Định lý thác triển hartogs đối với các ánh xạ chỉnh hình tách biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ THỊ KIM QUY ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HARTOGS ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ THỊ KIM QUY ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HARTOGS ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN Chuyên ngành : Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGƠ THỊ KIM QUY Chun ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Phản biện 1: PGS.TS Tạ Thị Hoài An Phản biện 2: PGS.TS Phạm Hiến Bằng Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN Ngày 22 tháng 11 năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Trường ĐHSP Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn THAI NGUYEN UNIVERSITY THAI NGUYEN UNIVERSITY OF EDUCATION NGO THI KIM QUY Major : Analytical Mathematics Code : 60 46 01 SUMMARIZE OF MASTER THESIS IN MATHEMATIC Scientific Supervisor: Dr NGUYEN THI TUYET MAI THAI NGUYEN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục Mở đầu Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp phức 1.2 Hàm đa điều hồ dưới, tập đa cực, đa quy địa phương 1.3 Tính chất thác triển Hartogs 1.4 Lý thuyết Poletsky đĩa định lý Rosay đĩa chỉnh hình 10 1.5 Độ đo đa điều hoà chỉnh hình tách 12 1.6 Ba định lý tính định lý hai số 18 Chƣơng Định lý thác triển Hartogs ánh xạ chỉnh hình tách biến 22 2.1 Mở đầu 22 2.2 Các kết 23 2.3 Phần chứng minh định lý A 24 2.4 Phần chứng minh định lý A 31 2.5 Phần chứng minh định lý A 35 2.6 Phần 4: Chứng minh định lý A trường hợp tổng quát 44 Kết luận chung 53 Tài liệu tham khảo 54 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Thác triển ánh xạ chỉnh hình hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Những kết lĩnh vực gắn liền với tên tuổi Riemann, Hartogs, Cartan, Oka, … Ngày nay, nhiều nhà toán học giới tiếp tục quan tâm đến vấn đề cách tiếp cận khác nhằm giải tốn cụ thể đặt lĩnh vực Như biết định lý cổ điển Hartogs khẳng định hàm chỉnh hình tách biến miền D n chỉnh hình Đây số kết quan trọng giải tích phức nhiều biến Vì thế, việc mở rộng định lý Hartogs thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Hướng nghiên cứu phát triển lý thuyết ánh xạ chỉnh hình tách đạt nhiều kết đẹp Có thời gian hướng nghiên cứu bị gián đoạn, sau khôi phục vào năm 50, 60 kỷ 20 Siciak có đóng góp đáng kể phát triển hướng nghiên cứu Ông đưa tổng quát hoá quan trọng mà để chứng minh vấn đề mấu chốt phải xác định bao chỉnh hình hàm chỉnh hình tách biến tập chữ thập Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak chứng minh định lý trường hợp tập chữ thập gồm tích miền Các bước nghiên cứu khởi đầu Zahariuta năm 1976, sau Nguyễn Thanh Vân Zeriahi Shiffman người tổng quát hoá số kết Siciak ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị khơng gian giải tích phức (xem [15]) Trong báo Alehyane Zeriahi (xem [3]) xác định bao chỉnh hình tập chữ thập tích miền đa tạp Stein độ đo đa điều hoà Nguyễn Việt Anh tổng quát hoá kết Alehyane – Zeriahi cho tập chữ thập tích đa tạp phức tuỳ ý Chủ yếu ông sử dụng lý thuyết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Poletsky đĩa (xem [12], [13]), định lý Rosay đĩa chỉnh hình (xem[14]) định lý Alehyane – Zeriahi (xem[3]) Kỹ thuật quan trọng khác sử dụng tập mức độ đo đa điều hoà Kỹ thuật giới thiệu lần thời gian gần kết hợp Plug Nguyễn Việt Anh Hơn nữa, nhờ kỹ thuật người ta giải vấn đề phát sinh từ lý thuyết ánh xạ chỉnh hình tách ánh xạ phân hình Mục đích luận văn nghiên cứu định lý thác triển Hartogs ánh xạ chỉnh hình tách biến, mà cụ thể thác triển lên bao chỉnh hình tập chữ thập tích đa tạp phức tuỳ ý Luận văn trình bày lại kết nghiên cứu Nguyễn Việt Anh báo [1] Nội dung luận văn gồm hai chương: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Đề cập chủ yếu đến khái niệm đa tạp phức, hàm đa điều hồ dưới, khơng gian phức có tính chất thác triển Hartogs, tập đa cực địa phương, độ đo đa điều hồ dưới, chỉnh hình tách Sau đó, chúng tơi trình bày kết bổ trợ số kiến thức lý thuyết đa vị như: Lý thuyết Poletsky đĩa định lý Rosay đĩa chỉnh hình; kết độ đo đa điều hoà tập mức nó, ba định lý tính định lý hai số Chƣơng 2: Định lý thác triển Hartogs ánh xạ chỉnh hình tách biến Trình bày kết chính: Nêu chứng minh tổng quát định lý thác triển Hartogs (định lý A) Chứng minh với trường hợp chữ thập hai trường hợp tổng quát Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai Nhân dịp này, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên thầy giáo tận tình giảng dạy chúng em suốt khố học Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh tế Quản trị kinh doanh Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Bộ mơn Tốn quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp bạn bè động viên khích lệ tơi suốt q trình hồn thành, bảo vệ luận văn Thái Ngun, ngày 28 tháng năm 2009 Ngô Thị Kim Quy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Ánh xạ chỉnh hình Giả sử X tập mở n f : X  hàm số Hàm f gọi khả vi phức x0  X tồn ánh xạ tuyến tính  : n  cho lim h 0 h   h1 , , hn   f  x0  h   f  x0     h  h  0, 1/2 n  n 2 h    hi   i 1  Hàm f gọi chỉnh hình x0  X f khả vi phức lân cận x0 gọi chỉnh hình X f chỉnh hình điểm thuộc X Một ánh xạ f : X  fi   i viết dạng f   f1, f , , f m  , m f : X  , i  1, , m hàm toạ độ Khi f gọi chỉnh hình X f chỉnh hình X với i  1, , m i Ánh xạ f : X  f  X   n gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f 1 ánh xạ chỉnh hình 1.1.2 Đa tạp phức Giả sử X không gian tô pô Hausdorff + Cặp U ,  gọi đồ địa phương X, U tập mở X  : U  n ánh xạ, điều kiện sau thoả mãn: i)  U  tập mở n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn G  Theo (2.35) - (2.37), ta thấy G (vì (2.27)) bổ đề 2.5.5, chứng minh hoàn thành ta với   z0 ,w   X có lân cận mở U  V  z0 ,w    cho giả thiết bổ đề 2.5.5 thoả mãn với B* , D : D, G : G ,    D : D, G : G, A : A , B : B Giả sử  :    z0 , A, D    w , B, G  (2.38) U  V lân cận mở  z0 ,w  cho:   z, A, D    w , B, G     z0 , A, D    w , B, G    (2.39) Khi đó, với      z,w  U  V , sử dụng (2.38) – (2.39) phần iv) mệnh đề 1.5.6, ta có:   z, A , D    w , B  B* , G0    z, A, D      w , B, G   0   z, A, D    w , B, G   1  0 (2.40) Điều chứng minh khẳng định Do đó, mệnh đề chứng minh Chứng minh định lý 2.5.1 Với a  A A* , giả sử f a : f X A U a , B ;U a ,G  Vì f Os  X , Z  ta suy f a Os  X  A U a , B;U a , G  , Z  Vì Ua song chỉnh hình tới miền da nên ta áp dụng mệnh đề 2.5.6 với   f a Do vậy, có ánh xạ f a O X  A U a , B;U a , G  , Z cho: f a  z, w   f  z, w  ,  z,w  X  A Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên A* U a , B 41 B*;U a , G  (2.41) http://www.Lrc-tnu.edu.vn Giả sử    Do (2.41) nên ta áp dụng bổ đề 2.5.4   Vì vậy, ta dán họ  f a   U a , G aA để thu ánh xạ dán * A fA  O  A  G , Z  Tương tự, với b  B B* , ta thu ánh xạ nhất:  f b O X  A, B Vb ; D,Vb  , Z cho f b  z,w   f  z,w  ,  z,w  X  A  Hơn nữa, dán họ  f b  D Vb , A* , B   bB  B* Vb ; D,Vb  (2.42) để thu ánh xạ dán B* fB  O  D  B , Z  Tiếp theo, ta chứng minh fA  fB A  B (2.43) Thật vậy, (2.41) – (2.42) nên với a  A 0  A* , b  B B* ta có: f a  z,w   f b  z,w  ,  z,w  U a,  Vb, (2.44) Chú ý theo (2.41) – (2.42) ta có: f a  z, w   f b  z, w   f  z, w  ,  z,w  X  A A* U a , B B* Vb ;U a ,Vb  Vì Ua (tương ứng Vb) song chỉnh hình tới miền db da (tương ứng ) nên áp dụng tính định lý 2.1.1 cho f a  z, w   f b  z, w  ,  z,w  X  A U a , B Vb ;U a ,Vb  Vì vậy, (2.44) chứng minh từ dó chứng minh (2.43) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Theo (2.43) ta xác định ánh xạ f : X  A , B ; D , G   Z sau:  fA f :  B  f A  G (2.45) D  B Theo (2.45) ta có có f  : Os  X  A , B ; D , G  , Z  Vì ta biết từ (2.28) A (tương ứng B ) tập mở D (tương ứng G ) nên ta áp dụng định lý 2.4.1 cho f với    Do vậy, thu ánh xạ f  : O  X  A , B ; D , G  , Z  cho f  f X  A , B ; D , G  (2.46) Từ (2.41) – (2.42) (2.45) – (2.46) ta có:  f  f X A Hơn nữa, với      A* , B B* ; D , G  (2.47)  z, w   A  B có a  A A* cho z U a,0 Do từ cách xây dựng fA , (2.45) (2.46) ta có: f   z,w   f a  z,w   f 0  z,w  Điều chứng tỏ f  f  A  B ,      (2.48) Từ đó, ta xác định ánh xạ thác triển cần có f f : lim f  X  0 Để chứng minh f thoả mãn kết luận định lý ta tiến hành phần cuối chứng minh mệnh đề 2.5.6 Theo (2.47), (2.48) bổ đề 2.5.5, việc chứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.Lrc-tnu.edu.vn minh hồn thành chứng tỏ với  z0 ,w   X có lân cận mở U  V  z0 ,w    cho giả thiết bổ đề 2.5.5 thoả mãn với D : D, G : G, A : A , B : B , D : D , G : G ,    Chứng minh theo phương pháp (2.38) –(2.40) Định lý chứng minh 2.6 Phần 4: Chứng minh định lý A trƣờng hợp tổng quát Trong phần này, ta chứng minh định lý A với N  Ta chia chứng minh thành hai phần: 2.6.1 Chứng minh tồn f Ta tiếp tục phép quy nạp (I) với N  Giả sử định lý với N   Ta xét trường hợp chữ thập N X : X  A1, , AN ; D1, , DN  , D1, , DN đa tạp phức A1  D1, , AN  DN tập không đa cực địa phương (  j  N ) Giả sử f Os  X , Z  Chú ý tính f suy trực tiếp từ phần ii) định lý 1.6.2 Ta lại tiếp tục tiến hành phép quy nạp (II) với số nguyên k   k  N  cho có k đa tạp phức số D1, , DN  song chỉnh hình tới miền Euclidean Với k  N ta quy định lý 2.1.1 Giả sử định lý A với trường hợp k  k0 1  k0  N  Ta phải xét trường hợp k  k0  Khơng tính tổng qt, giả sử D2 khơng song chỉnh hình tới miền Euclidean Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Với  j  N a j  A j A*j , cố định lân cận mở U a j a j da j cho U a j song chỉnh hình tới miền , d a j số chiều D j a j Với  j  N với    1, ta định nghĩa:   U a j , : z j U a j :  z j , Aj Aj , : a j A j  A*j U a ,U a j j a j  Aj U a j , , A*j , (2.49)  D j , : z j  D j :   z j , Aj , D j     Với a1  A1    ,  A1* , xét ánh xạ f a1 cho bởi: f a  z2 , , z N  : f  a1, z2 ,, , z N  ,  z2 , , zN  X  A2 , , AN ; D2 , , DN  Theo công thức giả thiết f Os  X , Z  , f a1 thoả mãn giả thiết định lý A với chữ thập (N – 1) Do đó, áp dụng giả thiết phép quy nạp (I), ta thu ánh xạ nhất:  ˆ  A , , A ; D , , D  , Z fˆa1 O X N N  cho: f a1  z2 , , zN  : f  a1, z2, , , z N  ,  z2 , , zN   X  A2 Với a2  A2 A2* , , AN AN* ; D2 , , DN  (2.50) A2* , xét ánh xạ f a2 cho bởi: f a2  z1 , z2 , z3 , , z N  : f  z1, z2 , z3 , , z N  ,  z1, z2 , z3 , , zN   X  A1, A2  U a2 , A3 , , AN ; D1,U a2 , D3 , , DN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Vì U a2 song chỉnh hình tới miền Euclidean D2 khơng nên theo cơng thức giả thiết với f Os  X , Z  , ta áp dụng giả thiết quy nạp (II) với f a2 Do đó, thu ánh xạ nhất:     f a2 O X A1 , A2 U a2 , A3 , , AN ; D1,U a2 , D3 , , DN , Z cho f a2  z1 , z2 , z3 , , z N  : f  z1 , z2 , z3 , , z N  ,  z1 , z2 , z3 , , zN   X  A1 A1* , A2 A2* U a2 , A3 (2.51) A3* , , AN  AN* ; D1 ,U a2 , D3 , , DN Ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.6.1.1 Vẫn giả thiết định lý A kí hiệu với a1  A1 A2*    A1* , a2  A2 ta có: N f a1  z2 , z3 , , z N   f a2  a1 , z2 , z3 , , z N  ,  z2 , z3 , , zN  U a ,  A3,   AN , Chứng minh bổ đề 2.6.1.1 Theo (2.50), (2.51) ta có: f a2  a1 , z2 , z3 , , z N   f  a1 , z2 , z3 , , z N   f a1  z2 , z3 , , z N  ,  z2 , z3 , , z N   X  A2 A2* U a2 , A3 A3* , , AN  AN* ;U a2 , D3 , , DN Do đó, áp dụng phần ii) định lý 1.6.2 với f a1 f a2  a1 ,. ta có f a1  z2 , z3 , , z N   f a2  a1 , z2 , z3 , , z N  ,  z2 , z3 , , zN  X  A2 Hơn nữa, từ     (2.52) U a2 , A3 , , AN ;U a2 , D3 , , DN , theo (2.49), (2.50) ta có: N  U a2 ,  A3,   AN ,  X A2  U a2 , A3 , , AN ;U a2 , D3 , , DN Kết hợp với (2.52) ta suy kết luận cần chứng minh bổ đề Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tiếp theo, ta giả sử    Theo (2.51), phần i) định N lý 1.6.2 định nghĩa 2.5.3, ta dán họ ánh xạ:   f a2  D1, N  U a2 ,  A3,   AN ,   a2A2 A2* Để thu ánh xạ dán f  O  D1, N  A2,   AN , , Z  (2.53) Giả sử  : X  A   X  : X A1 A1* , A2,   AN , ; D1, N , X  A2 , , AN ; D2 , , DN  , X A1* , A2,   AN , ; D1, N , X  A2 , , AN ; D2 , , DN (2.54) Theo bổ đề 2.6.1.1 theo (2.53) ta định nghĩa ánh xạ f : X   Z sau:  f  z  z  D  A   A 1, N  2, N ,   f  z  :  z   A1 A1*   X  A2 , , AN ; D2 , , DN   f z1 (2.55) z   z1, , zN   X  Sử dụng (2.55), (2.50) (2.53) ta có f O s  X   Hơn nữa, theo (2.54) ta có X  Do đó, với    X *  X  , áp dụng định lý 2.5.1 với f thu ánh xạ N   f  O X  cho: f   f   Cuối cùng, dán f  0  N X  (2.56) ta xác định ánh xạ thác triển cần có f theo cơng thức: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.Lrc-tnu.edu.vn f : lim f  X (2.57)  0 Tiếp theo, ta lý luận chứng minh định lý 2.5.1 Ta kiểm tra giả thiết bổ đề 2.5.5 thoả mãn với: D : D1 , G : X  A2 , , AN ; D2 , , DN  , A : A1 A1* , B : A2,   AN , , D : D1, N , G : X  A2 , , AN ; D2 , , DN  , với    N Giả sử:  : X  A2, , , AN , ; D2 , , DN  ,   N : z '  :   z ', A2,   AN , ,     N Áp dụng bất đẳng thức (2.29), ta được:   z j , Aj , D j     z j , Aj , , D j   N  1, z '   z2 , , zN  N N N j 2 j 2 Do đó: N  X  A2 , , AN ; D2 , , DN  mà theo phần ii) mệnh đề 1.5.6 ta có:   z ', A2,   AN , , X  A2 , , AN ; D2 , , DN     z ', A2,   AN , ,  N  ,  z '  N (2.58) Mặt khác, theo phần ii) mệnh đề 1.5.8, ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.Lrc-tnu.edu.vn   z ', A2,   AN , ,      z j , Aj , , D j  , z '   z2 , , zN   N (2.59) j 2 Theo phần iv) mệnh đề 1.5.6, ta có:   z ', A2,   AN , ,  N     z ', A2,   AN , ,   , z '  N  N Kết hợp với (2.58) – (2.59) suy ra:   z , A  , D  N    z ', A2,   AN , , X  A2 , , AN ; D2 , , DN   j j 2 j, j  N (2.60)     z 0j , Aj , D j  N   Với z  z10 , z 0'  X , giả sử  : j 1 cố định 2N lân cận mở U  V z0 cho:   z j , Aj , D j      z 0j , Aj , D j , z   z1, z ' U  V N N j 1 j 1 Khi đó, sử dụng đánh giá sau cùng, (2.60) phần iv) mệnh đề 1.5.6, ta có:   z1, A1   A1* , D1, N0   z ', A2,   AN , , X  A2 , , AN ; D2 , , DN    z , A , D     N  j j 1 j j  N 0 1 với z   z1, z ' U  V     Theo bổ đề 2.5.5 công thức (2.57) ta   có f O X , Z Hơn nữa, theo (2.50) – (2.51), (2.54) – (2.57) ta thấy D1, N  D1 (xem (2.49)), ta kết luận f  f tập hợp sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.Lrc-tnu.edu.vn A A1*   X  A2 AN* ; D2 , , DN  A2* , , AN Vì tập hợp X D1   A2 A2*    AN AN*  X * nên theo định lý 1.6.3 ta có ánh xạ f cho cơng thức (2.57) có tất tính chất địi hỏi Hồn thành phép quy nạp (II) với k  k0  Do đó, chứng minh phép quy nạp (II), phép quy nạp (I) phần đầu định lý 2.6.2.Chứng minh đánh giá định lý A Chia phần thành hai bước:  f Bước Chứng minh bất đẳng thức f X X Chứng minh bước Giả sử ngược lại, tức tồn điểm z  X cho f  z0   f X   Đặt  : f z xét hàm g  z  : , f  z  Theo giả sử trên, ta có g Os  X ,  hàm g O X , z X  Do đó, theo (2.61) mục 2.6.1, có  với g  g X Vì vậy, theo (2.61), X ta có: g  f         Như vậy, g f    X Đặc biệt,  g  z  f  z     (mâu  f thuẫn) Do đó, bất đẳng thức f X X chứng minh Bước Chứng minh bất đẳng thức f  z  f 1  z  A f  z  X (2.62) Chứng minh bước Ta chứng minh (2.62) quy nạp theo N Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Khi N  1, áp dụng định lý 1.6.4 với hàm đa điều hoà log f  z  , ta (2.62) z  D1 Giả sử (2.62) với N  Ta chứng minh với N Cố   định điểm tuỳ ý z  z10 , , zN0  X Giả sử  :   z 0j , Aj , D j  N (2.63) j 2 Với a1  A1 A1* , ta áp dụng giả thiết phép quy nạp với hàm f a1 thu được: f a1  z20 , , z N0   f 1  f A X (2.64) Theo (2.55) – (2.57) ta được: f a1  z20 , , zN0   f  a1, z20 , , z N0  , a1  A1 A1* Kết hợp với (2.64) ta suy f ., z20 , , z N0  A1 A1* 1  f A f  X (2.65) Mặt khác f ., z20 , , z N0   f D1,  f X (2.66) X đánh giá sau có từ bước Áp dụng định lý 1.6.4 với hàm log f ., z20 , , z N0  theo (2.65), (2.66) ta D1, được: f z   f ., z , , z  N  1 z10 , A1 A1* , D1, A1 A1*  f ., z , , z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 N    z10 , A1 A1* , D1, D1,   f   f  z  X 1 z A http://www.Lrc-tnu.edu.vn đẳng thức có từ (2.63) đồng   z , A1 A , D1,   *   z10 , A1 A1* , D1  1  có phần iv) mệnh đề 1.5.6 Vì vậy, (2.62) chứng minh với điểm z0 cho trước Vì z0 điểm tuỳ ý X (2.62) chứng minh Kết hợp kết mục 2.6.1 2.6.2 ta có định lý A chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.Lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN CHUNG Bài tốn nghiên cứu vấn đề thác triển ln toán mở với người nghiên cứu Với mục đích bước đầu tìm hiểu hướng nghiên cứu này, luận văn nghiên cứu định lý thác triển Hartogs ánh xạ chỉnh hình tách biến mà cụ thể kết nghiên cứu gần Nguyễn Việt Anh Với mục đích đó, luận văn đạt kết sau: + Hệ thống kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu + Trình bày lý thuyết Poletsky đĩa định lý Rosay đĩa chỉnh hình + Trình bày dạng tổng quát định lý thác triển Hartogs tiếng hàm chỉnh hình tách, tổng quát kết Alehyane – Zeriahi cho tập chữ thập tích đa tạp phức tuỳ ý Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.Lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyen Viet Anh (2005), “A general version of the Hartogs extension theorem for separately holomorphic mappings between complex analytic spaces”, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci (5) Vol IV, 219-254 [2] O.Alehyane et J M Hecart (1999), “Propriete de stabilite de la fonction extremale relative”, preprint [3] O Alehyane et A Zeriahi (2001), “Une nouvelle version du theoreme d’extension de Hartogs pour les applications separement holomorphes entre espaces analytiques”, Ann Polon Math 76, 245- 278 [4] E Berford (1982), “The operator (ddc)n on complex spaces”, Semin P Lelong – H Skoda, Analyse, Annees 1980/81, Lect Notes Math 919, 294-323 [5] E Bedford and B A Taylor (1982), “A new capacity for plurisubharmonic functions”, Acta Math 149 , – 40 [6] S M Ivashkovich (1997), “The Hartogs phenomenon for holomorphically convex Kahler manifolds”, Math USSR – Izv 29, 225 – 232 [7] M Jarnicki and P Pflug (2000), Extension of holomorphic Functions, de Gruyter Expositions in Mathematics 34, Walter de Gruyter [8] B Josefson (1978), “On the equivalence between polar and globally polar sets for plurisubharmonic functions on Cn”, Ark Mat 16 , 109 – 115 [9] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [10] N V Khue and N H Thanh (1999), “Locally bounded holomorphic functions and the mixed Hartogs theorem”, Southeast Asian Bull, 643 – 655 [11] M KLIMEK, Pluripotential theory, London Mathematical society monographs, Oxford Univ Press 6, 1991 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 http://www.Lrc-tnu.edu.vn [12] E A Poletsky (1991), “Plurisubharmonic functions as solutions of variational problems”, Several complex variables and complex geometry, Proc Summer Res Inst, Santa Cruz/CA (USA) 1989, Proc Symp Pure Math 52, Part 1, 163 – 171 [13] E A Poletsky (1993), “Holomorphic currents”, Indiana Univ Math J 42, 85 – 144 [14] J P Rosay (2003), “Poletsky theory of disks on holomorphic manifolds”, Indiana Univ Math J 52, 157 – 169 [15] B Shiffman (1971), “Extension of holomorphic maps into Hermitian manifolds”, Math Ann 194, 249 – 258 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... phát sinh từ lý thuyết ánh xạ chỉnh hình tách ánh xạ phân hình Mục đích luận văn nghiên cứu định lý thác triển Hartogs ánh xạ chỉnh hình tách biến, mà cụ thể thác triển lên bao chỉnh hình tập chữ... đĩa chỉnh hình; kết độ đo đa điều hoà tập mức nó, ba định lý tính định lý hai số Chƣơng 2: Định lý thác triển Hartogs ánh xạ chỉnh hình tách biến Trình bày kết chính: Nêu chứng minh tổng quát định. .. Chƣơng Định lý thác triển Hartogs ánh xạ chỉnh hình tách biến 22 2.1 Mở đầu 22 2.2 Các kết 23 2.3 Phần chứng minh định lý A 24 2.4 Phần chứng minh định lý