -độ cong trung bình của siêu mặt xác định bởi xt được cho bởi

Từ các đẳng thức (4) và (5), chúng ta thấy rằng các siêu mặt f -cựctiểu trong không gian Rn+1 với mật độ ea|x|2/2 là các siêu mặt tự corút nếu a < 0, là các siêu mặt tự giãn nở nếu a > 0

Hoàn toàn tương tự, các nghiệm tịnh tiến xt = x0+ ~at, ở đó ~a ∈

Rn+1 là một vectơ hằng, của dòng độ cong trung bình là các siêu mặt

f -cực tiểu trong không gian Rn+1 với mật độ log-tuyến tính e~a~x Một

số tác giả còn mở rộng việc nghiên cứu nghiệm tịnh tiến của dòng mởrộng với một lực tác động (with a forcing term) dạng

∂

∂txt= −(H + b).N, b ∈ R

Khi đó, f -độ cong trung bình của xttrên Rn+1với mật độ log-tuyếntính là một hằng số (xem [19], [22], [24], [37], [53])

Như vậy, các mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss, không gian

Rn với mật độ e|x|2/4 và không gian với mật độ log-tuyến tính là cáctrường hợp đặc biệt của nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trungbình Đây là một lĩnh vực nghiên cứu đang rất thời sự Bên cạnh cáckết quả về tính lồi, thời gian tồn tại hữu hạn, hội tụ về điểm tròn, tínhchính qui, phân loại các các kì dị loại I của dòng độ cong trung bình(xem [27], [28]), việc phân loại các nghiệm tuyến tính với vận tốc hằngcũng có một số kết quả ban đầu (xem [38], [41], [42], [43]) Đối với các

nghiệm tự đồng dạng, N Kapouleas, S J Kleene và N M Møller đãxây dựng thành công một dòng tự co rút không compact (xem [44]).

S J Kleene và N M Møller đã chỉ ra rằng một tự co rút tròn xoay,đầy đủ, nhúng trong không gian Rn hoặc là siêu phẳng, siêu mặt cầu,siêu mặt trụ hoặc là tích của đường tròn với một (n − 2)-cầu (xem[45]) Một số tác giả nghiên cứu lĩnh vực này cũng đưa ra các đánh giá

về tăng trọng thể tích, ước lượng gradient, khảo sát tính ổn định vàcompact của dòng độ cong trung bình (xem [14], [18], [19], [23], [46])

K Ecker và G Huisken đã chứng minh được định lý kiểu Bernsteincho các mặt tự co rút với điều kiện tăng trọng thể tích theo đa thức(xem [23]) Sau đó, điều kiện này được bỏ đi bởi L Wang (xem [57]).6.2 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần Một số ký hiệu thường dùng trong luận án, Mởđầu, Kết luận chung và Kiến nghị, Danh mục công trình liên quan trựctiếp đến luận án và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận ánđược trình bày trong 3 chương

Chương 1 được dành để giới thiệu các kiến thức cơ sở của luận án.Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản trên đa tạp với mật độ Mục1.2 trình bày các định nghĩa và công thức tính độ cong trung bình củamảnh tham số của siêu mặt trong không gian Rn Mục 1.3 trình bàykhái niệm và công thức tính độ cong trung bình và độ cong Ricci củamột đa tạp con định hướng được trong đa tạp Riemann Mục 1.4 trìnhbày 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụng trong luận án.Chương 2 trình bày về lý thuyết đường trên mặt phẳng và đa tạpvới mật độ Mục 2.1 trình bày về khái niệm f -độ cong của đường congphẳng, biến phân thứ nhất của phiếm hàm f -độ dài Mục 2.2 trình bày

về Định lý Gauss-Bonnet suy rộng Mục 2.3 trình bày về định lý kiểuFenchel trên mặt phẳng với mật độ Mục 2.4 trình bày về Định lý bốnđỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu Mục 2.5 phân loại các đường cong

có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính Mục 2.6trình bày về đường f -trắc địa cực tiểu trong đa tạp với mật độ Các kếtquả chính của Chương 2 là Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.7, Hệ quả 2.4.10,

Hệ quả 2.4.11, Định lý 2.5.3, và Mệnh đề 2.6.6 Các nội dung chính củaChương 2 được trình bày trong 4 bài báo [5], [31], [34] và [52]

Chương 3 trình bày về lý thuyết mặt trong không gian với mật độ.Mục 3.1 trình bày về khái niệm f -độ cong trung bình, biến phân thứnhất và thứ hai của phiếm hàm f -diện tích, mối quan hệ giữa các f -độcong trung bình đối với các mật độ khác nhau Mục 3.2 trình bày vềnguyên lý dạng cỡ trên đa tạp với mật độ, tính cực tiểu f -diện tíchcủa đồ thị của một hàm khả vi trong không gian với mật độ Mục3.3 trình bày về siêu mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss Mục 3.4trình bày về siêu mặt f -cực tiểu trong tích của không gian Gauss vớiđường thẳng R Mục 3.5 trình bày về mặt f -cực tiểu trong không gianvới mật độ Các kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.4.3 và Định

lý 3.4.5.3 Các nội dung chính của Chương 3 đã được trình bày trongbài báo [35]

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm

và kết quả cơ bản cần sử dụng trong luận án như: đa tạp vớimật độ, đa tạp tích với mật độ tích, f -độ dài, f -diện tích, f -thể tích, độ cong trung bình của siêu mặt trong không gian

Rn, vectơ độ cong trung bình và độ cong Ricci của đa tạpcon trong một đa tạp Riemann Đồng thời, chúng tôi đưa ra

4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụng trong các chứngminh ở Chương 2

1.1 Đa tạp với mật độ

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm: đa tạp với mật

độ, f -độ dài, f -diện tích, f -thể tích, không gian Gauss, không gian vớimật độ cầu và log-tuyến tính, đa tạp tích với mật độ tích

1.2 Mảnh tham số của siêu mặt trong Rn

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm: mảnh tham sốcủa siêu mặt chính qui, đạo hàm theo hướng của một trường vectơ, ánh

xạ Weingarten, dạng cơ bản thứ hai, độ cong chính, phương chính, độcong trung bình của mảnh tham số của siêu mặt trong không gian Rn.Các công thức tính độ cong trung bình trong hệ tọa độ địa phương, độcong trung bình của đồ thị của một hàm trơn

1.3 Độ cong trung bình và độ cong Ricci trên đa tạp

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm: dạng cơ bản thứhai, vectơ độ cong trung bình, độ cong Riemann, độ cong Ricci củamột đa tạp con k-chiều trong một đa tạp Riemann

1.4 Bất đẳng thức và tích phân cần sử dụng trong luận án

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA

2.1 f -độ cong của đường cong phẳng

2.1.1 Định nghĩa ([40]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ e−f chođường tham số α Độ cong theo mật độ hay f -độ cong, ký hiệu kf, của

α được định nghĩa bởi công thức

kf = k + df

trong đó k là độ cong của α và n là trường vectơ pháp đơn vị dọc α.2.1.2 Mệnh đề (Biến phân thứ nhất [50]) Biến phân thứ nhất củaphiếm hàm f -độ dài thỏa mãn