Nhúng hyperbolic và không gian các thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NÔNG THẾ HƢNG NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NÔNG THẾ HƢNG NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu trích dẫn luận văn trung thực Tác giả Nông Thế Hƣng Xác nhận trưởng khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.2 Không gian phức 1.3 Định lý Ascoli .5 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi 1.5 Không gian phức hyperbolic 1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic .8 1.7 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi 12 CHƢƠNG NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 15 2.1 Điểm hyperbolic số đặc trưng điểm hyperbolic 15 2.2 Đặc trưng tính nhúng hyperbolic 26 2.3 Ứng dụng tính nhúng hyperbolic .30 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết khơng gian phức hyperbolic S Kobayashi đưa đầu thập kỷ 70 kỷ trước trở thành hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Lý thuyết thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Một số kết sâu sắc đẹp đẽ lý thuyết chứng minh S Kobayashi, M Kwack, J Noguchi, J Joseph …Những cơng trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ Năm 1994, James E Joseph Myung H Kwack đưa đặc trưng cho tính nhúng hyperbolic không gian phức X vào không gian phức Y là: tính nhúng hyperbolic khơng gian phức X vào không gian phức Y đặc trưng tính compact tương đối cấu trúc compact - mở không gian thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng D* đến X từ M - A đến X M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc James E Joseph Myung H Kwack áp dụng đặc trưng khái quát mở rộng định lý Kobayashi, Kiernan, Kwack, Noguchi Vitali mà không cần đến giả thiết tính compact tương đối X Y Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày chi tiết kết nói Luận văn gồm hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm số kiến thức giải tích phức liên quan đến nội dung luận văn như: đa tạp phức, khơng gian phức, không gian phức hyperbolic, Divisor với giao chuẩn tắc, không gian phức nhúng hyperbolic, giả khoảng cách tương đối Kobayashi Chương trình bày nội dung luận văn Phần đầu chương, chúng tơi trình bày đặc trưng điểm hyperbolic; Phần tiếp theo, chúng tơi chứng minh chi tiết tính nhúng hyperbolic khơng gian phức X vào không gian phức Y đặc trưng tính compact tương đối khơng gian thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình Cuối chương ứng dụng định lý nêu vào việc mở rộng, khái quát định lý Định lý Picard, Định lý Noguchi, Định lý Vitali … Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Nhân đây, em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Cô, người bảo giúp đỡ em nhiều suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học Đồng thời tơi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, Trường THPT Võ Nhai, gia đình bạn đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt q trình tơi học tập nghiên cứu đề tài Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian tô pô Hausdorff Cặp U , gọi đồ địa phương X, U tập mở  n ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: :U X (U ) tập mở  n i) (U ) đồng phôi :U ii) Họ Ui , i đồ địa phương X gọi tập đồ i I giải tích (atlas) X điều kiện sau thỏa mãn i) U i i I phủ mở X ii) Với Ui ,U j mà Ui j  i : i Ui Uj , ánh xạ Uj j Ui U j ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas X Hai atlas 1, gọi tương đương hợp atlas Đây quan hệ tương đương tập atlas Mỗi lớp tương đương xác định cấu trúc khả vi phức X, X với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều 1.1.2 Ví dụ Giả sử D miền  n Khi đó, D đa tạp phức n chiều với đồ địa phương ( D, Id D ) Đa tạp xạ ảnh P n ( ) Xét U i [z0 : z1 : : zn ] P n ( ) | zi với i 0,1, , n Rõ ràng U i phủ mở P n ( ) Xét đồng phôi [z0 : z1 : : zn ]  i :Ui n z0 z z z , , i , i , , n zi zi zi zi Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ n i Ta có j  i : i Ui Uj j ( z0 , , zi , zi , , zn )  Rõ ràng j  i Ui zk zj Uj ;k 0, , n; zi k j ánh xạ chỉnh hình Vậy P n ( ) đa tạp phức n chiều gọi đa tạp xạ ảnh n chiều 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức Giả sử M, N đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M N gọi chỉnh hình M với đồ địa phương (U , ) M đồ địa phương (V , ) N cho f U f V ánh xạ : (U ) Hay tương đương, với x (V ) ánh xạ chỉnh hình M,y N tồn hai đồ địa phương (U , ) (V , ) x y tương ứng cho f Giả sử f : M : (U ) (V ) ánh xạ chỉnh hình N song ánh đa tạp phức Nếu f f ánh xạ chỉnh hình f gọi ánh xạ song chỉnh hình M N 1.2 Không gian phức 1.2.1 Định nghĩa Giả sử Z đa tạp phức Một không gian phức đóng X tập đóng Z mà mặt địa phương xác định hữu hạn phương trình giải tích Tức là, với x0 , , m X tồn lân cận mở V x0 Z hữu hạn hàm chỉnh hình V cho X V {x V | i ( x) 0, i 1, , m} Giả sử X không gian phức đa tạp phức Z Hàm f : X gọi chỉnh hình với điểm x X tồn lân cận U ( x) hàm chỉnh hình f U cho f |U f |U Số hóa Trung tâm Học liệu X X http://www.lrc-tnu.edu.vn/  Z Giả sử f : X Y ánh xạ hai không gian phức X Y f gọi chỉnh hình với hàm chỉnh hình g tập mở V Y, hàm hợp g  f hàm chỉnh hình f (V ) 1.2.2 Định lý Giả sử X, Y Nếu fn : X Y dãy ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức f n hội tụ tới f H(X, Y) f ánh xạ chỉnh hình (trong H(X, Y) tập ánh xạ chỉnh hình từ X Y trang bị tô pô compact mở) 1.2.3 Divisor với giao chuẩn tắc [D] Giả sử Y không gian phức Một divisor Catier A Y khơng gian đóng mà mặt địa phương điểm xác định phương trình giải tích Tức là, với điểm x A tồn lân cận V x V xác định phương trình Y cho A , với hàm chỉnh hình V Giả sử M đa tạp phức m chiều A divisor Ta nói A có giao chuẩn tắc điểm, tồn hệ tọa độ phức z1 , , zm M cho mặt địa phương M \ A D*r D s với r + s = m Từ mặt địa phương A xác định phương trình z1 zr 1.3 Định lý Ascoli [D] 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X tập compact không gian metric, Y không gian metric đầy C(X,Y) tập ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup Họ C ( X , Y ) gọi đồng liên tục điểm x0 cho với x X , d ( x, x0 ) d ( f ( x), f ( x0 )) Họ x , X với với f gọi đồng liên tục X đồng liên tục điểm X Số hóa Trung tâm Học liệu , tồn http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.3.2 Định lý (Định lý Ascoli họ đồng liên tục) Giả sử X tập compact không gian metric, Y không gian metric đầy Giả sử tập tập ánh xạ liên tục C(X,Y) Khi compact tương đối C(X,Y) hai điều kiện sau thỏa mãn : i) họ đồng liên tục ; ii) Với x X , tập hợp x= } compact tương đối Y {f ( x ) | f 1.3.3 Định nghĩa Giả sử pơ Y Họ họ ánh xạ từ không gian tô pô X vào không gian tô gọi liên tục đồng từ x X tới y Y với lân cận U điểm y tìm lân cận V điểm x lân cận W điểm y cho Nếu f x Nếu W f (V ) liên tục đồng với x U , với f X y Y gọi liên tục đồng từ X đến Y 1.3.4 Định lý Ascoli (đối với họ liên tục đồng đều) Giả sử tập tập ánh xạ liên tục C(X, Y) từ không gian quy compact địa phương X vào khơng gian Haudorff Y C(X, Y) có tơ pơ compact mở Khi compact tương đối C(X, Y) hai điều kiện sau thỏa mãn : i) họ liên tục đồng ; ii) Với x X , tập hợp F x f ( x) | f F compact tương đối Y 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi [D] 1.4.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X H(D,X) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ D vào X , trang bị tô pô compact mở Xét dãy điểm p0 x, p1 , , pk y X , dãy điểm a1 , , ak D dãy ánh xạ f1 , , f k H(D,X) thỏa mãn fi (0) pi , fi (ai ) Số hóa Trung tâm Học liệu pi , i 1, , k http://www.lrc-tnu.edu.vn/ gọi g n (tn' ) , q V2 cho g n (tn' ) hn H (D* , X ) Khi hn ( sn ) D cho hn (Q f n (tn' , s ) , R( X ) sn s0 , nên tồn lân cận Q s0 V2 Do hn ( sn' ) f n ( wn' ) V2 Mâu thuẫn với (*) q, q D* ) q Với n, đặt hn ( s ) Vậy (2) (2) M (3) Vì f n liên tục nên ta giả sử wn (D* ) m với n Dm Do từ (2) ta có (3) (3) (4) Lấy U lân cận hyperbolic p lấy V lân cận p với bao đóng compact cho V U Khi V khơng gian phức, compact tương đối, nhúng hyperbolic không gian phức U Từ (3), tồn lân cận hyperbolic W w0 cho f n (W \ A) f n thác triển thành f n V vậy, theo K3 Định lý Kiernan, H (W , Y ) , ta có (4)(a) Khi f n họ thỏa mãn f n đồng liên tục W tồn dãy f n k k f H ( W, Y ) W 2.2 Đặc trƣng tính nhúng hyperbolic Cho X không gian phức không gian phức Y, GX ,Y C[D, Y ; z D H (D {z}, X )] Trong mục này, nhúng hyperbolic đặc trưng tính compact tương đối tập khác X,Y Ta ý C[D, Y ; H (D* , X )] H [D, Y ; H (D* , X )] 2.2.1 Định lý Cho X không gian phức khơng gian phức Y, mệnh đề sau tương đương : (1) X nhúng hyperbolic Y (2) X,Y compact tương đối C ( D, Y ) (3) C[D, Y ; H (D* , X )] compact tương đối C ( D, Y ) (4) X,Y compact tương đối C ( D, Y ) (5) H [D, Y ; H (D* , X )] compact tương đối C ( D, Y ) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (6) H(D,X) compact tương đối C ( D, Y ) Chứng minh Ta có bao hàm thức sau : (i) H (D, X ) H [D, Y ; H (D* , X )] (ii) H ( D, X ) C[ D, Y ; H ( D* , X )] Theo Định lý 1.3.4 ta cần chứng tỏ X,Y C ( D, Y ) (với giả thiết (1) đúng) (6) *) Chứng minh X,Y GX ,Y F X ,Y GX ,Y tập liên tục đồng (1) tập liên tục đồng C ( D, Y ) phương pháp phản chứng : Nếu X,Y không tập liên tục đồng C ( D, Y ) , tính D tính liên tục f f n cho xn X,Y với n, f n ( xn ) X , f n ( yn ) 0, yn GX ,Y , có dãy xn , yn D* , 0, f n ( xn ) p q Y ,q X X với n f n ( xn ) Do f n ( xn ) p Y , f n ( yn ) X Kết hợp với giả thiết : X p nên p nhúng hyperbolic Y, ta có p R( X ) Từ mệnh đề (2) định lý 2.1.7 Nếu tồn < r < f n (Y X ) Dr* với n, tồn dãy dãy thu hẹp f n Dr* (ta gọi dãy f n ), cho f n với n, f n ( xn ) p , khơng có dãy H ( Dr* , X ) f n ( yn ) hội tụ tới p Nên (2) định lý 2.1.7 không Mâu thuẫn với khẳng định Trong trường hợp khác, ta giả sử f n (Y \ X ) n, cho n tự đẳng cấu D cho D* Khi g n n ( xn ) 0, H ( D* , X ) với n, n ( yn ) 0, g n ( n ( xn )) n với n n ( xn ) , lấy g n (0) n Với fn  n ( yn ) dãy D*, p khơng có dãy g n ( n ( yn )) hội tụ tới p Nên (2) định lý 2.1.7 không Mâu thuẫn với khẳng định Vậy X,Y tập liên tục đồng C ( D, Y ) *) Chứng minh (6) (1) : Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ta chứng minh p : với p X Y, sup df (0) : f H ( D, X ), f (0) W < Theo chứng minh (5) cho FX X điểm hyperbolic X, cách (6) Định lý 2.1.7, tồn lân cận W p c > cH W compact thỏa mãn , với lân cận W p (*) X Lấy W lân cận hyperbolic p với bao đóng W Giả sử (*) khơng đúng, tồn dãy H(D, X) cho f n (0) p df n (0) f n , mà ta gọi f n Theo (6), tồn r, < r < dãy f n , cho f n ( Dr ) W Điều khơng thể df n (0) Chú ý i) Khi X không gian phức compact tương đối khơng gian phức Y, +) C ( D, Y ) thay H ( D, Y ) Định lý 2.2.1 +) GX ,Y F X ,Y H [D, Y ; H (D* , X )]=C[D, Y ; H (D* , X )] ii) Dùng Định lý 2.2.1 ta chứng minh kết gần Abate [A] đa tạp phức X hyperbolic H (D, X ) compact tương đối C(D, X+) Định lý H(D*, X) phải compact tương đối C(D*, Y+) X không gian phức nhúng hyperbolic khơng gian phức Y Có thể chứng minh khẳng định cách dùng mệnh đề (6) Định lý 2.2.1 Dưới đây, đưa chứng minh khác dựa Định lý 1.5.3, tập hợp R(X), tính chất giảm khoảng cách ánh xạ chỉnh hình f 2.2.2 Định lý H ( D* , X ) Nếu X không gian phức nhúng hyperbolic khơng gian phức Y, H(D*, X) compact tương đối C(D*, Y+) Chứng minh Ta H(D*, X) tập liên tục đồng C(D*, Y+) Giả sử ngược lại, H(D*, X) không tập liên tục đồng C(D*, Y+) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Khi tồn z D* , dãy zn D* , fn ( z) p Y , f n ( zn ) q Y ,p f n H(D*, X) cho zn z, q Ít hai p q thuộc R(X) nên áp dụng Bổ đề 2.1.5 ta có limd X ( f n ( zn ), f n ( z )) d X ( f n ( zn ), f n ( z )) d D ( zn , z ) với n, d D ( zn , z) * Mặt khác ta có Từ dẫn đến mâu thuẫn * Định lý chứng minh 2.2.3 Định lý Với X không gian phức không gian phức Y, mệnh đề sau tương đương : (1) X nhúng hyperbolic Y (2) C M , Y ; H ( M \ A, X ) compact tương đối C (M , Y ) với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc (3) H M , Y ; H ( M \ A, X ) compact tương đối C (M , Y ) với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc (4) H ( M , X ) compact tương đối C (M , Y ) với đa tạp phức M Chứng minh Từ bao hàm thức : (i) H (D, X ) H [D, Y ; H (D* , X )] (ii) H ( D, X ) C[ D, Y ; H ( D* , X )] GX ,Y ; F X ,Y GX ,Y Và tương đương (1) (6) Định lý 2.2.1 ta có (2) (1) f n f (w ) n n C M , Y ; H ( M \ A, X ) q , p, q Y , q (1) M \ A cho w 'n cho M dãy wn wn w0 , f n (w0 ) p, p Do tính trù mật M \ A M tính liên tục f n M, ta giả sử wn q (4) (2) Ta cần C M , Y ; H ( M \ A, X ) họ liên tục đồng C (M , Y ) Giả sử ngược lại, có w0 M, (3) w0 f n (w 'n ) M \ A với n tồn dãy w 'n p Khi ta có p R( X ) R( X ) Điều mâu thuẫn với tương đương (1) (3) Định lý 2.1.12 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2.2.4 Hệ Nếu X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y A divisor với giao chuẩn tắc đa tạp phức M, f H (M \ A, X ) thác triển thành f Chứng minh Lấy w0 C (M ,Y ) M Nếu p Y wn dãy M \ A cho theo Định lý 2.1.12 w0 ( (1) (3) ) ta có p xác định Với w0 p xác định trên, ta đặt h( w0 ) M f wn R( X ) p wn p Rõ ràng, h( w) Nếu h( w0 ) U U có lân cận W V 2.1.12 ( (1) f ( w) với w M \ A Ta chứng minh h liên tục p Y , U mở chứa p, gọi V lân cận p với bao đóng compact cho V h(W ) p , p X R( X ) Cũng theo Định lý 2.1.12 ( (1) w0 M cho f (W \ A) U Nếu h( w0 ) (3) ), ta V Từ suy U lân cận h ( w0 ) , lại theo Định lý (3) ), tồn W mở chứa w0 M cho f (W \ A) tồn W mở chứa w0 M cho h(W ) U Theo U 2.3 Ứng dụng tính nhúng hyperbolic 2.3.1 Ứng dụng định lý 2.2.1 Định lý mở rộng tổng quát hóa Kobayashi – Kwack cho định lý Picard ánh xạ H (D* , X ) X không gian nhúng hyperbolic không gian phức Y Trong H (D* , X ) đóng C (D* , Y ) 2.3.1.1 Định lý Nếu X không gian phức nhúng hyperbolic khơng gian phức Y, f H ( D* , X ) thác triển thành f Số hóa Trung tâm Học liệu C ( D, Y ) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chứng minh Nếu dãy H (D* , X ) f n fn C (D* , Y ) , f f tồn với n theo Hệ 2.1.10 theo Định lý 2.2.1 có g C ( D, Y ) n dãy f n k f n cho f n k g Do g = f D* Nên g f Sử dụng định lý Lelong độ đo (xem [L, tr 56]), Noguchi : Với X không gian phức compact tương đối, nhúng hyperbolic không gian phức Y, f n dãy H (D* , X ) f n H (D* , X ) f n f f Sử dụng Định lý 2.2.1, E Joseph H Kwack hoàn thiện kết Noguchi mà phần chứng minh không sử dụng định lý độ đo Lelong Cụ thể định lý sau : 2.3.1.2 Định lý Cho X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Nếu f n dãy H (D* , X ) f n Chứng minh cho f n fn k Cho f Nếu f n k fn f dãy H (D* , X ) cho f dãy f n cho f n k g D*, nên g = f D* g fn f f n g C (D* , Y ) C (D, Y ) f Từ Định lý 2.2.1, dãy tồn dãy hội tụ tới phần tử C (D, Y ) Do định lý chứng minh Ví dụ Trong ví dụ 2, f k h với h hàm [0, 1, 0, … , 0]; f k , h thác triển thành f k , h H (D,Pn ( )) với k Tuy nhiên f k h Định lý đặc trưng nhúng hyperbolic sử dụng để mở rộng Định lý Noguchi cho D 2.3.1.3 Định lý Một không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y C D, Y ; H (D* , X ) compact C (D, Y ) Chứng minh Vì C D, Y ; H (D* , X ) C D, Y ; H ( D* , X ) , nên theo Định lý 2.2.1(3) điều kiện đủ chứng minh Với điều kiện cần, Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ C D, Y ; H (D* , X ) = C D, Y ; H ( D* , X ) X nhúng hyperbolic Y tiếp tục sử dụng Định lý 2.2.1(3) Xét f , với Khi f fn H ( D* , X ) thỏa mãn f n C (D* , Y ) từ Định lý 2.3.1.1 Định lý 2.3.1.2 ta có f n C D, Y ; H (D* , X ) f Nên C D, Y ; H ( D* , X ) Chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta giả sử f n dãy C (D, Y ) cho f n Lúc f n f g f n H (D* , X ) với n g D*; Do ta có bao hàm thức ngược lại Hệ sau diễn tả mở rộng định lý Noguchi cho D 2.3.1.4 Hệ Cho X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Nếu f n dãy H (D* , X ) f n Chứng minh Nếu fn k dãy fn f , f n f cho f n k g , f n g k f Theo Định lý 2.3.1.3, với dãy f n D*; Do g = f D* g H (D* , X ) , f n dãy hội tụ, nên f n f Trong trường hợp X không gian phức compact tương đối không gian phức Y, Định lý 2.3.1.3 giúp chứng minh điều kiện cần hệ sau 2.3.1.5 Hệ Một không gian phức compact tương đối X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y tồn g cho dg (0) sup d f (0) : f H D, Y ; H ( D * , X ) H (D* , X ) Chứng minh Từ mệnh đề 1.6.3.1 ta suy điều kiện đủ định lý Chứng minh điều kiện cần, ta lấy d f n (0) sup d f (0) : f fn dãy H (D* , X ) cho H (D* , X ) Theo Định lý 2.3.1.3, tồn dãy Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ fn k g fn H D, Y ; H (D* , X ) cho f n k g Khi d f n (0) dg (0) k Chú ý Trong phần chứng minh điều kiện cần Định lý 2.3.1.3, đẳng thức C D, Y ; H (D* , X ) = C D, Y ; H ( D* , X ) chứng minh sau Lấy X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Chứng minh C D, Y ; H (D* , X ) C D, Y ; H ( D* , X ) 2.3.1.3 Mặt khác, f n fn k Định g , với f n C (D* , Y ) với dãy f lý 2.3.1.1 C D, Y ; H ( D * , X ) 2.3.1.2, chứng minh Định lý H (D* , X ) , theo Định lý 2.2.2, fn dãy k f f n Do f n f theo k Do g ta có C D, Y ; H (D* , X ) Chú ý Nếu X phần giả thiết không gian phức compact tương đối khơng gian phức Y, C thay H Y+ Y Chú ý f Định lý 2.3.1.1 xem tổng quát kết : H (D* , X ) H (D* , C ) thác triển X miền bị chặn C, Định lý Riemann điểm kỳ dị bỏ ([B]) Dưới ví dụ sử dụng Định lý 2.2.1 để không gian phức nhúng hyperbolic P ( ) Ví dụ , Cho M = (  \ {0,1}) x  miền bị chặn Lấy [w0, w1, w2] hệ tọa độ P ( ) Ta H [D,P2 ( ); H (D* , ( M ))] compact tương đối H (D,P2 ( )) Lấy g n dãy H (D* , ( M )) Tồn dãy với n, f n cho f n ( z ) dãy  \ {0,1}, nên f n H (D* , M ) cho g n (an ( z ), bn ( z )) an , bn thể Số hóa Trung tâm Học liệu giả  fn là nhúng hyperbolic P1(  ), Vì  \ {0,1} có sử a, b H (D* ,P1 ( )) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ cho an a, bn b, a n , b n , a, b H (D,P1 ( )) tồn với n, a n a , b n b ; với n, gn thác triển thành g n xác định sau g n ( z ) [1, a n ( z ), b n ( z )] nÕu a n ( z )  [0,1,0] nÕu a n ( z )  Ta định nghĩa h H (D,P ( )) h( z )  Khi g n [1, a( z ), b( z )] nÕu a( z )  [0,1,0] nÕu a( z )  h 2.3.2 Ứng dụng Định lý 2.2.3 Áp dụng kết Định lý 2.2.3 ta chứng minh kết tương tự phần ứng dụng Định lý 2.2.1 với số chiều cao Trong đó, H ( M \ A, X ) bao đóng C (M \ A, Y ) 2.3.2.1 Định lý Cho X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Cho M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc Khi đó: (a) Mỗi f f (b) H ( M \ A, X ) C (M \ A, Y ) thác triển thành C (M ,Y ) ; Nếu f n dãy H (M \ A, X ) f n f n f 2.3.2.2 Định lý f C ( M \ A, Y ) , Một không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y C M , Y ; H ( M \ A, X ) compact C (M , Y ) với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc 2.3.2.3 Hệ Quả Cho X không gian phức nhúng hyperbolic compact tương đối không gian phức Y Cho M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc Với z dg ( z ) sup d f ( z ) : f M , tồn g H M , Y ; H ( M \ A, X ) cho H ( M \ A, X ) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2.3.2.4 Định lý Cho X không gian phức, nhúng hyperbolic không gian phức Y Cho M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc Nếu f n dãy H ( M \ A, X ) , f n fn f C ( M \ A, Y ) f Từ định lý 2.3.1.3 kết ta chứng minh ba đặc trưng nhúng hyperbolic số ý sau Chú ý Định lý 2.3.2.1.(a) tổng quát mở rộng kết Kiernan (Định lý 5.2, [L, Tr 58]) Chú ý Định lý 2.3.2.1.(b) 2.3.2.4 tổng quát định lý Noguchi (Định lý 5.4, [L, Tr 61]) 2.3.2.5 Định lý Một không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y ba mệnh đề sau với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc: (1) H (M \ A, X ) compact tương đối C (M \ A, Y ) (2) Mỗi f H ( M \ A, X ) có thác triển C (M , Y ) f n dãy H (M \ A, X ) (3) f n fn f C ( M \ A, Y ) f Chứng minh Chứng minh điều kiện cần : Giả sử X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Khi áp dụng định lý 2.2.3 (4) ta suy khẳng định (1) Từ định lý 2.3.2.1 ta suy khẳng định (2) (3) Ta chứng minh điều kiện đủ Lấy f n dãy H (M \ A, X ) Từ (1), tồn dãy f n k f n f C (M \ A, Y ) cho f n k với k từ (3) có f n k f Từ (2), f n f tồn k f Do đó, từ Định lý 2.2.3, ta có điều phải chứng minh Chú ý Định lý 2.3.2.4 2.3.2.5 thay H (M \ A, X ) H ( M \ A, X ) điều kiện Định lý 2.3.2.5 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chú ý 10 Từ Chú ý Định lý 2.3.2.5 dễ nhận thấy không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbonlic Y hai điều kiện sau thỏa mãn với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc: (1) H (M \ A, X ) compact tương đối C(M \ A, Y+) (2) Ánh xạ : H ( M \ A, X ) C ( M , Y ) xác định ( f ) f phép nhúng Taimanov chứng minh mệnh đề sau: 2.3.2.6 Mệnh đề ([T]) Cho A tập trù mật không gian tô pô Hausdorff X cho f ánh xạ từ A tới không gian compact Hausdorff Y Ánh xạ f có thác thiển liên tục X với cặp tập đóng rời B1, B2 Y, nghịch ảnh f ( B1 ) f ( B2 ) đóng rời X Định lý 2.3.3.7 đưa đặc trưng nhúng hyperbolic 2.3.3.7 Định lý Các mệnh đề sau tương đương với không gian phức X không gian phức Y (1) X nhúng hyperbolic Y (2) Với đa tạp phức M, divisor A M với giao chuẩn tắc dãy H ( M \ A, X ) , lim f n ( P ) k tồn dãy fn k dãy fn fn cho tôpô M, P Q tập lim f n (Q) k compact đóng rời Y (3) Với đa tạp phức M, divisor A M với giao chuẩn tắc dãy H (M \ A, X ) , lim f n ( P ) k lim f n (Q) k tồn dãy fn k dãy fn fn cho tôpô M, P Q tập compact, đóng rời Y Chứng minh (2) (3) Hiển nhiên H ( M A, X ) H ( M \ A, X ) (2) Từ Hệ 2.1.8 Định lý 2.2.1, với dãy (1) H ( M \ A, X ) , f n cho f n k C (M ,Y ) tồn với n tồn dãy f n k g C (M , Y ) Nếu P Số hóa Trung tâm Học liệu Y compact, Q f n f n Y đóng http://www.lrc-tnu.edu.vn/ lim f n (Q) , lấy W lân cận g(x) K lân cận x lim f n ( P) k k compact x M cho g K f n ( K \ A) k g ( x) f n ( K \ A) P k k Do W Q Q Y+ Vì P compact Y nên g x P (1) Giả sử (3) tương ứng, cho zn , Q P U Nếu khơng có < r < thỏa mãn f n , mà ta ký hiệu lim f n (Y U ) với dãy k Q p Y Lấy U mở chứa p chọn W mở f n ( zn ) U , tồn dãy lim f n (W ) , W P f n zn dãy H (D* , X ) D* chứa p cho W compact W f n (D*r ) W chí W Thì f n ( K \ A) k fn k f n , cho f n , nên (3) sai Do từ Bổ đề 2.1.8 mệnh đề (2) Định lý 2.1.7 ta có điều phải chứng minh Dưới tổng quát hóa Định lý Vitali cổ điển [B] với biến phức cho số chiều cao 2.3.3.8 Định lý Cho X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Cho M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc Lấy N M có tính chất : f , g C (M , Y ) f = g N, f=g Nếu f n dãy H ( M \ A, X ) f n hội tụ N , Chứng minh Tồn dãy f n k Nên f n k f N f n f hội tụ n f n cho f n k f N Tức f n f C (M ,Y ) f KẾT LUẬN Lý thuyết không gian phức hyperbolic nói chung, đặc biệt tính nhúng hyperbolic tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình, hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức “Miền đất màu mỡ” thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học lớn giới Luận văn nghiên cứu tính nhúng hyperbolic khơng gian thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình Luận văn đạt số kết sau: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Trình bày cách hệ thống số kiến thức sở giải tích phức như: đa tạp phức, không gian phức, không gian phức hyperbolic, không gian phức nhúng hyperbolic, Divisor với giao chuẩn tắc, giả khoảng cách tương đối Kobayashi Trình bày đặc trưng điểm hyperbolic Trình bày được: tính nhúng hyperbolic khơng gian phức X vào không gian phức Y đặc trưng tính compact tương đối cấu trúc tơ pơ compact mở không gian thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình Trình bày số ứng dụng kết vào việc khái quát, mở rộng định lý tiếng định lý Kobayashi, Kiernan, Kwack, Noguchi Vitali Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [D] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm, Hà Nội [Th] Trương Văn Thương (2003), Hàm số biến số phức, Nhà xuất Giáo Dục Tiếng Anh [A] Abate M (1993), A characterization of hyperbolic manifolds Proc Amer Math Soc 117, 789 – 793 [A-V] Abate M and Vigue J –P (1991), Common fixed points in hyperbolic Riemann surfaces and convex domains Proc Amer Math Soc 112, 503 – 512 [B] Boas R (1987), Invitation to Complex Alnalysis Random House, New York [C] Conway J B (1978), Funtions of One Complex Variable Springer – Verlag, New York [Ke] Kelley J L (1955), General Topology Van Nostrand, Princeton, NJ [Kw] Kwack M (1969), Generalizations of the big Picard theorem Ann Of Math 90, No 2, – 22 [Ki1] Kiernan P (1973), Hyperbolically imbedded spaces and the big Picard theorem Math Ann 204, 203 – 209 [Ki2] Kiernan P (1972), Extensions of holomorphic maps Trans Amer Math Soc 172, 347 – 355 [Ko] Kobayashi S (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings Marcel Dekker, New York [K – K] Kiernan P and Kobayashi S (1973), Holomorphic mappings into projective space with lacunary hyperplanes Nagoya Math J 50, 119 – 216 [K – O] Kobayashi S and Ochiai T (1971), Satake compactifications and the great Picard theorem J Math Soc Japan 23, 340 – 350 [L] Lang S (1987), Introduction to complex Hyperbolic Spaces Springer – Verlag, NY Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [No] Noguchi, J (1985), Hyperbolic fiber spaces and Mordell’s conjecture over function fields Publ Research Institute Math Sciences Kyoto University 21, No 1, 27 – 46 [T] Taimanov A D (1952), On extension of continuous mappings of topological spaces Mat Sb 31, No 73, 459 – 462 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1 Điểm hyperbolic số đặc trƣng điểm hyperbolic 2.1.1 Định nghĩa a Giả sử X không gian phức, p điểm... Giả khoảng cách tương đối Kobayashi 12 CHƢƠNG NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 15 2.1 Điểm hyperbolic số đặc trưng điểm hyperbolic. .. điểm hyperbolic; Phần tiếp theo, chúng tơi chứng minh chi tiết tính nhúng hyperbolic không gian phức X vào không gian phức Y đặc trưng tính compact tương đối không gian thác triển liên tục ánh xạ