Nhúng Hyperbolic và không gian các thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình Nông Thế Hưng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NÔNG THẾ HƢNG NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NÔNG THẾ HƢNG NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực. Tác giả Nông Thế Hƣng Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Đa tạp phức 3 1.2 Không gian phức 4 1.3 Định lý Ascoli 5 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi 6 1.5 Không gian phức hyperbolic 7 1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic 8 1.7 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi 12 CHƢƠNG 2. NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 15 2.1 Điểm hyperbolic và một số đặc trưng của các điểm hyperbolic 15 2.2 Đặc trưng của tính nhúng hyperbolic 26 2.3 Ứng dụng của tính nhúng hyperbolic 30 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được S. Kobayashi đưa ra đầu thập kỷ 70 của thế kỷ trước và đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới. Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi S. Kobayashi, M. Kwack, J. Noguchi, J. Joseph …Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ. Năm 1994, James E. Joseph và Myung H. Kwack đã đưa ra đặc trưng cho tính nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y đó là: tính nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y được đặc trưng bởi tính compact tương đối trong cấu trúc compact - mở của các không gian thác triển liên tục các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng D* đến X và từ M - A đến X trong đó M là một đa tạp phức và A là một divisor trên M với giao chuẩn tắc. James E. Joseph và Myung H. Kwack đã áp dụng các đặc trưng đó khái quát và mở rộng các định lý của Kobayashi, Kiernan, Kwack, Noguchi và Vitali mà không cần đến giả thiết về tính compact tương đối của X trong Y. Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và trình bày chi tiết các kết quả nói trên. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị bao gồm một số kiến thức cơ bản về giải tích phức liên quan đến nội dung chính của luận văn như: đa tạp phức, không gian phức, không gian phức hyperbolic, Divisor với giao chuẩn tắc, không gian phức nhúng hyperbolic, giả khoảng cách tương đối Kobayashi. Chương 2 trình bày nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương, chúng tôi trình bày về các đặc trưng của điểm hyperbolic; Phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh chi tiết tính nhúng hyperbolic của không gian phức X vào không gian phức Y được đặc trưng bởi tính compact tương đối của không gian các thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình. Cuối chương là ứng dụng của các định lý đã nêu vào việc mở rộng, khái quát các định lý như Định lý Picard, Định lý Noguchi, Định lý Vitali … Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân đây, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Cô, người đã chỉ bảo và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, cô giáo trong trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, Trường THPT Võ Nhai, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu đề tài này. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff. Cặp ,U được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập mở trong X và : n U  là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) ()U là tập mở trong n  . ii) : ( )UU là một đồng phôi. Họ , ii iI U các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn i) i iI U là một phủ mở của X. ii) Với mọi , ij UU mà ij UU , ánh xạ 1 : j i i i j j i j U U U U là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlas trên X. Hai atlas 1 , 2 được gọi là tương đương nếu hợp 1 2 là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên đó được gọi là một đa tạp phức n chiều. 1.1.2 Ví dụ 1. Giả sử D là miền trong n  . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương ( , ) D D Id . 2. Đa tạp xạ ảnh P ( ) n  Xét 01 [ : : : ] P ( ) | 0 n i n i U z z z z với 0,1, ,in . Rõ ràng 1 n i i U là một phủ mở của P ( ) n  . Xét các đồng phôi : n ii U  0 1 1 01 [ : : : ] , , , , , i i n n i i i i z z z z z z z z z z z  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ta có 1 : j i i i j j i j U U U U 0 1 1 ( , , , , , ) ; 0, , ; 1 k i i n i j kj z z z z z k n z z  Rõ ràng 1 ji  là ánh xạ chỉnh hình. Vậy P ( ) n  là một đa tạp phức n chiều và gọi là đa tạp xạ ảnh n chiều. 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục :f M N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương ( , )U của M và mọi bản đồ địa phương ( , )V của N sao cho f U V thì ánh xạ 1 : ( ) ( )f U V là ánh xạ chỉnh hình. Hay tương đương, với mọi ,x M y N tồn tại hai bản đồ địa phương ( , )U và ( , )V tại x và y tương ứng sao cho 1 : ( ) ( )f U V là ánh xạ chỉnh hình. Giả sử :f M N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và 1 f là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N. 1.2 Không gian phức 1.2.1 Định nghĩa Giả sử Z là đa tạp phức. Một không gian phức đóng X là một tập con đóng của Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương trình giải tích. Tức là, với 0 xX tồn tại lân cận mở V của 0 x trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình 1 , , m trên V sao cho { | ( ) 0, 1, , } i X V x V x i m . Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức Z. Hàm :fX  được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm xX tồn tại một lân cận ()U x Z và một hàm chỉnh hình  f trên U sao cho  || U X U X ff . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Giả sử :f X Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y. f được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của Y, hàm hợp gf là hàm chỉnh hình trên 1 ()fV . 1.2.2 Định lý Giả sử : n f X Y là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X, Y. Nếu n f hội tụ đều tới f trong H(X, Y) thì f là ánh xạ chỉnh hình. (trong đó H(X, Y) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X và Y được trang bị tô pô compact mở). 1.2.3 Divisor với giao chuẩn tắc [D] Giả sử Y là một không gian phức. Một divisor Catier A trên Y là một không gian con đóng mà về mặt địa phương tại mỗi điểm có thể được xác định bởi một phương trình giải tích. Tức là, với mỗi điểm xA tồn tại một lân cận V của x trong Y sao cho AV được xác định bởi phương trình 0 , với là một hàm chỉnh hình nào đó trên V. Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor. Ta nói A có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức 1 , , m zz trong M sao cho về mặt địa phương * \ rs M A D D với r + s = m. Từ đó về mặt địa phương A được xác định bởi phương trình 1 0 r zz . 1.3 Định lý Ascoli [D] 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. C(X,Y) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup. Họ ( , )C X Y được gọi là đồng liên tục tại một điểm 0 xX nếu với mỗi 0 , tồn tại 0 sao cho với mọi 0 , ( , )x X d x x thì 0 ( ( ), ( ))d f x f x , với mọi f . Họ được gọi là đồng liên tục trên X nếu là đồng liên tục tại mọi điểm xX . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.3.2 Định lý (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục) Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. Giả sử là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X,Y). Khi đó là compact tương đối trong C(X,Y) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn : i) là họ đồng liên tục trên ;. ii) Với mỗi xX , tập hợp x = { ( )|f x f } là compact tương đối trong Y. 1.3.3 Định nghĩa Giả sử là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y. Họ được gọi là liên tục đồng đều từ xX tới yY nếu với mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của điểm x và lân cận W của điểm y sao cho Nếu f x W thì ()f V U , với mọi f . Nếu là liên tục đồng đều với mọi xX và mọi yY thì được gọi là liên tục đồng đều từ X đến Y. 1.3.4 Định lý Ascoli (đối với họ liên tục đồng đều) Giả sử là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X, Y) từ không gian chính quy compact địa phương X vào không gian Haudorff Y và C(X, Y) có tô pô compact mở. Khi đó là compact tương đối trong C(X, Y) khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn : i) là họ liên tục đồng đều ; ii) Với mỗi xX , tập hợp ( )| x f x fFF là compact tương đối trong Y. 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi [D] 1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X. H(D,X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X , được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm 01 , , , k p x p p y của X , dãy các điểm 1 , , k aa của D và dãy các ánh xạ 1 , , k ff trong H(D,X) thỏa mãn 1 (0) , ( ) , 1, , . i i i i i f p f a p i k [...]... 1.5.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức thì X Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic 1.5.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic 1.5.3 Ví dụ + Đĩa Dr và đa đĩa Drm là hyperbolic + Một miền bị chặn trong  m là hyperbolic vì... tập con mở của tích các đa đĩa +  m không là hyperbolic vì d m 0 1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic [D] 1.6.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y X được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y X,x y luôn tồn tại các lân cận mở U của x U, X V) 0 và V của y trong Y sao cho dX ( X 1.6.2 Định lý Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó các điều... sử X là không gian phức con, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y Giả sử Y’ là không gian phức với ánh xạ riêng hữu hạn X' 1 :Y ' Y , và ( X ) Khi đó X’ là nhúng hyperbolic trong Y’ 1.6.3.4 Mệnh đề (Tiêu chuẩn địa phương cho tính nhúng hyperbolic) Giả sử M là không gian con phức của không gian phức X Giả sử H là hàm độ dài trên X Khi đó các điều kiện sau là tương đương : i) M là nhúng hyperbolic. .. X ,Y thì X ( p, q) d X ,Y ( p, q), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu p, q X http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG 2 NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1 Điểm hyperbolic và một số đặc trƣng của các điểm hyperbolic 2.1.1 Định nghĩa a Giả sử X là một không gian phức, p là một điểm trên X, e là một véctơ đơn vị trên T0 ( D ) , v là véctơ trên Tp ( X ) Ta đặt : FX... là không gian con phức của không gian phức X, khi đó các khẳng định sau là tương đương : i) M là nhúng hyperbolic trong X ii) Mọi điểm của M đều là điểm hyperbolic đối với M iii) SM ( X ) Cho X là không gian con phức của không gian phức Y, ta sẽ ký hiệu tập hợp các điểm hyperbolic của X là R ( X , Y ) hay đơn giản là R( X ) (Nếu không gây nhầm lẫn) 2.1.5 Bổ đề Cho X một không gian con phức của không. .. C(D*, Y+) khi X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y Có thể chứng minh khẳng định này bằng cách dùng mệnh đề (6) trong Định lý 2.2.1 Dưới đây, chúng tôi đưa ra một chứng minh khác dựa trên Định lý 1.5.3, tập hợp R(X), và tính chất giảm khoảng cách của các ánh xạ chỉnh hình f 2.2.2 Định lý H ( D* , X ) Nếu X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y, thì H(D*,... m là các hàm chỉnh hình từ D* vào  Áp dụng định lý Riemann cổ điển về các điểm bất r f thường bỏ được, mỗi f ni ( z ) đều có thể thác triển được thành hàm chỉnh hình  ni ( z ) từ D r vào  (vì có thể lấy U là tập bị chặn trong  m ) Khi đó  ( z) (  ( z), ,  ( z)) là ánh xạ chỉnh hình từ D vào V và là mở rộng của ánh fn f n1 f nm r xạ f Vậy (3)(a) được chứng minh Tiếp theo, áp dụng định lý của. .. X ) 1.4.2.2 Định lý Giả sử X là không gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi dX : X X  là hàm liên tục 1.5 Không gian phức hyperbolic [D] 1.5.1 Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d X là khoảng cách trên X, tức là d X ( p, q) 0 p q, p, q X 1.5.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic Số hóa bởi Trung tâm... (3) Vì mỗi f n liên tục nên ta giả sử rằng wn (D* ) m với mọi n và Dm Do đó từ (2) ta có (3) (3) (4) Lấy U là lân cận hyperbolic của p và lấy V là một lân cận của p với bao đóng compact sao cho V U Khi đó V là không gian con phức, compact tương đối, nhúng hyperbolic của không gian phức U Từ (3), tồn tại lân cận hyperbolic W của w0 sao cho f n (W \ A) f n thác triển được thành  n f V và vì vậy, theo... hai thành phần liên thông khác nhau 1.4.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi 1.4.2.1 Định lý Nếu f : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là dY ( f ( x), f ( y)) d X ( x, y), x, y X Hơn nữa, d X là giả khoảng cách lớn nhất trong các giả khoảng cách trên X có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình f H (D, X